Matematika Semester V -...

Matematika Semester V

Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd



DIMENSI TIGA

PETA KONSEP

A. BANGUN RUANG DAN UNSUR-UNSURNYA

1. Kubus

Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar (sisi) yang sama

luas dengan dua belas rusuk yang sama panjang dan semua sudutnya merupakan sudut

siku-siku.

Unsur-Unsur Kubus

a. Memiliki 6 buah sisi berbentuk persegi yang

kongruen, yaitu ABCD, EFGH, BCGF,

ADHE, ABFE, dan DCGH.

b. Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu

AB, DC, EF, HG, EA, HD, FB,GC, AD,

BC, FG, dan EH.

KOMPETENSI DASAR

Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya

Menghitung luas permukaan bangun ruang

Menerapkan konsep volum bangun ruang

Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang

DIMENSI TIGA

BANGUN RUANG : 1. Kubus 2. Balok 3. Prisma 4. Limas 5. Tabung 6. Kerucut 7. Bola

HUBUNGAN UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG

Unsur - Unsur

Luas Permukaan

Volume



c. Memiliki 12 diagonal sisi yang sama panjang, yaitu AC, BD, EG, FH, AH, DE, BG,

CF, AF, BE, DG, dan CH. Jika kubus mempunyai rusuk a, maka panjang diagonal

sisi adalah 2a .

d. Memiliki empat diagonal ruang yang sama panjang, yaitu AG, BH, CE, dan DF. Jika

kubus mempunyai rusuk a, maka panjang diagonal ruang adalah 3a .

e. Memiliki 6 bidang diagonal, yaitu ACGE, BDHF, ADGF, ABGH, BCHE, dan

CDEF. Jika kubus mempunyai rusuk a, maka luas bidang diagonalnya adalah 22a

f. Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H.

Jaring-Jaring Kubus

Jaring-jaring kubus adalah sebuah bangun datar

yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis pada dua

persegi yang berdekatan akan membentuk bangun

kubus.

Apabila kubus ABCD.EFGH diiris menurut EH, EF,

HG, CG, FB, EA , dan HD akan dihasilkan bangun

datar seperti pada gambar disamping.

Volume Kubus dan Luas Permukaan

Jika sebuah kubus panjang rusuknya s , volume kubus adalah sebagai berikut.

Jika sebuah kubus panjang rusuknya s, luas permukaan ( ) kubus merupakan jumlah

antara luas seluruh sisi tegak dan dua kali luas alas kubus.

Contoh:

Luas dari

alas kubus adalah 12 dm

2. Tentukan volume dan luas permukaan kubus.

Jawab

Volume kubus (V) =

Luas permukaan kubus ( ) =

Jadi, volume kubus adalah 64 dan luas permukaan kubus adalah 96 dm2.



2. Balok

Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam daerah persegi panjang. Balok

mempunyai sisi, rusuk, titik sudut, diagonal sisi, diagonal ruang dan bidang diagonal.

Banyaknya sisi, rusuk, dan titik sudut suatu balok sama seperti pada kubus. Sisi balok

berbentuk persegi panjang yang terdiri dari 3 pasang sisi sejajar dan sama panjang.

Suatu balok memiliki 3 kelompok rusuk yang masing-masing terdiri dari empat rusuk

yang sama panjang, yaitu panjang, lebar dan tinggi.

Unsur-Unsur Balok

a. Memiliki 6 buah sisi berbentuk persegi

panjang yang tiap pasangnya kongruen,

yaitu PQRS, TUVW, QRVU, PSWT, PQUT,

dan SRVW.

b. Memiliki 12 rusuk yang sekelompok sama

panjang, yaitu

(i) Rusuk PQ = SR = TU = WV.

(ii) Rusuk QR = UV = PS = TW.

(iii) Rusuk PT = QU = RV = SW.

c. Memiliki 8 titik sudut, yaitu titik P, Q, R, S, T, U, V, dan W.

d. Memiliki 12 diagonal sisi, di antaranya PU , QV , RW , SV , dan TV. Panjang

diagonal sisi pada balok dapat dihitung dengan rumus berikut.

222222 ,, tpAFtlAHlpAC

e. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu

diagonal PV , QW, RT , dan SU. Panjang diagonal ruang pada balok dapat dihitung

dengan rumus 222 tlp .

f. Memiliki 6 bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya

kongruen. Keenam bidang diagonal tersebut adalah PUVS, QTWR, PWVQ, RUTS,

PRVT, dan QSWU. Untuk menentukan luas bidang diagonal balok dapat digunakan

rumus berikut:

i. Luas bidang diagonal 22 tlpABGH

ii. Luas bidang diagonal 22 tplBEHC

iii. Luas bidang diagonal 22 lptACGE

Jaring-Jaring Balok

Jaring-jaring balok adalah sebuah bangun datar yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis

pada dua persegi panjang yang berdekatan akan membentuk bangun balok.

Contoh jaring-jaring balok:



Volume Balok dan Luas Permukaan

Jika sebuah balok memiliki panjang (p), lebar (l) dan tinggi (t) maka volume dan luas permukaan

balok adalah

Contoh:

Sebuah balok berukuran ( ) cm. Tentukan volume dan luas permukaan balok.

Jawab

Balok berukuran ( ) cm artinya panjang = 6 cm,lebar = 5 cm, dan tinggi 4 cm.

Volume balok =

cm3

Luas permukaan balok

= *( ) ( ) ( )+

= 2{(6 5) + (5 4) + (6 4)}

= 2(30 + 20 + 24)

= 148 cm2.

Jadi, volume balok adalah cm3 dan luas permukaan balok adalah 148 cm

2.

3. Prisma

Prisma adalah suatu bangun ruang yang mempunyai sepasang

sisi sejajar dan sebangun, yang disebut alas, serta sisi-sisi lain

yang diperoleh dengan menghubungkan ujung-ujung titik

sudut dari kedua alasnya dan disebut sisi tegak. Berdasarkan

rusuk tegaknya, prisma dibedakan menjadi dua, yaitu prisma

tegak dan prisma miring. Prisma tegak adalah prisma yang

rusuk-rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang atas dan bidang

alas (gambar a). Prisma miring adalah prisma yang rusuk-

rusuk tegaknya tidak tegak lurus pada bidang atas dan bidang

alas (gambar b). Prisma miring disebut juga prisma condong.

