RAHMA SISKA UTARI 1

Analisis Varians

1 PENDAHULUAN

Kita tahu bahwa kumpulan hasil pengamatan mengenai sesuatu hal, skor hasil

belajar para siswa, berat bayi yang baru lahir, gaji pegawai di suatu perusahaan

misalnya, nilai datanya bervariasi dari yang satu dengan yang lain. Karena adanya

variasi atau ragam ini untuk sekumpulan data, telah dihitung alat ukurnya, utamanya

varians. Kita lihat juga bahwa varians bersama-sama rata-rata telah banyak digunakan

untuk membuat kesimpulan mengenai populasi , baik secara deskriptif maupun secara

induktif melalui penaksiran dan pengujian hipotesis mengenai parameter.

Dalam bab ini, varians akan dibahas lebih lanjut dengan terlebih dahulu melihat

berbagai jenis varians kemudian menggunakannya untuk pengujian hipotesis melalui

teknik analisis varians, disingkat ANAVA (ANA dari analisis dan VA dari varians).

2. JENIS VARIANS

Secara umum varians dapat digolongkan kedalam varians sistematik dan varians

galat. Varians sistimatik adalah variasi pengukuran karena adanya pengaruh yang

menyebabkan skor atau nilai data lebih condong ke satu arah tertentu dibandingkan

kea rah lain. Setiap pengaruh alami atau buatan manusia yang menyebabkan

terjadinya peristiwa dapat diduga atau diramalkan dalam arah tertentu, merupakan

pengaruh sistematik sehingga menyebabkan terjadinya varians sistematik. Cara

mengajar yang dilakukan seorang ahli secara sistematik mempengaruhi kemajuan

anak didik lebih baik bila dibandingkan dengan kemajuan anak yang diajar

sembarangan, hasil skor ujiannya menggambarkan adanya varians sistematik.

Salah satu jenis varians sistematik dalam kumpulan data hasil penelitian adalah

varians antar kelompok atau kadang-kadang disebut pula varians eksperimental.

Varians ini menggambarkan adanya perbedaan atau variasi sistematik antara

kelompok-kelompok hasil pengukuran. Dengan demikian varians ini terjadi karena

adanya perbedaan antara kelompok-kelompok individu.

Contoh : Misalkan ada empat kelas siswa, tiap kelas banyak muridnya sama, sedang

belajar Inggris, masing-masing kelas diajar oleh seorang guru dan tiap guru

menggunakan metoda mengajar yang berbeda, sebut A, B, C dan D. Nilai

hasil ujian akhir proses belajar untuk tiap metoda, rata-rata seperti berikut :

Metoda A B C D

Rata-rata 67,3 76,5 56,9 63,7

RAHMA SISKA UTARI 2

aggap rata-rata ini sebagai data biasa lalu hitung variansnya; diperoleh

varians antar kelompok A, B, C, dan D. Besarnya dihitung sebagai berikut.

Karena tiap kelas banyak muridnya sama, maka :

Rata –rata untuk keempat rata-rata itu :

7,639,565,763,674

1 = 66,1

Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dikoreksi, yaitu setiap data dikurangi rata-

ratanya lalu dikuadratkan, dan kemudian dijumlahkan, adalah :

(67,3 – 66,1) 2 + (76,5 – 66,1) 2 + (56,9 – 66,1) 2 + (63,7 + 66,1) 2 = 200.

Bagi oleh derajat kebebasannya, ialah banyak kelompok dikurangi satu, jadi

4 – 1 = 3, diperoleh varians antar kelompok A, B, dan D sebesar 66,67.

Contoh : Misalkan dua jenis makanan ayam, (sebut A dan B) dicobakan ; A terhadap

5 ekor ayam dan B terhadap 4 ekor ayam. Segala karakteristik ke-9 ekor

ayam itu (misalnya besarnya, jenisnya, umurnya dan lain-lain) sama. Setelah

20 hari percobaan pertambahan berat dagingnya (dalam ons) ditimbang dan

dicatat. Hasilnya seperti berikut :

Makanan A

3,2 3,7 3,9 3,6 3,5

Makanan B

2,2 2,9 2,5 2,4 -

Pertambahan berat daging karena kedua jenis makanan itu, rata-ratanya

masing-masing x A = 3,58 dan x B = 2,50. Rata-rata ini berbeda, bervariasi

sehingga kita katakan ada varians antar kelompok.

