Martin_Gardner MATEMÁTICA PARA DIVERTIRSE

8/13/2019 Martin_Gardner MATEMÁTICA PARA DIVERTIRSE

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Edición Original: Dover Publications Inc.. New York,1986

Titulo original: Ehtertaíning Mathematical Puzzles

Traducción: Mirta RosenbergDiseño de Tapa: A. R.

Colección JUEGOS & Co.

Los Acertijos de Sam Loyd (vol. 1), selección y presentación de Martin Gardner

Magia Inteligente, Martin Gardner

Los Acertijos de Canterbury, Henry Ernest Dudeney

Mutemática para divertirse, Martin Gardner



MATEMÁTICAPARA DIVERTIRSE

Para Jimmy



MARTIN GARDNER

Martín Gardner nació e1 21 de octubre de 1914,

en los EEUU. Después de graduarse en filosofía,en la Universidad de Chicago, se dedicó alperiodismo. Sus trabajos abarcan la divulgacióncientífica, la critica literaria e incluso la filosofía.En 1956 Gardner inició una legendaria secciónmensual de juegos matemáticos en la revistaScientific American, que condujo por más deveinte años. Estos artículos, reunidos en unadocena y pico de libros, hacen hoy la más rica einspirada enciclopedia que existe en este campo.En temas literarios, son muy apreciados suslibros TheAnnotatedAlice y The Annotated Snark ,sobre las fantasías de Lewis Carroll. Otras dos de

sus obras que gozan de gran popularidad.Izquierda y derecha en el cosmos y La explosiónde la relatividad . discurren sobre la simetría delas leyes físicas y sobre la teoría de Einstein.



© Del texto, by Martin Gardner© De las ilustraciones, by Anthony Ravielli

© 1988, by Jaime Poniachik, DanielSamoilovich 1988, by Ediciones JuanGranica, S. A. Bertrán 107, 108023Barcelona. España

TE: 211-2112

Producido para Ediciones Juan GranicaS. A. por ADELPHI S. A Tte. Gral. J. D.Perón 2093 (1040)- Buenos Aires. TE:

953-4849

ISBN: 950-641-086-0

Queda hecho el depósito que marca la ley

11.723Impreso en Argentina - Printed inArgentina

Introducción

A1 seleccionar el material de esta colección, hehecho todo lo posible por encontrar acertijos quefueran inusuales y divertidos, que sólo requirieran el



más elemental conocimiento de matemática, peroque al mismo tiempo proporcionaran una miradaestimulante a los niveles más altos del pensamientomatemático.

Los acertijos (muchos de los cuales aparecieron

en mi columna "On the Light Side" - "Del ladoliviano" - de Science World ) están agrupadas porsecciones que se ocupan de diferentes áreas de lamatemática. Un breve comentario al principio decada sección sugiere algo acerca de la naturaleza yla importancia de la clase de matemática que debe

utilizarse para resolver los acertijos de cada sección.En las respuestas, he tratado de incluir tantosdetalles como permitiera el espacio para explicarcómo se resuelve cada problema, y señalar algunosde los invitantes senderos que se alejan de losproblemas en cuestión hacia áreas más intrincadas

de la jungla matemática.Tal vez al jugar con estos acertijos descubras

que la matemática es más divertida de lo que creías.Tal vez te hagan desear estudiar la asignatura enserio, o sientas menos vacilaciones para abocarte alestudio de una ciencia para la que se requiera cierto

conocimiento de matemática avanzada.Por cierto, nadie puede dudar hoy del enorme

valor práctico de la matemática. Sin su utilización,los descubrimientos y los logros de la cienciamoderna hubieran sido imposibles. Pero muchaspersonas no advierten que los matemáticos

verdaderamente disfrutan de la matemática. Lesdoy mi palabra de que da tanta- satisfacción resolverun problema interesante por medio del pensamiento



CONTENIDO

Introducción

I Parte ACERTIJOS ARITMÉTICOS ..................... 11

Los zoquetes de colores ................................... 13

Problema de peso ............................................ 14

La barra de plata..............................................15

Los tres gatos .................................................. 17

Los cigarrillos de la Sra. Pita .......................... 18

II Parte ACERTIJOS CON DINERO ........................... 19

El ciclomotor de segunda mano........................ 21

Bajas finanzas ................................................. 22

Nada de cambio ............................................... 24

La asignación de Beto ..................................... 25

Elige tu paga .................................................... 27

III Parte ACERTIJOS DE VELOCIDAD .................... 28

Las bicicletas y la mosca ................................. 30

El sombrero flotante ........................................ 32

Viaje de ida y vuelta ........................................ 33

La paradoja del aeroplano ................................ 34

IV Parte ACERTIJOS DE



GEOMETRIA PLANA.................................. 35

De esquina a esquina ....................................... 37

El joven hindú y el gato.................................... 38

Cortando el pastel ............................................ 40

¿Dónde va el cuadrado? ................................... 42

V Parte ACERTIJOS DE

GEOMETRÍA SÓLIDA ................................ 43

Bajo la banda ................................................... 45

La tercera línea ................................................ 46

Los cubos pintados........................................... 47

La pelota de baloncesto moteada...................... 48

VI Parte ACERTIJOS CON JUEGOS .......................... 49El círculo de monedas ...................................... 51

El zorro y el ganso ........................................... 52

Bridg-it ............................……………............. 54

Nim ..........................…………….................... 56

VII Parte ACERTIJOS DE

PROBABILIDADES ..................................... 58

Las tres monedas ............................................. 60La décima tirada .............................................. 61



Apostando a los reyes ...................................... 62

Varones contra mujeres.................................... 63

VIII Parte ACERTIJOS TOPOLÓGICOS ................... 64

Los cinco ladrillos ........................................... 66¿Adentro o afuera? .......................................... 67

Los dos nudos .................................................. 69

Dando vuelta el sweater ................................... 71

IX Parte ACERTIJOS MISCELÁNEOS ...................... 73

Los cinco tetrominós ....................................... 75

Las dos tribus .................................................. 77

Sin tiempo para la escuela................................ 79

Tiempo de tostadas........................................... 80

Las tres corbatas .............................................. 81

X Parte ACERTIJOS ENGAÑOSOS ............................ 82Acertijos engañosos.......................................... 84

Soluciones.........................................................88



PARA LEER MÁS

Acertijos FácilesMatemáticas Recreativas, Yacob Perelman. Editorial Mir,Moscú, 1965. Traducción al español de un libro delprincipal recopilador y creador de acertijos soviético.

Acertijos no tan FácilesLos Acertijos de Canterbury, Henry E. Dudeney,Granica, Buenos Aires, 1988.

Nuevos Pasatiempos Matemáticos, Martin Gardner,

Alianza Editorial. Madrid. 1972. Recopilación de lascolumnas del autor en la revista "Scientiflc American".

Los Acertijos de Sam Loyd selección de MartinGardner, Granica, Buenos Aires, 1988.



PRIMERA PARTE

ACERTIJOSARITMÉTICOS



Acertijos aritméticos

Los números que se usan para contar (1, 2, 3. 4...) sellaman enteros. La aritmética es el estudio de losenteros con respecto a lo que se conoce como las,cuatro operaciones fundamentales de la. aritmética:

adición, sustracción, multiplicación y división: (La FalsaTortuga de Lewis Carroll; como recordarán, las llamabaAmbición, Distracción, Horripilación y Deprecación). Laaritmética también incluye las operaciones de elevar unnúmero a una potencia. más alta (multiplicándolo por símismo cierto número de veces), y de extraer una raíz(descubrir un número que, si se lo multiplica por símismo cierto número de veces, igualará un númerodeterminado).

No hace falta decir que jamás aprenderás álgebra ni ninguna rama más elevada de la matemática si nosabes muy bien aritmética. Pero aun cuando nuncaaprendas álgebra, verás que la aritmética es esencial

para cualquier profesión que se te ocurra. Una camareratiene que sumar una cuenta, un agricultor debe calcularlos beneficios de su cosecha. Hasta un lustrabotas debesaber dar el vuelto correctamente, y eso es puraaritmética. Es tan importante para la vida diaria comosaber atarse los cordones de los zapatos.

Los acertijos de esta sección y de las dos que siguenno requieren otra habilidad que no sea la más simplearitmética y pensar claramente en lo que estáshaciendo.



LOS ZOQUETES DE COLORES

Hay diez zoquetes rojos y diez zoquetes azulesmezclados en el cajón del armario. Los veinte zoquetes sonexactamente iguales, salvo por el color. El cuarto estáabsolutamente a oscuras y tú quieres dos zoquetes delmismo color. ¿Cuál es el menor número de zoquetes quedebes sacar del cajón para estar seguro de que tienes unpar del mismo color?

SOLUCIÓNMucha gente, al tratar de resolver este acertijo, se dice:

"Supongamos que el primer zoquete que saco es rojo.



Necesito otro rojo para hacer el par, pero el próximo puedeser azul, y el próximo, y el próximo, y así hasta sacar delcajón los diez zoquetes azules. El siguiente zoquete tieneque ser rojo, así que la respuesta debe ser docezoquetes".

Pero este razonamiento pasa algo por alto. No esnecesario que el par sea de zoquetes rojos. Sólo esnecesario que los dos zoquetes sean de igual color . Si losdos primeros no son iguales, es seguro que el tercero seráigual a uno de los otros dos, de modo que la respuestacorrecta es tres zoquetes.



PROBLEMA DE PESOSi una pelota de basket pesa ½ kilo más la mitad de

su propio peso, ¿cuánto pesa?

SOLUCIÓNAntes de responder a este acertijo, es necesario

saber exactamente qué significa cada palabra. Porejemplo, se podría enfocar de esta manera: "La pelotade basket pesa ½ kilo. La mitad de su peso debe ser

¼ de kilo. Sumamos estos valores y obtenemos larespuesta de ½ + ¼ = ¾ de kilo."

Pero el problema consiste en descubrir el peso de lapelota, y si resulta ser de tres cuartos, entonces nopuede ser de medio kilo como se afirma al principio.Resulta claro que hay una contradicción en este

punto, así que debemos haber interpretado mal lapregunta.Hay solamente una interpretación que tiene sentido.

El peso de la pelota de basket es igual a la suma de

los dos valores: 1/2 kilo y un valor desconocido quees la mitad del peso de la pelota de basket. Estopuede representarse en una balanza de platillos talcomo se ve en la ilustración.



LA BARRA DE PLATA Un buscador de plata no podía pagar su alquiler de

marzo por adelantado. Tenía una barra de plata pura de31 centímetros de largo; de modo que hizo con su caserael siguiente arreglo: Le dijo que cortaría la barra en

pedazos más pequeños. El primer día de marzo le daría ala casera un centímetro de la barra, y cada díasubsiguiente le agregaría otro centímetro más. Ellaconservaría la plata en prenda. A fin de mes, el buscadoresperaba estar en condiciones de pagarle la rentacompleta, y ella le devolvería los pedazos de la barra de

plata.Marzo tiene 31 días, de modo que una manera de cortarla plata era dividirla en 3 1 partes, cada una de uncentímetro de largo. Pero como era bastante laboriosocortarla, el buscador deseaba cumplir el acuerdodividiéndola en el menor número posible de partes. Por

ejemplo, podía darle a la casera un centímetro el primerdía, otro centímetro el segundo día, y el tercer día podíaentregarle una parte de tres centímetros y recibir a cambiolas dos partes anteriores de un centímetro.

Suponiendo que las porciones de barra fueranentregadas y devueltas de esta manera, ve si puedes

determinar el menor número posible de partes en las queel buscador debe dividir su barra de plata.