*( ) ( ) ( )+

gambar a

gambar b



Berdasarkan bentuk alasnya, terdapat prisma segitiga, prisma segi empat, prisma segi

lima, dan seterusnya. Jika alasnya berupa segi n beraturan maka disebut prisma segi n

beraturan.

Kubus dan balok dapat dipandang sebagai prisma tegak, yaitu prisma tegak segi empat.

Setiap sisi kubus atau balok dapat dianggap sebagai bidang alas atau bidang atas, dan

rusuk yang tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang atas sebagai rusuk tegaknya.

Unsur-Unsur Prisma

a. Titik A, B, C, D, E, dan F adalah titik sudut prisma.

b. ∆ ABC adalah bidang atas prisma.

c. ∆ DEF adalah bidang alas prisma.

d. Bidang ACFD, BCFE, dan ABED adalah sisi tegak

prisma.

e. AD , CF , dan BE adalah rusuk-rusuk tegak prisma.

Jaring-Jaring Prisma

Guntinglah sepanjang rusuk-rusuk LO, OP, ON, KL, dan LM maka akan diperoleh

model jaring-jaring seperti gambar berikut.

Volume Balok dan Luas Permukaan

Contoh:

Sebuah prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku yang panjang kedua sisi siku-

sikunya 3 cm dan 4 cm. Jika tinggi prisma 8 cm, tentukan volume dan luas permukaan

prisma.

Jawab

√

√

√

√

( )

8 cm

3 cm 4 cm

8 cm



Volume prisma =

= (

) Alas prisma merupakan segitiga siku-siku

= 48

( )

= (

) (( ) )

=

= 12 + 96 = 108

Jadi, volume prisma adalah 48 cm3 dan luas permukaan prisma adalah 108 cm

2.

4. Limas

Limas adalah bangun ruang yang alasnya berbentuk segi banyak (segitiga, segi empat,

atau segi lima) dan bidang sisi tegaknya berbentuk segitiga yang berpotongan pada satu

titik. Titik potong dari sisi-sisi tegak limas disebut titik puncak limas. Seperti halnya

prisma, pada limas juga diberi nama berdasarkan bentuk bidang alasnya. Jika alasnya

berbentuk segitiga maka limas tersebut dinamakan limas segitiga. Jika alas suatu limas

berbentuk segi lima beraturan maka limas tersebut dinamakan limas segi lima beraturan.

Unsur-Unsur Prisma

a. Titik A, B, C, dan D adalah titik sudut bidang alas

limas dan titik T adalah titik puncak limas.

b. TA , TB , TC , dan TD disebut rusuk tegak limas. Jika

limas beraturan maka TA = TB = TC = TD .

c. ∆ TAB, ∆ TBC, ∆ TCD, dan ∆ TAD adalah sisi tegak limas.

Jika limas beraturan maka masing-masing sisi tegak berbentuk segitiga sama kaki

yang sama dan sebangun.

d. AB , BC, CD, dan AD adalah rusuk bidang alas limas. (Jika limas beraturan maka

AB = BC =CD= AD ).

e. TO adalah tinggi limas.

Jaring-Jaring Limas

Guntinglah sepanjang rusuk TA , TB , TC , dan TD

maka akan diperoleh bentuk jaring-jaring seperti

gambar disamping.

Volume dan Luas Permukaan Limas



Contoh:

Sebuah limas T.ABCD dengan alas berbentuk persegi dan

panjang sisinya 10 cm. Jika tinggi pada sisi tegaknya 13 cm,

hitunglah:

a. Tinggi limas

b. Volume limas

c. Luas permukaan limas

Jawab

a. Tinggi Limas = TE

√ ∆TEF merupakan segitiga siku-siku

√

√

√

Jadi, tinggi limas T.ABCD adalah 12 cm

b.

Jadi, volume T.ABCD adalah 400 cm3

c.

4 sisi tegak

Jadi, luas permukaan limas T.ABCD adalah 360 cm2.

5. Tabung

Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang berbentuk lingkaran

sebagai sisi alas dan sisi atas dan sebuah bidang lengkung yang merupakan sisi tegak

yang disebut selimut tabung.

Unsur-Unsur Tabung

a. Tabung memiliki 3 sisi, di antaranya berbentuk

bidang lengkung dan lainnya berbentuk

lingkaran.

b. Garis s disebut garis sumbu tabung atau disebut

garis pelukis atau disebut juga tinggi tabung (t).

K L

M N

s



Jaring-Jaring Tabung

Bila tabung dibuka bagian sisi atas dan sisi alasnya serta dipotong sepanjang garis lurus

AB pada selimutnya dan diletakkan pada bidang datar, maka akan didapat jaring-jaring

tabung, seperti pada gambar di atas.

Volume dan Luas Permukaan Tabung

Volume tabung dapat dinyatakan sebagai berikut.

Contoh: Ibu membuat kue keju yang berbentuk tabung seperti gambar di

samping untuk persiapan hari raya. Jika jari-jari kue adalah 10

cm dan tingginya 5 cm, carilah volume dan luas permukaan kue

di samping!

Jawab

Diameter kue (d) = 20 cm, sehingga jari-jari kue (r) =10cm.

V = (πr2 ) × t

= (3,14. 102) × 5

= 3,14.100.5 = 1.570

Jadi volume kue tersebut adalah 1.570 cm3.

V = Luas alas × t

V = (π r2

) × t

V = π r2 t

Luas permukaan tabung = luas sisi tegak + luas sisi atas + luas sisi alas

= luas sisi tegak + 2 luas sisi alas

=

= ( )



Lp= ( )

= ( )

= ( )

= 942 cm2

6. Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh suatu daerah pada bidang

datar (disebut alas) dan sebuah selimut. Kerucut dapat dibentuk dari sebuah

segitiga siku-siku yang diputar, dimana sisi siku-sikunya sebagai pusat

putaran.