Kita hitung dulu varians ini sebagai berikut.

Karena ukuran sample berbeda, maka rata-rata untuk kedua rata-rata di atas

adalah :

9

)50,2(458,35 = 3,1

RAHMA SISKA UTARI 3

Jumlah kuadrat (JK) dikoreksi untuk makanan A adalah 5(3,58 – 3,1) 2 =

1,152 dan JK dikoreksi untuk makanan B adalah 4(2,50 – 3,1) 2 = 1,44. JK

dikoreksi untuk kedua rata-rata antar kelompok ini adalah 1,152 + 1,44 =

2,592. Jika JK dikoreksi ini dibagi oleh derajat kebebasan kedua rata-rata,

ialah (2-1) = 1, diperoleh varians antar kelompok 2,592.

Sekarang gabungkan ke-9 buah data itu lalu hitung variansnya. Dengan

jalan ini kita peroleh varians lain yang dinamakan varians total. Untuk

menghitung varians total, seperti biasa digunakan rumus yang untuk itu

diperlukan rata-rata ke-9 data, setelah dihitung besarnya 3,1. JK koreksi

total untuk ke-9 data itu adalah

(3,2 - 3,1) 2 + (3,7 – 3,1) 2 + . . . + (2,4 – 3,1) 2 = 31,2. Setelah dibagi oleh

derajat kebebasannya, ialah (9 – 1) = 8 diperoleh varians total sebesar 0,39.

Varians total ini berisikan semua sumber variasi dalam skor yang sudah

diketahui satu diantaranya adalah varians antar kelompok.

Mari kita cari jenis varians lainnya.

Untuk ini kita hitung varians makanan A dan varians makanan B lalu dicari

rata-ratanya. Yang diperoleh adalah varians lain yang dinamakan varians

dalam kelompok atau kadang-kadang disebut juga varians galat.

Perhitungannya adalah sebagai berikut :

JK dikoreksi untuk data makanan A adalah :

(3,2 – 3,58)2 + . . . + (3,5 – 3,58)2 = 0,268 sedangkan

JK dikoreksi untuk data makanan B adalah :

(2,2 – 2,50) 2 + . . . + (2,4 – 2,50) 2 = 0,26.

Kedua JK ini jumlahnya = 0,528. Bagi oleh derajat kebebasannya, ialah

7 (=9 – 2) menghasilkan varians dalam kelompok 0,0754.

Dari contoh di atas diperoleh kenyataan berikut :

JK koreksi antar kelompok = 2,592 dan

JK koreksi dalam kelompok = 0,528 yang jika dijumlahkan menghasilkan 3,12.

Jumlah ini sama dengan JK koreksi total. Memang demikian bahwa untuk jumlah

koreksi ini berlaku aturan :

JK total = JK antar kelompok + JK dalam kelompok.........................XIV(1)

RAHMA SISKA UTARI 4

A. ANALISIS VARIANS SATU ARAH

Dalam bagian ini akan dibahas perluasan, yaitu menguji kesamaan k, (k > 2),

buah rata-rata populasi. Tepatnya, misalkan kita mempunyai k, (k > 2), buah populasi

yang masing-masing berdistribusi independent dan normal dengan rata-rata 1 ,

2 , . . . , k dan simpangan baku berturut-turut 1 , 2 , . . . , k . Akan diuji

hipotesis nol H 0 dengan tandingan H 1 :

KH

H

...:

berlakuak dengan tid sama satu tandasedikit paling:210

1

Selain daripada asumsi kenormalan tentang populasi, untuk pengujian ini juga

akan dimisalkan bahwa populasi bersifat homogen ialah bahwa 22

2

2

1 ... k .

