[M9] Momen Inersia

Bab I

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Setiap benda pastilah memiliki titik pusat massa yang merupakan tempat diamana massa benda

bertumpu, dengan perngertian ini maka dapat dipastikan bahwa setiap benda pasti juga memiliki momen inersia yang

besarnya tergantung dari jarak pusat massa ke sumbu putar. Namun pusat massa setiap benda tidaklah sama

meskipun memiliki bentuk fisik yang hampir sama seperti bola pejal dengan bola berongga, sehingga momen inersia

antara bola pejal dengan bola berongga jugalah tidak sama. Untuk mencari momen inersia benda yang memiliki

bentuk atau wujud tertentu seperti silinder pejal, bola dan lain-lain sangatlah mudah. Namun untuk benda yang

berwujud tidak beraturan sangatlah sulit, atas dasar pertimbangan ini maka percobaan tentang momen inersia dengan

kode percobaan M9 dilakukan untuk memberikan solusi dalam mencari momen inersia bagi benda yang berwujud

tidak beraturan seperti yang digunakaan pada percobaan ini adalah mencari momen inersia roda yang berjari-jari R.

1.2 Tujuan Praktikum

Adapun tujuan dari percobaan tentang Momen Inersia dengan kode percobaan M9 adalah sebagai

berikut :

1. Memperkenalkan penggunaan hukum Newton II pada gerak rotasi.

2. Menentukan momen inersia sistem benda berwujud (tidak beraturan) roda sepeda.

1.3 Permasalahan.

Permasalahan yang timbul selama percobaan dapat diklasifikasikan menjadi dua bagian besar yaitu

kesalahan yang ditimbulkan oleh alat yang digunakan dalam praktikum seperti terjadinya selip antara tali dengan

roda sebelum beban yang tergantung pada tali mengalami proses jatuh bebas, tersangkutnya tali pada plat roda

sehinga gerak dari tali menjadi terhenti, terjadi kerusakan pada alat pengukur waktu sehingga harus menunggu

pergantian alat dan kesalahan yang ditimbulkan oleh praktikan seperti keterlambatan dalam pencatatan waktu

sehingga waktu yang diperoleh tidak sama dalam satu percobaan, kekurangan tepat dalam melakukan pengukuran

panjang tali yang digunakan untuk menggantung beban dikarenakan sewaktu tali sudah diukur panjangnya terjadi

selip anatara tali dengan roda sebelum terjadi gerak jatuh bebas seperti yang diharapkan.

1.4 Sistematika Laporan.

Laporan ini disusun dengan menggunakan sistematika sebagai berikut halaman judul, abstrak, daftar

isi, daftar gambar, daftar tabel, daftar grafik, bab pertama berupa pendahuluan yang terdiri dari empat sub bab yaitu

latar belakang, tujuan praktikum, permasalahan, sistematika laporan, bab kedua berupa dasar teori. Bab ketiga

peralatan dan cara kerja yang terdiri dari dua sub bab yaitu peralatan, cara kerja, bab keempat berupa analisis data

dan pembahasan yang terdiri dari dua sub bab yaitu analisis data, pembahasan, bab kelima berupa kesimpulan yang

didapat dari hasil percobaan, daftar pustaka, dan yang terakhir lampiran berupa data yang diperoleh dari percobaan

yang telah dilakukan

1

Bab II

Dasar Teori

Dinamika benda kaku dapat dipecahkan dengan membahas gerak translasi titik pusat massanya dan gerak rotasi

benda tersebut terhadap titik pusat massa ini. Untuk membahas dinamika kita perlu bertolok ukur pada Hukum Newton II untuk

benda berotasi dan perlu diperkenalkan besaran baru seperti momentum sudut dan momen inersia. Untuk paham tentang

momen inersia terlebih dahulu kita harus paham tentang momentum sudut terlebih dahulu untuk lebih mempermudahkan

pemahaman kita.