SOLUCIÓNEl buscador puede cumplir el trato cortando su barra

de plata de 31 cm en cinco partes de 1, 2, 4, 8 y 16 cm



de longitud. El primer día le da a la casera el pedazo de1 cm, el día siguiente ella se lo devuelve y él da elpedazo de 2 cm; el tercer día él vuelve a darle el pedazode 1 cm., el cuarto día ella le devuelve ambas piezas yél le da el pedazo de barra de plata de 4 cm. Al dar y

devolver de ésta manera, el buscador puede agregar uncentímetro por día y cubrir así los 31 días del mes.La solución de este problema puede expresarse muy

simplemente en el sistema binario de la aritmética. Esun método para expresar números enteros utilizandosolamente los dígitos 1 y 0. Recientemente se ha

convertido en un sistema importante porque la mayoríade las computadoras electrónicas gigantes operan sobreuna base binaria. Así es como se escribiría el número27, por ejemplo, si usamos el sistema binario:

11011¿Cómo sabemos que éste es e127? La manera de

traducirlo a nuestro sistema decimal es la siguiente:sobre el dígito de la derecha del número binario,escribimos "1". Sobre el dígito siguiente, hacia laizquierda, escribimos "2"; sobre el tercer dígito hacia laizquierda escribimos "4"; sobre el dígito siguiente, "8", ysobre el último dígito de la izquierda, "16". (Ver lailustración). Estos valores forman la serie 1, 2, 4, 8, 16,32... en la que cada número es el doble del que lo

precede.

El paso siguiente consiste en sumar todos los valoresque estén sobre los “l” del número binario. En este caso,



los valores son 1, 2, 8, 16 (4 no se incluye porque estásobre un 0). Sumados dan 27, de modo que el númerobinario 11011 es igual a127 de nuestro sistemanumérico.

Cualquier número de 1 a 31 puede expresarse de esta

manera con un número binario de no más de cincodígitos. Exactamente de la misma manera, puedeformarse cualquier número de centímetros de plata, de1 a 31, con cinco pedazos de plata si las longitudes deesas cinco piezas son de 1, 2, 4, 8 y 16 centímetros.

La tabla siguiente consigna los números binarios para

cada día de marzo. Advertirás que para el 27 de marzoel número es 11011. Esto nos dice que los 27 cm deplata de la casera estarán formados por las piezas de 1,2, 8 y 16 cm. Elige un día al azar y advierte con cuántarapidez puedes calcular exactamente cuáles piezas deplata sumadas dan la cantidad que corresponde alnúmero del día.



LOS TRES GATOS Si tres gatos atrapan tres ratas en tres minutos,

¿cuántos gatos atraparán 100 ratas en 100 minutos?

SOLUCIÓN

La respuesta usual de este viejo acertijo es lasiguiente: si a tres gatos les lleva tres minutos atrapartres ratas, debe llevarles un minuto atrapar, cada rata. Ysi les lleva un minuto cazar una rata, entonces losmismos tres gatos cazarán 100 ratas en 100 minutos.

Desafortunadamente, no es tan simple; esa respuesta

presupone algo que por cierto no está expresado en elproblema. Supone que los tres gatos han concentrado suatención en la misma rata hasta cazarla en un minuto,para luego dedicarse en conjunto a otra rata. Perosupongamos que en vez de hacer eso cada gato caceuna rata diferente, y le lleve tres minutos atraparla. En

ese caso, tres gatos seguirían cazando tres ratas en tresminutos. Les llevaría seis minutos cazar seis ratas,nueve minutos cazar nueve ratas, y 99 minutos cazar 99ratas.

Ahora debemos enfrentar una curiosa dificultad.¿Cuánto tiempo les llevará a esos mismos tres gatoscazar la rata número 100? Si les sigue insumiendo tresminutos la cacería, entonces los tres gatos demorarán102 minutos para cazar las 100 ratas. Para cazar cienratas en cien minutos - suponiendo que sea ésa la



manera en la que los gatos cazan a sus ratas- por ciertonecesitaremos más de tres gatos y menos de cuatro.

Por supuesto, es posible que cuando los tres gatos seconcentran sobre la misma rata, tal vez puedanacorralarla en menos de tres minutos, pero nada en el

enunciado del problema nos dice de qué modo podemosmedir exactamente el tiempo que demandará esaoperación. La única respuesta correcta al problema,entonces, es ésta: la pregunta es ambigua y no puederesponderse si no se da más información acerca de la

manera en que esos gatos cazan ratas.



LOS CIGARRILLOS DE LA SEÑORAPITA

La señora Pita, una gran fumadora durante muchosaños, finalmente decidió dejar de fumar. "Acabaré losveintisiete cigarrillos que me quedan", se dijo, «yjamás volveré a fumar".

La costumbre de la señora Pita era fumarexactamente dos tercios de cada cigarrillo. No tardómucho en descubrir que con la ayuda de una cintaengomada podía pegar tres colillas y hacer otro

cigarrillo. Con 27 cigarrillos, ¿cuántos cigarrillos puedefumar antes de abandonar el tabaco para siempre?



SOLUCIONDespués de fumar 27 cigarrillos, la señora Pita

juntó las colillas necesarias para hacer 9 cigarrillos

más. Estos 9 cigarrillos dejaron colillas como parahacer otros 3; entonces con las últimas tres colillashizo el último cigarrillo. En total: 40 cigarrillos. Laseñora Pita nunca volvió a fumar: jamás logrórecuperarse de la pitada final.



SEGUNDA PARTE

ACERTIJOSCON DINERO



EL CICLOMOTOR DE SEGUNDA MANO Bill vendió su ciclomotor a Tom por $100. Después

de usarlo durante unos días, Tom descubrió que estabatan arruinado que se lo revendió a Bill por $80.

El día siguiente, Bill se lo vendió a Herman por $90.

¿Cuánto es la ganancia total de Bill?

SOLUCIONEste pequeño acertijo nunca deja de provocar

discusiones. La mayor parte de las personas adoptauna de las tres posiciones siguientes:

(1) No sabemos cuánto costó originariamente el

ciclomotor, así que después de la primera venta notenemos manera de averiguar si Bill tuvo o noganancias. Sin embargo, ya que volvió a comprarlopor $80 y lo revendió a $90, resulta claro que tuvouna ganancia de $10.

(2) Bill vendió su ciclomotor por $100 y lo volvió a

comprar por $80. Tiene ahora el mismo ciclomotormás $20 que antes no tenía, así que su ganancia esde $20. La venta siguiente no nos dice nada, porqueno conocemos el verdadero valor del ciclomotor, asíque la ganancia total de Bill es de $20.

(3) Después de que Bill vuelve a comprar elciclomotor, su ganancia es de $20 tal como se haexplicado. Ahora lo vende por $10 más de lo que pagópor él, por lo que tiene una ganancia adicional de $10.Ganancia total, entonces, $30.



BAJAS FINANZAS

"Aparentemente he girado en descubierto", dijo elseñor Green al presidente del banco, "aunque por mi vidaque no sé cómo pudo haber ocurrido. Verá,

originariamente tenía $100 en el banco. Después hiceseis extracciones. Esas extracciones suman $100, perosegún mis registros en el banco sólo había disponibles$99. Permítame que le enseñe las cifras". .

El señor Green alargó al presidente del banco una hoja

de papel en la que había escrito:

"Como ve", dijo el señor Green, "aparentemente deboun dólar al banco".

El presidente del banco observó las cifras y sonrió."Aprecio su honestidad, señor Green. Pero no nos debenada".

"Entonces, ¿hay algún error en las cifras?" "No, suscifras son correctas."

¿Puedes explicar cuál es el error?



SOLUCIONNo hay razón alguna para que el depósito original

del señor Green, de $100, deba igualar el total de las

cantidades que quedaron después de cada retiro. Essimplemente una coincidencia que el total de lacolumna de la derecha esté tan próximo a $100.

Esto se ve fácilmente si se hacen cálculos quemuestren diferentes series de retiros. He aquí dos

posibilidades:Como se ve; el total de la columna de la izquierda

debe ser siempre $100, pero el total de la columnade la derecha puede ser muy pequeño o muy grande.Suponiendo que los retiros nunca pueden ser defracciones de un centavo, trata de determinar el totalmás pequeño y el más grande que puede sumar lacolumna de la derecha.



NADA DE CAMBIO "Déme cambio de un dólar, por favor", dijo el cliente."Lo siento", dijo la señorita Jones, la cajera, después

de buscar cuidadosamente en la caja, "pero no puedohacerlo con las monedas que tengo."

"¿Puede entonces cambiarme medio dólar?" Laseñorita Jones negó con la cabeza. En realidad, dijo, ¡nisiquiera tenía para cambiar ni veinticinco, ni diez, nicinco centavos!

"¿No tiene ninguna moneda?", preguntó el cliente."Oh, sí", dijo la señorita Jones. "Tengo $1,15 en

monedas".¿Cuáles eran exactamente las monedas que había enla caja registradora?

SOLUCION

Si la señorita Jones no podía cambiar un dólar,entonces no podía haber en la caja más de un mediodolar. Si no podía cambiar medio dólar, la caja nopodía tener más de una moneda de veinticinco y nomás de cuatro de diez: Que no tuviera cambio de diezcentavos significa que no tenía más que una monedade cinco, y que no tuviera cambio de cinco centavossignifica que no tenía más que cuatro monedas de uncentavo. Así que la caja registradora no podía tenermás que:



Sin embargo, se puede dar cambio de un dólar con

estas monedas (por ejemplo, un medio dólar, unamoneda de veinticinco centavos, dos de diez y una decinco), pero sabemos que la caja registradora no puede

tener más monedas de las consignadas arriba.Sumadas dan $1,24, que es 9 centavos más que $1,15,la cantidad que la cajera dice que tiene.

Ahora bien, la única manera de juntar 9 centavos escon una moneda de cinco centavos y cuatro de uno, demodo que esas son las monedas que debemos eliminar.

Las monedas restantes -un medio dólar, una deveinticinco y cuatro de diez- no permiten dar cambio deun dólar ni de ninguna moneda más chica, y suman$1,15, así que ésta es la única respuesta del problema.



LA ASIGNACION DE BETOBeto quería que su padre le diera una asignación

semanal de $1, pero su padre se negó a darle más de 50centavos. Después de discutirlo un rato, Beto (que erabastante rápido en aritmética), dijo:

"Quiero decirte algo, papá. Supongamos que lohacemos de esta manera: hoy es primero de abril. Medas un centavo hoy. Mañana, me das dos centavos.Pasado mañana me das cuatro centavos. Cada día medas el doble de centavos que el día anterior."

"¿Por cuánto tiempo?", preguntó el padre, con

cautela."Sólo por el mes de abril", dijo Beto. "Después no tepediré más dinero durante el resto de mi vida".

"Muy bien", dijo el padre rápidamente. “¡Tratohecho!"

¿Cuál de las siguientes cifras crees que se aproxima

más a la cantidad de dinero que el padre deberá dar a

Beto durante el mes de abril?



SOLUCIÓNSi se duplica un centavo, la cifra crece despacio alprincipio, después más rápido y finalmente aumenta alos saltos. Es difícil de creer, pero si el pobre padre deBeto cumple con su palabra, ¡tendrá que pagarle a Betomás de diez millones de dólares!

