MAKALAH MATEMATIKAINTEGRAL

Disusun Oleh:Awal Maulana Maryadi

SMKN 3 KOTA BEKASI

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, karena atas berkat dan limpahan rahmatnyalah maka kami bisa menyelesaikan sebuah karya tulis dengan tepat waktu.Berikut ini penulis mempersembahkan sebuah makalah dengan judul Fungsi trasenden, Teknik Pengintegralan, dan Integral tak Wajar, yang menurut kami dapat memberikan manfaat yang besar bagi kita untuk mempelajari matematika.Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meninta maaf dan memohon pemakluman bila mana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan yang kami buat kurang tepat atau menyinggung perasaan pembaca.Dengan ini kami mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa terima kasih dan semoga Allah SWT memberkahi makalah ini sehingga dapat memberikan manfaat.

BAB IPENDAHULUAN

A. Latar BelakangFungsi trasenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Beberapa fungsi trasenden antara lain:a. Fungsi eksponensial, contohnya : f(x) = ; dimana a 0,1b. Fungsi logaritma, contohnya : f (x) = ; dimana a0,1c. Fungsi trigonometri, contohnya : f (x) = sin xd. Fungsi siklometri, merupakan invers dari fungsi trigonometri, contohnya : f (x) = arc sin x.e. Fungsi hiperbolik, contohnya : f (x) = sin h x Integral tak wajar adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, atau atau, pada beberapa kasus, keduanya.Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentuk

atau dalam bentuk

dengan limit diambil pada salah satu batas atau keduanya. (Apostol 1967, 10.23). Integral takwajar juga dapat terjadi pada titik dalam domain pengintegralan, atau pada beberapa titik seperti itu.Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah tak hingga.Teknik pengintegralan terdiri dari pegintegralan dengan subtitusi, pengintegralan parsial, dan pengintegralan fungsi rasional. Untuk dapat menggunakan metode subtitusi dengan hasil yang memuaskan, kita harus mengetahui integral-integral sebanyak mungkin.Andaikan Anda menghadapi suatu integral tak tentu. Apabila ini bentuk baku, segera dapatlah ditulis hasilnya. Apabila tidak, carilah sebuah subtitusi yang akan mengubahnya menjadi sutu bentuk baku. Apabila pada subtitusi yang pertama, kita tidak berhasil memperoleh bentuk baku, kita mencoba dengan cara lain. Apabila kita berlatih cukup lama, kita akan dapat menemukan penggantian yang tepat. Metode subtitusi ini didasarkan pada: f (x) dx = h (u) du = H (u) + C = H (g(x)) + CApabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, dengan menerapkan metode penggunaan ganda, yang lebih dikenal dengan pengintegralan parsial dapat memberikan hasil. Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasilkali du afungsi. Andaikan u= u (x) dan v = v (x). Maka [u(x)v(x)] = u(x)v(x) + v (x)u(x)Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasilbagi dua fungsi suku banyak (polinom). Misalnya:f(x) = g(x) = h(x) = Fungsi f dan g dinamakan fungsi rasional sejati oleh karena itu derajat pembilang kurang dari derajat penyebut. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati.

B. Rumusan MasalahAdapun rumusan masalahnya yaitu:a. Bagaimana cara menyelesaikan soal integral dengan teknik subtitusi, parsial, dan fungsi rasional?b. Apakah ada teknik pengintegralan yang lain yang dapat digunakan?c. Bagaimana bentuk integral tak wajar?d. Penjelasan mengenai fungsi trasenden.

C. Tujuan PenelitianTujuan penelitiannya yaitu:1. Mengetahui teknik-teknik pengintegralan dalam kalkulus.2. Mengetahui dan memahami teknik substitusi dalam perhitungan integral tak tentu dan integral tentu.3. Mengetahui dan memahami teknik pengintegralan parsial dalam menyelesaikan bentuk-bentuk integral.

BAB IIPEMBAHASAN

A. Menyelesaikan Soal Integral dengan Teknik Subtitusi, Parsial, dan Fungsi Rasional

a. Subtitusi Dalam Integral Tak TentuTeorema :

Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) makaf(g(x))g(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + cContoh :

Hitunglah.