Unsur-Unsur Kerucut

Sisi alas kerucut berbentuk lingkaran dan sisi tegak berupa bidang lengkung yang

disebut selimut kerucut. Jadi suatu kerucut dibatasi oleh dua sisi, yaitu sisi alas dan

selimut kerucut. Pada Gambar, t merupakan tinggi kerucut, r adalah jari-jari alas kerucut

dan s disebut garis pelukis.

Jaring-Jaring Kerucut

Bila kerucut dipotong menurut garis

pelukis s dan sepanjang alasnya, maka

didapat jaring-jaring kerucut. Jaring-

jaring kerucut tersebut terdiri dari juring

lingkaran yang berjari-jari s dan

lingkaran berjari-jari r, seperti yang

tampak pada Gambar.

Volume dan Luas Permukaan Kerucut

Pada gambar di atas, banyak sisi alas limas diperbanyak, maka bentuk limas akan

mendekati bentuk kerucut. Rumus volume limas adalah V =

.

Karena alas kerucut berbentuk lingkaran berjari-jari r maka luas alas = , sehingga

rumus volume kerucut adalah

V =

V =



Berdasarkan gambar jaring-jaring kerucut di atas maka luas permukaan dapat dihitung dengan

cara menjumlahkan luas selimut kerucut dengan sisi alas kerucut yang berbentuk lingkaran. Luas

selimut kerucut dapat dihitung dengan cara

Jadi, luas permukaan kerucut dapat dirumuskan

Contoh:

Carilah volume dan luas permukaan dari gambar kerucut berikut

Jawab

√ √ √

V =

=

cm3

( )

( )

( )

cm2

( )



7. Bola

Bola adalah himpunan semua titik dalam ruang dengan jarak tertentu

dari suatu titik tetap yang disebut pusat, dan jarak tersebut dinamakan

jari-jari. Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk. Bola

hanya memiliki satu bidang sisi yang lengkung.

Sebuah bola dapat dibentuk dari bangun setengah lingkaran yang diputar pada

garis tengahnya.

Volume dan Luas Permukaan Bola

Jika

, r adalah jari-jari dan d adalah diameter maka rumus

volume bola adalah

Dan Luas selimut atau kulit bola ( ) adalah

Contoh :

Sebuah bola memiliki jari-jari 7 cm. Hitunglah:

a. Volume bola b. Luas permukaan bola

Jawab

a.

b.

B. HUBUNGAN ANTARA UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG

Ruang adalah himpunan dari semua titik. Titik dalam ruang mempunyai lokasi yang

eksak atau pasti dan tidak bergerak. Unsur-unsur ruang adalah titik, garis dan bidang. Titik

adalah himpunan bagian yang terkecil dari ruang.



1. Hubungan Garis dan Bidang

Hubungan suatu garis terhadap suatu bidang memenuhi satu dari tiga kemungkinan

berikut.

Garis Terletak pada Bidang

Suatu garis dikatakan terletak pada bidang apabila

setiap titik pada garis tersebut terletak atau berimpit

dengan bidang. Pada gambar, garis EG terletak pada

bidang EFGH dan garis AB pada bidang ABCD.

Garis Sejajar Bidang

Suatu garis dikatakan sejajar dengan bidang apabila antara garis dan bidang tidak

mempunyai titik persekutuan (tidak pernah berpotongan). Pada gambar, garis EF sejajar

ABCD dan garis AC sejajar EFGH.

Garis Menembus Bidang

Suatu garis dikatakan menembus bidang apabila garis dan bidang tersebut mempunyai

tepat satu titik persekutuan (titik potong). Pada gambar, garis BO menembus bidang

EFGH di titik O disebut titik tembus.

2. Jarak pada Bangun Ruang

Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung kedua bangun itu

yang terpendek dan bernilai positif

Jarak Antara Dua Titik

Jarak antara dua titik adalah panjang garis yang menghubungkan

kedua titik tersebut. Perhatikan gambar disamping. Jarak P dan Q

dapat dihitung dengan membuat segitiga siku-siku dan

menggunakan rumus pythagoras. √

Contoh:

Suatu kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk dengan panjang 6 cm. Tentukan :

a. Jarak A ke D

b. Jarak F ke H

c. Jarak E ke C

Jawab :

a. Jarak A ke D sama dengan rusuk kubus = 6 cm

b. Jarak F ke H sama dengan diagonal bidang kubus, yaitu :

√ Perhatikan

√

√

√

√

P

Q O

A C

B

E

D

H

G

F

O



Jadi, jarak F ke H adalah √ cm

c. Jarak E ke C sama dengan diagonal ruang kubus, yaitu :

√ Perhatikan

√( √ )

√

√

√

Jadi, jarak E ke C adalah √ cm.

Jarak Titik ke Garis

Jarak titik ke garis adalah panjang garis yang ditarik dari suatu titik dan tegak lurus garis

tersebut.

Jarak Antara Titik dengan Bidang

Jarak antara titik dengan bidang adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang

atau panjang garis lurus dari titik ke titik proyeksinya pada bidang. Jarak sebuah titik ke

sebuah bidang adalah jarak tegak lurus dari titik ke bidang itu.

Jarak Antara Dua Garis Bersilangan

Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis

tersebut tidak sejajar dan terletak pada dua bidang

yang berbeda. Perhatikan gambar di samping,

garis AE dan BH saling bersilangan. Misal dari

kubus ABCD.EFGH akan ditentukan jarak antara

AE dan BH, langkah-langkahnya adalah sebagai

berikut.

a. Tentukan dan buat bidang yang melalui BH dan sejajar AE sehingga diperoleh

bidang BDHF,

b. Proyeksikan AE pada bidang BDHF sehingga diperoleh garis KL,

c. Jarak antara AE dan BH adalah jarak antara AE dan KL diperoleh OM atau EK atau

AL.

Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Perhatikan gambar di samping, garis AB dan DC

sejajar dan terletak pada bidang ABCD. Misalkan

garis IJ tegak lurus garis AB dan DC, dan memotong

kedua garis tersebut masing-masing di titik I dan J.

jarak antara garis AB dan CD adalah panjang ruas

garis IJ.

A

B

C

D

E

F

G

H

M

K

O

L

A C

B

E

D

H

G

F

J

I



Jarak Antara Garis dan Bidang yang Sejajar

Perhatikan gambar di samping, garis MN sejajar

dengan bidang EFGH. Tarik garis yang melalui

sembarang titik L di garis MN dan tegak lurus

bidang EFGH.

