Revisi Tugas Kelompok I

MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT

“KOMBINATORIK”

Disusun Oleh :

1. IWAN SURYA DINATA (140311807076)

2. MUHAMMAD IKMAL (140311807858)

PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PASCA SARJANA

UNIVERSITAS NEGERI MALANG SEPTEMBER 2014

“ELEMENTARY COMBINATORICS”

A. Pendahuluan

Teori kombinatorial telah berkembang sejak awal abad 6 SM. Hingga pada

abad pertengahan, teori ini terus berkembang dengan memanfaatkan teori lainnya

seperti teori bilangan serta teori probabilitas. Aplikasi dari kombinatorial pun

sangat luas karena dapat dipakai dalam berbagai permasalahan sehari-hari. Salah

satu aplikasi dari kombinatorial yang sering dipakai adalah dalam integrasinya

dengan teori peluang untuk memprediksi suatu kejadian.

Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah

penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan

susunannya. Sementara itu, peluang merupakan cabang ilmu matematika yang

bersangkutan dengan analisis suatu kejadian acak. Suatu variabel acak merupakan

objek utama dalam teori peluang. Suatu variable acak dapat melakukan kejadian

acak berkali-kali hingga dapat memunculkan suatu statistik tertentu.

Hubungan antara teori peluang serta kombinatorial sangatlah erat. Banyak

teori dasar dari kombinatorial yang dapat diintegrasi dengan teori peluang. Istilah-

istilah dalam teori peluang dapat direpresentasikan secara matematis dengan

kombinatorial. Logika-logika pada persoalan peluang dapat diselesaikan dalam

daerah penyelesaian kombinatorik.

Salah satu contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan

kombinatorial adalah menghitung banyaknya kombinasi angka nomor polisi

mobil, dimana nomor polisi terdiri atas lima angka dan diikuti dua huruf, serta

angka pertama bukan nol. Cara paling sederhana untuk menyelesaikan persoalan

sejenis adalah dengan mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya.

Mengenumerasi berarti mencacah atau menghitung satu per satu setiap

kemungkinan jawaban. Akan tetapi enumerasi masih mungkin dilakukan jika

jumlah objek sedikit, sedangkan untuk persoalan di atas, cara enumerasi jelas

tidak efisien. Misalnya untuk menjawab persoalan banyaknya cara menyusun

nomor kendaraan di suatu kota, apabila kita melakukan enumerasi, maka

kemungkinan jawabannya adalah sebagai berikut:

12345AB 12345AC 12345BC … 34567MT 34567ML …

dan seterusnya…

Sangatlah mungkin bahwa kita sudah lelah sebelum proses enumerasi

selesai dilakukan. Disinilah peran kombinatorial, yang merupakan “seni

berhitung”, menyelesaikan persoalan semacam ini dengan cepat. Persoalan

kombinatorik yang sederhana lain yang telah diselesaiakan dalam masyarakat.

Misalkan, saat pemilihan pemain untuk tim sepak bola yang terdiri dari 11

pemain. Apabila ada 20 orang ingin membentuk suatu tim sepak bola, ada berapa

kemungkinan komposisi pemain yang dapat terbentuk? Selain itu dalam

menentukan sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh

berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat

dibuat ? Tetapi selain itu para ilmuwan pada berbagai bidang juga kerap

menemukan sejumlah persoalan yang harus diselesaikan. Kombinatorik

merupakan cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-

objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.

B. Aturan Penjumlahan Dan Aturan Perkalian

Pembahasan mengenai kombinatorika diawali dengan pengenalan dua

kaidah pencacahan, yaitu kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian. Kedua

kaidah ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan masalah yang kompleks

dengan cara memecah atau mengurai masalah tersebut menjadi beberapa bagian

yang lebih sederhana yang selanjutnya dapat diselesaikan dengan kedua kaidah

tersebut. Misalnya, kaidah pencacahan bermanfaat untuk menentukan apakah

terdapat cukup nomor telepon atau alamat internet protokol untuk memenuhi

permintaan pelanggan. Salah satu prinsip dasar yang mendasari perkembangan

probabilitas terutama yang terkait dengan masalah penghitungan adalah konsep

dasar pencacahan. Ada dua perinsip dasar pada konsep dasar pencacahan yaitu

aturan penjumlahan dan aturan perkalian.