Kita tinjau dahulu tentang gerak rotasi benda kaku yang melalui suatu sumbu atau dapat juga digunakan titik pusat

massa sebagai titik acuan atau pusat rotasi benda seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.1. Jika benda tegar berputar terhadap

sumbu melalui O (pusat massa) yang tegak lurus pada bidang gambar dengan kecepatan sudut , maka kecepatan partikel ke-i

adalah vi = . ri , mengingat besaran-besaran kecepatan (kecepatan sudut ) dan posisi merupakan besaran vektor maka dapat

dituliskan sebagai berikut :

vi = x ri

Mengingat bahwa partikel yang bergerak dengan kecepatan vi maka momentum linier yang dipunyai oleh tiap

partikel adalah

Pi = mi vi

V1 m1

r1

O m2 r2

r3v2 v3

m3

Gb 2.1 Sistem tiga partikel yang membentuk benda tegar dengan kecepatan masing-masing vi.Selanjutnya momentum sudut didefinisikan sebagai perkalian silang antara vektor posisi r dengan momentum linier

p, sehingga momentum sudut yang dipunyai tiap partikel adalah :

Li = ri x pi = m ri x vi ………….. (1

Dari hukum kedua Newton didapatkan :

Fi = mi ai = d pi ……………… (2

d t

Apabila kita subsitusikan persamaan pertama dengan persamaan kedua maka kita dapatkan persamaan tunggal :

r x F = d L

d t

Sedangkan besar momen gaya adalah = r F sin , dengan adalah sudut yang dibentuk oleh r dengan F,

sedangkan arahnya tegak lurus bidang melalui r dan F. Arahnya dapat ditentukan dengan kaidah tangan kanan bagi perkalian

vektor anatara dua vektor yaitu ayunkan r ke arah F melalui sudut terkecil diantaranya dengan jalan mengepalkan jari-jemari

tangan kanan sedangkan arahnya dapat ditunjukkan dengan ibu jari yang ditegakkan, ini menyatakan arah r.

Momentum linear sangat bermanfaat dalam menanganigerak translasi partikel tunggal maupun sistem partikel

(termasuk benda tegar). Apabila ada sebuah partikel bermassa m dan memiliki momentum linear p pada posisi r relatif terhadap

titik asal O dari suatu kerangka acuan inersial seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.2. Momentum-sudut partikel I terhadapa

titik asal O didefinisikan sebagai berikut :

I = r x p

sedangkan momentum-sudut adalah vektor yang besarnya adalah sebagai berikut :

I = rp sin

2

I z

p

o P x

r

z m

Gb 2.2

dengan adalah sudut antara r dan p yang arahnya tegak lurus kepada bidang yang dibentuk oleh r dan p. Arah yang

ditunjukkan diberikan oleh kaidah tangan kanan yaitu ayunkanlah r kearah p melalui sudut terkecil di antaranya dengan jalan

mengepalkan jari-jemari tangan kanan. Besar I dapat dituliskan baik sebagai :

I = (r sin ) p = pr atau sebagai I = r(p sin ) = rp

dengan r (r sin ) adalah komponen r yang tegak lurus kepada garis kerja p dan p (p sin) adalah komponen p yang tegak

lurus kepada r. Momentum sudut sering juga disebut momen-momentum (linear) dan r dalam persamaan diatas disebut

lengan momen. Diatas juga telah dinyatakan bahwa komponen p yang tegak lurus r yang memberikan sumbangan kepada

momentum sudut. Jika sudut anatar r dan p adalah 0 atau 180 maka tidak ada komponen tegak lurusnya p = sin = 0

sehingga garis kerja p melalui titik asal dan r sama dengan nol maka momentum sudut I sama dengan nol.

Sedangkan hubungan antara torka dengan momentum sudut inilah yang kita jadikan dasar untuk mencari besarnya

momen inersia benda, dimana hubungannya dinyatakan sebagai berikut :

r x F = r x dp

dt

tetapi r x F tidak lain merupakan torka atau momen gaya terhadap O, oleh karena itu dapat dituliskan :

= r x d p

d t

selanjutnya diferensialkan menjadi :

d I = d (r x p)

d t d t

selanjutnya dapat kita dapatkan rumus dasar torka yang dinyatakan sebagai :

= dI / dt

yang menyatakan bahwa kecepatan perubahan momentum-sudut partikel terhadap waktu sama dengan torka yang bekerja pada

partikel tersebut. Hasil ini adalah analog dengan rotasi yang menyatakan bahwa kecepatan perubahan momentum linear partikel

sema dengna gaya yang bekerja padanya yaitu :

