Makalah Graf Planar

8/16/2019 Makalah Graf Planar

1/13

TUGAS KELOMPOK

MATEMATIKA DISKRIT

BAB 5

GRAF PLANAR

Dewi Apriliana 0401513046

Elisae! "i#a$a Pri%an&ini 040151304'

An&%$ Tia Sap(!ra 0401513053

PR)GRAM PAS*ASAR+ANA

PR)GRAM ST,DI PENDIDIKAN MATEMATIKA

,NI-ERSITAS NEGERI SEMARANG

.014


2/13

Ba 5

Gra/ Planar

51Gra/ PLanar &an Gra/ Bi&an

Contoh Graf Planar

Gambar 5.1: Lima graf planar

Pada gambar di ata !m"a m!r"pa#an Graf Planar$ t!tapiG

1 danG

4 Tida#

graf bidang$ #ar!naG

1 dapat di gambar#an #!mbali m!n%adiG

2 danG

3

!dang#an G4 dapat di gambar#an #!mbali m!n%adi G5 .

Tida# !m"a graf adalah Planar.Unt"# m!lihat ini$ p!rl" dibi&ara#an t!ntang

t!or!ma "tama dalam mat!mati#a.

Graf 'idang adalah graf (ang digambar#an pada bidang datar )di #!rta$ papan

t"li$ dll* !d!mi#ian r"pa !hingga !tiap paang ii b!rt!m" han(a pada imp"l

a#hirn(a )%i#a m!r!#a b!rt!m" ama !#ali*.

Graf Planar adalah graf (ang iomorfi# d!ngan graf bidang$ (ait" dapat

digambar #!mbali !bagai graf bidang.

S!b"ah #"r+a ,ordan pada bidang adalah #"r+a #ontin" (ang tida# m!motong

dirin(a !ndiri d!ngan aal dan a#hirn(a b!rt!m".


3/13

S!bagai &ontoh$ pada Gambar 5.- #"r+aC

1 b"#an #"r+a ,ordan #ar!na

m!motong dirin(a !ndiri$C

2 b"#anlah #"r+a ,ordan #ar!na aal dan t!rminaln(a tida#

t!pat$ (ait" d"a titi# a#hir tida# b!rt!m"$ C

3 adalah #"r+a ,ordan.

Gambar 5.-: c

1 danc2 b"#an #"r+a %ordan t!tapi

c3 #"r+a %ordan.

Gambar 5.: S!b"ah #"r+a ,ordan .

T!or!ma #"r+a ,ordan m!n(ata#an bah/a %i#a J adalah #"r+a ,ordan$ %i#a x adalah

titi# di int J dan y adalah titi# dalam !0t J ma#a !tiap gari )l"r" ata" m!l!ng#"ng* (ang

m!ngh"b"ng#an x #! y har" b!rt!m" J pada b!b!rapa titi#$ (ait" har" m!n(!b!rang J .

T!or!ma ini han(alah int"itif$ diil"trai#an dalam Gambar di ba/ah ini.

Gambar 5.

,i#a J adalah #"r+a ,ordan pada bidang ma#a bagian dari bidang (ang t!rt"t"p ol!h

J di!b"t int!rior J dan dilambang#an d!ngan int J $ di#!&"ali#an "nt"# int J titi#2titi# (ang

b!nar2b!nar b!rada di J . 3!mi#ian p"la bagian dari bidang (ang t!rl!ta# di l"ar J di!b"t

!#t!rior J dan dilambang#an d!ngan !0t J .


4/13

'!nt"# lain dari t!or!ma ini bah/a %i#a x

1, x

2 adalah d"a titi# di int J ma#a

dapat dit!m"#an gari )l"r" ata" m!l!ng#"ng* h"b"ngan x

1 #! x

2 (ang t!rl!ta#

!p!n"hn(a dalam int J . S!b"ah il"trai ini dib!ri#an d!ngan #"r+aC

4 Gambar 5.$

d!ngan d"a titi# digab"ng d!ngan !b"ah gari int!rnal.

S!#arang dig"na#an T!or!ma K"r+a ,ordan "nt"# m!mb"#ti#an bah/a ada graf

nonplanar.

