TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI2011Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2011Kode 315OlehTuturWidodoPetunjukA: untuknomor1sampai dengannomor16pilihsatujawabanyangtepatdenganmelingkariabjada,b,c,dataue1. Diketahui f(x) =x 1x + 1dang(x) =3x. Jumlahsemuanilai xyangmungkinsehinggaf_g(x)_= g_f(x)_adalah...a. 43d.34b. 34e. 2c.43Jawaban: cPerhatikan,f_g(x)_= f_3x_=3x 13x + 1(1)dang_f(x)_= g_x 1x + 1_=3x 3x + 1(2)olehkarenaitu,f_g(x)_= g_f(x)_3x 13x + 1=3x 3x + 1 (3x 1)(x + 1) = (3x + 1)(3x 3) 3x2+ 2x 1 = 9x26x 3 6x28x 2 = 0sehingga jika x1dan x2adalah penyelesaian dari persamaan di atas maka x1+x2=86=432. Jikasolusi dari persamaan5x+5=7xdapatdinyatakandalambentukx=alog 55makanilaiaadalah...1TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI2011a.512d.127b.57e.125c.75Jawaban: c5x+5= 7x log 5x+5= log 7x (x + 5) log 5 = x log 7 x log 5 + 5 log 5 = x log 7 log 55= x(log 7 log 5) log 55= x log_75_ x =log 55log_75_=75log 553. Diketahuia2+ b2= 1danc2+ d2= 1. Nilaiminimumdariac + bd 2adalah...a. 6 d. 3b. 5 e. 5c. 3Jawaban: cPerhatikanbahwa,(a + c)2+ (b + d)2= a2+ b2+ c2+ d2+ 2ac + 2bd = 2 + 2(ac + bd)sehingga,ac + bd =12_(a + c)2+ (b + d)2_1olehkarenaitu,ac + bd 2 =12_(a + c2+ (b + d)2)_3 3Untukmembuktikannilai minimum 3tercapai, kitapiliha=c=0, b=1dand = 1sehinggaac + bd 2 = 34. Diketahui_a + 2b + 3c = 122ab + 3ac + 6bc = 48makanilaia + b + cadalah...2TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI2011a.73d.223b.83e. 6c.103Jawaban: dMisal,x = a, y= 2bdanz= 3cmakadiperolehx + y + z= 12xy + xz + yz= 48Padahalkitatahubahwa(x + y + z)2= x2+ y2+ z2+ 2xy + 2yz + 2xz,sehinggax2+ y2+ z2=(x + y + z)2 2(xy + yz + xz)=122 96=48=xy + xz + yz.Olehkarenaituberlaku, x2+ y2+ z2 xy xz yz=0yangequivalendengan12_(xy)2+(yz)2+(zx)2_= 0 yang berakibat x = y= z. Karena x+y+z= 12makax=y=z=4. Sehinggaa=4, b=2danc=43yangberarti a + b + c=4 + 2 +43=2235. Jikaxadalahsudutlancipdengantan2x =1bdanmemenuhipersamaan2 sin2x 8 sin x = 2 cos2x 5,makanilaidari2b sin x =...a. 2 d. 32b. 3 e. 33c. 23Jawaban: bDaripers. 2 sin2x 8 sin x = 2 cos2x 5diperoleh2 sin2x 8 sin x = 2 cos2x 5 2 sin2x 8 sin x = (2 2 cos2x) 3 2 sin2x 8 sin x = 2 sin2x 3 4 sin2x 8 sin x + 3 = 0 (2 sin x 1)(2 sin x 3) = 0sehinggasin x =12atausin x =32(tidakmungkin). Olehkarenaitu,sin x =12yangberartix = 30. Karenatan2x =1bmaka2b sin x =2 sin xtan2x. Jadi,2b sin x =2 sin xtan2x=2 1239= 33TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI20116. JikaA =_2 10 4_danB=_36_makaA6B=...a. 26B d. 47Bb. 212B e. 214c. 46Jawaban: bPerhatikan,AB=_2 10 4__36_=_1224_= 4BOlehkarenaitu,A6B= 46B= 212B7. Untuk setiap x, yanggota bilangan riil didenisikan xy= (xy)2maka (xy)2(y x)2adalah...a. 0 d. 2y2b. x2+ y2e. 4xyc. 2x2Jawaban: aKarena(x y)2=_(y x)_2= (y x)2berakibat(x y)2 (y x)2= 08. Jikag(x) = (f f f)(x)denganf(0) = 0danf