El primer día el padre le da a Beto un centavo. A1 díasiguiente, dos, lo que hace un total de tres. El tercerdía da a su hijo 4 centavos, totalizando así 7. Hagamos

una tabla que cubra la primera semana:

Si la tabla continúa, se verá que el pago final delpadre, el 30 de abril, será de $5.368.709,12, es decirmás de cinco millones de dólares. Sin embargo, esaes solamente la cifra del último pago. Todavíadebemos averiguar cuánta tiene que pagar en total,

y para saberlo debemos sumar sus treinta pagos.Podemos hacerlo rápidamente utilizando el siguienteatajo:



Advierte que cada uno de los números de lacolumna de la derecha es el doble menos uno delnúmero que está en la columna central. De modoque todo lo que tenemos que hacer entonces esduplicar el último pago, lo que nos da

$10.737.418,24, después restarle un centavo, ytendremos la cifra $10.737.418,23. Esta es la cifratotal que el padre deberá aflojar si es que cumplecon su palabra.



ELIJE TU PAGA Supongamos que tienes un nuevo empleo, y el jefe

te ofrece elegir entre:a) $4.000 por tu primer año de trabajo, y un aumento

de $800 por cada año subsiguiente.

b) $2.000 por los primeros seis meses y un aumentode $200 cada seis meses subsiguientes.

¿Cuál oferta aceptarías y por qué?

SOLUCIÓNPor sorprendente que parezca, la segunda oferta es

mucho mejor que la primera. Si la aceptas, ganarás$200 más por año de lo que ganarías si aceptaras laotra. La siguiente tabla muestra tus ganancias totales,



sobre la base de ambas ofertas, para los primeros seisaños de trabajo:



TERCERA PARTE

ACERTIJOSDE VELOCIDAD



Acertijos de velocidad

Vivimos en un mundo en el que todo está enpermanente cambio, aunque de diez mil manerasdiferentes y a diferentes velocidades. El cielo puedeoscurecerse en unas pocas horas, una banana séoscurece en unos días. Los colores del empapelado sedestiñen tan lentamente que pueden pasar años antesde que advirtamos el cambio. Algunos cambios sonextremadamente irregulares, como las maneras en lasque cambias de posición mientras duermes. Otros

cambios, como los de la luna o la vibración de unátomo en una molécula, son más regulares que unreloj.

La rama de la matemática más dedicada al cambiose llama cálculo. Es imposible ser físico actualmente sinsaber cálculo, pero antes de entenderlo, debes saber

primero muchísimo acerca de la matemática de lostipos de cambios simples y regulares que puedenresolverse por medio de la aritmética común. Elejemplo más común de ese tipo de cambio es elcambio de posición que denominamos velocidadconstante. Se expresa por medio de la proporción

entre la distancia y el tiempo:

Teniendo presente esta fórmula, y con una ideaclara, tal vez puedas resolver los cuatro inusuales

problemas de velocidad que aquí te presento.



LAS BICICLETAS Y LA MOSCA

Dos muchachos en bicicleta, a 20 kilómetros dedistancia entre sí, empiezan a andar para reunirse. Enel momento en que parten, una mosca que está en el

volante de una de las bicicletas empieza a volardirectamente hacia el otro ciclista. En cuanto llega alotro volante, da la vuelta y vuela de regreso alprimero. La mosca voló ida y vuelta de volante avolante hasta que las dos bicicletas se reunieron.

Si cada bicicleta marchó a una velocidad constante

de 10 kms. por hora, y la mosca voló a una velocidadconstante de 151uns. por hora, ¿qué distancia voló lamosca?



SOLUCIÓNCada bicicleta marcha a 10 km por hora, por lo que

se reunirán, en la mitad de la distancia de veinte

kilómetros que las separa, en una hora. La moscavuela a 15 km por hora, de modo que después de unahora habrá recorrido 15 kilómetros.

Muchas personas tratan de resolver el problema de lamanera más difícil. Calculan la longitud del primerrecorrido de la mosca entre ambos volantes, después

a longitud del recorrido de regreso y asísucesivamente para recorridos cada vez más cortos.Pero ese procedimiento involucra lo que se llama lasuma de una serie infinita, y es matemática muycompleja y avanzada.



Se dice que al matemático húngaro John vonNeumann, tal vez el más grande matemático del mundocuando murió en 1957, se le planteó este problema unavez en un cocktail. Pensó un momento y luego dio larespuesta correcta. La persona que había planteado el

problema pareció un poco decepcionada. Explicó que lamayoría de los matemáticos pasaban por alto lamanera más simple de resolverlo y lo hacían por mediodel complejo proceso de sumar una serie infinita.

Von Neumann se sorprendió. "Pero si así lo resolvíyo", dijo.



EL SOMBRERO FLOTANTE Un pescador que llevaba un gran sombrero de paja

estaba pescando desde un bote en un río que fluía a unavelocidad de tres kilómetros por hora. "Creo que remarécorriente arriba unos pocos kilómetros", se dijo.

"Aparentemente, aquí no hay pique".Justo en el momento en que empezó a remar, el

viento le voló el sombrero, que cayó al agua junto albote. Pero el pescador no advirtió que su sombrero se lehabía volado hasta que no estuvo a cinco kilómetros desu sombrero, corriente arriba. Entonces advirtió lo que

había pasado, de modo que empezó a remar corrienteabajo hasta que llegó hasta el sombrero que flotaba.En aguas quietas, la velocidad con que rema el

pescador es siempre de cinco kilómetros por hora.Cuando remaba corriente arriba, lo hacía a esta mismavelocidad constante, pero por supuesto que esa no era

su velocidad con respecto a la costa del río. Por ejemplo,cuando remaba corriente arriba a cinco kilómetros porhora, el río lo llevaba corriente abajo a tres kilómetrospor hora, de modo que pasaba junto a los objetos de lacosta a sólo dos kilómetros por hora. Y cuando remabacorriente abajo, la velocidad del río combinada con su

propia velocidad lo hacía avanzar a una velocidad deocho kilómetros por hora con respecto a la costa. Si elpescador perdió su sombrero a las dos de la tarde, ¿quéhora era cuando lo recuperó?

SOLUCIÓN



Como la velocidad del río ejerce el mismo efecto sobreel bote y el sombrero, puede ignorársela completamentepara resolver este problema. En vez de pensar que elagua se mueve y que la costa permanece fija, imaginaque el agua está perfectamente quieta y que la que se

mueve es la costa. En lo que se refiere al bote y alsombrero, esta situación es exactamente igual que laanterior. Como el hombre se aleja remando cincokilómetros del sombrero, y luego recorre esos mismoscinco kilómetros de regreso, eso significa que ha remadouna distancia total de diez kilómetros con respecto al

agua.. Rema a una velocidad de cinco kilómetros porhora con respecto al agua, así que le habrá llevado doshoras recorrer diez kilómetros. Por lo tanto, recuperarásu sombrero a las cuatro de la tarde.

Esta situación es comparable a la de calcularvelocidades y distancias en la superficie de la tierra. Latierra se desplaza en el espacio, pero como esemovimiento ejerce el mismo efecto sobre todos losobjetos de la superficie, puede ignorárselocompletamente en casi todos los problemas de velocidady distancia.



VIAJE DE IDA Y VUELTA Cuando se viaja en auto, sin duda el auto viajará a

velocidades diferentes en diferentes momentos. Si ladistancia total se divide por el tiempo total de manejo, elresultado es la velocidad promedio de ese viaje.

El señor Smith quería viajar de Chicago a Detroit yuego regresar. Deseaba hacer una velocidad promediode 60 kilómetros por hora en todo el viaje de ida yvuelta. A1 llegar a Detroit descubrió que la velocidadpromedio, hasta ese momento, era de 30 kilómetros porhora.

¿Cuál debe ser la velocidad promedio en el viaje devuelta para que el promedio del viaje completo sea de 60kilómetros por hora?

SOLUCIÓNNo es necesario saber la distancia entre Chicago y

Detroit para resolver este problema. Cuando Smith llegóa Detroit, había recorrido cierta distancia y le habíansumido cierta cantidad de tiempo. Si lo que desea esduplicar su velocidad promedio, es necesario que recorrael doble de esa distancia en la misma cantidad detiempo. Resulta claro que, para lograrlo, ¡debe volver aChicago sin insumir ningún tiempo! Como eso esmposible, no hay manera en la que Smith puedaaumentar su velocidad promedio a 60 kilómetros porhora. No importa con cuánta rapidez haga el viaje de



regreso, siempre logrará un promedio menor de 60kilómetros por hora.

Será más fácil comprenderlo si atribuimos una ciertadistancia para que Smith recorra, digamos 30 kilómetrosde ida y 30 de vuelta. Como su velocidad promedio es de

30 kilómetros por hora, Smith completará la primeramitad de su viaje en una hora. Desea hacer el viajecompleto a una velocidad promedio de 60 kilómetros porhora, lo que significa que debe completar el viaje enteroen una hora. Pero ya ha usado esa hora. No importa concuánta rapidez retorne, pues el tiempo total será de más

de una hora, por lo que habrá recorrido 60 kilómetros enmás de una hora y su velocidad promedio será menor a60 kilómetros por hora.



LA PARADOJA DEL AEROPLANO Un aeroplano vuela de la ciudad A a la ciudad B, luego

regresa a A. Cuando no hay viento, su velocidad promedio atierra (velocidad con respecto a la tierra) de todo el viaje esde 100 kilómetros por hora. Supongamos que un viento

constante sopla en línea recta desde la ciudad A a la ciudadB. ¿De qué modo afectará este viento la velocidad promedioa tierra del aeroplano, suponiendo que vuela en todomomento a la misma velocidad de máquina que antes?

El señor White argumenta: "Eso no afectará en nada lavelocidad promedio. El viento aumentará la velocidad del

aeroplano durante su vuelo de A a B, pero en el viaje deregreso la disminuirá en la misma medida"."Eso suena ,razonable", asiente el señor Brown, "pero

supongamos que el viento es de 100 kilómetros por hora. Elaeroplano volará de A a B a 200 kilómetros por hora, ¡perosu velocidad de retorno será cero! El aeroplano no podrá

volver."¿Puedes explicar esta aparente paradoja?

SOLUCIÓNE1 señor White está en lo cierto al decir que el viento

aumenta la velocidad del aeroplano en una dirección tantocomo la disminuye cuando el aeroplano vuela en direcciónopuesta. Pero está equivocado cuando dice que el viento noafectará la velocidad promedio a tierra del aeroplano en elviaje de ida y vuelta.



Lo que el señor White no ha considerado es la cantidad detiempo. que el aeroplano vuela a una u otra velocidad. Elviaje de regreso, contra el viento, demorará mucho más queel viaje realizado a favor del viento. Como resultado, tomamás tiempo el vuelo a velocidad reducida, así que la

velocidad promedio con respecto a la tierra de ambosviajes será menor que si no hubiera viento. Cuanto másfuerte el viento, tanto mayor será la reducción de lavelocidad. Cuando la velocidad del viento iguala o excedea velocidad del aeroplano, la velocidad promedio delviaje completo es cero porque el aeroplano no puede

regresar.



CUARTA PARTE

ACERTIJOS DE

GEOMETRIA PLANA



Acertijos de geometríaplana

Si quisiéramos ser muy técnicos y estar actualizados,podríamos hablar de la geometría citando esta definición:

"El estudio de las propiedades invariantes de elementosdados sometidos a grupos de transformacionesespecíficas". Para comprenderla, tendrías que saber quésignifica cada una de las palabras, y algunas de ellas noson fáciles de explicar. Así que utilizaremos un enfoquemenos técnico y diremos simplemente que la geometría

estudia las dimensiones y las formas de las cosas.La geometría plana es la rama más elemental de lageometría. Se ocupa de las propiedades matemáticas deas figuras planas tales como líneas, ángulos, triángulos,cuadrados y círculos, que pueden dibujarse en una hojade papel con la ayuda de un regla y un compás. Se inició

en el antiguo Egipto, pero fueron los griegos los queprimero la convirtieron en una ciencia. Los griegosestaban interesados en la geometría plana no sóloporque fuera útil para la carpintería y la arquitectura,sino también a causa de su gran belleza. Los griegoscreían que ningún hombre podía creerse verdaderamenteeducado si no entendía algo de geometría.