Te2rea 51 K

5 graf lengkap pada lima simpul, adalah nonplanar

B(!i:4ngatlah bah/a alah at" &ara (ang biaa dig"na#an m!nggambar K

5

!p!rti gambar di ba/ah ini.

Gambar 5.5

3ia"mi#an bah/a K 5 adalah planar dan a#an di t"n%"##an #ontradi#i d!ngan

a"mi ini. Mial G m!n%adi graf bidang (ang !"ai K

5 dan m!n"n%"##an imp"l dari

Gol!hv1

, v2

, v3

, v4

, v5 .Kar!na G l!ng#ap$ !tiap paangan imp"l (ang b!rb!da

b!rgab"ng d!ngan !b"ah ii.Mial C adalahi#l"v1v2v3v1 di G. K!m"dian C

m!mb!nt"# #"r+a ,ordan di bidang. Kar!nav

4 tida# t!rl!ta# di C ma#a har" t!rl!ta#

di int C ata" !0t C . 3ianggap bah/av4 adalah int C . K!m"dian )K!m"ng#inan lainn(a$

bah/a v 4 adalah dalam !0t C $ m!mili#i arg"m!n (ang ama.* ii v 4 v1, v4 v2 dan

v4

v3 m!mbagi intC m!n%adi tiga /ila(ah int

C 1,

int C

2 dan intC

3 di mana

C 1

, C 2

, dan

C 3 adalah i#l"

v1

v2

v4

v1

, v2

v3

v4

v2 dan

v1

v3

v4

v1 b!rt"r"t2

t"r"t.P!rhati#an gambar di ba/ah ini.


5/13

Gambar 5.

Titi# v

5 (ang t!ria har" t!rl!ta# pada alah at" dari !mpat /ila(ah int C

1,

intC

2 $ intC

3 dan !0t C . ,i#av5∈ !0t C #!m"dian$ #ar!na

v4∈ int C $ T!or!ma

K"r+a ,ordan m!mb!ritah" bah/a iiv

4v5 har" m!lal"iC di b!b!rapa titi#. 6am"n

ini b!rarti bah/a ii v 4 v5 har" m!n(!b!rang alah at" dari tiga ii v1v2 , v2 v3 dan

v3

v1 (ang m!mb!nt"# C . 4ni b!rt!ntangan a"mi bah/a G adalah grafbidang.

K!m"ng#inan (ang t!ria adalah bah/av5 m!r"pa#an alah at" dari int

C 1, int

C 2 $ int

C 3 .

3ianggap bah/a V 5 pada∫C 1 $ d"a #a" lainn(a (ang dip!rla#"#an ama.

S!#arangV

3 adalah di bagian l"ar C"r+! ,ordan dib!ri#an i#l"C

1=v

1v2v4v1 .

3!ngan T!or!ma K"r+a ,ordan ii b!rgab"ng d!ngan titi# V 5 (di∫C 1)ke v3 (diextC 1 )

har" m!n(!b!rang #"r+a C

1 dan har" m!n(!b!rangi alah at" dari tiga ii

v1

v2

v4

v1 .!#ali lagi b!rt!ntangan d!ngan a"mi bah/a G adalah bidang.#ontradi#i

a#hir ini m!n"n%"##an bah/a a"mi a/al har" alah. Ol!h #ar!na it" K

5 tida# planar.

4ngat bah/a &ara (ang biaa dari gambar K 3.3 !p!rti (ang dit"n%"##an pada

Gambar 5.7. 4ni %"ga adalah nonplanar .

Gambar 5.7

Te2rea 5.Graf bipartit lengkap K 3,3 adalah nonplanar.

5. F)RM,LA E,LER S!b"ah graf bidang G m!mbagibidang m!n%adi b!b!rapa /ila(ah (ang maing 2

maing di!b"t 8m"#a8)fa&!* G. L!bih t!patn(a$ %i#a x adalah titi# pada bidang (ang

tida# diG$ (ait" b"#an imp"l dari G ata" titi# di b!b!rapa iiG$ ma#a did!finii#an

m"#a Gm!ngand"ng x (ang m!r"pa#an himp"nan !m"a titi# pada bidang (ang dapat

dih"b"ng#an dari x m!n%adi gari )l"r" ata" m!l!ng#"ng* (ang tida# m!n(!b!rang ii

G ata" m!lal"i imp"l dari G.