Misalkan garis tersebut menembus bidang EFGH di

L’, maka jarak antara garis MN dan bidang EFGH

adalah panjang ruas garis LL’.

Jarak Antara Dua Bidang yang Sejajar

Perhatikan gambar di samping, jarak bidang ADHE

dan BCGF yang sejajar adalah panjang ruas garis

UV, dimana U adalah titik sembarang pada bidang

ADHE dan V adalah proyeksi titik U pada bidang

BCGF.

3. Sudut

Sudut Antara Dua Garis Bersilangan

Dua garis l dan m yang saling berpotongan di titik P digambarkan seperti berikut.

Sudut Antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip

yang dibentuk antara garis dengan proyeksinya pada

bidang. Garis EG adalah proyeksi EC pada bidang

EFGH, maka sudut antara EC dan bidang EFGH

adalah .

Sudut Antara Dua Bidang

Bidang A dan bidang B membentuk sudut . Sudut yang dibentuk pada gambar di

samping dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Tandai titik potong kedua bidang, misalkan titik Q.

2. Buat garis k pada bidang A melalui titik Q dan garis

l pada bidang B melalui Q. kedua garis tegak lurus

garis potong. Diperoleh sudut antara bidang A dan

bidang B sama dengan sudut antara garis k dan

garis l.

Sudut antara garis k dan garis l disebut sudut tumpuan, sedangkan bidang yang

melalui garis k dan garis l disebut bidang tumpuan.

A C

B

E

D

H

G

F

P

Q

M

N L

L’

A C

B

E

D

H

G

F U

V

l

m

P

A

C

B

E

D

H G

F

k

A

l B

. Q



SOAL LATIHAN

1. Luas karton yang diperlukan untuk membuat sebuah kubus dengan panjang sisi 8 cm adalah

…

a. 64 cm2

b. 284 cm2

c. 256 cm2

d. 325 cm2

e. 384 cm2

2. Tempat penampung air berbentuk sebuah tabung tanpa tutup. Jika diameter alasnya

berukuran 84 cm dan tinggi tempat penampungan air tersebut 120 cm, luas permukaannya

adalah … (

)

a. 5.544 cm2

b. 11.088 cm2

c. 31.680 cm2

d. 37.224 cm2

e. 42.768 cm2

3. Dari balok ABCD.EFGH diketahui panjang balok 2 kali lebarnya dengan tingginya 6 cm.

jika volumenya 192 cm3, maka luas permukaan balok adalah ….

a. 80 cm2

b. 104 cm2

c. 108 cm2

d. 208 cm2

e. 280 cm2

4. Prisma segitiga samasisi dengan rusuk alas berukuran 14 cm dan tinggi prisma √ cm.

volume prisma tersebut adalah ….

a. 1.248 cm3

b. 1.176 cm3

c. 1.012 cm3

d. 976 cm3

e. 952 cm3

5. Diketahui prisma tegak segi empat ABCD.EFGH. Yang bukan merupakan diagonal ruang

prisma tersebut adalah …

a. AG

b. BH

c. CE

d. DF

e. BD



6. Volume sebuah kerucut 2.156 cm3 dan tingginya 10,5 cm. Luas selimut kerucut adalah ….

a. 170,5 cm2

b. 460,0 cm2

c. 580,5 cm2

d. 668,5 cm2

e. 770,0 cm2

7. Sebuah bak mandi berbentuk kubus tanpa tutup mempunyai rusuk 80 cm seperti tampak pada

gambar berikut. Jika alas dan dinding bak masing-masing mempunyai ketebalan 10 cm,

maka volume bak bila diisi air sampai penuh adalah ...

8. Luas permukaan kerucut yang diameter alasnya 14 cm dan tingginya 24 cm adalah …

a. 570 cm2 d. 682 cm

2

b. 572 cm2 e. 704 cm

2

c. 594 cm2

9. Sebuah kotak berbentuk balok dengan ukuran panjang 12 cm, lebar 8 cm, dan tinggi 6 cm.

Luas permukaan kotak tersebut adalah …

a. 216 cm2 d. 576 cm

2

b. 432 cm2 e. 596 cm

2

c. 596 cm2

10. Diketahui sebuah tabung dengan volume 18.480 cm3 dan tinggi 30 cm. Luas selimut tabung

tersebut adalah ...

a. 1.386 cm2 d. 1.200 cm

2

b. 1.748 cm2 e. 2.640 cm

2

c. 1.890 cm2

80 cm

80 cm

10 cm

a. 252.000 cm3

b. 225.000 cm3

c. 288.000 cm3

d. 500.000 cm3

e. 512.000 cm3



V E K T O R

PETA KONSEP

A. PENGERTIAN VEKTOR

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

Contohnya perpindahan, kecepatan, gaya, medan magnet,

medan listrik, dan sebagainya. Besar vektor ditunjukkan

oleh panjang ruas garis, sedangkan arah ditunjukkan oleh

arah anak panah. Gambar di samping menunjukkan

vektor atau ditulis sebagai vektor .

B. VEKTOR DI R-2 (BIDANG DATAR)

1. Lingkup Vektor

a. Modulus atau besar vector

KOMPETENSI DASAR

Menerapkan konsep vektor pada bidang datar

Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang

VEKTOR

VEKTOR DI R-2

VEKTOR DI R-3

Ruang Lingkup Vektor : 1. Modulus vektor 2. Vektor posisi 3. Kesamaan dua

vektor 4. Vektor negatif 5. Vektor nol 6. Vektor satuan

Operasi Vektor : 7. Penjumlahan vektor 8. Pengurangan vektor 9. Perkalian scalar

dengan vektor 10. Perkalian scalar dua

vektor



Jika diketahui dua titik yaitu ( ) dan ( ), maka besar dirumuskan

sebagai berikut.

| | √( ) ( )

Jika diketahui ( ), maka besar adalah sebagai berikut.

| | √

b. Vektor Posisi

Vektor yang ditarik dari titik pangkal O ke titik P

disebut vector posisi titik P dan dituliskan .