1. Aturan Penjumlahan

Jika untuk melakukan A dapat dikerjakan dengan n cara dan untuk melakukan

B dapat dikerjakan dengan m cara, sedangkan A dan B tidak dapat dikerjakan

bersama-sama, maka A atau B dapat dikerjakan dengan n + m cara. Artinya, jika

Anda mempunyai dua kasus yang mungkin terjadi namun tak mungkin terjadi

bersamaan, maka jumlahkan. Jika Anda hanya dapat melakukan salah satu hal

atau hal yang lain saja, maka jumlahkan. Secara lebih teoritis, jika Anda

mempunyai n himpunan A1, A

2, …, A

n yang tidak saling beririsan satu dengan

lainnya, maka cacah anggota semua himpunan samadengan jumlah anggota

masing-masing himpunan.

Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i ≠ j ⇒ | ⋃ 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 | = ∑ | 𝐴𝑖 |𝑛

𝑖 =1

Secara tidak langsung, pada prinsip penjumlahan, setiap himpunan bagian A1, A

2,

…, An

tidak saling tumpang tindih (saling lepas). Untuk himpunan yang saling

tumpang tindih tidak berlaku lagi prinsip penjumlahan, dan ini harus diselesaikan

dengan prinsip inklusi-eksklusi.

Contoh 1.

Misalkan klub sepakbola dari sekolah mempunyai 40 anggota, sedangkan klub

bulutangkis mempunyai 20 anggota. Misalkan ada 7 siswa yang merangkap menjadi

anggota kedua klub. Tentukan jumlah anggora dari kedua klub tersebut!

Penyelesaian:

Untuk menentukan jumlah anggota kedua klub tersebut kita akan membentuk tiga

himpunan yang saling lepas atau tidak beririsan.

Pertama, himpunan atau klub yang terdiri dari pemain sepakbola saja:

40 – 7 = 33 siswa

Kedua, himpunan atau klub yang terdiri dari pemain bulutangkis saja:

20 – 7 = 13 siswa

Ketiga, himpunan yang terdiri dari pemain sepak bola sekaligus pemain bulutangkis

yaitu 7 siswa. Dengan demikian jumlah anggota dari kedua klub adalah 33 + 13 + 7 =

53 siswa.

Contoh 2.

Ketua angkatan S2 Pend. Matematika 2014 di pilih hanya 1 orang (pria atau

wanita). Jumlah pria = 35 orang dan jumlah wanita = 55 orang. Berapa banyak cara

memilih ketua angkatan?

Penyelesaian:

Dari jumlah keseluruhan mahasiswa S2 Pend. Matematika angkatan 2014 yakni

sebanyak 90 mahasiswa, akan dipilih seorang ketua angkatan (pria atau wanita), maka

berdasarkan aturan penjumlahan banyaknya cara memilih yaitu 35 + 55 = 90 cara.

2. Aturan Perkalian

Jika untuk melakukan A dapat dikerjakan dengan n cara dan untuk melakukan

B dapat dikerjakan dengan m cara yang tidak tergantung pada bagaimana A

dikerjakan, maka untuk mengerjakan A dan B dapat dilakukan dengan 𝑛 × 𝑚

cara. Secara teoritis, banyaknya anggota himpunan hasil kali Cartesius n

himpunan sama dengan hasil kali banyaknya anggota setiap himpunan

Contoh 3.

Misalkan kita pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota

A ke kota B ada 5 jalan, dan dari kota B ke kota C ada 6 jalan. Tentukan banyak

cara untuk pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B.

Penyelesaian:

Setelah kita memilih jalan dari A ke B, pilihan jalan dari kota B ke C tidak

tergantung pada pilihan pertama. Dengan demikian menurut aturan perkalian,

banyak cara dari kota A ke kota C melalui B adalah 5 x 6 = 30 cara.

Contoh 4.

Dua orang perwakilan Kelas B yang terdiri dari 3 pria dan 13 wanita protes

mendatangai Bapak Dosen untuk nilai ujian. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1

orang wanita. Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tersebut?

Penyelesaian:

Dari jumlah mahasiswa kelas B yang sebanyak 13 orang, maka akan dipilih 3

diantaranya untuk menjadi perwakilan kelas sehingga berdasarkan aturan

perkalian diperoleh penyelesaian yakni : 3 13 = 39 cara.

Contoh 5.