6/13

Contoh$ "nt"# titi# x di graph G1 dari Gambar 5.9$ m"#a (ang m!ngand"ng x

ditampil#an !bagai /ila(ah b!rtiti#. 3alam &ontoh ini %!la m"#a G1 m!ngand"ng titi# y

adalah m"#a (ang ama !p!rti (ang m!ngand"ng x. al ini dibatai ol!h i#l"v2

v4

v3

v6

v5

v4 . M"#a G1 m!ngand"ng titi#

z tida# dibatai ol!h i#l" apap"n. al

ini di!b"t m"#a !#t!rior G1

Gambar 5.9: S!b"ah graf bidang d!ngan !mpat m"#a

S!tiap graf bidang m!mili#i t!pat at" m"#a !#t!rior. S!tiap m"#a (ang lain

dibatai ol!h %alan t!rt"t"p dalam graf dan di!b"t m"#a int!rior.

S!bagai &ontoh lain$ pada Gambar 5.1; m!mili#i graf G2 d!ngan !mbilan m"#af 1

, … , f 9 .3iini

f 6 adalah m"#a !#t!rior.

Gambar 5.1;: S!b"ah graf bidang d!ngan !mbilan m"#a

,"mlah m"#a graf bidangG dilambang#an d!ngan f {G }

ata" han(a d!ngan f .

3!ngan d!mi#ian$ "nt"# di ata$ f (G1 ) < $ f (G2 ) < 9.

A#ibat !lan%"tn(a$ dib!ri#an r"m" !d!rhana (ang m!n"n%"##an h"b"ngan antara %"mlah imp"l$ ii$ dan m"#a dalam graf bidang t!rh"b"ng.


7/13

Te2rea 53 F2r(la E(ler7 Misalkan G graf bidang terhubung, dan misalkan n,e,

dan f masing-masing menunjukkan jumlah simpul, sisi dan muka G. Kemudian

n-e + f = 2.

Bukti .

Bukti Pertama . 3alam b"#ti ini m!ngg"na#an ind"#i pada f $ %"mlah m"#a pada

G.,i#a f = 1ma#a G han(a m!mili#i at" m"#a$ m"#a !#t!rior. ,i#a G m!ngand"ng

b!b!rapa C i#l" #!m"dian di /ila(ah (ang dibatai ol!h bidangC $ ada !tida#n(a at"

m"#a dibatai dari G, m"ng#in #ar!na G han(a m!mili#i m"#a !#t!rior$ (ang ta# t!rbata.

,adi G tida# m!mili#i i#l".Ol!h #ar!na it"$ #ar!na G t!rh"b"ng$ it" adalah poon.

K!m"dian$ d!nganT!or!ma -.$ %"mlah e ii G adalah n 2 1. Kar!nan(a

n-e + f = n-)n-l* + l = -

dan ini m!mb"#ti#an t!or!ma dalam #a" #!ti#a f = 1.

S!#arang anggaplah bah/a f = 1 dan t!or!ma t!r!b"t b!nar "nt"# !m"a

grafbidang t!rh"b"ng d!ngan #"rang dari f m"#a. Kar!na f = 1$G b"#anlah pohon $d!ngan

T!or!ma -.>$G m!mili#i k ii (ang tida# %!mbatan. K!m"dian "bgraf G - k maih

t!rh"b"ng dan #ar!na !tiap "bgraf dari graf bidang %!la grafbidang$ G - k %"ga

grafbidang. S!lain it"$ #ar!na k ii har" m!n%adi bagian dari i#l" )lihat T!or!ma -.7*$

m!miah#an d"a m"#a G dari (ang lain dan !lan%"tn(a di G - k d"a m"#a b!rgab"ng

"nt"# m!mb!nt"# at" m"#aG - k . 4ni diil"trai#an pada Gambar 5.11.

Gambar 5.11.3"a m"#a b!rgab"ng #!ti#a "%"ng i#l" dihap".

