Logika Matematika

SMK BHAKTI KENCANA

By JUHARA, S.Pd.

LOGIKA MATEMATIKAStandar KompetensiMenerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

Kompetensi Dasar1.Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan2.Mendeskripsikan negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya3.Mendeskripsikan invers, konvers, dan kontraposisi4.Menerapkan modus ponens, modus tollens, dan prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan

RUANG LINGKUP MATERI

A. PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAANB. TABEL KEBENARAN SUATU PERNYATAAN (PERNYATAAN MAJEMUK dan NEGASINYA)

LOGIKA MATEMATIKA

C. PERNYATAAN BERKUANTOR dan NEGASINYA

D. INVERS, KONVERS DAN KONTRAPOSISI

E. PENARIKAN KESIMPULAN

A. Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran.

Nilai kebenaran sebuah pernyataan hanya bernilai benar atau salah dan tidak kedua- duanya terjadi bersamaan.Perhatikan kalimat-kalimat berikut:1.Jakarta adalah ibu kota negara Indonesia.2.Setiap yang berseragam adalah pelajar.3.Matematika termasuk pelajaran ilmu sosial.4.Apakah pelajaran matematika menyenangkan?5.Wanita yang berkerudung seorang muslimah.6.Melaksanakan shalat bagi muslim wajib.7.15 X 34 = (15 X 30) + (15 X 4)8.3x – 5 = 139.24 + 35 83 – 1710. 2x + 3 13

(pernyataan)

(bukan pernyataan)

(pernyataan)(bukan perny)

(bukan perny)(pernyataan)

(pernyataan)

(bukan pernyataan)

(pernyataan)(bukan pernyataan)

B. Tabel Kebenaran1. Negasi (Ingkaran)

Negasi (Ingkaran) dari suatu pernyataan benar adalah salah, dan negasi dari suatu pernyataan salah adalah benar.

Negasi (Ingkaran) dari suatu pernyataan dapat dinyatakan dengan menambah kata tidak, bukan, tidak benar bahwa di depan suatu pernyataan atau disesuaikan dengan tata bahasa yang baik dan benar.Negasi dari pernyataan p dilambangkan dengan p.Jika pernyataan benar dilambangkan dengan B dan pernyataan salah dilambangkan dengan S, maka tabel kebenarannya adalah:

p p

B S

S B

Contoh

1. p : Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia.

p : Jakarta adalah bukan ibu kota negara Republik Indonesia.

(Benar)

(Salah)

2. p : Arus listrik yang dikeluarkan batu baterai adalah

arus bolak-balik.(Salah)

p : Arus listrik yang dikeluarkan batu baterai adalah bukan arus bolak-balik.

(Benar)

3. p : Tidak benar bahwa segitiga sama sisi ukuran ketiga sudutnya sama besar.(Salah)

p : Segitiga sama sisi ukuran ketiga sudutnya sama besar. (Benar)

Latihan :

Tentukan negasi dan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut :

1. Bilangan 7482 habis dibagi 3.

2. Jumlah dua buah bilangan ganjil selalu genap.

3. Tidak benar bahwa 2 merupakan bilangan prima.

4. Ukuran sisi-sisi belahketupat tidak sama panjang.

5. Lingkaran berdimeter 14 cm lebih luas dari persegi yang panjang sisinya 14 cm.

6. Ikan paus dan lumba-lumba termasuk mamalia.

7. Harimau dan srigala bukan hewan carnivora.

8. Tidak semua wanita muslimah memakai jilbab.

9. Setiap muslim wajib melaksanakan shalat.

10. Setiap yang memabukkan hukumnya haram.

2. Disjungsi

Jika dua pernyataan digabungkan dengan kata atau, maka pernyataan majemuk yang diperoleh disebut disjungsi.

Pernyataan-pernyataan pembentuk disjungsi disebut disjung-disjung (alternatif).