Dari tiap populasi secara independent kita ambil sebuah sample acak, berukuran

n 1 dari populasi kesatu, n 2 dari populasi ke dua dan seterusnya berukuran n k dari

populasi ke k.

Data sample akan dinyatakan dengan Y ij yang berarti data ke-j dalam sample

yang diambil dari populasi ke-i. Untuk memudahkan, sebaiknya data sample disusun

seperti dalam Daftar XIV (1).

DAFTAR XIV(1)

DATA SAMPEL DARI k BUAH POPULASI BERDISTRIBUSI NORMAL

DARI POPULASI KE

1 2 3 . . . . k

Data

Hasil

Pengamatan

Y 11 Y 21 Y 31 . . . . Y 1k

Y 12 Y 22 Y 32 . . . . Y 2k

Y 13 . .

. . .

. . .

. . .

RAHMA SISKA UTARI 5

Y11n Y

22n Y33n . . . . Y

kkn

Jumlah J 1 J 2 J 3 . . . . J k

Rata-rata 1Y 2Y 3Y . . . . kY

Untuk menguji H 0 melawan H 1 yang kita bicarakan, varians-varians inilah

yang akan digunakan, tepatnya varians antar kelompok dan varians dalam kelompok.

Dengan persyaratan tentang populasi seperti tersebut di atas, ternyata bahwa rasio

varians antar kelompok terhadap varians dalam kelompok membentuk statistic F,

tepatnya

F = kelompok dalam varians

kelompokantar varians…………………………………XIV(2)

Statistik inilah yang digunakan untuk menguji H 0 .

Jika kedua varians dalam statistic F di atas dituliskan menggunakan jumlah

kuadrat, maka rumus XIV(2) untuk menguji H 0 berubah menjadi

F =

1/

1/

1

1

2

11

1

2

1

1

nYY

KYYn

k

i

iij

n

i

k

i

k

i

i

…………..…………………XIV(3)

Dengan

Y ij = data ke-j dalam sample ke-i

i = 1, 2, 3, . . , k dan j = 1, 2, . . . , n i

RAHMA SISKA UTARI 6

(n i = ukuran sample dari populasi ke-i).

IY = i-ke sampleuntuk rata-rata/

1

iIJ

n

j

nYi

Y = data semuauntuk rata-rata1

111

nYk

i

ij

n

j

k

i

i

Ternyata bahwa statisitik di atas berdistribusi F dengan dk pembilang

v 1 = (k - 1) dan dk penyebut v 2 = (n 1 + . . . + n k - k). Kriteria pengujian adalah :

tolak H 0 jika F F ).)(1( 21 VV , di mana F ).)(1( 21 VV dapat dilihat dari daftar distribusi F

dengan peluang 1 dan dk = 21.vv . Di sini = taraf nyata untuk pengujian.

Untuk memudahkan perhitungan, rumus XIV(3) diubah seperlunya dan akan

digunakan simbul-simbul berikut :

R y = J 2 / in dengan J = J 1 + J 2 + . . . + J k

A y = yii RnJ )/( 2

2Y = jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dari semua nilai pengamatan

D y = 2Y - R y - A y

R y , A y , D y , dan 2Y merupakan jumlah kuadrat-kuadrat (JK) yang berturut-

turut berdasarkan sumber-sumber variasi rata-rata, antar kelompok, dalam kelompok,

dan total. Setiap JK sumber variasi didampingi oleh derajat kebebasan (dk). Untuk

rata-rata dk = 1 , untuk antar kelompok dk = (k - 1), untuk dalam kelompok dk =

(n i - 1) dan untuk total dk = in .

Jika tiap JK dibagi derajat kebebasannya masing-masing, diperoleh varians

untuk masing-masing sumber variasi yang di sini akan disebut kuadrat tengah (KT).

Dengan jalan membagi KT antar kelompok oleh KT dalam kelompok, maka

diperoleh harga :

F =

1/

1/

iy

y

nD

kA………………………………………….XIV(4)

RAHMA SISKA UTARI 7

yang dapat digunakan untuk menguji hipotesis kesamaan beberapa rata-rata populasi.

