Logika dan Pembuktian

LOGIKA DAN PEMBUKTIAN-PEMBUKTIAN

1.1 Logika Proposisi

1.2 Penerapan Logika Proposisi

1.3 Ekuivalensi Proposisi

1.4 Predikat dan Kuantor

1.5 Kuantor Bersusun

Isnaendi Ruhyana

90115005

Magister Pengajaran Matematika

1. Logika Proposisi

Proposisi adalah kalimat yang memuat fakta

yang bernilai benar atau salah namun tidak

keduanya

Apa itu proposisi?

Berikut ini adalah contoh beberapa proposisi. Manakah proposisi

yang bernilai benar?

1. Jakarta adalah ibukota negara Indonesia

2. Bandung berada di provinsi Jawa Tengah

3. 1+1=2

4. 2+2=3

Proposisi 1 dan 3 bernilai benar sedangkan proposisi 2 dan 4

bernilai salah

Berikut ini adalah contoh beberapa kalimat yang bukan proposisi:

1. Pukul berapa sekarang?

2. Bacalah teks berikut dengan saksama!

3. x+1=2

4. x+y=z

Mengapa kalimat-kalimat tersebut bukan termasuk proposisi?

Kalimat 1 dan 2 bukan kalimat yang memuat fakta

Kalimat 3 dan 4 tidak dapat ditentukan benar atau salah

• Definisi 1

Misalkan p sebuah proposisi. Negasi p (dilambangkan dengan

¬p) adalah pernyataan “ tidak benar bahwa p”.

¬p dibaca bukan p

Nilai kebenaran ¬p bertentangan dengan nilai kebenaran p

Contoh :

Smartphone Vandana mempunyai memori ≥ 32 GB

Negasinya :

• Tidak benar bahwa smartphone Vandana

mempunyai memori paling sedikit 32 GB

• Smartphone Vandana tidak mempunyai memori

paling sedikit 32 GB

• Smartphone Vandana mempunyai memori < 32

GB

Nilai

Kebenaran

p dan ¬p

p ¬p

B S

S B

NEGASI

• Definisi 2

Misalkan p dan q proposisi. Konjungsi dari p dan q

(dilambangkan dengan p ᴧ q) bernilai benar apabila p dan q

keduanya benar.

Nilai Kebenaran

Konjungsi p dan q

p q p ᴧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

Contoh :

Calon mahasiswa Pascasarjana ITB

dinyatakan diterima apabila nilai TPA ≥ 475

dan TOEFL ≥ 475

KONJUNGSI

DILARANG MEMBAWA

MAKANAN DAN MINUMAN

KE DALAM RUANGAN INI

• Definisi 3

Misalkan p dan q proposisi. Disjungsi p dan q (dilambangkan

dengan p v q) adalah proposisi p atau q. Nilai kebenaran

disjungsi p v q bernilai salah apabila p dan q keduanya salah.

Contoh :

Mahasiswa di ruangan ini gemar membaca atau

menulis.

Nilai Kebenaran

Disjungsi p dan q

p q p v q

B B B

B S B

S B B

S S S

DISJUNGSI

• Inclusive or dan exclusive or

• Contoh exclusive or :

Jenis kelamin manusia terdiri dari laki-laki atau perempuan.

Nilai Kebenaran

inclusive or

p q p v q

B B B

B S B

S B B

S S S

Nilai Kebenaran

exclusive or

p q 𝑝⊕ 𝑞

B B S

B S B

S B B

S S S

• Definisi 5

Misalkan p dan q proposisi.

Implikasi p→q adalah proposisi jika p maka q. Implikasi p→qbernilai salah apabila p benar dan q salah.

p disebut sebagai hipotesis (premis) sedangkan q disebut sebagai kesimpulan (konklusi)

Nilai Kebenaran

Implikasi p dan q

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Contoh :

Jika saya rajin belajar maka saya akan

lulus ujian.

IMPLIKASI

• Konvers, Invers dan kontraposisi

Implikasi

𝑝 → 𝑞Konvers

𝑞 → 𝑝

Invers

¬𝑝 → ¬𝑞Kontraposisi

¬𝑞 → ¬𝑝

Bernilai salah untuk

p benar dan q salah


¬p salah dan ¬q benar


¬p benar dan ¬q salah


p salah dan q benarKesimpulan:

p → q ≡ ¬q → ¬p

q → p ≡ ¬p →¬q

• Definisi 6

Misalkan p dan q proposisi. Argumentasi biimplikasi dari p↔q

adalah proposisi p jika dan hanya jika q. Biimplikasi bernilai

benar ketika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.

Nilai Kebenaran

Biimplikasi p dan q

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Contoh : Anda dapat naik pesawat jika dan

hanya jika sudah memiliki tiket.

BIIMPLIKASI

Komposisi majemuk adalah gabungan beberapa proposisi yang

dihubungkan dengan operator logika (¬, ˄, ˅, →, ↔). Contoh

komposisi majemuk p˄q, pvq, p→q, p↔q.