Jika koordinat titik P (x, y) maka vector

posisinya adalah : ( )

c. Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila

mempunyai besar dan arah yang sama.

d. Vektor Negatif

Vector negatif dari adalah vektor yang

besarnya sama dengan vektor tetapi arahnya

berlawanan dan ditulis .

e. Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang besar/ panjangnya nol dan arahnya tak tentu (berupa

titik). Di ruang dimensi dua vektor nol dilambangkan dengan ( ).

f. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang / besar 1 satuan. Vektor satuan

di R-2 dalam kombinasi linear hanya terdiri dari 2 vektor satuan yaitu dan masing-

masing terletak pada sumbu X positif dan sumbu Y positif.

.

2. Operasi Vektor

a. Penjumlahan dua vektor

Secara geometris penjumlahan dua vektor ada 2 aturan, yaitu :

Aturan segitiga



Aturan jajar genjang

Secara analisis penjumlahan dua vektor adalah :

Jika vektor ( ) dan vektor (

) maka (

)

Contoh :

Diketahui ( ), (

), dan (

). Hitunglah :

a.

b.

c.

Jawab :

a. ( ) (

) (

( )

) ( )

b. ( ) ( ) ( ( )

) ( )

c. ( ) (

) ( ) (

( )

( ) ) (

)

b. Selisih dua vektor

Selisih dua vektor artinya menjumlahkan vektor pertama dengan negatif vektor kedua.

Jadi, ( )

Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut :

Secara analitis jika vektor ( ) dan vektor (

) maka (

).

Contoh :

Jika vektor ( ) dan vektor (

) maka : (

) (

)

c. Perkalian vektor dengan scalar

Hasil kali vektor dengan scalar k adalah vektor yang panjangnya k kali panjang

vektor dan arahnya sama.

Jika vektor ( ) maka (

)

Contoh :



Diketahui vektor ( ), (

), dan (

). Tentukan :

a.

b.

c.

Jawab :

a. ( ) (

)

b.

( ) ( )

c.

(

)

( ) (

) (

) ( ) ( ) ( )

d. Perkalian Skalar Dua Vektor

Hasil kali scalar dari dua vektor tidak nol dan dinyatakan oleh (dibaca : dot

).

Jika ( ) dan (

), maka

Misalkan vektor dan vektor membentuk sudut , maka perkalian scalar dua vektor

didefenisikan sebagai berikut.

| || |

Dimana = sudut antara dan ( )

Hasil perkalian scalar dari dua vektor merupakan scalar, bukan vektor.

Contoh :

1. Diketahui | | cm, | | cm dan vektor dengan membentuk sudut .

Tentukanlah perkalian scalar .

Jawab :

| || | ( )( )

2. Jika ( ) dan (

), tentukanlah sudut yang dibentuk oleh vektor dan .

Jawab :

( ) | | √ √

( ) | | √ √

| || |

| || |



( )(√ )

( )( )

( )

C. VEKTOR DI R-3 (BANGUN RUANG)

Vektor di ruang 3 adalah vektor yang ditandai dengan 3 buah sumbu x, y, z yang saling tegak

lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.

Vektor dalam bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :

1) Koordinat kartesius ( )

2) Vektor kolom ( ) atau

3) Kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu:

Dengan ( ) (

) dan (

)

1. Lingkup Vektor

a. Modulus Vektor

Jika suatu vektor dengan koordinat titik ( ) dan ( ) maka

modulus/besar/panjang vektor dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B

yaitu :

| | √( ) ( ) ( )

Dan jika vektor disajikan dalam bentuk linear , maka modulus

vektor adalah :

√

Contoh :

Tentukan modulus/ besar vektor berikut :

1) dengan titik ( ) dan ( )

2)

Jawab :

1) | | √( ) ( ) ( ) √ √

2) | | √ √



b. Vektor posisi

Vektor posisi titik P adalah vektor yaitu vektor yang

berpangkal di titik ( ) dan berujung di titik ( ),

bila ditulis ( ).

c. Kesamaan Vektor

Dua vektor di ruang dimensi 3 dikatakan

sama jika mempunyai besar dan arah yang

sama.

d. Vektor Negatif

Vektor di ruang 3 yang besarnya sama

dengan vektor tetapi arahnya berlawanan

disebut vektor negatif , yang dituliskan

dengan : .

Jika vektor (

) maka (

)

e. Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang besar/ panjangnya nol dan arahnya tak tentu (berupa

titik). Vektor nol dilambangkan dengan O(0, 0, 0) atau ( ).

f. Vektor satuan

Apabila vektor di R-2 hanya terdiri dari 2 vektor satuan yaitu dan , maka vektor di

R-3 yang dinyatakan dalam kombinasi linear terdiri dari 3 vektor satuan. Vektor-

vektor , dan masing-masing terletak pada sumbu X positif, sumbu Y positif dan

sumbu Z positif.

2. Operasi Aljabar Vektor di R-3

Misalkan (

) dan (

), dan n bilangan real, operasi aljabar vektor berlaku

sebagai berikut.

a. Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponen-

komponennya.

(

) (

) (

)



b. Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor dilakukan dengan mengurangkan komponen-komponen yang

bersesuaian.

(

) (

) (

)

c. Perkalian vektor dengan scalar

Bila n adalah bilangan real, maka (

) (

)

d. Perkalian scalar dua vektor di R-3

Hasil kali scalar dua vektor dan adalah sebagai berikut.

Apabila kedua vektor dan membentuk sebuah sudut tertentu, maka perkalian

scalar dua vektor adalah sebagai berikut.

| || |

Dengan adalah sudut antara dan

Perhatikan contoh berikut.

1. Diketahui vektor-vektor ( ) , (

), dan (

). Nyatakan vektor-

vektor berikut dalam bentuk vektor kolom.

a.

b.

c.

2. Tentukan hasil perkalian scalar dari vektor

dan

3. Jika dan , hitunglah sudut antara dan

Jawab :

1. a. ( ) (

) (

)

b. ( ) (

) (

) (

) (

)

c. ( ) (

) (

) (

) (

)

2. ( ( )) ( ) ( )

3. ( ) ( ( )) ( )



| || |

| || | √ √ ( ) √ √ √

| || |

√

Jadi vektor dan membentuk sudut .