F = dp / dt

Dengan adanya analog torka dengan gaya maka selanjutnya dapat dicari momen inersia yang di definisikan sebagai

besaran yang dimiliki sistem / benda untuk menentang gerak rotasinya atau dapat juga dinyatakan sebagai besaran yang analog

dengan massa pada gerak translasi. Dengan demikian sebuah benda yang berputar terhadap sumbu berusaha tetap berputar

mengelilingi sumbu yang sama kecuali dipengaruhi torsi dari luar. Untuk dapat mencari berapa besarnya momen inersia dapat

digunakan Hukum Newton II yang dinyatakan sebagai berikut :

F = m . a

dimana hubungan antara F dengan dapat dinyatakan sebagai berikut :

= F . r

maka dapat dilihat pada gambar 2.3 dimana roda sepeda dengan jari-jariR, massa yang tergantung pada roda sebesar m1 dan

momen inersia I diletakkan pada sumbu statip, sedangkan massa tali yang mengikat beban dapat diabaikan, sehingga

memberikan torsi pada sumbu sebesar :

= I

3

dimana adalah percepatam sudut. Karena juga terjadi percepatan tangensial a maka

a = R atau I = - R / a

Roda

T = F statip

h W

Gb 2.3

Persamaan diatas dapat diselesaikan dengan mudah dengan menggunakan bantuan hukun Newton II untuk gerak rotasi dan

translasi sistem dapat di tuliskan sebagai berikut :

= I . = a / R

= I . a / R ……………………. (1

pada gambar 2.3 tampak bahwa :

W – T = m . a

m.g - T = m . a

T = m . a + m.g ………….. (2

dari persamaan (1) dan (2) didapat :

= T . R

I . a / R = m(g – a) R

I = m.R² (g – a)

a

sehingga momen inersia dapat dirumuskan menjadi :

I = m.R² (g/a – 1)

Cara inilah yang diterapkan dalam percobaan kali ini, hal ini didasarkan bahwa wujud benda yang digunakan tidak

teratur. Apabila digunakan rumusan dasar momen inersia maka akan mengalami banyak kesulitan, namun ada cara lain yang

dapat digunakan untuk mencari momen inersia bagi benda yang memiliki massa diskrit yang dirumuskan sebagai berikut :

I = mi . ri²

dengan ri sebagai jarak mi kesumbu putar, apabila distribusi massa adalah kontinu maka dapat dituliskan sebagai berikut:

I = r² dm

Cara ini dapat dilanjutkan dengan menggunakan prinsip atau dalil sumbu sejajar seperti yang dilukiskan pada

gambar 2.4 dimana keping luasnya = L , density = , massa M = L dengan titik berat di Z. Garis Xo adalah garis luru yang

melalui titik berat Z . Garis g // garis Xo dan berjarak p. Elemen luas dL dan elemen massa dM = dL.

yo

dM

y

z Xo

p

g

4

Gb 2.4

Elemen massa dM ini berlengan y terhadap sumbu (garis) Xo dan berlengan (y + p) terhadap garis g, maka : dIg = (y + p)²

dM

dIg = (y² + 2 py + p²) dL

dIg = y² dL + 2 p² y dL + p² dL

Ig = y² dL + 2p y dL + p² dL

karena y² dL = Iz ; dan y dL = M y , dimana y otomatis bernilai nol jika titik berat berada pada sumbu Xo ,

sehingga :

y dL = 0 ; dL = M

jadi :

Ig = Iz + p² M

Dengan rumus ini momen inersia terhadap sumbu-sumbu sembarang dapat dihitung dengan menggambar sumbu

yang sejajar sumbu tadi melalui titik pusat massa (yang harganya biasanya dapat dilihat ditabel ) dan menambahkan faktor m a²

yaitu perkalian antara massa dengan jarak pisah dua sumbu tadi yang dikuadratkan.

Bab III

Peralatan dan Cara Kerja

3.1 Peralatan.

Peralatan yang digunakan dalam praktikum ini meliputi antara lain :

1. Roda sepeda berserta statip 1 set.

2. Electric stop clock 1 buah.

3. Anak timbangan 1 set.

4. Rollmeter 1 buah.

5. Water pass dan tempat beban 1 buah.

3.2 Cara kerja.

Untuk melakukan percobaan ini diperlukan urutan kerja yang sistematis sebagai berikut :

a. 1. Mengatur roda sepeda seperti pada gambar 3.1.