3!ngan d!mi#ian$ p!mialan n (G−k ) , e (G−k ) dan f (G−k ) m!n"n%"##an

%"mlah imp"l$ ii dan m"#a maing2maing dari G−k $ dimili#i

n (G−k ) , e (G−k )=e−1 dan f (G−k )=f −1 . S!lain it"$ d!ngan a"mi ind"#i$

#ar!na G−k m!mili#i #"rang dari f m"#a$ dimili#i

n (G−k )−e (G−k )+ f (G−k )=2

dan %"ga n−(e−1 )+ ( f −1 )=2 (ang m!mb!ri#an n−e+ f =2 , !p!rti (ang

dip!rl"#an. Ol!h #ar!na it"$ d!ngan ind"#i$ a#ibatn(a adalah b!nar "nt"# !m"a

grafbidang t!rh"b"ng.


8/13


9/13

dalam #a" )iii*$

n

n−e+ f =(¿¿ ' +1)−( e' +1 )+ f ' =n' −e' +f ' ,¿

3an d!ngan a"mi ind"#i$ n' −e' +f ' =2 ,adi$ dalam !tiap #a"$ n−e+ f =2 .

S!#arang !tiap graf bidang t!rh"b"ng d!ngan eii adalah b!nt"# G + k $ "nt"# b!b!rapa

graf bidang t!rh"b"ng G d!ngan e−1 ii dan k ii bar".Ol!h #ar!na it"$ d!ngan ind"#i

bah/a r"m" b!nar "nt"# !m"a graf bidang.

K2nse(ensi 54 Misalkan G adalah graf bidang dengan n simpul , e sisi , f muka , dan

k komponen terhubung . aa

n−e+ f =k +1

K2nse(ensi 55 Misal G 1 dan G 2 adalah 2 graf bidang yang keduanya digambarkan

untuk Graf planar G yang sama.Maka f G 1 ! " fG 2 !, yaitu, G 1 dan G 2 memiliki jumlah

muka yang sama.

Bukti Mial n(G1 ), n(G2 ) m!n"n%"##an %"mlah imp"l dan e(G1 ), e(G2 ) %"mlah ii$maing

2maing dalam G1 , G2. K!m"dian$ #ar!na G1 danG2 #!d"an(a iomorfi #! Gdimili#in(G1 )

= n(G2 ) dan e(G1 ) = e(G2 ). M!ngg"na#an ?orm"la E"l!r didapat#an

f(G1 ) = e(G1 ) - n (G1 ) + 2 = e (G2 ) - n (G2 ) + 2 = f (G2 ),

T!or!ma b!ri#"tn(a m!mb!ritah"#an bah/a graf planar !d!rhana tida# dapat m!mili#i

@t!rlal" ban(a#@ ii.3alam b"#ti dig"na#an d!finii b!ri#"t.

P!rhati#an bah/a d) φ * ≥ "nt"# !tiap φ m"#a int!rior dari graf bidang

!d!rhana.

Te2rea 56 Misalkan G graf planar sederhana dengan n simpul dan e sisi , dimana n≥

3 aae ≤3n−6

B(!i:3!ngan m!nggambar "lang G$ dia"mi#an bah/a G adalah grafbidang )(ang

b!rb!da dari planar*. P!rtama2tama dimial#an G t!rh"b"ng$ ,i#a n < $ artin(a$ m!mili#i

tiga imp"l$ #!m"dian$ #ar!na G!d!rhana$ G m!mili#i paling ban(a# tiga ii$ (ait"$e ≤3 . 3!ngan d!mi#ian

e ≤

(3 x 3) - $ = 3n - $,

!hingga hailn(a adalah b!nar dalam #a" ini.

Mial$ φ !b"ah m"#a dari graf bidang G. did!finii#an d!ra%at dari φ $


10/13

,adi !#arang bia dia"mi#an bah/a n . ,i#a G adalah pohon ma#a e = n - 1

dan !t!r"n(a$ #ar!na n $ didapat#an e %3n - $ . ,i#a G tida# pohon$ #ar!na t!rh"b"ng$

har" m!ngand"ng i#l". S!lan%"tn(a ada i#l" di G pada !tiap ii (ang t!rl!ta# pada

bata m"#a !#t!rior G. K!m"dian$ #ar!na G adalah !d!rhana$ dimili#i ! ) φ * "nt"#

m"#a maing2maing φ m"#a G.