Dari tujuh angka 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibentuk sebuah bilangan 3 angka dan

lebih dari 500. Berapa banyak bilangan genap yang dapat dibentuk jika :

a) angka-angkanya boleh berulang

b) angka-angkanya tidak boleh berulang

penyelesaian :

a) Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih 4 kemungkinan, yaitu 5, 6, 8

atau 9. Angka kedua dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Angka satuan dapat

dipilih dari 3 kemungkinan. Banyaknya bilangan yang terbentuk ada 4 x 7 x 3

= 84 bilangan.

b) Pada bagian inilah timbul sebuah permasalahan. Jika kita menjawab

banyaknya bilangan adalah 4 x 5 x 3 dengan alasan bahwa banyaknya

bilangan yang mungkin untuk angka ratusan ada 4 dan angka satuan ada 3

sedangkan sisa bilangan tinggal 5 maka jawaban tersebut adalah keliru. Jika

angka ratusan yang dipilih adalah 5 atau 9 maka banyaknya kemungkinan

angka satuan memang benar ada 3 yaitu 4, 6 atau 8. Tetapi bila angka ratusan

yang dipilih adalah 6 atau 8 maka angka satuan yang mungkin dipilih hanya

tinggal 2. Sedangkan jika kita menjawab banyaknya bilangan adalah 4 x 5 x 2

juga mengandung kesalahan dengan alasan bahwa jika angka ratusan yang

kita pilih adalah 5 atau 9 maka kemungkin angka satuan yang dipilih adalah

tetap 3. Lalu bagaimana cara kita menjawab soal ini ?

Ada dua alternatif yang akan dibahas.

Alternatif 1 :

Sudah dijelaskan bahwa banyaknya kemungkinan untuk angka ratusan ada 4

namun pemilihan angka ratusan ternyata menimbulkan dampak yang berbeda

untuk angka satuan. Maka penyelesaian soal ini adalah dengan membagi kasus

terhadap pemilihan angka ratusan.

Kasus pertama adalah jika angka ratusannya adalah 5 atau 9. Banyaknya cara

memilih angka ratusan ada 2. Banyaknya kemungkinan angka satuan tetap ada 3

sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan untuk

kasus pertama ini adalah 2 x 5 x 3 = 30 bilangan.

Kasus kedua adalah jika angka ratusannya adalah 6 atau 8. Banyaknya cara

memilih angka ratusan ada 2, yaitu 6 atau 8 tersebut. Banyaknya kemungkinan

angka satuan tinggal 2. Penjelasannya adalah jika angka ratusan yang dipilih

adalah 6 maka kemungkinan angka satuannya adalah 4 atau 8 sedangkan jika

angka ratusan yang dipilih adalah 8 maka kemungkinan angka satuannya adalah 4

atau 6. Sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan

untuk kasus kedua ini adalah 2 x 5 x 2 = 20 bilangan.

Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 30 + 20 = 50 bilangan.

Alternatif 2 :

Caranya sebenarnya sama dengan alternatif 1, tetapi kita memulainya dari

angka satuan. Kita bagi kasus pemilihan angka satuan menjadi 2 kasus.

Kasus pertama adalah jika angka satuan yang dipilih adalah 4. Banyaknya

cara memilih hanya ada 1. Angka ratusan yang dipilih tetap ada 4 kemungkinan

yaitu 5, 6, 8 atau 9. Sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya

bilangan untuk kasus pertama ini adalah 1 x 5 x 4 = 20 bilangan.

Kasus kedua adalah jika angka satuan yang dipilih adalah 6 atau 8.

Banyaknya cara memilih ada 2. Angka ratusan yang dipilih tinggal 3

kemungkinan. Sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya

bilangan untuk kasus kedua ini adalah 2 x 5 x 3 = 30 bilangan.

Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 20 + 30 = 50 bilangan.

3. Perluasan Kaidah Dasar Menghitung

Misalkan ada n percobaan, masing-masing dengan pi hasil yang mungkin maka

berlaku :

a. Kaidah penjumlahan : p1 + p2 + … + pn hasil

b. Kaidah Perkalian : p1 p2 … pn hasil

Contoh 6. (Kaidah Penjumlahan)

Sandi (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap

karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan huruf kecil tidak

dibedakan. Berapa banyak sandi yang dapat dibuat?

penyelesaian :

• Jumlah karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 karakter.