2. Memeriksa posisi sumbu statip agar tegak lurus bidang dengan menggunakan water pass.

3. Menentukan tinggi antara beban dengan lantai dan melepaskan beban. Mencatat waktu

tempuh beban untuk mencapai jarak h. Melakukan sebanyak lima kali.

4. Melakukan untuk beban yang berbeda sebanyak tiga kali.

5. Melakukan untuk tinggi h yang berbeda.

b. 1. Mengatur tali sehingga beban tergantung tepat pada as roda, demikian pula

dengan posisi sasarannya.

2. Melakukan seperti langkah a dan mengukur jejari roda sepeda.

c. Melakukan percobaan yang lain dengan rumus yang lain, seperti pada tugas pendahuluan.

Gb 3.1

roda

m1 statip

h

Bab IV

Analisa data dan Pembahasan

4.1 Analisa data.

5

Percobaan ini dilakukan dalam tiga tahap dimana dalam setiap tahap terdiri dari empat macam

kondisi yang berbeda sehingga dari percobaan yang telah dilakukan diperoleh data-data sebagai berikut :

Cara I.

Digunakan roda besar dengan jari-jari = 26 cm

Massa benda = 100 gram

Ketinggian = 50 cm

No. Waktu (detik) ( t - t ) ( t - t )²

1. 1,1 0,08 0,0064

2. 1,0 -0,02 0,0004

3. 1,0 -0,02 0,0004

4. 1,05 0,03 0,0009

5. 0,95 -0,07 0,0049

Rata – rata ( t ) = 1,02 detik ( t - t )² = 0,013 detik²

Tabel 4.1

½

Ralat mutlak : = ( t - t )²

n ( n – 1 )

½

= 0,013

20

= 0,0255 detik = 0,03 detik

Ralat nisbi : I = / t x 100 %

= 0,03 / 1,02 x 100 %

= 2,94 %

Keseksamaan : K = 100 % - I

= 100 % - 2,94 %

= 97,06%

Jadi waktu yang diperoleh sebenarnya : (1,02 0,03) detik.


Ketinggian = 70 cm


1. 1,3 0,05 0,0025

2. 1,2 -0,05 0,0025

3. 1,3 0,05 0,0025

4. 1,25 0 0

5. 1,2 -0,05 0,0025

Rata – rata (t ) = 1,25 detik ( t - t )² = 0,01 detik²

Tabel 4.2

½


n ( n – 1 )

½

= 0,01

20

= 0,02236 detik = 0,02 detik


= 0,02 / 1,25 x 100 %

6

= 1,6 %


= 100 % - 1,6 %

= 98,4 %



Ketinggian = 50 cm

Ketinggi

an =

50

cmNo.

Waktu (detik) ( t - t ) ( t - t )²

1. 1,25 -0,11 0,0121

2. 1,45 0,09 0,0081

3. 1,45 0,09 0,0081

4. 1,35 -0,01 0,0001

5. 1,3 -0,06 0,0036


Tabel 4.3

½


n ( n – 1 )

½

= 0,032

20

= 0,04 detik


= 0,04 / 1,36 x 100 %

= 2,94 %


= 100 % - 2,94 %

= 97,06 %



Ketinggian = 70 cm


1. 1,6 0,03 0,0009

2. 1,55 -0,02 0,0004

3. 1,55 -0,02 0,0004

4. 1,55 -0,02 0,0004

5. 1,6 0,03 0,0009


Tabel 4.4

½


n ( n – 1 )

½

7

= 0,003

20

= 0,01225 detik = 0,01 detik


= 0,01 / 1,57 x 100 %

= 0,64 %


= 100 % - 0,64 %

= 99,36 %


Cara II.