SOAL LATIHAN

1. Jika vektor = ( ), = (

), = (

) dan = - 2 + 3 , panjang vektor adalah ….

a. 12

b. 4√

c. 3√

d. 3√

e. 2√

2. Diketahui vektor-vektor, = √ √ , dan = √ √ , sudut antara

vector dan sama dengan ….

a. 30

b. 45

c. 60

d. 90

e. 120

3. Diketahui [ ], [

], c = [

], maka

a.

b.

c.

d.

e.

4. Cosinus sudut antara vektor = -i + j dan = i – 2j + 2k adalah ….

a. -1/3√

b. -½ √

c. 1/3 √

d. ½

e. √

5. Diberikan tiga vektor dan , maka

adalah….

a.

b.

c.

d.



e.

6. Diketahui vektor ( ), dan (

). Besar sudut antara dan adalah …

a.

b.

c.

d.

e.

7. Diketahui | | = 3 cm, | | = 6 cm vektor dan vektor membentuk sudut 120o maka

adalah ….

a. -9

b. -7

c. -2

d. 6

e. 9

8. Jika diketahui , , , maka vektor

( ) adalah …

a.

b.

c.

d.

e.

9. Diketahui | | = 8 cm, | | = 7 cm dan sudut antara kedua vektor tersebut 60o. Nilai dari

adalah ….

a. 30

b. 28

c. 26

d. 24

e. 23

10. Diketahui vektor dan vektor . Besar sudut antara dua vektor

tersebut adalah ...

a.

b.

c.

d.

e.



TEORI PELUANG

PETA KONSEP

A. KAIDAH PENCACAHAN, PERMUTASI DAN KOMBINASI

1. Kaidah pencacahan

Kaidah Pencacahan

Jika suatu kejadian 1 dapat terjadi dengan n1 cara, kejadian 2 dapat terjadi dengan n2

cara berlainan, kejadian 3 dapat terjadi dengan n3 cara berlainan, dan demikian

seterusnya, maka seluruh kejadian tersebut dapat terjadi dengan

cara yang berlainan.

Contoh :

Dari kota A ke kota B dapat ditempuh melalui 5 jalan. Dari kota B ke kota C dapat

ditempuh melalui 4 jalan. Dalam berapa carakah kita bisa melakukan perjalanan dari

kota A ke C dengan melewati kota B ?

Jawab :

KOMPETENSI DASAR

Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi

Menghitung peluang suatu kejadian

A C B

5 cara 4 cara

TEORI PELUANG

KAIDAH PENCACAHAN

PERMUTASI

KOMBINASI

PELUANG SUATU KEJADIAN

KEJADIAN MAJEMUK

1. Kaidah pencacahan 2. Aturan pengisian

tempat 3. Faktorial

1. Ruang sampel, titik sampel dan kejadian

2. Peluang suatu kejadian

3. Frekuensi harapan

1. Kejadian saling lepas 2. Kejadian saling bebas



Jadi banyaknya cara perjalanan dari A ke C adalah 20 cara.

Aturan pengisian tempat

Prinsip dasarnya adalah aturan pencacahan (counting rules)

Contoh :

1. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5 akan disusun bilangan yang terdiri dari 3 angka. Berapa

bilangan yang dapat dibentuk jika :

a. Angka boleh berulang

b. Angka tidak boleh berulang

Jawab :

a. Boleh berulang

5 5 5

Jadi, banyaknya susunan yang terdiri dari 3 angka yang berulang

cara.

b. Tidak berulang

5 4 3

Jadi, banyaknya susunan yang terdiri dari 3 angka yang tidak berulang

cara.

2. Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata “abstrak” jika huruf pertama

dimulai dengan huruf vokal.

Jawab :

2 6 5 4 3 2 1

Jadi, banyaknya susunan huruf dimulai vokal adalah

cara.

Faktorial (!)

Jika n adalah bilangan bulat posisi, maka n faktorial (n!) didefinisikan sebagai :

( ) ( ) ( )

Catatan:

dan

Contoh :

Tentukan nilai dari :

a. b.

c. n jika

( )

Jawab :

a.

b.

c. ( )

( ) ( )



Difaktorkan ( )( )

Karena n bilangan asli, maka dipilih n = 6

2. Permutasi

Permutasi adalah susunan beberapa elemen yang urutannya diperhatikan. Macam-macam

permutasi adalah sebagai berikut :

a. Permutasi r Unsur dari n Unsur yang Berbeda

Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah susunan dari r unsur

itu dalam suatu urutan. Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang

tersedia dinyatakan dengan notasi .

( )

Contoh :

Tersedia angka 1, 2, 3, 4 dan 5. Jika kita akan membentuk bilangan asli yang terdiri

dari 2 angka yang berbeda, tentukan banyaknya bilangan asli yang terjadi.

Jawab :

( )

bilangan

b. Permutasi yang Memuat Unsur yang Sama

Banyaknya permutasi n unsur yang memuat unsur yang sama, unsur yang

sama, unsur yang sama, dan seterusnya hingga unsur yang sama dengan

dapat ditentukan dengan rumus :

( )

Contoh :

Tentukan banyaknya permutasi huruf yang terdapat pada kata “RADAR”.

Jawab :

Pada kata RADAR terdapat 5 huruf dengan 2 huruf R dan 2 huruf A. Jadi, banyaknya

permutasi :

( )

c. Permutasi Berulang

Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap

unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut.

( )

Contoh :

Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 2 angka yang dapat disusun dari

angka-angka 1, 2, 3 dan boleh berulang.



Jawab :

Banyak bilangan yang terjadi :

d. Permutasi Siklis

Permutasi siklis dari n unsur yang berbeda memperhitungkan tempat kedudukan

unsur di lingkaran terhadap unsur lainnya sebab n unsur tersebut ditempatkan secara

melingkar. Banyak permutasi siklis dari n unsur dapat dirumuskan sebagai berikut

( ) ( )

Contoh :

Lima orang duduk dengan posisi mengelilingi meja. Berapa macam urutan duduk

yang terjadi?