Los cuatro problemas que siguen no requieren ningúnconocimiento especial de geometría plana, pero pondrána prueba tu habilidad con respecto a la clase depensamiento gráfico que tan útil resulta para resolverproblemas geométricos.



DE ESQUINA A ESQUINA

Muchas veces un problema geométrico esterriblemente difícil si se lo enfoca de maneraequivocada. Se lo enfoca de otra manera y resultaabsurdamente simple. Este problema es un caso clásico.

Dadas las dimensiones (en centímetros) que muestraa ilustración, ¿con qué rapidez puedes calcular laongitud de la diagonal del rectángulo que va de laesquina A a la esquina B?



SOLUCIÓNDibuja la otra diagonal del rectángulo e

nmediatamente verás que es el radio del círculo. Lasdiagonales de un rectángulo son siempre iguales, por lotanto, la diagonal que va de la esquina A a la B es igualal radio del círculo, ¡que mide 10 centímetros!



EL JOVEN HINDÚ Y EL GATO¿Cuántos cuadrados distintos puedes contar en el

dibujo del joven hindú con turbante?Cuántos triángulos distintos puedes contar en el dibujo

del gato?

Observa atentamente. ¡Los problemas no son tanfáciles como podría parecer!



SOLUCIÓNA1 resolver problemas de este tipo siempre es mejor

contar las figuras de algún modo sistemático. En eldibujo del joven hindú, tomemos los cuadrados por orden

de tamaño:

Los triángulos del gato pueden contarse así:



CORTANDO EL PASTEL

Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dospartes. Un segundo corte que atraviese el primeroproducirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte(ver la ilustración) puede llegar a producir siete partes.

¿Cuál es el mayor número de partes que puedes lograrcon seis cortes rectos?



SOLUCIÓNEn vez de resolver este problema por medio del ensayo

y el error, una manera mejor es descubrir la regla quenos dará el mayor número de partes que puedenobtenerse con cualquier número de cortes.

El pastel sin cortar es una sola parte, de modo quecuando se hace el corte nº 1 se suma una parte más, loque da dos partes en total.

El corte nº 2 suma dos partes más, totalizando 4.El corte nº 3 suma tres partes más, totalizando 7.Parece que cada corte suma un número de partes que

es igual al número del corte. Esto es cierto, y no resultadifícil observar por qué. Considérese, por ejemplo, eltercer corte. Atraviesa dos líneas previas. Esas dos líneasdividen a la tercera en tres secciones. Cada una de esastres secciones divide un pedazo de pastel en dos partes,de modo qué cada sección agregará un pedazo extra, yas tres secciones, naturalmente, agregarán trespedazos.

Lo mismo ocurre en el caso de la cuarta línea. Puedemarcarse de manera que cruce las otras tres líneas. Esastres líneas dividirán a la cuarta en cuatro secciones. Cadasección agrega un pedazo extra, de modo que las cuatrosecciones agregarán cuatro pedazos más. y lo mismoocurre en el caso de la quinta línea, de la sexta y detodas las que deseemos agregar. Este tipo derazonamiento, que va desde el caso particular hasta unnúmero infinito de casos, se conoce como inducciónmatemática.

Si se tiene en cuenta esta regla, resulta fácil hacer

una tabla que muestre el mayor número de partes queproducirá cada corte:



¿Cuántas partes pueden hacerse con siete cortes?Sólo tenemos que sumar 7 a 22 para saber que larespuesta es 29. La ilustración muestra cómo puede

ograrse que seis cortes produzcan 22 partes, que es larespuesta del problema original.

¿DONDE VA EL CUADRADO?Paul Curry, un mago aficionado de la ciudad de Nueva

York, fue el primero que descubrió que un cuadradopuede cortarse en unas pocas partes, y que estas partespueden reacomodarse y formar un cuadrado de lamisma medida, ¡pero con un agujero!

Hay muchas versiones de la paradoja de Curry, peroa ilustrada en las figuras 1 y 2 es la más simple de

todas. Pega una hoja de papel sobre un pedazo decartón. Dibuja el cuadrado que muestra la figura 1,después corta siguiendo las líneas para formar cincopartes. Cuando reacomodas esas cinco partes de la



manera que se ve en la figura 2... ¡aparecerá un agujeroen el centro del cuadrado!

El cuadrado de la figura 1 está compuesto por 49cuadrados más pequeños. El cuadrado de la figura 2 sólo

tiene 48 cuadrados más pequeños. ¿Cuál de loscuadrados pequeños desapareció, y dónde fue?

SOLUCIÓNA1 cambiar de lugar las dos partes más grandes, cada

uno de los cuadrados pequeños cortados por la líneadiagonal se torna un poquito más alto que ancho. Esto

significa que el cuadrado mayor ya no es un cuadradoperfecto. Su altura ha aumentado en un áreaexactamente igual al área del agujero.



QUINTA PARTE

ACERTIJOSDE GEOMETRÍA SÓLIDA



Acertijos de geometría sólida.

Cuando nos desplazamos de la geometría plana a la

geometría sólida, abandonamos el mundo chato ybidimensional de la hoja de papel o la pantalla de TVpara llegar al rico mundo tridimensional de la vidacotidiana. Nuestros cuerpos son tridimensionales.Nuestras casas son tridimensionales. Vivimos en unsólido tridimensional que es una esfera ligeramente

achatada en los polos y con levísima forma de pera.La geometría sólida estudia las formas y lasdimensiones de todas las cosas tridimensionales.

Tal vez hayas advertido que muchas figurasbidimensionales tienen primos cercanos en las tresdimensiones. Sobre el plano, el compás traza un

círculo. En el aire, si mantenemos la punta del compásen una posición fija y dejamos que la punta que tieneel lápiz oscile en todas las direcciones (o si rotamosun círculo), describirá la superficie de una esferaCuando un joven quiere describir a alguien "máscuadrado" que un "cuadrado", usa el nombre de lacontraparte tridimensional del cuadrado, y habla deun "cubo"*. El triángulo equilátero también tiene sucontraparte tridimensional, el tetraedro. Es unapirámide con cuatro caras, cada una de las cuales esun triángulo equilátero.

* N. del T. "Square" y "cube" son denominaciones despectivas que los

óvenes norteamericanos aplican a aquellos que consideran anticuados y

convencionales.



La capacidad de pensar tridimensionalmente, queos cuatro problemas de esta sección ponen a prueba,es de gran importancia en casi todas las ciencias.



BAJO LA BANDAImagina que te hallas en una esfera perfectamente lisa

tan grande como el sol. Hay una banda de acero queabraza estrechamente la esfera alrededor del ecuador.

Se agrega a esta banda un metro de acero, de manera

que se eleve de la esfera a igual altura en todo elcontorno. ¿Eso dejará la banda a una altura suficientecomo para que puedas:

(1) deslizar un naipe por debajo de ella?(2) deslizar una mano debajo de ella?

(3) deslizar una pelota de béisbol por debajo de ella?

SOLUCIÓNParece sorprendente, pero esa banda de acero,

después de que se le agregue un metro,.. ¡se alzará casi16 centímetros en todo el contorno! Por cierto que esaltura suficiente como para deslizar por debajo de ella

una pelota de béisbol.En realidad, la altura a la que se elevará la banda es lamisma independientemente del tamaño que pueda tenera esfera. Es fácil comprender porqué. Cuando la bandaestá tensa alrededor de la esfera, es la circunferencia deun círculo con un radio que es el mismo que el radio dea esfera. Sabemos, a partir de la geometría plana, que lacircunferencia de un círculo es igual a su diámetro (quees el doble de su radio) multiplicado por pi (π). Pi es3,14, un número ligeramente mayor que 3. Por lo tanto,



LA TERCERA LINEAUna línea recta se dice que es auto-congruente porque

cualquier porción de ella puede hacerse coincidirexactamente con cualquier otra porción de la mismaongitud. Lo mismo ocurre con la circunferencia de un

círculo. Cualquier parte de la circunferencia esexactamente igual que cualquier otra parte de la mismaongitud. Una línea oval no es auto-congruente porquediferentes partes de ella tienen curvaturas diferentes.Una porción de óvalo sacada de uno de los lados nocoincidirá con la porción más curvada de uno de los

extremos.Hay un tercer tipo de línea que es auto-congruentecomo la línea recta y el círculo. ¿Puedes decirme quéclase de línea es?

SOLUCIÓNComo este problema se

halla dentro de la sección degeometría sólida, tal vez hasadivinado que el tercer tipo de



ínea auto-congruente no puede dibujarse en el plano. Selama hélice circular -una línea que describe una espiralen el espacio como un sacacorchos o como las rayas delposte de la peluquería-. Si estudias la ilustración, verásque cualquier porción de esa hélice coincide con cualquier

otra porción.Hay otros tipos de hélices, pero sólo la hélice circulares auto-congruente. La hélice circular es la que describeuna espiral de ángulo constante alrededor de un cilindrode sección circular. Otras hélices son las que describenespirales alrededor de cilindros de sección no circular, y

alrededor de conos. Un resorte de colchón con forma decono es un ejemplo familiar de hélice cónica. Las hélicestienen muchas propiedades interesantes, y se las hallafrecuentemente en la física, la astronomía, la química, labiología y otras ciencias.



LOS CUBOS PINTADOSImagina que tienes una lata de pintura roja, una lata

de pintura azul y una gran provisión de cubos demadera, todos del mismo tamaño. Deseas pintar loscubos de modo que cada cara sea toda roja o toda azul.

Por ejemplo, puedes pintar un cubo todo de rojo. Elsiguiente puedes pintarlo con tres caras rojas y trescaras azules. Tal vez el tercer cubo también pueda serpintado con tres caras rojas y tres azules, pero de talmanera que no sea igual que el segundo.

¿Cuántos cubos diferentes entre sí puedes pintar de

esta manera? Dos cubos se consideran iguales si puederotarse a uno de ellos de tal manera que todas sus carassean de igual color que las caras correspondientes delotro cubo.



SOLUCIÓNPuedes pintar:1 cubo todo rojo.1 cubo todo azul.l cubo con 5 caras rojas, 1 azul.

1 cubo con 5 caras azules, 1 roja.2 cubos con 4 caras rojas, 2 azules2 cubos con 4 caras azules, 2 rojas.2 cubos con 3 caras rojas, 3 azules.Esto hace un total de diez cubos diferentes.

LA PELOTA DE BALONCESTO

MOTEADA

¿Cuál es el mayor número de puntos que puededibujarse en una pelota de baloncesto de manera tal quecada punto quede a la misma distancia de todos losdemás?

"Distancia" en este caso alude a la distancia medidasobre la superficie de la esfera. Una buena manera detrabajar sobre este problema consiste en marcar puntossobre una pelota y medir la distancia entre ellos medianteun cordón.



SOLUCIÓNNo pueden pintarse más que cuatro puntos en una

esfera si se desea que cada punto esté a la mismadistancia de todos los demás. La ilustración muestra de

qué modo están situados los puntos. Es interesanteseñalar que si dibujamos líneas rectas dentro de la esfera,que conecten los centros de los cuatro puntos, esas líneasmarcarán los bordes de un tetraedro.



SEXTA PARTE

ACERTIJOS

CON JUEGOS



Acertijos con juegos.