Digunakan roda kecil dengan jari-jari = 2,6 cm


Ketinggian = 50 cm


1. 12,8 0,05 0,0025

2. 12,6 -0,15 0,0225

3. 12,75 0 0

4. 12,7 -0,05 0,0025

5. 12,9 0,15 0,0225


Tabel 4.5

½


n ( n – 1 )

½

= 0,05

20

= 0,05 detik


= 0,05 / 12,75 x 100 %

= 0,39 %


= 100 % - 0,39 %

= 99,61 %



Ketinggian = 70 cm


1. 14,55 -0,08 0,0064

2. 14,5 -0,13 0,0169

3. 14,6 -0,03 0,0009

4. 14,75 0,12 0,0144

5. 14,75 0,12 0,0144


Tabel 4.6

½

8


n ( n – 1 )

½= 0,053

20

= 0,05148 detik = 0,05 detik


= 0,05 / 14,63 x 100 %

= 0,34 %


= 100 % - 0,34 %

= 99,66 %



Ketinggian = 50 cm


1. 16,6 0,78 0,6084

2. 16,0 0,18 0,0324

3. 16,5 0,68 0,4624

4. 15 -0,82 0,6724

5. 15 -0,82 0,6724


Tabel 4.7

½


n ( n – 1 )

½

= 2,448

20

= 0,3498 detik = 0,35 detik


= 0,35 / 15,82 x 100 %

= 2,21 %


= 100 % - 2,21 %

= 97,79 %



Ketinggian = 70 cm


1. 19 0,05 0,025

2. 18,75 -0,2 0,04

3. 18,9 -0,05 0,025

4. 19,45 0,5 0,25

5. 18,65 -0,3 0,09


Tabel 4.8

9


n ( n – 1 )

½

= 0,43

20

= 0,1466 detik = 0,15 detik


= 0,15 / 18,95 x 100 %

= 0,77 %


= 100 % - 0,77 %

= 99,23 %


Cara III.

Digunakan dua beban dan roda besar dengan jari-jari = 26 cm

Massa benda I = 100 gram

Massa benda II = 50 gram

Ketinggian = 50 cm


1. 1,41 0,078 0,0061

2. 1,35 0,028 0,0008

3. 1,3 -0,022 0,0005

4. 1,3 -0,022 0,0005

5. 1,25 -0,072 0,0052


Tabel 4.9

½


n ( n – 1 )

½

= 0,0131

20

= 0,0256detik = 0,03 detik


= 0,03 / 1,322 x 100 %

= 1,93 %


= 100 % - 1,93 %

= 98,07 %


4.2 Pembahasan.

Berdasarkan data dari percobaan yang telah dilakukan diperoleh waktu yang diperlukan oleh benda

untuk melakukan gerak jatuh bebas dimana dari waktu ini dapat dicari berapa percepatan yang diperlukan oleh benda

10

untuk melakukan gerak jatuh bebas. Setelah percepatan diketahui maka momen inersia dari roda sepeda yang

digunakan dalam percobaan dapat dicari sebagai berikut :

Cara I : roda besar dengan jari – jari = 26 cm = 0,26 m.

1. Massa beban = 100 gram = 0,1 kg.

Ketinggian = 50 cm = 0,5 m.

Waktu rata – rata = 1,02 detik

Percepatan benda diperoleh dengan menggunakan rumus :

a = 2 h

t²

a = 2 . 0,5

(1,02)²

a = 0,96 m/detik²

Momen inersia roda besar adalah : I = m R² (g/a - 1)

= 0,1 . 0,26² (9,8/0,96 - 1)

= 0,03 . 9,21

= 0,28 kgm²





a = 2 h

t²

a = 2 . 0,7

(1,25)²

a = 0,9 m/detik²


= 0,1 . 0,26² (9,8/0,9 - 1)

= 0,03 . 9,89

= 0,3 kgm²





a = 2 h

t²

a = 2 . 0,5

(1,36)²

a = 0,54 m/detik²


= 0,05 . 0,26² (9,8/0,54 - 1)

= 0,0034 . 17,1481

= 0,058 kgm²





a = 2 h

t²

a = 2 . 0,7

(1,57)²

a = 0,568 m/detik²


11

= 0,05 . 0,26² (9,8/0,568 - 1)

= 0,003 . 16,254

= 0,049 kgm²

Cara II : roda kecil dengan jari – jari = 2,6 cm = 0,026 m.





a = 2 h

t²

a = 2 . 0,5

(12,75)²

a = 0,006 m/detik²

Momen inersia roda kecil adalah : I = m R² (g/a - 1)

= 0,1 . 0,026² (9,8/0,006 - 1)