Jawab :

( ) ( ) cara

3. Kombinasi

Kombinasi adalah susunan beberapa elemen yang urutannya tidak diperhatikan.

Banyaknya kombinasi dari n elemen berlainan yang diambil k elemen adalah .

Dirumuskan :

( )

Misal terdapat n unsur yang terdiri dari . Unsur ada sebanyak , unsur

ada sebanyak , unsur ada sebanyak , , unsur ada sebanyak , sehingga

. Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari

unsur , unsur , unsur , unsur dengan

. Banyak cara pengambilan adalah

Contoh :

1. Berapa banyak cara memilih 4 anggota dari 9 anggota suatu himpunan, jika :

a. Tanpa syarat apapun

b. Salah seorang harus selalu terpilih

2. Seorang petani membeli 4 ekor sapi, 3 ekor kuda, dan 2 ekor kambing dari seseorang

yang memiliki 6 ekor sapi, 7 ekor kuda, dan 10 ekor kambing. Dengan berapa cara

petani itu dapat memilih hewan-hewan tersebut?

Jawab :

1. a. Dari 9 orang akan dipilih 4 orang.

Banyak cara pemilihan 4 orang dari 9 orang adalah …

( )

cara

b. dari 9 orang akan dipilih 4 orang, tetapi seorang harus selalu terpilih, hanya akan

dipilih 3 orang lagi dari 8 orang, sehingga banyak cara pemilihan adalah :



( )

cara

2. Petani dapat memilih 4 ekor sapi dari 6 ekor sapi dengan

( )

cara

Memilih 3 ekor kuda dari 7 ekor kuda dengan

( )

cara

dan memilih 2 ekor kambing dari 10 ekor kambing dengan

( )

cara

Sehingga total cara pemilihan tersebut adalah cara.

B. PELUANG SUATU KEJADIAN

1. Ruang Sampel, Titik Sampel dan Kejadian

Ruang Sampel

Ruang sampel adalah semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

Contoh :

Suatu percobaan melantunkan sebuah dadu. Maka ruang sampelnya adalah :

* +

Titik Sampel

Titik sampel adalah tiap hasil dalam ruang sampel.

Contoh :

Pelantunan 2 mata uang logam bersama-sama, ruang sampelnya adalah :

* +, maka titik sampelnya : (AA), (AG), (GA), (GG).

Kejadian

Kejadian adalah sekelompok titik sampel yang membentuk himpunan bagian dari ruang

sampel.

Contoh :

Suatu percobaan melantunkan 2 mata uang logam bersama-sama, maka tulislah :

a. Kejadian muncul satu angka

b. Kejadian muncul dua angka

Jawab :

* +

a. Misalkan kejadian munculnya 1 angka disebut N, maka munculnya A pada titik

sampel * + dan * + .

b. Missal kejadian munculnya 2 gambar disebut M, maka mnculnya 2 angka atau AA

pada titik sampel * + dan * +

2. Peluang Suatu Kejadian



Misalkan suatu percobaan mempunyai ruang sampel yang berhingga banyaknya dan

setiap titik sampel mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka peluang

kejadian A dinyatakan dengan :

( ) ( )

( )

Dengan

P(A) = peluang kejadian A

n(A) = banyaknya anggota dalam kejadian A

n(S) = banyaknya titik sampel

peluang suatu kejadian nilainya berkisar antara 0 dan 1, ditulis ( ) . Peluang

besar kejadian bernilai 0 untuk suatu kejadian mustahil dan bernilai 1 untuk suatu

kejadian yang pasti.

Contoh :

1. Sebuah dadu dilantunkan sekali, berapa peluang munculnya angka genap!

2. Suatu kotak berisi 10 kelereng, 6 berwarna merah, dan 4 berwarna biru. Dari kotak

itu diambil 3 kelereng secara acak. Tentukan peluang terambilnya :

a. Semuanya kelereng merah,

b. 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru.

Jawab :

1. * +, maka n(S) = 6

Muncul angka genap : G = {2, 4, 6} maka n(G) = 3

Sehingga ( ) ( )

( )

2. Dari 10 kelereng, diambil 3 kelereng. Banyaknya cara pengambilan tersebut adalah :

( )

cara,

Maka ( ) .

a. Misal A kejadian terambilnya 3 kelereng merah. Diambil 3 kelereng merah dari 6

kelereng merah, banyaknya cara pengambilan adalah …

( )

cara

Maka ( )

Jadi, peluang terambilnya semua kelereng berwarna adalah

( ) ( )

( )

.

b. Misal C kejadian terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih. Diambil

dua kelereng merah dari 6 kelereng merah, maka banyaknya cara pengambilan

adalah

( )

cara



Diambil 1 kelereng biru dari 4 kelereng biru, maka banyaknya cara pengambilan

adalah

( )

cara

Jadi, banyak cara pengambilan 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru adalah

cara, sehingga ( ) .

Dengan demikian terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru adalah

( ) ( )

( )

3. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan adalah hasil kali peluang dengan frekuensi atau banyaknya percobaan.

Frekuensi harapan dinotasikan dengan , pada percobaan yang dilakukan n kali adalah

hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.

( ) ( )

C. KEJADIAN MAJEMUK

Beberapa kejadian dapat dikombinasikan untuk menghasilkan suatu kejadian baru,

kejadian baru ini disebut kejadian majemuk. Dua notasi yang biasa digunakan untuk

mengkombinasikan beberapa kejadian adalah notasi “ ” dan “ ”. Missal kejadian A dan

kejadian B, maka :

a. adalah kejadian A dan B

b. adalah kejadian A atau kejadian B

1. Kejadian Saling Lepas

Bila dua kejadian tidak dapat terjadi secara bersamaan maka dua buah kejadian itu

dikatakan saling lepas (mutually exclusive) atau saling asing (disjoint). Dua kejadian A

dan B saling lepas jika A dan B tidak memiliki titik sampel yang sama.