¿Alguna vez te detuviste a pensar que en realidad haymuchísimos juegos que son acertijos matemáticos? El ta-te-tí, por ejemplo, es matemática pura. Es un juego tansimple que no resulta difícil analizarlo exhaustivamente yconvertirse en un jugador que jamás comete un error. Ena moderna teoría de juegos, una de las ramas másmodernas de la matemática, se dice que un jugador asíuega racionalmente. Cuando dos jugadores de ta-te-tí(en la variante de anotar "cruz" o "circulo", sin mover)

uegan racionalmente, el resultado es siempre unempate.

Las damas y el ajedrez son otros dos ejemplosfamiliares de juegos matemáticos, pero hay tantasmaneras diferentes de hacer movimientos que nadie haogrado hasta ahora analizar por completo ninguno de

ambos juegos. Si dos jugadores de damas o de ajedrezuegan racionalmente, ¿el Juego terminará en un empateo acaso el jugador número 1 o el número 2 tendránalguna manera segura de ganar? Nadie lo sabe. ¡Sialguien lo supiera, las damas y el ajedrez serían dosuegos mucho menos interesantes!

Los cuatro acertijos de esta sección son cuatro juegosnovedosos que resultan fáciles de analizar y no puedenterminar en empate. Trata de jugar con algún amigo yobserva con cuánta rapidez puedes descubrir la maneraen que el primero o el segundo jugador pueden ganarsiempre si juegan correctamente.



EL CIRCULO DE MONEDAS.Para jugar a este juego, toma cualquier número de

fichas (pueden ser monedas, guijarros o pedacitos depapel) y disponlos en un círculo. La ilustración muestra elprincipio de un juego con diez monedas. Los jugadores

se turnan para sacar una o dos fichas, pero si se sacandos, éstas deben estar una junto a otra, sin que hayaentre ellas ninguna otra ficha o espacio vacío. La personaque saca la última ficha es la que gana.

Si ambos jugadores juegan racionalmente, ¿quién deos dos ganará y cuál estrategia deberá utilizar?

SOLUCIÓNEl segundo jugador, si utiliza la siguiente estrategia de

dos etapas, puede ganar siempre:1. Después de que el primer jugador haya sacado una

o dos fichas, quedará un único espacio vacío en algunaparte del círculo. El segundo jugador saca ahora una o



dos fichas del lado opuesto del círculo de modo que lasfichas queden divididas en dos grupos iguales.

2. De ahora en más, sea cual fuere la jugada que elprimer jugador haga en un grupo, el segundo jugadortomará la o las fichas correspondientes del otro grupo.

Esta estrategia se aclarará si juegas esta partidamodelo. Los números se refieren a los asignados en lalustración a cada una de las monedas.

Intenta esta estrategia al jugar con tus amigos y verásque el segundo jugador no puede dejar de ganar,ndependientemente de cuántas fichas se usen paraformar el círculo.



EL ZORRO Y EL GANSO

Este entretenido juego se juega en el tablero quemuestra la ilustración.Hay que poner dos fichas distintas entre sí en el lugar

donde está el retrato del zorro y en el que está el retratodel ganso.

Un jugador mueve el zorro, el otro mueve el ganso.Una "movida" consiste en deslizar la ficha desde unpunto hasta otro adyacente, siguiendo una línea negra.El zorro trata de capturar al ganso desplazándose haciael punto ocupado por el ganso. Eso es lo que el ganso



debe tratar de impedir que suceda. Si el zorro captura alganso en diez movimientos o menos (es decir, en diezmovimientos del zorro), gana. Si no logra capturarlo endiez movimientos, gana el ganso.

Ahora bien, si el ganso tuviera el primer turno, al zorro

e resultaría muy fácil atraparlo en la esquina inferiorzquierda del tablero. Pero en este juego el zorro siempredebe mover primero. Eso parece dar al ganso una buenaoportunidad de escapar.

¿Puede el zorro capturar siempre al ganso en diezmovimientos, si juega correctamente, o el ganso puede

escapar en todos los casos?



SOLUCIÓNEl zorro puede siempre capturar al ganso en menos de

diez movimientos. Así es como ocurre: Sus primeros tresmovimientos deben hacerlo rodear uno de los dostriángulos que se hallan en el centro del tablero. Tras

completar este circuito, es simple para él atrapar alganso en un cuadrado de la esquina antes de acabar consus diez movimientos.

El Juego siguiente es típico:



BRIDG - ITEste curioso juego fue inventado por David Gale, un

profesor de matemática de la Universidad de Brown, y seha comercializado bajo el nombre de Bridg-It. Puedeugarse en tableros de diversos tamaños. La versión que

se explica aquí es fácilmente practicable sobre un papel,con lápices de dos colores diferentes. ¡Es más divertidoque el ta-te-ti!

Supongamos que usas lápiz rojo y lápiz negro. Con elápiz negro, haz un rectángulo de 12 puntos tal como seve en la figura 1. Con el lápiz rojo, agrega doce puntos

más como se ve en la figura 2. (En la ilustración, lospuntos rojos están sombreados). La figura 2 es eltablero donde se juega la partida.

Uno de los jugadores tiene el lápiz negro, su oponente

tiene el lápiz rojo. El primer jugador traza una líneavertical u horizontal que una dos puntos adyacentes desu propio color. Después el otro jugador haceexactamente lo mismo, uniendo dos puntos adyacentes



del color que le corresponde a él. Hacen esto por turno.El negro trata de formar un camino continuo de líneasdesde la fila superior de puntos negros hasta la filanferior. Este amino no tiene que ser recto, puede viraren cualquier dirección siempre y cuando una lados

opuestos del tablero. El rojo trata de formar un caminosimilar desde la columna izquierda de puntos rojos hastaa derecha. Por supuesto que cada uno de ellos utilizatambién sus líneas para bloquear el camino del otrougador.El jugador que complete

primero el camino es elganador. La figura 3 muestrael final de una partida típica.El rojo (cuyas líneas son depuntos) ha ganado. El juegono puede terminar en empate.¿Quién ganará con seguridad,si juega racionalmente, elprimero o el segundo jugador?



SOLUCIÓNHay ciertas movidas de apertura que aseguran la

victoria al primer jugador. Una de estas movidasconsiste en conectar los dos puntos más próximos alcentro del tablero. Hay demasiadas alternativas de

uego como para discutirlas todas aquí, pero estemovimiento, con sucesivas jugadas cuidadosas, haráque el primer jugador gane.

Existe un modo interesante de probar que el primerugador, independientemente de las dimensiones deltablero, puede ganar -siempre si juega correctamente:

Es así:(1) Supongamos, sólo para divertirnos, que elsegundo jugador tiene una estrategia segura paraganar.

(2) El primer jugador traza su primera línea encualquier parte. Entonces, después de que el segundougador ha trazado su línea, el primer jugador finge serel segundo jugador, y juega con su estrategia ganadora.

(3) La línea que el primer jugador trazó en su primermovimiento no puede entorpecer su estrategia ganadora.Si esa línea no forma parte de su estrategia, entonces notiene ninguna importancia. Si forma parte de laestrategia, entonces cuando llegue el momento detrazarla, lo que el primer jugador hace es trazar su líneaen otra parte.

(4) Por lo tanto, el primer jugador puede ganarsiempre.

(5) Pero esto contradice nuestra primera suposición,que afirmaba que el segundo jugador podía ganar. En

consecuencia, esa suposición era errónea.



(6) El juego no puede terminar en empate, de modoque si no existe una estrategia ganadora para el segundougador... ¡debe existir una para el primer jugador!Esta prueba, que es aplicable a otros juegos además

del Bridg-It, es una prueba famosa de la teoría de juegos

porque demuestra que existe una estrategia ganadorapara el primer jugador, en un tablero de cualquiertamaño, pero no explica cuál es esa estrategia. Laprueba no es fácil de comprender cuando se la explicatan sumariamente como aquí, pero si la piensascuidadosamente, acabará por resultarte clara. Los

matemáticos la llaman prueba de existencia porquedemuestra que algo existe sin decir cómo descubrirlo.En este caso, el tipo de razonamiento utilizado se

conoce como reductio ad absurdum, que es la expresiónatina por "reducción al absurdo". Se demuestra que unade dos cosas debe ser verdadera, se supone que una deellas es verdadera, pero eso conduce a un absurdoógico, por lo cual la otra. cosa debe ser la verdadera. Eneste caso la prueba se desarrolla de la siguiente manera:(1) uno de los dos jugadores debe ganar, (2) se suponeque es el segundo jugador el que puede ganar siempre,(3) esto conduce a una contradicción lógica, (4) enconsecuencia, es el primer jugador el que puede ganarsiempre.

Es ésta una poderosa forma de demostración que losmatemáticos usan con frecuencia.



NIMDistribuye nueve monedas en tres filas como se ve en

a ilustración. Los jugadores, por turnos, deben sacar unao más monedas siempre que todas pertenezcan a lamisma fila. Por ejemplo, un jugador podría sacar una

moneda de la fila superior, o todas las monedas de la filanferior. La persona que se ve obligada a tomar la últimamoneda, pierde.

Si el primer jugador hace un primer movimientocorrecto, y si sigue racionalmente, puede ganar siempre.Si no hace ese primer movimiento correcto, su oponente,

ugando racionalmente, puede ganar en todos los casos.

¿Puedes descubrir cuál es ese primer movimiento?



SOLUCIÓNLa única manera en la que el primer jugador puede

estar seguro de que ganará es sacando tres monedas dea fila inferior en su primer movimiento.

Cualquier partida que deje uno de los siguientes

esquemas de monedas, ganará con toda seguridad:1. Una moneda en cada una de las tres filas.2. Dos monedas en cada una de dos filas.3. Tres monedas en cada una de dos filas.

4. Una moneda en una fila, dos en otra, tres enuna tercera.

Si tienes presente estos cuatro esquemas ganadores,podrás derrotar a un jugador inexperto cada vez que tetoque mover primero, así como cada una de las vecesque él mueva primero y no haga el movimiento correctode apertura. Nim puede jugarse con cualquier número defichas dispuestas en cualquier número de filas. El juegoha sido completamente analizado por medio de lautilización del sistema binario de la aritmética.

Se creyó en una época que era de origen chino, pero elnombre "Nim" le fue dado en 1901 por Charles LeonardBouton, un profesor de matemática de la universidad deHarvard, que fue el primero en realizar su análisiscompleto. "Nim" es una palabra inglesa obsoleta quesignifica "robar o llevarse".



SEPTIMA PARTE

ACERTIJOS DEPROBABILIDADES.



Acertijos de probabilidades.Todo lo que hacemos, todo lo que ocurre a nuestro

alrededor, obedece a las leyes de las probabilidades. Nopodemos escaparnos de ellas, de la misma manera queno podemos escaparnos de la ley de gravedad. Suena elteléfono. Lo contestamos porque pensamos que alguienha discado nuestro número, pero siempre existe unaposibilidad de que el que llama haya discado el númeroequivocado por error. Abrimos un grifo porque creemosque es probable que de él salga agua, pero tal vez nosalga. "La probabilidad", dijo una vez un filósofo, "es la

guía de la vida". Somos todos jugadores que pasamospor la vida haciendo incontables apuestas acerca de losresultados de incontables acciones.