Disjungsi ada dua jenis yaitu:a.Disjungsi inklusif (mencakup) notasinya v.b.Disjungsi eksklusif (memisah) notasinya v.

p q

B

S

S

B

Disjungsi inklusif Disjungsi eksklusif

p v q

B

B

S

S

B

B

B

S

p q

B

S

S

B

p v q

B

B

S

S

S

B

B

S

Tabel Kebenaran

Contoh disjungsi inklusif :p : 2 adalah bilangan genapq : 2 adalah bilangan primap v q : 2 adalah bilangan genap atau bilangan prima

Contoh disjungsi eksklusif :p : hari ini turun hujanq : hari ini cuaca cerahp v q : hari ini turun hujan atau cuaca cerah

Diketahui:p : Harimau binatang menyusuiq : Harimau binatang buasTentukan kalimat majemuk dari:a. p v q

a. Harimau binatang menyusui atau binatang buas

b. p v q

b. Harimau binatang tidak menyusui atau binatang buas

c. p v q

c. Harimau binatang menyusui atau binatang tidak buas

d. p v q

d. Harimau binatang tidak menyusui atau binatang tidak buas

e. (p v q)

e. Tidak benar bahwa harimau binatang menyusui atau buas

Jawaban:

Lengkapilah tabel kebenaran berikut:

p q p q p v q p v q p v qp v q

(p v q)

p q p q p v q p v q p v qp v q

(p v q)

Tabel 1.

Tabel 2.

S

S S

SB

B B

B B

B B

BS

S S

S B

S

B

B

B

B

S

B

S

B

B

B

B

S

B

B

S

B

S

S

S

S S

SB

B B

B B

B B

BS

S S

S B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

3. Konjungsi

Jika dua pernyataan digabungkan dengan kata dan, maka pernyataan majemuk yang diperoleh disebut konjungsi.

Pernyataan-pernyataan pembentuk konjungsi disebut konjung-konjung.

Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p q (dibaca p dan q).

p q

B

S

S

B

Tabel kebenaran konjungsi

p q

B

B

S

S

B

S

S

S

Suatu konjungsi bernilai benar bila konjung-konjungnya bernilai benar.

Contoh konjungsi :p : Kambing hewan berkaki empatq : Kambing hewan pemakan rumputp q : Kambing hewan berkaki empat dan pemakan rumput

Diketahui:p : Harimau binatang menyusuiq : Harimau binatang buasTentukan kalimat majemuk dari:

a. p q

a. Harimau binatang menyusui dan buas

b. p q

b. Harimau binatang tidak menyusui dan buas

c. p q

c. Harimau binatang menyusui dan tidak buas

d. p q

d. Harimau binatang tidak menyusui dan tidak buas

e. (p q)

e. Tidak benar bahwa harimau binatang menyusui dan buas

Jawaban:

(Benar)(Benar)

(Benar)


p q p q p q p q p qp q

(p q)

a b a b a b a v b a (a v b) b v ( a b)

Tabel 1.

Tabel 2.

S

S S

SB

B B

B B

B B

BS

S S

S S

S

S

B

B

S

S

S

S

S

B

S

S

B

S

S

B

B

B

S

S

S S

SB

B B

B B

B B

BS

S S

S S

S

S

B

B

S

B

B

B

S

S

S

S

B

B

B

4. Implikasi

Pernyataan majemuk yang berbentuk jika p maka q disebut implikasi ditulis p q.

Notasi p q dibaca : 1)jika p maka q2)p hanya jika q3)p syarat yang cukup untuk q4)q syarat perlu untuk p

p q

B

S

S

B

p q

B

B

S

S

B

S

B

B

Jika p dan q dua buah pernyataan, maka tabel kebenaran implikasi, adalah sebagai berikut;

Contoh implikasi :p : Ahmad rajin belajarq : Ahmad lulus ujian nasionalp q : Jika Ahmad rajin belajar, maka Ahmad lulus

ujian nasional

Diketahui:p : Hari ini cuaca mendungq : Hari ini akan turun hujanTentukan kalimat majemuk dari:a. p q

a. Jika hari ini cuaca mendung, maka hari ini akan turun hujan

c. p q

b. Jika hari ini akan turun hujan, maka hari ini cuaca mendung

d. q p

c. Jika hari ini cuaca tidak mendung, maka hari ini tidak akan turun hujan

d. Jika hari ini tidak akan turun hujan, maka hari ini cuaca tidak mendung

b. q p

Jawaban:


p q p q p q p q p qp q

q p

a b a b a v b (a b) (a v b) (a v b) (a b)

Tabel 1.

Tabel 2.

S

S S

SB

B B

B B

B B

BS

S S

S B

B

S

B

B

S

B

B

B

B

B

S

S

B

B

B

S

B

B

B

S

S S

SB

B B

B S

S S

BS

B B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

5. Biimplikasi

Pernyataan majemuk yang berbentuk p jika dan hanya jika q disebut biimplikasi (bikondisional) ditulis p q.