Jawab : Misalkan u = = x1/2 sehingga du = dx maka

= 2= 2 = 2cosu + c = 2cos + c

b. Subtitusi Dalam Integral Tentu. Teorema :

Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, makaContoh :

Hitung Jawab : Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi

=

= =

Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.

Contoh :

1. Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex

= = xex ex + c

Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :

, P(x) dan Q(x) fungsi fungsi Polinom dengan Q(x) 0

Fungsi Rasional dibedakan atas :a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.

Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhanaContoh :

a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang BerbedaContoh :

Tentukan Jawab :

maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B = , dan C = sehingga

=

= - ln

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang BerulangContoh :

Tentukan Jawab :

maka x = A(x-3) + B

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanandiperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga

Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor dalam penyebut, maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :

c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang BerbedaContoh :

Tentukan Jawab :

Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.

B. Cara Lain Menyelesaikan Soal Integrala. Fungsi Integral yang memuat bentuk

Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u =

Contoh : Hitung

Jawab : Misalkan u = maka = x 4 dan 3du = dx

Shg = b. Integral yang memuat bentuk Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t. Contoh :1. Tentukan Jawab :Jawab :

Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan = 2 cos t , shg = = - ctg t t + c

=

C. Bentuk Integral tak Wajar

Bentuk disebut integral tidak wajar jika:a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.

Pada kasus ini teorema dasar kalkulus = F(b) F(a) tidak berlaku lagi.Contoh 1) , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)2) , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]3)

, f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di [0,2) (2,4]

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga1)

, integran f(x) memuat batas atas di x = 2)

, integran f(x) memuat batas bawah di x = -3)

, integran f(x) memuat batas atas di x = dan batasa bawah di

x = -

Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga (). Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

Integral tak wajar dengan integran diskontinua. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b - ( ), sehingga

Karena batas atas x = b - ( x b), maka

maka Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga

=

= -2

= -2 () = -2(0-2) = 4

2. , f(x) = fungsi genap tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, maka 2

= 2

= 2

= 2 (

=

3. , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 sehingga diperoleh

= tidak berarti, karena mempunyai bentuk b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a

Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a + ( ), sehingga

Karena batas bawah x = a + ( x a) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1.

=

= = 6(1) 6(0)

= 6

2. , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0

= = (1.0-1) (0-0) = -1

c. f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c

Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + dan x = c - ( ), sehingga

= +

Dapat juga dinyatakan dengan :

+

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1. , f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh

, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:

=

=

=

2. f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh

=

=

= -

=

D. Fungsi TrasendenFungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar. Yang termasuk fungsi transenden adalah fungsi eksponen, fungsi logaritma, trigonometri, fungsi siklometri (fungsi invers trigonomerti), dan fungsi hiperbolik.a. Fungsi eksponenFungsi eksponen adalah fungsi yang variabel bebasnya menjadi pangkat dari suatu bilangan. Fungi eksponen dinyatan dalam bentuk umumy = f(x) = axdengana 0danaRsebagai ilustrasi fungsiy f(x)=2x,g(x)=10xdan sebagainya.b. Fungsi logaritme.Fungsi logaritme dengan bilangan dasara0dana 1 adalah invers darifungsi eksponen dari bilangan dasara.fungsi eksponeny = g(x) axdenganax,inversnya adalah fungsi logaritmenyay = f(x) =2logx. g(x) =logx,dan sebagainya.c. Fungsi trigonometri.Fungsi trigonometri antara lain meliputi fungsi-fungsiy = sin x, y = cosx,y = tan x,dan sebagainya, denganxmenyatakan besar suatu sudut (rdian atau derajat) danymenyatakan nilai fungsi.

d. Fungsi siklometriFungsi siklometri adalah invers dari fungsi trigonometri, sepertiy =arc sinx, y=arc cosx, y= arc tanx,dan sebagainya.e. Fungsi hiperbolikFungsi hiperbolik antara lain meliputiy =sinhDan sebagainya.

Contoh soal:Tentukan ln .Jawab:Andaikan u = = . Maka: ln = .=

KesimpulanFungsi trasenden, teknik pengintegralan, dan integral memiliki keterkaitan antar satu sama lain. Hal ini karena terdapat suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan.