LUAS DAERAH KURVA & NOTASI SIGMA - Aswad's Room · Sehingga luas daerah aproksimasi A terhadap S...
Transcript of LUAS DAERAH KURVA & NOTASI SIGMA - Aswad's Room · Sehingga luas daerah aproksimasi A terhadap S...
LUAS DAERAH KURVA & NOTASI SIGMA
Muhammad Hajarul Aswad A MK: Kalkulus 2
Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK)
Tadris Matematika
Konsep Luas
Daerah S adalah dibatasi oleh fungsi kontinu y = f(x)
dari a ke b dengan f(x) ≥ 0, garis x = a, garis x = b,
dan sumbu-x.
28/02/2017 email: [email protected] 2
28/02/2017 email: [email protected] 3
Contoh 1
Tentukan luas daerah S
seperti yang terlihat pada
gambar di samping.
28/02/2017 email: [email protected] 4
Penyelesaian
Luas daerah di bawah kurva y = x2
adalah hasil penjumlahan dari S1 +
S2 + S3 + S4.
Lebar S1 = S2 = S3 = S4 = ¼;
Daerah S1, S2, S3, dan S4
dipandang sebagai suatu
rectangular / segiempat seperti
yang terlihat pada Gambar (b)
selanjutnya.
28/02/2017 email: [email protected] 5
Penyelesaian
Gambar (b) disamping selanjutnya
disebut dengan bentuk rectangular and
right end-point dimana tinggi masing-
masing rectangular adalah nilai fungsi
f(x) = x2 pada titik sebelah kanan dari
sub-interval [0, ¼], [¼, ½], [½, ¾], dan
[¾, 1].
Sehingga:
R4 = ¼ (¼)2 + ¼ (½)2 + ¼ (¾)2 + ¼ (1)2
= 15/32
≈ 0,46875
Luas Aproksimasi A dari S < R4 atau A < 0,46875
28/02/2017 email: [email protected] 6
Lanjutan...
Gambar disamping selanjutnya disebut
dengan rectangular and left end-point.
Lebar masing-masing poligon = ¼
tingginya adalah nilai fungsi f(x) = x2
pada titik sebelah kiri dari sub-interval
[0, ¼], [¼, ½], [½, ¾], dan [¾, 1]
Sehingga:
L4 = ¼ (0)2 + ¼ (¼)2 + ¼ (½)2 + ¼ (¾)2
= 7/32
≈ 0,21875
Luas Aproksimasi A dari S > L4 atau A
> 0,21875
28/02/2017 email: [email protected] 7
Lanjutan...
Sehingga luas daerah aproksimasi A terhadap
S yakni
0,21875 < A < 0,46875
28/02/2017 email: [email protected] 8
Perhatikan bahwa, nilai aproksimasi A dari S
dapat semakin mendekati nilai S apabila daerah
S dibagi ke dalam n poligon dengan n → ∞.
Lanjutan...
Berdasarkan tabel di
samping terlihat bahwa
nilai A ≈ 0,3333335
(nilai rata-rata dari Ln dan
Rn untuk n = 100)
28/02/2017 email: [email protected] 9
∎
Contoh 2
Berdasarkan Contoh 1, tunjukkan bahwa
lim𝑛→∞
𝑅𝑛 =1
3
28/02/2017 email: [email protected] 10
Penyelesaian
Masing-masing rectangular
memiliki lebar yang sama yakni
1/n dengan tinggi adalah nilai
dari fungsi f(x) = x2 pada titik 1/n,
2/n, 3/n, ..., n/n; dalam hal ini
(1/n)2, (2/n)2, (3/n)2, ..., (n/n)2.
Sehingga diperoleh Rn seperti
berikut:
28/02/2017 email: [email protected] 11
Lanjutan ...
28/02/2017 email: [email protected] 14
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa
lim𝑛→∞
𝑅𝑛 =1
3
Sehingga jelas bahwa
A = lim𝑛→∞
𝑅𝑛 = lim𝑛→∞
𝐿𝑛 =1
3
∎
• Contoh 1 dan 2
dapat diperluas
untuk
menghitung luas
daerah di bawah
kurva
• Perhatikan
gambar di
samping.
28/02/2017 email: [email protected] 15
• Lebar interval [a, b] adalah b – a sehingga
∆𝑥 =𝑏 − 𝑎
𝑛
• Batas interval untuk masing-masing S1 s/d Sn adalah
• Jelas bahwa x0 = a dan xn = b.
• Titik sebelah kanan dari masing-masing sub-interval
tsb adalah
28/02/2017 email: [email protected] 16
• Nilai aproksimasi S dengan melakukan pendekatan
berdasarkan poligon luar adalah
28/02/2017 email: [email protected] 17
Definisi 1.
Luas wilayah aproksimasi A dari S yang terletak di
bawah kurva fungsi kontinu f adalah limit dari
jumlah seluruh wilayah aproksimasi yang berbentuk
rectangular;
atau
28/02/2017 email: [email protected] 18
Perluasan dari Defenisi 1.
28/02/2017 email: [email protected] 19
• Perhatikan notasi sigma berikut:
• Sehingga, bentuk
dapat ditulis dalam bentuk notasi sigma sebagai
berikut:
28/02/2017 email: [email protected] 20
Contoh 3
28/02/2017 email: [email protected] 21
Notasi Sigma
Terdapat bentuk khusus yang menarik untuk
diperhatikan:
28/02/2017 email: [email protected] 23
Pembuktiannya
ditinggalkan
sebagai latihan
Contoh 4
28/02/2017 email: [email protected] 24
S e l e s a i ...
28/02/2017 email: [email protected] 26
Latihan
Tentukan formula yang tepat dari bentuk sigma
berikut:
28/02/2017 email: [email protected] 27
Latihan
5. (a). Estimasi luas daerah di bawah kurva fungsi
kontinu f(x) = 1 + x2 dari x = -1 ke x = 2.
Gunakan pendekatan rectangular and right
end-point dengan membagi daerah kurva
menjadi 6 rectangular.
(b). Estimasi luas kurva tsb dengan menggunakan
pendekatan rectangular and left end-point
28/02/2017 email: [email protected] 28