La teoría de las probabilidades es esa rama de lamatemática que nos dice cómo estimar los grados deprobabilidad. Si es seguro que un acontecimiento se

producirá, su grado de probabilidad es 1. Si es seguroque no se producirá, su grado de probabilidad es 0.Todas las otras probabilidades que se sitúan entre 1 y 0se expresan con fracciones. Si es tan probable que unacontecimiento se produzca como que no se produzca,decimos que su grado de probabilidad es 1/2. En todos

os campos de la ciencia se utiliza la estimación deprobabilidades. Un físico calcula el probable trayecto deuna partícula. Un genetista calcula las probabilidades deque una pareja tenga un hijo de ojos azules. Lasaseguradoras, los comerciantes, los agentes de bolsa, lossociólogos, los políticos, los expertos militares... todos

ellos deben ser expertos en calcular la probabilidad de lossucesos que les conciernen.



LAS TRES MONEDASJoe: «Voy a arrojar tres monedas al aire. Si todas caen

cara, te daré diez centavos. Si todas caen cruz, te darédiez centavos. Pero si caen de alguna otra manera, tú medas cinco centavos a mí."

Jim: "Déjame pensarlo un minuto. A1 menos dosmonedas tendrán que caer igual porque si hay dosdiferentes, la tercera tendrá que caer igual que una deas otras dos. (Ver el problema de los zoquetes decolores de la primera sección de este libro). Y si hay dosguales, entonces la tercera tendrá que ser igual o

diferente de las otras dos. Las probabilidades estánparejas con respecto a que la tercera moneda sea igual odiferente. Por lo tanto, hay las mismas probabilidades deque las monedas muestren el mismo lado, como que no.Pero Joe está apostando diez centavos contra cinco queno serán todas iguales, de modo que las probabilidades

están a mi favor. ¡Bien, Joe, acepto la apuesta!"¿Fue bueno para Jim haber aceptado la apuesta?

SOLUCIÓNNo es muy bueno para Jim haber aceptado esa-

apuesta. Su razonamiento de la situación escompletamente erróneo.



Para descubrir las probabilidades de queas tres monedas caigan de la mismamanera o no, primero debemos consignartodas las maneras en las que las tresmonedas pueden caer. Hay ocho maneras,

que se ven en la ilustración. Con una Aestá indicado "cara" y con una Z, "cruz".Cada una de estas maneras tiene tanta

probabilidad de darse como cualquiera deas otras. Advierte que sólo dos de ellasmuestran todas las monedas iguales. Esto

signiflca que las probabilidades de que todas lasmonedas caigan iguales son de dos sobre ocho, ó 2/8,fracción que puede simplificarse a 1/4.

Hay seis maneras en las que las monedas pueden caersin ser iguales. Por lo tanto, las chances de que estoocurra son de 6/8 ó 3/4.

En otras palabras, Joe espera, a la larga, ganar tresveces de cada cuatro. Por esas veces, Jim tendrá quepagarle quince centavos.. Pero la vez que Jim ganará,Joe le pagará diez centavos. Esto da a Joe un beneficiode cinco centavos cada cuatro tiros -buen beneficio si laapuesta se repite varias veces.



LA DECIMA TIRADAUn dado común (como los que se usan en juegos de

azar) tiene seis caras, de modo que la probabilidad deque aparezca alguna de ellas es uno sobre seis, ó 1/6.Supongamos que tiras un dado nueve veces. Cada una

de ellas cae con la cara del 1 hacia arriba.¿Cuál es la probabilidad de que la cara del l vuelva a

aparecer en la tirada siguiente? ¿Es más de 1/6 o siguesiendo 1/6?

SOLUCIÓNSi sabemos positivamente que el dado no está cargado,

entonces no importa cuántas veces se lo tire ni qué es loque aparece, la probabilidad de la siguiente tirada seguirásiendo de 1/6 para cada una de las seis caras. ¡Un dado notiene manera de recordar las tiradas anteriores!



A mucha gente le resulta difícil creerlo. Toda clase denecios sistemas para jugar a la ruleta y otros juegos deazar se basan en la superstición de que cuanto másfrecuentemente algo ocurre por azar, menos probable seráque se repita. Los soldados, durante la Primera Guerra

Mundial, pensaban que si se escondían en los agujerosrecientemente hechos por las granadas estarían másseguros que si se ocultaban en los viejos, porque,razonaban, era poco probable que una granada explotarados veces en el mismo sitio en tan poco tiempo. Una madrecon cinco hijos, todas nenas, cree que las probabilidades de

que el próximo sea varón son mejores de 1/2. Estascreencias son infundadas.Ahora veamos la otra cara de la cuestión. Al arrojar un

dado real, es difícil estar seguro de que no es un dadocargado, o tal vez controlado por imanes ocultos. De modoque si en las primeras nueve tiradas nos sale un as,tenemos buenas razones para sospechar que ese dado es loque las estadísticas llaman un dado tendencioso. Por lotanto, ¡la probabilidad de que salga otro as en la décimatirada es mayor que 1/6!



APOSTANDO A LOS REYESHay seis naipes boca abajo en la mesa. Te han dicho

que dos y sólo dos entre ellos son reyes, pero no sabesen qué posición están.

Eliges dos cartas al azar y las pones boca arriba.

¿Qué es más probable?(1) Que haya al menos un rey entre esas dos cartas(2) Que no haya ningún rey entre esas dos cartas

SOLUCIÓNPara resolver este problema, numeremos los seis

naipes de 1 a 6, y supongamos que los naipes 5 y 6 sonos dos reyes.

Hagamos ahora una lista de las diferentescombinaciones de dos cartas que pueden resultar de la

elección. Hay 15 combinaciones posibles:



Advierte que los reyes (naipes 5 y 6) aparecen en

nueve de los 15 pares. Como un par es tan probablecomo-otro, esto signiflca que, a la larga, sacarás un reyen nueve de cada quince intentos. En otras palabras, laprobabilidad de sacar un rey es de 9/15, una fracciónque puede simplificarse a 3/5. Por supuesto, esto esmejor que 1/2, de modo que la respuesta es que es másprobable que uno saque al menos un rey y no ninguno.

¿Cuáles son tus probabilidades de sacar ambos reyes aldar vuelta dos naipes? Sólo una de las quincecombinaciones contiene a ambos reyes, de modo que larespuesta es 1 / 1 5.



VARONES CONTRA MUJERES.George Gamowy Marvin Stern, en su estimulante

ibrito, Puzzle-Math, cuentan acerca de un sultán quepensó en aumentar el número de mujeres de su país, conrespecto al número de hombres, para que los hombres

pudieran tener harenes más grandes. Para lograr supropósito, formuló la siguiente ley: en cuanto una madrede a luz su primer hijo varón, se le prohibirá tener másniños.

De esta manera, argumentaba el sultán, algunasfamilias tendrían varias mujeres y sólo un varón, pero

ninguna familia podría tener más de

un varón. No pasaría mucho tiempo sin que el númerode mujeres fuera mayor que el de varones.

¿Crees que la ley del sultán dará resultados?

SOLUCIÓN



No, la ley del sultán no dará resultados. Obedeciendoas leyes del azar, el primer niño recién nacido a todasas mujeres tendrá tantas posibilidades de ser varóncomo de ser mujer. Las madres de varones no tendránmás hijos. Las madres de mujeres tendrán entonces sus

segundos hijos, y otra vez la probabilidad se repartiráequitativamente entre mujeres y varones. Una vez más,as madres de varones no podrán tener más hijos, y lasotras, madres de mujeres, tendrán una terceraoportunidad. En cada una de esas oportunidades, lacantidad de mujeres tenderá a ser igual que la cantidad

de varones, de modo que la proporción existente entrevarones y mujeres jamás cambiará. “Ya ven”, escriben Gamow y Stern en la respuesta que

dan al problema del sultán, “que la proporción semantiene. Como en cada turno de nacimientos laproporción de varones y mujeres es de uno a uno,cuando se suman los resultados de todos los turnos, seobservará que esa proporción sigue siendo de uno auno.”

Pos supuesto que mientras todo esto ocurra, las niñascrecerán y se convertirán también en madres, pero a ellasse les aplica de todos modos la misma argumentación.



OCTAVA PARTE

ACERTIJOSTOPOLOGICOS



Acertijos topológicos.La topología es una de las ramas más nuevas y

complejas de la geometría moderna. Algunas de suscuriosas figuras - superficies de un solo lado, botellascerradas sin "adentro", tubos interiores que se dan vueltacomo un guante- son tan extrañas que parecen haber sidonventadas por escritores de ciencia ficción y no pormatemáticos de mente sobria.

¿Qué es la topología? Es el estudio de propiedades quepermanecen invariables independientemente de la maneraen la que se retuerza, extienda o comprima una figura. Para

un topólogo, un triángulo es lo mismo que un círculoporque si imaginamos que ese triángulo está hecho conhilos, podemos con toda facilidad estirar ese hilo hastaformar un círculo. Supongamos que tenemos un anillo (untopólogo lo llama toro) hecho de una sustancia plástica quepuede moldearse de cualquier manera que se nos antoje,

pero que no se pega ni puede romperse. Puedes pensar queno quedará ninguna característica original del anillo si loestiramos, lo doblamos y deformamos lo suficiente. Perohay muchas características que sobrevivirán. Por ejemplo,siempre tendrá un agujero. Esas propiedades invariablesson las propiedades topológicas. No tienen nada que ver

con el tamaño, ni con la forma en el sentido en el quehabitualmente se entiende la forma. Son las más profundasde todas las propiedades geométricas.

Hay muchos acertijos de naturaleza topológica. Lossiguientes son cuatro de los mejores.



LOS CINCO LADRILLOS.Este es uno de los más antiguos y famosos acertijos

topológicos. Es posible que tu abuelo haya intentadoresolverlo en la escuela mientras se suponía queestudiaba su libro de historia. Sin embargo, no hay ni

una persona entre mil que sepa con seguridad si puede ono resolverse.

El problema es éste: ¿Puedes dibujar el diagrama de lafigura 1 con tres trazos? No se permite pasar dos vecespor la misma línea. Es fácil dibujar toda la figura salvo unpequeño segmento (se muestran algunos intentos en la

figura 2), pero, ¿es posible dibujar toda la figura con trestrazos? Si no es posible, ¿por qué?El acertijo es topológico porque las dimensiones y

formas reales 'de los ladrillos no tienen importancia. Porejemplo, si distorsionamos la figura tal como sé ve en lafigura 3, el problemasigue siendo exactamente el mismo.

Cualquier solución para la figura 1 sería también una

solución para la figura 3, y viceversa.

SOLUCIÓN



Es imposible dibujar los cinco ladrillos contres trazos; hay una manera simple deprobarlo. Cuando tres segmentos de línease reúnen en un punto, como lo muestra lafigura 4, es obvio que ese punto debe señalar el final al

menos de un trazo. También podría ser el final de trestrazos, pero eso no nos interesa. Sólo nos importa elhecho de que al menos una línea debe terminar en-elpunto P de la ilustración.

Cuenta el número de puntos de la figura 1, quemuestra los ladrillos, donde se unen tres segmentos de

íneas. Hay ocho puntos de ésos. Cada uno de ellos debeseñalar el final de al menos un trazo, de modo que lafigura completa contiene como mínimo ocho finales detrazos. Ningún trazo puede tener más de dos extremos,por lo que la figura no puede dibujarse con menos decuatro trazos.

Este es un ejemplo simple de lo que los matemáticoslaman una prueba de imposibilidad. Con muchafrecuencia, en la historia de las matemáticas, sedesperdicia una gran cantidad de tiempo intentandoresolver un problema, como el de trisecar un ángulo consólo un compás y una regla, que no tiene solución. Poreso es muy importante investigar las pruebas demposibilidad. Otro excelente ejemplo de ese tipo deprueba se encontrará en el acertijo de los cincotetrominós de la sección siguiente.