• Jumlah kemungkinan sandi dengan panjang 6 karakter:

(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336

• Jumlah kemungkinan sandi dengan panjang 7 karakter:

(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096

• Jumlah kemungkinan sandi dengan panjang 8 karakter:

(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 = 2.821.109.907.456

• Jadi berdasarkan kaidah penjumlahan maka diperoleh jumlah seluruh sandi

yaitu : 2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456

= 2.901.650.833.888 buah.

Contoh 7 (Kaidah Perkalian)

Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan

9999 itu sendiri) yang :

(a) semua angkanya berbeda

(b) boleh ada angka yang berulang.

penyelesaian :

(a) Posisi Satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7, 9)

Posisi Ribuan : 8 kemungkinan angka

Posisi Ratusan : 8 kemungkinan angka

Posisi Puluhan : 7 kemungkinan angka

Banyak bilangan ganjil seluruhnya

= (5) (8) (8) (7) = 2240 buah.

(b) Posisi satuan : 5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9);

Posisi ribuan : 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)

Posisi ratusan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

Posisi puluhan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

Banyak bilangan ganjil seluruhnya

= (5) (9) (10) (10) = 4500

Tugas Revisi Kelompok 1

SOAL LATIHAN

1. Tentukan berapa banyak unsur dari {1,2,3,4, … … . ,10000} yang habis dibagi

4 ?

Penyelesaian :

Misal : A = {1,2,3,4, … … . ,10000}

n (A) = 10000

Untuk menemukan banyak unsur yang habis dibagi oleh 4 dari suatu bilangan

asli pertama adalah.

𝑛(𝐴)

4 =

10000

4 = 2500

Sehingga banyaknya unsur yang habis dibagi 4 adalah 2500 unsur.

cat : 1. Di tambahkan dengan cara lain

2. Teorema bilangan bulat terbesar

2. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk dari bilangan antara 100 dan

999 yang memiliki digit berbeda.?

Penyelesaian :

Banyaknya digit angka yang mungkin untuk digunakan yakni (0,1,2,….,9)

Posisi ratusan : terdapat 9 kemungkinan angka yang dapat digunakan

yaitu 1,2,3,…9

Posisi puluhan : tersisa 9 kemungkinan angka yang dapat digunakan

Posisi satuan : tersisa 8 kemungkinan angka yang dapat digunakan

Bilangan yang akan di bentuk terdiri tiga angka yang berbeda,:

I II III

Tempat ratusan Tempat puluhan Tempat satuan

9

digit angka yang

mungkin

9

digit angka yang

mungkin

8

digit angka yang

mungkin

Sehingga menurut aturan perkalian diperoleh 9 x 9 x 8 = 648

Jadi banyaknya digit angka yang dapat dibentuk antara 100 dan 999 adalah :

648 bilangan

Banyaknya kemungkinan bilangan ganjil yang dapat terbentuk :

II III I

Tempat ratusan Tempat puluhan Tempat satuan

8

digit angka yang

mungkin

8

digit angka yang

mungkin

5

digit angka yang

mungkin

Cat : (I, II, III) merupakan langkah dalam menentukannya banyaknya

kemungkinan bilangan yang dapat dibenuk

3. Berapa banyak plat nomor kendaraan berbeda yang dapat dibentuk jika terdiri

dari 3 huruf dan di ikuti oleh 4 angka dimana angka dan huruf tersebut tidak

boleh berulang ?

Penyelesaian :

Banyaknya karakter huruf dalam huruf alphabet adalah 26 karakter,

sedangakan banyaknya digit angka yang dapat digunakan terdiri dari

(0,1,2,3,…..,9), karena huruf dan angka tidak boleh berulang sehingga

diperoleh :

Huruf pada tempat pertama : dapat di isi dengan 26 huruf

Huruf pada tempat kedua : dapat di isi dengan 25 huruf

Huruf pada tempat ketiga : dapat di isi dengan 24 huruf

Angka pada tempat pertama : terdapat 10 kemungkinan angka yang dapat

digunakan

Angka pada tempat kedua : terdapat 9 kemungkinan angka yang dapat

digunakan

Angka pada tempat ketiga : terdapat 8 kemungkinan angka yang dapat

digunakan

Angka pada tempat keempat : terdapat 7 kemungkinan angka yang dapat

digunakan

Banyaknya Kemungkinan

Huruf

Banyaknya Kemungkinan Angka

26 25 24 10 9 8 7

Sehingga menurut aturan perkalian diperoleh : 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7