b=∑φϵ Φ

d (φ)

di mana Φ m!n"n%"##an himp"nan !m"a m"#aG. K!m"dian$ #ar!na maing2maing

m"#a m!mili#i !tida#n(a tiga ii pada batan(a$ dimili#i

b ≥3 f

)3i mana f adalah %"mlah m"#aG*. 6am"n$ #!ti#adiimp"l#an "nt"# m!ndapat#an&$

maing2maing ii G dihit"ng !#ali ata" d"a #ali )d"a #ali #!ti#a t!r%adi !p!rti !b"ah

ii m!mbtai d"a m"#a* dan !bagain(a

b ≤2e

3!ngan d!mi#ian

3 f ≤ b ≤2e .

S!&ara #h"" 3 f ≤2e dan !bagain(a −f ≥−2e /3 . S!#arang$ d!ngan

t!or!ma E"l!r$n = e - f B - dan !t!r"n(a

n ≥ e−2e

3+2=

e

3+2

,adi 3n ≥ e+6 yaitu3n−6 $

S!#arang anggaplah G (ang tida# t!rh"b"ng. Mial G1 ,, ... , Gt #ompon!n (ang t!rh"b"ng

dan "nt"# !tiap i, 1 i t$ mial ni !an ei M!n"n%"##an %"mlah imp"l dan maing2

maing ii dalam Gi K!m"dian$ #ar!na maing2maing

Gi adalah graf planar$

dimili#i$ dari arg"m!n di ata$ bah/a ei ≤3ni−6 "nt"# setiap i ,1≤ i ≤ t S!lain it".

n=∑i=1

t

ni dane=∑i=1

t

e i dan sebaainya

e ≤

∑i=1

t

(3n

i

−6

)=3

∑i=1

t

ni

−6 t ≤3n−6


11/13

K2nse(ensi 58 jika G adalah graf planar sederhana maka G memiliki simpul #

dengan derajat kurang dari $, yaitu, ada sebuah # di %G! dengan d #!≤

&.

B(!i:,i#a G han(a m!mili#i at" imp"l$ imp"l ini har" m!mili#i d!ra%at ;. ,i#a G

han(a m!mili#i d"a imp"l ma#a #!d"an(a har" m!mili#i d!ra%atpaling ban(a# 1.3!ngan

d!mi#ian dapat did"ga bah/a n ' $ (ait"$ bah/a G !tida#n(a m!mili#i tiga imp"l.

S!#arang %i#a d!ra%at "nt"# !tiap imp"l dari Gadalah !tida#n(a !nam dimili#i

∑v∈V (G)

d (v )≥6n

6am"n$ d!ngan T!or!ma 1.1 ∑

v∈V

d (v )=2e !,adi -e n dan ! n.#ar!na 4ni tida#

m"ng#in$ m!n"r"t t!or!ma di ata$ ! n 2 . Kontradi#i ini m!n"n%"##an bah/a G har"m!mili#i !tida#n(a at" imp"ldari d!ra%at (ang #"rang dari ama d!ngan .

K2nse(ensi 59 K & adalah nonplanar.

B(!i 3i ini n < 5 dan e=

5 x 4

2=10

!hingga 3n−6=9 . ,adi e≥3n−6 dan

!bagain(a$ d!ngan t!or!ma it"$ G


12/13

T!rn(ata G ganda dari graf bidang G %"ga planar.3it"n%"##an m!ngapa d!mi#ian

adalah dapat digambar#anG !bagai grafbidang. 3ib!ri#an gambar bidang dari G$

t!mpat#an imp"l f dariGdi dalam m"#a (ang !"ai f . ,i#a eii t!rl!ta# di p!rbataan

d"a m"#a f dan pada G$ b!rgab"ng d!ngan d"a imp"l f dan ol!h ii e

m!nggambar#an !hingga m!lintai ii e t!pat at" #ali dan tida# ada m!lintai ii lain

dari G. )Pro!d"r ini maih m!m"ng#in#an %i#a e adalah ii %!mbatan.* dig"na#an

pro!d"r ini pada Gambar 5.5.