= 0,000068 . 1632,33

= 0,11 kgm²





a = 2 h

t²

a = 2 . 0,7

(14,63)²

a = 0,0065 m/detik²


= 0,1 . 0,026² (9,8/0,0065 - 1)

= 0,000068 . 1506,6923

= 0,10 kgm²





a = 2 h

t²

a = 2 . 0,5

(15,82)²

a = 0,004 m/detik²


= 0,5 . 0,026² (9,8/0,004 - 1)

= 0,0003 . 2449

= 0,73 kgm²





a = 2 h

t²

a = 2 . 0,7

(18,95)²

12

a = 0,0039 m/detik²


= 0,5 . 0,026² (9,8/0,0039 - 1)

= 0,00003 . 2511,8205

= 0,08 kgm²

Cara III : menggunakan dua beban dan roda besar dengan jari – jari = 26 cm = 0,26 m.

1. Massa beban I = 100 gram = 0,1 kg.

Masssa beban II = 50 gram = 0,05 kg.




a = 2 h

t²

a = 2 . 0,5

(1,322)²

a = 0,57 m/detik²

Momen inersia roda besar adalah : I = R²[g/a(m1 – m2)-(m1 + m2)]

= 0,26²[9,8/0,57(0,1 – 0,05) – (0,1 + 0,05)]

= 0,07 (0,86 – 0,15)

= 0,05 kgm²

Dari perhitungan diatas tampaklah bahwa antara cara 1, cara 2, dan cara 3 terdapat perbedaan tentang besarnya

momen inersia roda sepeda hal ini disebabkan wujud benda yang digunakan berbeda serta jarak massa antara cara 1 dan cara 2

berbeda meskipun letak poros atau sumbu putar sejajar antara roda besar dengan roda kecil sehingga sesuai dengan teori yang

tersebut diatas yang menyatakan bahwa momen inersia suatu benda meskipun wujud fisik hampir mirip namun memiliki

momen inersia yang berbeda-beda. Maka jelaslah bahwa momen inersia sangat tergantung pada jarak partikel massa (dalam

percobaan ini digunakan beban) terhadap sumbu putar yang dapat dirumuskan I = r² dm (apabila massa berupa elemen

yang sangat kecil). Namun pada cara 3 agak berbeda dengan cara 1 sebab disini digunakan dua beban yang memiliki berat yang

berbeda yang digantung bersebelahan sehingga momen inersia yang timbul sangat tergantung pada perbedaan berat kedua

benda / beban tersebut sehingga hasil yang didapat berbeda dengan yang didapat dengan menggunakan cara 1 dan pada cara 3

hanya diterapkan untuk roda sepeda besar dan tidak digunakan untuk roda kecil.

Apabila diinterprestasikan data-data diatas dalam grafik maka didapat dua macam grafik yaitu grafik I terhadap m

dan I terhadap a, berikut ini merupkan wujud dari grafik tersebut :

Grafik I terhadap m :

Sumbu x = m

Sumbu y = I

Sumbu x = m 0,1 kg 0,005 kg

Sumbu y = I 0,28 kgm² 0,058 kgm²

Grafik 4.1

Grafik I terhadap a :

Sumbu x = a

Sumbu y = I

Sumbu x = a 0,96 kg 0,568 kg

Sumbu y = I 0,28 kgm² 0,058 kgm²

Grafik 4.2

Bab V

Kesimpulan

Berdasarkan pada percobaan yang telah dilakukan maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

Cara I : roda besar dengan jari – jari = 26 cm = 0,26 m.



13

Waktu rata – rata = 1,02 detik.

Percepatan = 0,98 m/detik².

Momen inersia = 0,28 kgm².
















Cara II : roda kecil dengan jari – jari = 2,6 cm = 0,026 m.





















Cara III : menggunakan dua beban dan roda besar dengan jari – jari = 26 cm = 0,26 m.

1. Massa beban I = 100 gram = 0,1 kg.

Masssa beban II = 50 gram = 0,05 kg.



Percepatan = 0,57 m/detik²

Momen inersia = 0,05 kgm²

Apabila diinterprestasikan dalam bentuk grafik maka didapat grafik fungsi linear antara I terhadap m dan grafik

fungsi parabola antara grafik I terhadap a.

14

[M9] Momen Inersia

Documents

Transcript of [M9] Momen Inersia