(0) = 2makag

(0) =...a. 0 d. 8b. 2 e. 16c. 4Jawaban: dBerdasarkanaturanrantaikitaperoleh,g

(x) = f

__f f(x)__ f

_f(x)_ f

(x)sehinggag

(0) = f

__f f(0)__ f

_f(0)_ f

(0)yangberartig

(0) = f

(0) f

(0) f

(x) = 23= 84TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI20119. 0, 5 sin 2x_1sin x 2 sin xcos x_=...a. sin 2x d. cot 2xb. cos 2x e. sec 2xc. tan 2xJawaban: b0, 5 sin 2x_1sin x 2 sin xcos x_= sin x cos x_1sin x 2 sin xcos x_= 1 2 sin2x = cos 2x10. Jikarata- rata20bilanganbulat nonnegatif berbedaadalah20, makabilanganterbesaryangmungkinadalah...a. 210 d. 239b. 229 e. 240c. 230Jawaban: bMisal bilangan yang terbesar adalah M, maka M +(0+1+2+ +17+18) = 400.SehinggaM= 400 171 = 22911. Nilaidari3_2 +5 +3_2 5 3adalah...a. 2 d. 1.5b. 1 e. 2c. 1Jawaban: aMisal3_2 +5 +3_2 5=tmakat 3_2 +5 3_2 5=0. Olehkarenaituberlaku,t3(2 +5) (2 5) = 3t(3_2 +5)(3_2 5) t34 = 3t t3+ 3t 4 = 0 (t 1)(t2+ t + 4) = 05TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI2011Karenaakar- akart2+ t + 4=0keduanyaimajinermakadidapatt =1. Jadi,3_2 +5 +3_2 5 3 = 1 3 = 2Note: Jikaa + b + c = 0makaberlakua3+ b3+ c3= 3abc.12. Jika diketahuia2log b+b2log a = 1, dimana a, b > 0 dan a, b = 1 maka nilai a+b =...a.a2+ 1ad. a2b. 2a e. a1+2c. 2aJawaban: ca2log b +b2log a = 1 12alog b +12blog a = 1alog b +blog a = 2alog b +1alog b= 2alog2b + 1 = 2alog b (alog b 1)2= 0sehinggaalog b = 1 b = a. Jadi,a + b = 2a13. Duatitikdenganx1= adanx2=3adimanaa =0, terletakpadaparabolay=x2. Garisgmenghubungkanduatitiktersebut. Jikagarissinggungparaboladisuatutitiksejajardengangarisg,makagarissinggungtersebutakanmemotongsumbuydi...a. a2d. 4a2b. a2e. 5a2c. 2a2Jawaban: aMisal duatitiktersebutadalahAdanBmakaA=(a, a2)danB=(3a, 9a2).Sehingga gradien garis g, mg= mAB=9a2a23a + a= 2a. Misalkan pula garis singgungyangsejajar garis g adalahgaris h, makamh=mg=2a. Padahal kitatahu,mh=y