¿ADENTRO O AFUERA?Uno de los teoremas fundamentales de la topología es

el teorema de la curva de Jordan (Así llamado por elmatemático francés - Camille JordaN). Este teoremapostula que cualquier curva simple cerrada (una curva

unida en los extremos y que no se cruza a sí misma).divide la superficie del plano en dos regiones, un adentroy un afuera (figura 1). El teorema parece bastante obvio,pero en realidad es de difícil demostración.

Si trazamos una curva simple cerrada muy sinuosa,como la que muestra la figura 2, no es fácil decir denmediato si cierto punto, como el señalado por medio de



a crucecita, está adentro o afuera. Por supuesto quepodemos descubrirlo si seguimos con un lápiz el trayectodesde este punto hasta el borde de la curva para ver siconduce o no afuera.

La figura 3 muestra sólo una pequeña porción interior

de una curva simple cerrada. El resto de la curva, por loscuatro lados, está oculta a la vista por hojas de papel, demodo que no hay manera de seguir con el lápiz eltrayecto que va desde las regiones visibles hasta el bordede la curva, para ver si conduce o no afuera. Se nos diceque la región marcada como A está adentro de la curva.

¿La región B está adentro o afuera, y cómo lo sabes?

SOLUCIÓNLa región B está adentro.Esto puede decirse a causa de otro interesante

teorema acerca de las curvas simples cerradas. Todas lasregiones de "adentro" de esas curvas están separadasentre sí por un número par de líneas. Lo mismo es ciertoen el caso de todas las regiones de "afuera". Y cualquierregión de adentro está separada de cualquier región deafuera por un número impar de líneas. El cero seconsidera número par, de modo que si no hay líneasentre dos regiones, por cierto que éstas serán parte delmismo "lado", y nuestro teorema seguirá siendo válido.

Cuando pasamos de cualquier parte de la región A acualquier parte de la región B, por cualquier camino,

cruzamos un número par de líneas. En la figura 4 semuestra uno de esos caminos por medio de una línea depuntos. Como ves, cruza cuatro líneas, un número par.



LOS DOS NUDOSActualmente mucha gente sabe qué es la cinta de

Moebius. Es una cinta de papel retorcida media vueltaantes de pegar los extremos, como muestra la figura 1.

Tiene un solo lado y un solo borde.Mucha gente sabe también que si uno trata de cortar

una cinta de Moebius por la mitad, cortando a lo largo porel medio de la cinta, no se formarán dos cintas como unoesperaba que ocurriera. Se abre en una cinta larga. Y si

se empieza a cortar a un tercio del borde, puede cortarsedos veces alrededor de la cinta para lograr una cinta largaque tiene unida a ella, como un eslabón, otra más corta.

Si la cinta se retuerce dos medias vueltas antes deengomar los extremos (figura 2), un corte por el medio darádos cintas del mismo tamaño, pero enlazados. ¿Qué ocurre

si cortas una cinta retorcida tres medias vueltas? (figura 3).Esta vez obtendrás una cinta larga con un nudo! (figura 4).



Hay dos maneras de hacer una cinta con un retorcimientode tres medías vueltas. Podemos retorcerla en el sentido deas agujas del reloj o en sentido opuesto a las agujas delreloj. En ambos casos, si cortamos la cinta, formamos unnudo. Ahora la pregunta: ¿son esos dos nudos exactamente

guales?

SOLUCIÓN

A primera vista, se puede suponer que los dos nudos songuales, pero si se los examina con mayor detenimiento, seadvertirá una curiosa diferencia. Un nudo es la imagen en



espejo del otro. No importa cómo tratemos de alterar laforma de un nudo, jamás lograremos que sea exactamentegual al otro.

Las estructuras geométricas que no son idénticas a susmágenes especulares son llamadas asirnétricas. Cuando

hicimos las dos cintas, retorciendo una en una dirección y laotra en dirección opuesta, formamos dos cintas asimétricas,cada una de las cuales es la imagen especular de la otra.Esta asimetría pasa a la asimetría de los dos nudos queresulten al cortarlas.

Estamos tan habituados a atar nudos de la misma manera

que no advertimos que hay dos modos muy diferentes deatarlos. Tal vez las personas zurdas tienden a atarlos de unamanera y las diestras de otra manera. Si es así, SherlockHolmes hubiera tenido una buena manera de deducir, apartir del modo en que el criminal ató a su víctima, si esecriminal era zurdo o diestro.



DANDO VUELTA EL SWEATER.Imagina que tienes las muñecas atadas con un pedazo

de soga, tal como se ve en la ilustración, y un sweater decuello cerrado.

¿Hay alguna manera de que puedas quitarte el

sweater, darlo vuelta del revés y volvértelo a poner?Recuerda que el sweater no tiene botones y que nopuedes cortar ni desatar la soga.



SOLUCIÓNSí, el sweater puede darse vuelta del revés de la

siguiente manera:(1) Pásalo por encima de tu cabeza, volviéndolo del

revés mientras lo haces y déjalo colgar, al revés, sobre la

soga, como se ve en la figura 1.(2) Vuelve a dar vuelta el sweater pasándolo por unade las mangas. Ahora cuelga de la cuerda con el ladobueno para afuera (figura 2).

(3) Vuelve a ponértelo pasándolo por la cabeza.,nvirtiendo todas las acciones que te permitieron

quitártelo. Esto vuelve a dejar el sweater del revés, y teo deja puesto con el lado interno hacia afuera.Antes de intentarlo, ve si puedes visualizar el proceso

mentalmente. Si tu sweater tiene la inicial de tu escuelacosida en la parte delantera, ¿esta letra te tocará elpecho o la espalda cuando hayas acabado con los trespasos?



NOVENA PARTE

ACERTIJOSMISCEILÁNEOS



Acertijos misceláneos.Hay tantas ramas diferentes de la matemática que, si

ncluimos un problema extraído de cada una de ellas,este libro sería cincuenta veces más extenso de lo quees. Los cinco acertijos siguientes no corresponden muybien a ninguna de las secciones previas, pero sencluyen aquí porque son especialmente interesantes yporque introducen importantes ideas matemáticas.

El primer acertijo involucra una rama de la geometríalamada geometría combinatoria. Demuestra cómo haceruna suerte de acertijo de encastre que ha despertado el

nterés de muchos matemáticos de primer nivel. Elsegundo y el quinto acertijos involucran la lógica. Desdea época de Aristóteles hasta hace un siglo, la lógica eraconsiderada parte de la filosofía; ahora se la considerael estudio de las leyes más fundamentales de lamatemática. El tercer acertijo señala una divertida

trampa del campo de la matemática llamado estadísticaEl cuarto acertijo demuestra de qué modo el

razonamiento matemático puede incrementar confrecuencia la eficiencia del trabajo, incluso del trabajo deuna persona que está tomando el desayuno.Actualmente, la aplicación de la matemática a la

ndustria y a la estrategia bélica, para lograr que seanmás eficientes, es conocida con el nombre deinvestigación operativa. Es uno de los campos de lamatemática que se desarrolla con mayor rapidez.



LOS CINCO TETROMINOS.Dibuja las cinco formas que muestra la figura 1 sobre

un papel rígido o sobre cartón, y recórtalas. ¿Puedesacomodarlas como para formar el rectángulo de 4 x 5que aparece en la figura 2? Las piezas pueden rotarse y

ponerse con cualquier lado hacia arriba.

Esas cinco formas se llaman tetrominós. Un dominóse forma juntando dos cuadrados pequeños. Lostetrominós se forman con la unión de cuatro cuadradospequeños. Las formas constituidas por tres cuadrados selaman triminós, y las que están constituidas por cincocuadrados se llaman pentominós.

El nombre general de esas formas es poliominós. Haycientos de acertijos interesantes que se basan en ellas.



SOLUCIÓNNo hay manera de resolver este acertijo. Tal vez te

convenciste de ello después de haber intentado muchotiempo formar el rectángulo, pero sin ningún éxito. Sinembargo, un matemático jamás se contenta con la

simple sospecha de que algo es imposible. Quiereprobarlo. En este caso, hay un mediosorprendentemente simple de hacerlo.

Primero colorea los pequeños cuadrados delrectángulo de modo que parezca un tablero de ajedrez(figura 3). Si intentas situar los tetrominós A, B, C, y D

sobre este tablero, verás que, los sitúes cómo los sitúes,cada uno debe cubrir dos cuadrados negros y dosblancos. Los cuatro en conjunto, entonces, deben cubrirun área total de ocho cuadrados blancos y ochocuadrados negros.

Esto no ocurre, sin embargo, en el caso del tetrominóE. Siempre cubre tres cuadrados de un color y uncuadrado del otro color.



El rectángulo tiene diez cuadrados blancos y diez

cuadrados negros. No importa dónde situemos los

tetraminós A, B, C y D, tendremos que cubrir ochocuadrados de cada color. Esto dejaría sin cubrir doscuadrados blancos y dos cuadrados negros para eltetrominó E. Pero E no puede cubrir dos cuadradosblancos y dos negros. En consecuencia, el acertijo notiene solución.

La figura 4 muestra una figura con la forma de unrascacielos, en la que hay dos cuadrados negros másque cuadrados blancos, de modo que nuestra prueba demposibilidad ya no se aplica en este caso. Intentaformar esta figura con tus cinco piezas. ¡Esto sí esposible!



LAS DOS TRIBUS.Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros

de una tribu siempre dicen la verdad, los miembros dea otra tribu mienten siempre.

Un misionero se encontró con dos de estos nativos,

uno alto y otro bajo."¿Eres de los que dicen la verdad?", preguntó al más

alto."Upf”, respondió el nativo alto.El misionero reconoció la palabra como el término

nativo que significa sí o no, pero no podía recordar cuál

de los dos. El nativo bajo hablaba español, así que elmisionero le preguntó qué era lo que había dicho sucompañero. "Dijo sí”, replicó el nativo bajo, “¡pero élgran mentirosol”.

¿A qué tribu pertenecía cada uno de los nativos?



SIN TIEMPO PARA LA ESCUELA."Pero no tengo tiempo para la escuela", explicaba

Eddie al preceptor. "Duermo ocho horas diarias que,sumadas, dan 122 días por año, suponiendo que cadadía es de 24 horas. No hay clases los sábados ni los

domingos, que suman 104 días por año. Tenemos 60días de vacaciones de verano. Necesito tres horas diariaspara comer... esto es más de 45 días al año. Y necesitoal menos dos horas diarias de recreación... que sumanmás de 30 días al año."

Eddie escribió estas cifras mientras hablaba, después

sumó todos los días. La suma daba 361.Sueño (8 horas diarias) 122Sábados y domingos 104Vacaciones de verano 60Comidas (3 horas diarias) 45Recreación (2 horas diarias) 30

Total 361 días

"Ya ve", continuó Eddie; "eso me deja tan sólo cuatrodías para estar enfermo y en cama, y ni siquiera hetomado en cuenta los siete feriados escolares quetenemos cada año".

El preceptor se rascó la cabeza. "Algo no anda bienaquí", murmuró.Pero por más que se esforzó, no pudo encontrar nada

equivocado en las cifras de Eddie. ¿Puedes explicardónde está el error?



SOLUCIÓNLa trampa de las cifras de Eddie es que las categorías

de tiempo se superponen de modo que los mismos

períodos de tiempo se cuentan más de una vez. Para darun ejemplo, durante su período de vacaciones de 60 díastambién comió y durmió. El tiempo de comer y dormir secuenta en el periodo de vacaciones y también aparte, enel tiempo insumido para comer y dormir durante todo elaño.

