LOGIKA MATEMATIKABAGIAN 3: ALJABAR PROPOSISI DAN PENARIKAN SIMPULAN

HUKUM ALJABAR PROPOSISI (ATURAN PENGGANTIAN)

Digunakan untuk membuktikan: Dua proposisi ekivalen (selain menggunakan

tabel kebenaran) Suatu proposisi tautologi atau kontradiksi (selain

menggunakan tabel kebenaran) Membuktikan kesahan suatu argumen

1. Hukum Idempoten (Idem)o ( p v p ) po ( p p ) p

2. Hukum Assosiatif (As) ( p v q ) v r p v ( q v r ) ( p q ) r p ( q r )

3. Hukum Komutatif (Kom) ( p q ) ( q p ) ( p v q ) ( q v p )

4. Hukum Distributif (Dist)( p v q ) r ( p r ) v ( q r )( p q ) v r ( p v r ) ( q v r )

5. Hukum Identitas (Id)o p v F po p v T To p F Fo p T p

6. Hukum Komplemen (Komp)o p v ~ p To p ~ p Fo ~(~ p) po ~(T) F dan ~ (F) T

7. Transposisi (trans)o p q ~ q ~ p

8. Hukum Implikasi (imp)o p q ~ p v q

9. Hukum Ekivalensi (Eki)p q ( p q ) ( q p )p q ( p q ) v ( ~ p ~ q )

10. Hukum Eksportasi (Eks)o p ( q r ) ( p q ) r

11. Hukum de Morgan (DM)~ ( p q ) ~ p v ~ q~ ( p v q ) ~ p ~ q

CONTOH SOAL

1. Buktikan bahwa: p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) menggunakan aturan penggantian.

Penyelesaian: p ⇒ (q ∧ r) ≡ ~ p v (q ∧ r) (Imp) ≡ (~ p v q) ∧ (~ p v r) (Dist) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) (Imp) Terbukti

2. Buktikan bahwa ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu kontradiksi dengan menggunakan aturan penggantian

Penyelesaian: ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) ek (((-p) v (-q)) (-((-p) v (-q)))) ((-((-p) v (-q))) ((-p) v (-q))) ⇒ ∧ ⇒

(eki)(-((-p) v (-q)) v (-((-p) v (-q)))) (-(-((-p) v (-q))) v ((-p) v (-q))) ∧

(Imp, DM)((-(-p) -(-q)) v (-(-p) -(-q))) (((-p) v (-q) v ((-p) v (-q))) ∧ ∧ ∧

(DM, komp)((p q) v (p q) ((-p) v (-q)) (komp, idem)∧ ∧ ∧(p q) ((-p) v (-q)) (idem)∧ ∧((p q) (-p)) v ((p q) (-q)) (dist)∧ ∧ ∧ ∧ (p (-p) q) v (p (q (-q))) (Kom, Ass)∧ ∧ ∧ ∧

(F ∧ q) v (p ∧ F) (Komp)F v F (Komp)F ( Idem)Jadi ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu

kontradiksi

3. Buktikan argumen berikut ini sah menggunakan aturan penggantian

p q⇒ -q / -p∴ Penyelesaian Argumen di ubah menjadi bentuk implikasi yaitu ((p q) (-q)) (-p)⇒ ∧ ⇒ Perhatikan bahwa ((p q) (-q)) (-p) ek⇒ ∧ ⇒-((p q) (-q)) v (-p) (Imp)⇒ ∧(-(p q) v –(-q)) v (-p) ⇒ (DM)(-(p q) v q) v (-p) (Komp)⇒ (-(-p v q) v q) v (-p) (Imp)((-(-p) (-q)) v q ) v (-p) (DM)∧((p (-q)) v q ) v (-p) (Komp)∧ ((p v q) ((-q) v q)) v (-p) (Dist)∧

((p v q) T ) v (-p)∧ (Komp)(pv q) v (-p) (ident) p v (q v (–p)) (Ass) p v ((-p) v q) (Kom) (p v (-p)) v q (Ass) T v q (komp) T (Ident)Jadi argumen sah.

ATURAN PENYIMPULAN1. Modus Ponens (MP) p q⇒ p ∴ q2. Modus Tollens (MT) p q⇒ -q ∴ -p3. Silogisme (Sil) p q⇒ q r⇒ ∴ p r⇒

4. Distruktif Silogisma (DS) p v q -p ∴ q5. Konstruktif Delema (KD) (p q) (r s)⇒ ∧ ⇒ p v r ∴ q v s6. Distruktif Delema (DD) (p q) (r s)⇒ ∧ ⇒ -q v -s ∴ -p v -r

7. Simplifikasi (Simp) p q∧ ∴ p8. Adisi (Ad) p ∴ p v q9. Konjungsi (Konj) p q ∴ p q∧

CONTOH SOAL Buktikan kesahan argumen berikut ini menggunakan aturan penyimpulan 1. a b 2. c d 3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c

Penyelesaian: 1. a b 2. c d 3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c 4. (a b ) ( c d ) 1,2 Conj 5. ( ~b v ~d ) 3, Simpl 6.~ a v ~c 4,5 DD(Argumen sah)

ATURAN BUKTI BERSYARAT (ABB)

Catatan1. ABB dapat digunakan apabila konklusi

argumen merupakan implikasi2. Prosedur pembuktian ABB yaitu menarik

antiseden dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) dan konsekuennya menjadi konklusi argumen

CONTOH SOALBuktikan kesahan argumen berikut ini dengan ABB1. (a v b) (c d)⇒ ∧2. (d v e) f / a f⇒ ⇒∴3. a / f (asumsi)∴4. a v b (3 Ad)5. (c d)∧ (1,4 MP)6. d (5 simp)7. d v e (6 ad)8. f (2,7 MP)9. a f 3 s.d 8 ABB⇒

BUKTI TAK LANGSUNG

Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan)

Dengan menggunakan aturan penyimpulan dan hukum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi

Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Distruktif Silogisma

CONTOH SOAL Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan

BTL 1. a v (b ∧ c)2. a⇒ c / ∴ c3. -c (asumsi)4. -a (2,3 MT)5. -a v b ( 4 Ad)6. a ⇒ b (5 Imp)7. (a v b) ∧ (a v c) ( 1 Dist)8. a v c (7 Simp)9. c v a (8 Kom)10. -c ⇒ a ( 9 imp)11. a (10,3 MP)

12. a ∧ -a (11,4 Konj)13. a v c ( 11 Ad)14. c ( 13,4 DS)