Notasi p q dibaca : 1)p jika dan hanya jika q2)p ekuivalen q3)p syarat yang cukup dan perlu untuk q

p q

B

S

S

B

p q

B

B

S

S

B

S

S

B

Jika p dan q dua buah pernyataan, maka tabel kebenaran biimplikasi, adalah sebagai berikut;

Contoh biimplikasi :p : Panjang rusuk kubus A 5 cm2

q : Volum kubus A 125 cm3

p q : Panjang rusuk kubus A 5 cm2 jika dan hanya jika volum kubus A 125 cm3

Diketahui:p : ABC adalah segitiga siku-sikuq : Salah satu sudut segitiga ABC besarnya 900

Tentukan kalimat majemuk dari:a. p q

a. ABC adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika salah satu sudut segitiga ABC besarnya 900

c. p q

b. Salah satu sudut segitiga ABC besarnya 900 jika dan hanya jika ABC adalah segitiga siku-siku

d. q p

c. ABC adalah bukan segitiga siku-siku jika dan hanya jika salah satu sudut segitiga ABC besarnya bukan 900

d. Salah satu sudut segitiga ABC besarnya bukan 900 jika dan hanya jika ABC adalah bukan segitiga siku-siku

b. q p

Jawaban:

C. Pernyataan Majemuk Yang EkuivalenDua pernyataan majemuk atau lebih yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi (setara secara logika) notasinya .Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar.

Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya tidak selalu benar dan tidak selalu salah (bukan tautologi dan bukan kontradiksi).

Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu salah.

Perhatikan contoh berikut:

p p p v p

B S

S B

p p p p

B S

S B

p p p p

B S

S B

B

B

Tautologi

S

S

Kontradiksi

S

B

Kontingensi

Lengkapilah !

p q p q p q p v q (p v q) p q (p q)p v q

B B

B S

S B

S S

p qp

q

p q p q p q (p q) p q (p q) (pq) v (pq)

B B S S

B S S B

S B B S

S S B B

Lengkapilah !

Berdasarkan tabel kebenaran tersebut:(p v q) p q demikian pula (p q) p v q (De Morgan)

B

B B

BS

S S

S S

S

S

B B

B

S

B

B

S

S

S

S

S

S

B

S

B

B

B

S

B

B

B

B

S

B

B

B

B

S

S B

S

S

S

S

B

S

S

S

B

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

Berdasarkan tabel kebenaran tersebut:(p q) p q dan (p q) (p q) v (p q)

D. Pernyataan Berkuantor & NegasinyaKalimat terbuka yang mengandung kata semua atau beberapa disebut pernyataan berkuantor.Kuantor dibedakan menjadi dua jenis yaitu kuantor universal dan eksistensial.

2. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan dibaca ada atau beberapa.

1. Kuantor universal (umum) dilambangkan dengan dibaca untuk semua atau untuk setiap.

Contoh 1:p : Semua siswa SMK Kesehatan berseragam rapi p : Tidak semua siswa SMK Kesehatan berseragam rapip : Ada siswa SMK Kesehatan tidak berseragam rapip : Beberapa siswa SMK Kesehatan tidak berseragam rapi

Contoh 2:p : Ada penyakit yang tidak ada obatnya p : Setiap penyakit ada obatnyap : Semua penyakit ada obatnya

E. Konvers, Invers dan KontraposisiDari pernyataan majemuk p q , kita dapat membuat pernyataan implikasi lain, yaitu : 1. Konvers : q p2. Invers : p q3. Kontraposisi : q p

Lengkapi tabel kebenaran berikut :

p q p q p q q p p q q p

B B

B S

S B

S S

Dari tabel diperoleh:p q q pq p p q

B

B B

BS

S S

S

B

S

B

B

B

S

B

B

B

B

B

S

B

B

B

S

ekuivalen

ekuivalen

F. Pernarikan Kesimpulan

Dalam proses penarikan kesimpulan digunakan beberapa pernyataan dan konklusi. Pernyataan-pernyataan dalam penarikan kesimpulan disebut premis atau antenseden dan konklusi merupakan konsekuensi atau kesimpulan.

Dalam logika ada beberapa cara dalam mengambil suatu kesimpulan yang disebut sebagai argumen-argumen yaitu; modus ponens, modus tollens dan silogisme

Suatu argumen dikatakan sah apabila pernyatan implikasi dari konjungsi premis-premis dengan konklusinya tautologi.

1. Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)

p q (premis 1) atau p (premis 1)p (premis 2) p q (premis 2)

q (konklusi) q (konklusi)

Jadi [(p q) p] q atau [p (p q)] q tautologi

Perhatikan tabel kebenaran berikut :

p q p q (p q) p [(p q) p] q

B B

B S

S B

S S

Dari tabel terbukti bahwa [(p q) p] q sebuah tautologi (valid/absah).

B

S

B

B

S

S

B

S

B

B

B

B

Contoh Modus Ponens

Jika saklar ditekan, maka lampu menyala (premis 1)

Saklar ditekan (premis 2) Lampu menyala (konklusi)

Jika ia rajin belajar, maka ia naik kelas (premis 1) Ia rajin belajar (premis 2)

Ia naik kelas (konklusi)

Hari ini mendung (premis 1) Jika hari ini mendung, maka turun hujan (premis 2)

Hari ini turun hujan (konklusi)

Budi malas belajar (premis 1)

Jika Budi malas belajar, maka ia tidak lulus (premis 2) Budi tidak lulus (konklusi)

2. Modus Tollens (Kaidah Penolakan Akibat)

p q (premis 1) q (premis 2)

p (konklusi)

Jadi [(p q) q] p (tautologi)


p q p q p q (p q) q [(p q) q] p

B B

B S

S B

S S

Dari tabel terbukti bahwa [(p q) q] p sebuah tautologi (valid/absah).

B

S

S

B

B

B

S

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

B

Contoh Modus Tollens

Jika saklar ditekan, maka lampu menyala (premis 1)

Lampu tidak menyala (premis 2) Saklar tidak ditekan (konklusi)

Jika ia rajin belajar, maka ia akan naik kelas (premis 1)

Ia tidak naik kelas (premis 2) Ia tidak rajin belajar (konklusi)

Jika hari ini mendung, maka akan turun hujan (premis 1)

Hari ini tidak turun hujan (premis 2) Hari ini tidak mendung (konklusi)

Jika Budi bersalah, maka ia akan dihukum (premis 1)

Budi tidak dihukum (premis 2) Budi tidak bersalah (konklusi)

3. Silogisma

1. Silogisma Disjungsi p q (premis 1) q (premis 2)

p (konklusi)

Jadi [(p q) q] p (tautologi)


p q p q p q (p q) q [(p q) q] p

B B

B S

S B

S S

Dari tabel terbukti bahwa [(p q) q] p sebuah tautologi (valid/absah).

B

S

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

S

B

S

S

B

B

B

B

Contoh Silogisma Disjungsi

Ahmad bermain sepakbola atau bulutangkis (premis 1)

Ahmad tidak bermain bulutangkis (premis 2) Ahmad bermain sepakbola (konklusi)

Budiman sedang belajar atau nonton televisi (premis 1)

Budiman tidak nonoton televisi (premis 2) Budiman sedang belajar (konklusi)

Hari ini cuaca cerah atau mendung (premis 1) Hari ini cuaca tidak mendung (premis 2)

Hari ini cuaca cerah (konklusi)

Jakarta terkena wabah malaria atau kolera (premis 1)

Jakarta tidak terkena wabah kolera (premis 2) Jakarta terkena wabah malaria (konklusi)

2. Silogisma Hipotetikp q (premis 1) q r (premis 2)

p r (konklusi)

Jadi [(p q) (q r)] p r) tautologi


p q r p q q r p r (pq) (qr) [(pq) (qr)] (pr)

B B B

B B S

B S B

B S S

S B B

S B S

S S B

S S S

Dari tabel terbukti bahwa [(p q) (q r)] (p r) sebuah tautologi.

S

B

B

S

B

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

B

S

S

B

B

B

B

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Contoh Silogisma Hipotetik

Jika ia rajin belajar, maka ia akan naik kelas (premis 1)

Jika ia naik kelas, maka ibunya akan senang (premis 2) Jika ia rajin belajar, maka ibunya akan senang

(konklusi)

Jika cuaca mendung, maka akan turun hujan (premis 1) Jika turun hujan, maka acara dibatalkan (premis 2)

Jika cuaca mendung, maka acara dibatalkan (konklusi)

Jika ia lulus ujian, maka ia akan bahagia (premis 1)

Jika ia bahagia, maka ia akan bersyukur (premis 2) Jika ia lulus ujian, maka ia akan bersyukur (konklusi)

Jika ia beriman, maka ia akan bertaqwa (premis 1)

Jika ia bertaqwa, maka ia akan masuk surga (premis 2) Jika ia beriman, maka ia akan masuk surga (konklusi)

Logika Matematika

Documents

Transcript of Logika Matematika