INTERPOLATION1.1 Pendahuluan

Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai diantara beberapa titik data yang telah diketahui. Interpolasi banyak digunakan untuk memperkirakan suatu nilai fungsi, yang mana fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data-data atau table, misalnya dari suatu percobaan. Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, diantaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat dan interpolasi Lagrange. 1.2Pembahasana. Interpolasi Linear

Rumus :

b. Interpolasi Kuadratik

Persamaan umum kudratik:F(x) = y = ax2 + bx + c

Untuk mendapatkan nilai a, b dan c, rumus yang digunakan sebgai berikut :

Nilai c

b0 = y0

( y0 = nilai y pertama/awalNilai b

( y1 = nilai y kedua

x0 = nilai x pertama/awal

x1 = nilai x keduaNilai a

Sehingga persamaan kuadratiknya adalah

F(x) = y = b2.x2 + b1.x + b0Contoh :

x0123

y1357

Berapakah nilai Y, apabila nilai x = 2,5 ?

Jawab : Berdasarkan metode Interpolasi Linear

= 1+2(2,5)

= 6Berdasarkan metode Interpolasi Kuadratik

Mencari fungsi kudratik, y = ax2 + bx + cb0 = f(y0)= 1

( c

b1 = 2

( b

b2 = 0

( a

diperoleh fungsi kudratik y = 0x2 + 2x + 1, atau y = 2x + 1dicari x = 2.5

y = 2(2.5) + 1

= 5 + 1

= 6Perhitungan MATLAB Interpolasi Linear

>> x = 0:3;

>> y = [1 3 5 7];

>> yi = interp1(x,y,2.5)

yi =

6

Interpolasi Kuadratik

>> x = 0:3;

>> y = [1 3 5 7];

>> c = polyfit (x,y,2)

c =

-0.0000 2.0000 1.0000>> polyval (c,2.5)

ans =

6.0000

Gambar 1. Perhitungan MATLAB metode Interpolasi Linear

Gambar 2. Perhitungan MATLAB metode Interpolasi KuadratikNumerical Integration2.1 Pendahuluan

Integrasi numerik adalah suatu metode untuk menghitung luas daerah di bawah suatu kurva fungsi pada selang/batas yang diberikan. Jika suatu kurva memiliki suatu luasan yang baku seperti luasan berbentuk persegi panjang atau persegi, maka dapat dihitung dengan mudah.

Namun, pada umumnya integrasi numerik digunakan untuk menghitung luasan kurva untuk fungsi linier, ataupun fungsi kuadrat (polinominal).Ada 2 metode yang dapat digunakan dasar perhitungan integrasi numerik yaitu metode Trapezoidal dan metode Simpson.

2.2Perhitungan Manual

a. Metode Trapezoidal

Metode trapezoid ini dapat diturunkan dengan substitusi fungsi Lagrange orde-1 sebagai f(x) yaitu:

Dengan demikian :

Dimana R adalah suku yang mengandung error komputasi O(h3). Sehingga kita mendapatkan rumus integral trapezoid yaitu:

b. Metode Simpson

Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y = f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

Berikut contoh soal integrasi yang dapat diselesaikan menggunakan metode Trapezoidal dan metode Simpson:

Hitung menggunakan metode trapezoid dan simpson 1/3 dengan jumlah pias N=8!Sebelum menghitung dengan metode numerik, sebaiknya kita hitung dahulu menggunakan metode analitik kemudian hasil akhirnya kita bandingkan.

Misal u = 1+x sehingga

Kita substitusikan menjadi

Solusi metode TrapezoidHasil integral di atas didekati dengan metode trapezoid dengan persamaan:

Dengan N = 8, sehingga nilai h = 0,125

Kita lakukan perhitungan manual terlebih dahulu seperti berikut:

ixiF(xi)

001

10,1250,888

20,250,8

30,3750,7272

40,50,666

50,6250,6153

60,750,571

70,8750,533

810,5

Hasil yang diberikan metode trapezoid memberikan nilai 0,6938.

Solusi metode Simpson 1/3Solusi ini menggunakan persamaan

Dengan tabel yang sama kita dapatkan

Hasil yang didapatkan melalui metode simpson 1/3 adalah 0,69255.Perhitungan MATLAB

Gambar 3. Perhitungan MATLAB metode analitik

(a)

(b)

Gambar 4. (a) Script formula; (b) Hasil perhitungan MATLAB( y2 = nilai y ketiga

x2 = nilai x ketiga