,i#a ii eadalah loop dalam G ma#a ii han(a pada bata "m"m dari d"a m"#a$

alah at"n(a$ #ata#anlah f $ t!rl!ta# dalam /ila(ah bidang(ang di#!lilingi ol!h e d!ngan

lainn(a$ #ata#anlah $ t!rl!ta# di l"ar da!rahini. M"#a f tida# m"ng#in at"2at"n(a m"#a

t!rt"t"p ol!h e t!tapi$ %!la dari d!finii G$ !tiap lintaan dari imp"l $ !"ai d!ngan

m"#a$ #! imp"l har" m!ngg"na#an ii e .,adi e adalah !b"ah %!mbatan di G.

S!bali#n(a$ %i#a iie adalah %!mbatan di G$ b!rgab"ng d!ngan imp"l f dan $

ma#a e adalah at"2at"n(a %alan di Gdari f "nt"# f #! . 4ni b!rarti$ dari d!finii G$

bah/a eii dalam G har" m!n(!rta#an alah at" f m"#a dan dan %"gae har" loop.

Unt"# m!ring#a$ eii adalah loop dalam G %i#a dan han(a %i#a e adalah !b"ah

%!mbatan di G.

Gambar 5.5: S!b"ah graf bidang dan d"aln(a

T!r%adin(a iiparall!l padaG m"dah di%!la#an.S!b"ah pi#iran !%!na# har"

m!(a#in#an bah/a$ m!ngingat d"a m"#a f dan padaG$ ma#a ada k ii paral!l antara f

dan di G %i#a dan han(a %i#a f dan m!mili#i k ii pada bata "m"m m!r!#a.

M"ng#in diadari bah/a t!lah did!finii#an d"al dari grafbidang b"#an graf planar.

Alaan ini adalah bah/a b!rb!dan(abidang gambarG

1 danG

2 dari graf planar G

(ang ama dapat m!n(!bab#an non2iomorfi# d"alG

1

¿

dan G

2

¿

.


13/13

Te2rea 516 Misalkan G menjadi graf bidang terhubung dengan n simpul, e

sisi danf fakta.misalkan n', e' dan f ' menunjukkan jumlah simpul-simpul, sisi dan

muka masing-masing dari G'. Kemudian n' " f, e' " e dan f' " n.

B(!in$aFang p!rtama d"a p!ramaan m!ngi#"ti dari d!finii G.Fang #!tiga #!m"dianm!ngi#"ti dari ?orm"la E"l!r #ar!na #!d"a G dan G (ang t!rh"b"ng grafbidang.

S!#arang anggaplah bah/am"#a φ dari graf bidangG$ !"ai d!ngan titi# 0 dari

G$ dimili#ie1

¿

$ ...$en¿

!bagai ii batan(a. K!m"dian$ d!ngan #ontr"#i dariG$

maing2maing e iim!lintai ii (ang !"ai e i dari G$ !p!rti (ang diil"trai#an

pada Gambar 5.5$ ii ini !m"a #!%adian d!ngan imp"l0. Ol!h #ar!na it"$ φ

m!ngand"ng 0titi#.

Kar!na G adalah grafbidang$ %"ga dapat dibang"n d"al dari G$ (ang di!b"t d"al

ganda G dan dilambang#an d!ngan G.3ari p!mbahaan paragraf !b!l"mn(a$ hail

b!ri#"t ini m"ng#in tida# m!ng!%"t#an.

Te2rea 518 Misalkan G menjadi graf bidang terhubung.Kemudian G

isomorfis ke G'' bisa dilakukan dual.

B(!i S!p!rti (ang t!rlihat di ata$ !tiap m"#aφ dari d"alG m!ngand"ng !tida#n(a

at" titi# dari G$ (ait" (ang !"ai titi# 0. S!b!narn(a ini adalah at"2at"n(a titi# dari G

(ang m!ngand"ng φ #ar!na$ m!n"r"t T!or!ma 5.1$ %"mlah m"#a dari Gadalah ama

d!ngan %"mlah imp"l dari G. Ol!h #ar!na it"$ dalam p!mbang"nan d"al ganda G$ dapat

m!milih titi# 0 m!n%adi titi# di G !"ai d!ngan φ m"#a dariG. Pilihan ini m!mb!ri

iomorfima dib"t"h#an.

Makalah Graf Planar

Documents

Transcript of Makalah Graf Planar