Jika harga F ini lebih besar dari F daftar dengan dk pembilang (k – 1) dan dk

penyebut (n i - 1) untuk yang dipilih, maka hipotesis nol H 0 kita tolak.

Analisis untuk menguji kesamaan k buah rata-rata populasi yang dibicarakan di

sini dikenal dengan analisis varians satu arah. Dinamakan demikian karena

analisisnya menggunakan varians dan data hasil pengamatan merupakan pengaruh

satu factor.

Untuk memudahkan analisis, satuan-satuan JK ialah : R y , A y , D y , dan 2Y ,

sebaiknya disusun dalam daftar analisis varians, daftar ANAVA, seperti dapat dilihat

dalam Daftar XIV(2).

DAFTAR XIV(2)

DAFTAR ANALISIS VARIANS UNTUK MENGUJI

H 0 : 1 = 2 = . . . = k

(POPULASI NORMAL HOMOGEN)

Sumber Variasi dk JK KT F

Rata-rata

Antar Kelompok

Dlam Kelompok

1

k - 1

1in

R y

A y

D y

R = R y / 1

A = A y / (k – 1)

D = D y / 1in

A / D

Total in 2Y --- ---

Contoh : Empat macam campuran makanan diberikan kepada kambing dalam rangka

percobaan untuk meningkatkan pertambahan berat dagingnya.

Setelah percobaan selesai, pertambahan berat dagingnya dicatat dan

hasilnya sebagai berikut.

RAHMA SISKA UTARI 8

DAFTAR XIV(3)

PERTAMBAHAN BERAT DAGING KAMBING (DALAM KG)

SETELAH PERCOBAAN SELESAI

PERTAMBAHAN BERAT KARENA MAKANAN KE

1 2 3 4

Data

Hasil

Pengamatan

12 14 6 9

20 15 16 14

23 10 16 18

10 19 20 19

17 22

Jumlah 82 80 58 60

Rata-rata 16,4 16,0 14,5 15,0

Kita misalkan , bahwa pertambahan berat berdistribusi normal dan dalam

bagian Bagian 16, Bab XII, dalam contoh untuk data yang sama tidak diuji

bahwa populasinya mempunyai varians yang homogen, yaitu : 2

1 = 2

2 = 2

3 = 2

4 .

Untuk memperoleh daftar analisis varians, diperlukan harga-harga berikut.

R y =

56,355.418

78400

4455

605880822

A y = 56,355.44

60

4

58

5

80

5

82 2222

= 10,24

2Y = 12 2 + 20 2 + . . . + 18 2 + 19 2 = 4.738

RAHMA SISKA UTARI 9

D y = 4.738 – 4.355,56 – 10,24 = 372,20

Dengan k = 4, in = 18 dan 1in = 14 maka daftar analisis varians atau

ANAVA untuk soal di atas nampak seperti dalam Daftar XIV(4) berikut.

DAFTAR XIV(4)

DAFTAR ANALISIS VARIANS PERTAMBAHAN BERAT DAGING

KAMBING KARENA 4 MACAM MAKANAN

Sumber Variasi dk JK KT F

Rata-rata

Antar Kelompok

Dalam Kelompok

1

3

14

4355,56

10,24

372,20

4355,56

3,41

26,59

0,128

Total 18 4738 - -

Dengan Rumus XIV(4) didapat harga F = 0,128.

Dari daftar distribusi F dengan dk pembilang 3 dan dk penyebut 14 dan peluang

0,95 (jadi = 0,05) didapat F = 3,34. Ternyata bahwa F = 0,128 lebih kecil dari

3,34 ; jadi hipotesis H 0 : 1 = 2 = 3 = 4 diterima dalam taraf nyata 0,05.

Keempat macam campuran makanan itu menyebabkan pertambahan berat badan

kambing yang tidak berbeda secara nyata. Dengan kata lain, keempat macam

makanan itu sama efektifnya sehingga campuran mana saja yang digunakan akan

memberikan hasil yang secara nyata tidak berbeda.

RAHMA SISKA UTARI 10

Daftar Pustaka

Sudjana.2002.Metoda Statistika.Tarsito : Bandung.