La falacia de superponer categorías es muy común enas estadísticas, especialmente en el caso de lasestadísticas médicas. Podemos leer que en ciertas.comunidades, el 30 por ciento de las personas tienen unadeficiencia de vitamina A, e1 30 por ciento tienedeficiencia de vitamina B, y e1 30 por ciento tienedeficiencia de vitamina C. Si a partir de esto sacamos laconclusión de que sólo el 10 por ciento de la población notiene deficiencia de estas tres vitaminas, habremosrealizado el mismo razonamiento defectuoso que Eddieutilizó en su charla con el preceptor: Es posible que e130 por ciento de la población tenga deficiencias de lastres vitaminas, lo que dejaría a1 70 por ciento de lapoblación en la categoría de los que no tienen ningunadeficiencia.



Segundo minuto: Tostar B2 y C 1. Quitar lasrebanadas, dar vuelta a C y volverla a poner en latostadora. Dejar aparte a B (que ya está tostada porambas caras) y poner a A otra vez en la tostadora.

Tercer minuto: Tostar las caras A2 y C2. Todas las

caras de las tres rebanadas están tostadas ahora.



LAS TRES CORBATAS.El señor Pardo, el señor Verde y el señor Negro

estaban almorzando juntos. Uno de ellos llevaba unacorbata parda, otro una corbata verde y otro unacorbata negra.

"¿Se han dado cuenta", dijo el hombre de la corbataverde, "de que aunque nuestras corbatas son de coloresguales a nuestros nombres, ninguno de nosotros llevaa corbata que correspondería a su nombre?"

"iPor Dios que tienes razónl", exclamó el señor Pardo.¿De qué color era la corbata de cada uno?



SOLUCIÓNEl señor Pardo tenía corbata negra. El señor Negro

tenía corbata verde. El señor Verde tenía corbata parda.Pardo no podía tener una corbata parda, pues

entonces correspondería a su nombre. No podía tenercorbata verde, pues ése, era el color de la corbata delhombre que le hizo la pregunta. Por lo tanto, la corbatade Pardo debe ser negra. Esto deja las corbatas verde yparda para el señor Negro y el señor Verde.



DECIMA PARTE

ACERTIJOSENGAÑOSOS



Acertijos engañosos.Los veintisiete acertijos de esta sección son cortos y

fáciles, pero cada uno de ellos implica alguna clase detruco que da a la respuesta un giro inesperado. Dealguna manera, podríamos llamarlos problemashumorísticos o graciosos, pero he preferido terminar elibro con ellos por una razón muy especial.

La razón es ésta: un matemático o científico creativodebe tener una mente constantemente en guardia, queno se deje sorprender por facetas inesperadas. Einstein,por ejemplo, el mayor científico de épocas recientes,

amás habría desarrollado su famosa teoría de larelatividad si no hubiera cuestionado ciertas suposicionesque ningún otro científico se había atrevido a cuestionardurante siglos. Resolvió problemas que parecían no tenersolución, y los resolvió descubriendo el elemento"sorprendente", ese extraño factor oculto que todo el

mundo había pasado por alto. A veces el nuevo giro estan simple que, una vez descubierto, otros científicos sepreguntan cómo no se les ocurrió a ellos. No se lesocurrió, sin duda, porque sus mentes estabanencadenadas por el hábito a las maneras de pensarfamiliares y ortodoxas.

Así que desempolva tu cerebro antes de intentarresponder a estas divertidas preguntas. No son de granmportancia matemática... pero te enseñarán que enmatemática, como en la vida, las cosas no son siempre loque parecen.



ACERTIJOS ENGAÑOSOS• 1: ¿Puedes poner diez terrones de azúcar en

tres tazas vacías de modo que en cada taza haya unnúmero impar de terrones?

• 2. En la ferretería local, Jones se enteró que lle costaría 50 centavos, 12 1e costarían $1,00 y queel precio de 144 era $1,50. ¿Qué era lo que Jonesestaba comprando?

4. Observa con cuánta rapidez puedes anotar los

dígitos de 9 a 1 de atrás para adelante, luegocontrola la respuesta para ver si has seguido bienlas instrucciones.

• ¿Con cuánta rapidez puedes hallar el productode los siguientes números?

256x3x45x3.961x77x488x2.809x0

• Laringitis, un orador griego, nació e14 de juliodel 30 A. C. Murió e14 de julio del año 30 D. C.¿Qué edad tenía cuando murió?

• Juntos perro y gato pesan 15 kilos. Si el pesodel can es un número impar, y si el macho pesa eldoble que la hembra, ¿cuánto pesa cada uno?

• Después de una serie de experimentos, unquímico descubrió que una determinada reacciónquímica demoraba 80 minutos en producirsesiempre que él usaba una corbata verde, y que lamisma reacción demoraba una hora y veinte cuando



él usaba una corbata roja. ¿Se te ocurre algunarazón para ello?

• 8. Un matemático se fue a acostar a las ochode la noche, puso el despertador para las 9 de la

mañana y se fue a dormir de inmediato. ¿Cuántashoras había dormido cuando el despertador lodespertó?

• 9. Divide 30 por 1/2 y suma 10. ¿Cuál es elresultado?

• 10. Un chico tenía cinco manzanas y se comiótodas salvo tres. ¿Cuántas manzanas quedaron?

• 11. ¿Cuáles dos números enteros (nofracciones) dan el número de la mala suerte, 13,cuando son multiplicados entre sí?

• 12. Un lector de este libro estaba tan enojadopor no poder hallar las respuestas de todos estosproblemas que arrancó las páginas 6. 7. 84, 111 y112. ¿Cuántas hojas arrancó en total?• 13. Si a un reloj le lleva cinco segundos dar las

6, ¿cuánto tiempo le llevará dar las 12?

• 14. Un triángulo tiene lados de 17, 35 y 52centímetros. ¿Cuál es su superficie en centímetroscuadrados?



• 15. ¿Puedes trazar cuatro líneas rectas, sinlevantar la punta del lápiz del papel, que pasen porlos nueve puntos de la ilustración?

• 16. ¿Puedes trazar dos líneas rectas, sinlevantar el lápiz del papel, que pasen por las seispelotas de beisbol que aparecen en la ilustración?

• 17. Cada libro de los que se ven en lailustración tiene cinco centímetros de grosor. Esamedida incluye las tapas, que tienen un grosorde1/4 de centímetro. Sí una polilla que comepapeles empieza por la primera página del volumen1 y se abre camino hasta la última página delvolumen 4, ¿qué distancia habrá recorrido?

• 18. ¿Puedes elegir seis dígitos de los que seven en la ilustración que sumados den 21?



• 24. Un lógico se encontró en una pequeña ciudadque sólo tenía dos peluqueros, cada uno de ellos consu propia peluquería. Como necesitaba un corte depelo, miró hacia el interior de una de las peluquerías yvio de inmediato que era extremadamente sucia. El

mismo peluquero necesitaba una afeitada, sus ropasestaban sucias, su pelo descuidado y mal cortado. Laotra peluquería resultó ser impecable. El barberoestaba recién afeitado, impecablemente vestido ytenía el pelo prolijamente cortado. El lógico pensó unmomento y luego regresó a la primera peluquería para

hacerse cortar el pelo. ¿Por qué?

• 25. Cuando los dos desconocidos con los que sehabían citado a ciegas llegaron para llevarlas a unpartido de fútbol, Katy y Susan quedaron atónitas alver que los dos jóvenes eran exactamente iguales.

"Sí, somos hermanos", explicó uno de ellos. "Nacimosel mismo día del mismo año y tenemos los mismospadres". "Pero no somos mellizos", dijo el otro. Katy y



Susan quedaron perplejas. ¿Puedes explicar lasituación?

• 26. Multiplicar 10 metros por 10 metros da100 metros cuadrados. ¿Cuánto da diez dólares por

diez dólares?

• 27. Cuando el joven pagó su desayuno a lacajera, ella advirtió que él había dibujado untriángulo en el reverso de la cuenta. Debajo deltriángulo había anotado: 13 x 2 = 26. La cajera

sonrió: "Veo que eres marinero", dijo.¿Cómo supo la cajera que el joven era marinero?



SOLUCIONES

1. Hay quince soluciones diferentes para esteproblema, pero todas ellas involucran el mismo truco. Porejemplo: pon siete terrones en una taza, dos en otra y

uno en la tercera. Ahora pon la última dentro de lasegunda. ¡La segunda contendrá entonces tres terrones!

2. Jones estaba comprando números sueltos de metal.

3. Los dígitos de 9 a 1 de atrás para adelante son: 1-2-

3-4-5-6-7-8-94. ¿Viste ese cero al final antes de empezar a

multiplicar? Si lo ves, sabrás inmediatamente que larespuesta final tiene que ser cero.

5. Laringitis tenía 59 años (no hubo ningún año cero).

6. El perro, una pequeña Pomerania llamada Henrietta,pesa 5 kilos, y el enorme gatazo llega a los 10. Sisupusiste que el perro era "él" y el gato "ella",probablemente no llegaste a ningún lado.

7. No hay nada que explicar porque 80 minutos es lomismo que una hora y "veinte minutos.

8. El matemático sólo tuvo una hora de sueño. Laalarma del reloj lo despertó a las nueve de esa mismanoche.

9. Treinta dividido por 1/2 es 60, así que cuando se lesuman 10, da 70, que es la respuesta final.



10. Quedaron tres manzanas.

11.13x1=13

12. Sólo arrancó cuatro hojas de papel; porque laspáginas 111 y 112 son ambas caras de una misma hoja.

13. A1 reloj le llevará 11 segundos dar las 12. Hay unsegundo entre cada campanada.

14. Un "triángulo" con esos lados sería una línea recta(los matemáticos a veces lo llaman un "triángulodegenerado"), de modo que no tendría ningunasuperficie. Es verdad que se mostraba un triángulo en lalustración, pero sólo era para desconcertarte; esetriángulo sin duda no podía tener los lados que sendicaban.

15.

16. Como las pelotas de béisbol son puntos másgrandes, todas ellas pueden cruzarse trazando dos líneas



que se unen en la extrema derecha, tal como se ve en lalustración.

17. La primera página del volumen 1 está a la derechadel libro cuando los volúmenes están colocados en elestante, y la última página del volumen 4 está a laizquierda del libro. En consecuencia, la polilla sólo tiene

que pasar por la tapa del volumen 1, recorrer todo elvolumen 2 y el volumen 3, y la tapa del volumen 4, loque totaliza una distancia de 10 centímetros y 1/2.

18. Invierte el libro y marca con círculos tres 6 y tres1.

19. Dos cortes en ángulo recto dividirán el panquequeen cuatro partes. Apílalos y córtalos por la mitad con eltercer corte para hacer ocho partes.

20. El insecto se mueve a una velocidad constante deun centímetro cada dos segundos. ¿Se te ocurrió pensarque la distancia desde el centro de la. regla hasta lamarca de 1 centímetro es de sólo cuatro centímetros?



21. Los dígitos están dispuestos de tal manera que susnombres quedan en orden alfabético.

22. Doce.

23. Recoge la moneda inferior y colócala encima de lamoneda de la esquina.

24. Como en la ciudad había sólo dos peluqueros,cada uno de ellos tiene que haber cortado el pelo delotro. El lógico eligió al peluquero que le hizo el mejor

corte de pelo a su rival.25. Los dos jóvenes pertenecían a un conjunto de

trillizos.

26. La pregunta no tienesentido. Los dólares puedensumarse entre sí, o restarseentre sí, pero no pueden

l i li di idi

Martin_Gardner MATEMÁTICA PARA DIVERTIRSE

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