Peluang kejadian A dan B pada percobaan yang sama dirumuskan sebagai berikut :

( ) ( ) ( ) ( )

Pada dua kejadian yang saling lepas ( ) . Sehingga, peluang dua kejadian A

atau B yang saling lepas adalah

( ) ( ) ( )

Contoh :

Sebuah dadu dilempar satu kali, hitunglah peluang munculnya :

a. Angka ganjil atau angka prima

b. Angka ganjil atau kelipatan 4

Jawab :

* + maka n(S) = 6

a. Misal kejadian muncul angka ganjil adalah A, maka A = {1, 3, 5} sehingga n(A) = 3

Misal kejadian muncul prima adalah B, maka B = {2, 3, 5} sehingga n(A) = 3

Sehingga: * + ( )



Maka : ( ) ( ) ( ) ( )

b. Misal kejadian muncul kelipatan 4 adalah C, maka C = {4} sehingga n(C) = 1

Sehingga : ( )

Maka : ( ) ( ) ( )

2. Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian dikatakan saling bebas jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi

kejadian yang lain. Peluang dua kejadian A dan B yang saling bebas adalah

( ) ( ) ( )

Contoh :

Sebuah dadu dilempar dua kali. Berapa peluang munculnya mata dadu 3 pada

pelemparan pertama dan mata dadu 5 pada pelemparan kedua?

Jawab :

n(S) = 6

Misalkan A = kejadian munculnya mata dadu 3 pada pelemparan pertama,

( ) maka ( ) ( )

( )

Misalkan B = kejadian munculnya mata dadu 5 pada pelemparan kedua,

( ) maka ( ) ( )

( )

Karena kejadian munculnya mata dadu 3 pada pelemparan pertama dan munculnya mata

dadu 5 pada pelemparan kedua tidak saling mempengaruhi kejadian satu dengan lainnya,

maka kejadian itu saling bebas.

Jadi, peluang A dan B adalah ( ) ( ) ( )

.



SOAL LATIHAN

1. Seorang peserta ujian dapat mengerjakan 5 butir soal dari 10 butir soal disediakan dan soal

nomor 5 harus dipilih untuk dikerjakan, maka banyaknya kemungkinan rangkaian nomor

soal yang dapat dikerjakan peserta ujian sebanyak ....

a. 126

b. 210

c. 252

d. 3.024

e. 15.120

2. Dari 10 orang finalis akan dipilih 3 orang, masing-masing untuk menduduki juara I, juara II

dan juara III. Banyak susunan berbeda yang mungkin dari urutan juara tersebut adalah ....

a. 5.040

b. 720

c. 120

d. 30

e. 3

3. Terdapat ikan bandeng, ikan nila, ikan lele, dan ikan teri masing-masing telah dikemas dalam

sekantong plastik yang akan disusun berjajar pada pameran produk perikanan. Banyaknya

susunan yang dapat dibuat dari keempat jenis ikan tersebut adalah ….

a. 4

b. 8

c. 12

d. 16

e. 24

4. Banyaknya kemungkinan susunan huruf yang terdiri dari 4 huruf yang dapat dibentuk dari

kata “R A P I” adalah …

a. 4 cara

b. 8 cara

c. 16 cara

d. 24 cara

e. 32 cara

5. Dalam suatu ruang tunggu tersedia 3 kursi. Jika dalam ruang tersebut ada 7 orang, maka

banyaknya cara mereka duduk berdampingan adalah …

f. 21 cara

g. 35 cara

h. 120 cara

i. 210 cara

j. 720 cara



6. 8 orang siswa calon pengurus OSIS akan dipilih 3 orang untuk 3 jabatan yang berbeda,

banyaknya cara untuk memilih adalah ....

a. 28

b. 56

c. 336

d. 448

e. 20160

7. Terdapat buah mangga, jeruk, apel, dan salak masing-masing satu buah akan disusun

berjajar. Banyak susunan yang akan dibentuk dari buah – buahan tersebut adalah …..

a. 5

b. 6

c. 10

d. 12

e. 24

8. Dari angka – angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Akan disusun bilangan – bilangan yang terdiri

atas dua angka yang berbeda. Banyak susunan bilangan yang terjadi adalah…..

a. 36

b. 72

c. 336

d. 504

e. 720

9. Dari 8 orang siswa yang terdiri dari 5 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang

berangotakan 5 orang. Jika tim tersebut terdiri dari 3 orang putra dan 2 orang putri, maka

banyak tim yang dapat dibentuk adalah ...

a. 16

b. 21

c. 30

d. 60

e. 90

10. Jika 10 orang saling berjabat tangan, banyaknya cara jabat tangan tersebut ada ... cara

a. 10

b. 20

c. 40

d. 45

e. 50

11. Rapat dihadiri oleh sepuluh orang akan dipilih tiga orang untuk berbicara. Banyak cara untuk

memilih tiga orang tesebut adalah…..

a. 720 cara



b. 540 cara

c. 120 cara

d. 90 cara

e. 72 cara

12. Jika suatu pasangan pengantin baru merencanakan ingin mempunyai 3 anak, maka peluang

untuk mendapatkan 2 anak laki-laki dan 1 anak perempuan adalah …

k.

l.

m.

n.

o.

13. Dalam sebuah kotak terdapat 4 kelereng warna merah dan 8 kelereng warna kuning. Bila

dilakukan pengambilan 5 kelereng sekaligus, maka peluang terambilnya 2 merah dan 3

kuning adalah…..

a.

b.

c.

d.

e.

14. Peluang seorang anak balita terserang campak 0,06. Diantara 1.200 anak balita, yang

diperkirakan terkena campak adalah ...

a. 126

b. 82

c. 72

d. 18

e. 15

15. Banyaknya susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata

“BILANGAN” adalah ...

a. 10.060

b. 10.070

c. 10.080

d. 10.090

e. 10.100



16. Dua buah dadu dilempar bersama-sama sebanyak 720 kali. Frekuensi harapan muncul mata

dadu berjumlah lebih dari 10 adalah …

a. 60

b. 120

c. 180

d. 200

e. 240

17. Pada pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali, peluang munculnya mata dadu

berjumlah 2 atau 8 adalah …

a. 5/9

b. 5/36

c. 2/9

d. 1/9

e. 1/6

18. Dua buah dadu dilempar undi bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kedua mata dadu yang

muncul tidak ada yang sama adalah….

a.

b.

c.

d.

e.

Matematika Semester V -...

Documents

Transcript of Matematika Semester V -...