=2xuntuksuatunilai x. Dalamkasusini kitadapatx=asehinggagarishadalahgarissinggungsejajargarisgyangmelalui titik(a, a2). Sehinggapersamaangaris hadalahy =2a(x a) + a2=2ax a2. Olehkarenaitu, hmemotongsumbuy, (x = 0),dititik(0, a2)6TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI201114. Diketahui fungsi f(x)=x2 2x 5|x|. Nilai maksimumfpadainterval [5, 10]adalah...a.94d. 20b.494e. 30c. 10Jawaban: eBentukfungsipadasoaldapatkitatulismenjadi,f(x) =_x2+ 3x = (x +32)294, x < 0x27x = (x 72)2494 , x 0Olehkarenaitu,Padainterval [5, 0)fungsi f mencapai maksimumdi x= 5dengannilaif(5) = 10Padainterval [0, 10] fungsi f mencapai maksimumdi x=10dengannilaif(10) = 30Jadi,padainterval[5, 10]nilaimaksimumfungsifadalah30.15. 1 3 + 5 + 7 9 + 11 + 13 15 + 17 + + 193 195 + 197 = a. 3399 d. 3267b. 3366 e. 3266c. 3333Jawaban: d1 3 + 5 + 7 9 + 11 + 13 15 + 17 + + 193 195 + 197 = 3 + 9 + 15 + 21 + + 195=12 33(3 + 195)= 33 99= 326716. Peluangmendapatkansatukali jumlahangka7dalamtigakali pelemparanduadaduadalah...7TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI2011a.5246d.2572b.536e.125432c.2546Jawaban: dKemungkinan mendapatkan jumlah 7 yaitu (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) jadipeluanguntuksatukali lemparanadalah16. Olehkarenaitu, peluangmendapatjumlah7untuktigakalipelemparanadalah16 56 56 3 =2572[1cm]PetunjukB:untuknomor17sampainomor20pilihlaha. Jikapernyataan(1),(2)dan(3)yangbenarb. Jikapernyataan(1)dan(3)yangbenarc. Jikapernyataan(2)dan(4)yangbenard. Jikahanyapernyataan(4)yangbenare. Jikasemuapernyataanbenar17. Diketahui bahwaA, B, Cadalahtigabuahtitikyangberbedayangterletakpadakurvay=x2di managarisyangmenghubungkantitikAdanBsejajardengansumbux. Ketikaketigatitikdihubungkanakanterbentuksebuahsegitigasiku-sikudenganluasdaerahsamadengan5. AbsistitikCadalah...(1) 26(2)5(3)26(4)25Jawaban: bMisalkantitikA(a, a2)karenaABsejajarsumbuXmakakoordinattitikBadalah(a, a2). Selanjutnya misalkan koordinat C(k, k2). Perhatikan bahwa segitiga ABCpasti siku-sikudi C. GradienruasgarisBC, mBC= (a k)dangradienruasgaris AC, mAC= a +k. Karena keduanya siku-siku maka berlaku mAC mBC= 1sehinggadiperoleh (a + k)(a k) = 1ataua2k2= 1 (3)8TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI2011ApabilatCmenyatakantinggi ABCdari titikCmakadidapat tC=a2k2sehingga5 = Luas ABC=12 AB tC=12 2a (a2k2) = a(a2k2) (4)berdasarkanpers.(3)danpers.(4)diperoleha = 5. Jikanilaia = 5disubstitusikankepers.(3)diperolehk2= 24atauk = 2618. Akar-akarpersamaankuadratx2 6x + 2a 1=0mempunyai beda10. Yangbenarberikutiniadalah...(1)Jumlahkeduaakarnya6(2)Hasilkalikeduaakarnya 16(3)Jumlahkuadratakar-akarnya20(4)Hasilkalikebalikanakar-akarnya 116Jawaban: cMisalkankeduaakarnyaadalahpdanq tanpamengurangi keumumanmisalkanp > q.Berdasarkanrumusjumlahakardiperolehp + q= 6,jadipernyataan(1)benar.Karena p q= 10 maka 100 = (p q)2= p2+q22pq= (p +q)24pq= 36 4pqsehingga pq= 16. Jadi, pernyataan (2) benar yang berakibat pernyataan (4) jugabenar.Akantetapi p2+ q2=(p + q)2 2pq=36 + 32=68yangberarti pernyataan(3)salah. Sehinggapilihanyangmendekatibenaradalahc19. Diberikanprogramlinierberikut:Maksf =3x + 2ydengankendalax + y 4, ax y 0, x + 5y 20, y 0.Jikadaerahpenyelesaiannyaberbentuksegitigasiku-sikudengansiku-sikupadatitikpotonggarisx + y= 4danax y= 0,makatitik(x, y)dimanafmancapaimaksimumakanmemenuhi...(1)y + 10 = 3x(2)x + 3y= 5x y(3)2x + 7 4y(4)2y 5 + x9TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI2011Jawaban: eKarenax + y=4tegaklurusdenganax y=0makaa =1. Perhatikangambardibawahini,1 1 2 3 4 5 61234560abcABCMudahdilihat bahwaf mencapai maksimumdi B(5, 5) yangjugamudahdicekbahwasemuapernyataanbernilaibenar20. Misalkanx1danx2adalahakar- akarpersamaankuadratx2+ px + q=0yangmerupakanbilanganbulat. Jikadiketahui bahwap + q=2010makaakar- akarpersamaankuadrattersebutadalah...(1) 2012(2) 2010(3) 2(4)0Jawaban: cTanpamengurangi keumumanmisalkanx1 x2. Kitapunyax1+ x2= pdanx1x2= qsehingga,p + q= 2010 x1x2 + x1x2= 2010 x1x2x1x2 + 1 = 2011 (x11)(x21) = 2011karena2011adalahbilanganprimamakahanyaadaduakemungkinan,x11 = 1danx21 = 2011sehinggax1= 2danx2= 201210TuturWidodo PembahasanMatematikaDasarSIMAKUI2011x11 = 2011danx21 = 1sehinggax1= 2010danx2= 0Disusunoleh: TuturWidodoApabilaadasaran,kritikmaupunmasukansilakankirimviaemailketutur.w87@gmail.comTerimakasih.Myblog: http://mathematic-room.blogspot.com11