Precedence

(tingkat prioritas)

Operator Precedence

¬ 1

˄ 2

˅ 3

→ 4

↔ 5

KOMPOSISI MAJEMUK

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran (p v ¬q) → (p˄q)

menggunakan tabel kebenaran!

p q ¬q p v ¬q p˄q (p v ¬q) → (p˄q)

B B S B B B

B S B B S S

S B S S S B

S S B B S S

p q p˄q p v q p⊕q

1 1 1 1 0

1 0 0 1 1

0 1 0 1 1

0 0 0 0 0

BIT OPERATION

Nilai kebenaran dalam logika dapat diterjemahkan dalam bentuk bit sehingga

dapat diterjemahkan oleh komputer. Jika suatu proposisi benar maka bernilai

1, jika salah bernilai 0. Perhatikan tabel kebenaran berikut untuk dapat

memahami penggunaan bit oleh komputer.

1.2 Penerapan Logika Proposisi

Logika banyak digunakan dalam berbagai ilmu

seperti matematika, sains komputasi.

Mengapa bahasa dalam bentuk logika banyak digunakan?

Pernyataan-pernyataan dalam matematika, sains dan bahasa

umum sering tidak tepat atau ambigu (bermakna ganda). Oleh

karena itu perlu digunakan bahasa logika untuk

menghilangkan ambiguitas tersebut.

Spesifikasi Sistem

Teka-teki Logika

Logic Circuit

1.3 Ekuivalensi Proposisi

• Definisi 1

Proposisi majemuk yang selalu benar apapun nilai kebenaran

variabelnya disebut tautologi. Proposisi majemuk yang selalu

salah disebut kontradiksi. Proposisi majemuk yang tidak

termasuk tautologi dan kontradiksi disebut kontingensi.

p ¬p p v ¬p p ˄ ¬p p → ¬p

B S B S S

S B B S B

Tautologi Kontradiksi Kontingensi

Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

• Definisi 2

Proposisi majemuk p dan q disebut ekuivalen jika p↔q

merupakan tautologi. Notasi p ≡ q menunjukkan bahwa p dan q

ekuivalen.

Ekuivalensi Logika

p q p v q ¬(p v q) ¬p ¬q ¬p ˄ ¬q

¬(p v q) ↔ (¬p ˄ ¬q)

B B B S S S S B

B S B S S B S B

S B B S B S S B

S S S B B B B B

Contoh :

Tunjukkan bahwa ¬(p v (¬p ˄ q)) dan ¬p ˄ ¬q ekuivalen

menggunakan hukum-hukum yang ada pada tabel 6!

Proposisi yang satisfiable

Proposisi majemuk disebut satisfiable jika terdapat satu

penugasan nilai kebenaran variabel-variabelnya sehingga

proposisi itu bernilai benar. Jika tidak ada penugasan yang

membuat proposisi itu benar maka disebut unsatisfiable.

Contoh :

Tentukan apakah setiap gabungan proposisi berikut satisfiable!

a. (p v ¬q) ˄ (q v ¬r) ˄ (r v ¬p)

b. (p v q v r) ˄ (¬p v ¬q v ¬r) dan

c. (p v ¬q) ˄ (q v ¬r) ˄ (r v ¬p) ˄ (p v q v r) ˄ (¬p v ¬q v ¬r)

a. (p v ¬q) ˄ (q v ¬r) ˄ (r v ¬p) bernilai benar apabila p,q,r memiliki nilai

kebenaran yang sama. Jadi, (p v ¬q) ˄ (q v ¬r) ˄ (r v ¬p) satisfiable

karena terdapat satu penugasan yang membuat proposisi itu benar.

b. (p v q v r) ˄ (¬p v ¬q v ¬r) bernilai benar apabila terdapat salah satu

dari p,q,r bernilai benar dan terdapat salah satu dari p,q,r bernilai salah.

Jadi (p v q v r) ˄ (¬p v ¬q v ¬r) satisfiable karena terdapat satu

penugasan yang membuat proposisi itu bernilai benar.

c. (p v ¬q) ˄ (q v ¬r) ˄ (r v ¬p) bernilai benar apabila p,q,r memiliki nilai

kebenaran yang sama, sedangkan (p v q v r) ˄ (¬p v ¬q v ¬r) bernilai

benar apabila terdapat salah satu dari p,q,r bernilai benar dan terdapat

salah satu dari p,q,r bernilai salah. Terdapat kontradiksi pada nilai p,q,r.

Jadi (p v ¬q) ˄ (q v ¬r) ˄ (r v ¬p) ˄ (p v q v r) ˄ (¬p v ¬q v ¬r)

unsatisfiable karena tidak terdapat penugasan yang membuat proposisi itu

bernilai benar.

Contoh Penerapan Satisfiable

Contoh penerapan satisfiable terdapat pada salah satu game logika

bernama sudoku. Untuk memahami tentang game sudoku,

perhatikan video berikut!

1.4 Predikat dan KuantorPredikat

x > 3

Subjek Predikat

P(x) = x > 3

Fungsi Proposisi

Contoh :

Misalkan Q(x,y) menyatakan pernyatan “x=y+3”. Tentukan

nilai kebenaran dari proposisi Q(1,2) dan Q(3,0)!

Untuk menguji Q(1,2) substitusikan x=1 dan y=2 ke pernyataan

Q(x,y).

Karena Q(1,2) menyatakan “1=2+3” maka Q(1,2) bernilai salah.

Karena Q(3,0) menyatakan “3=0+3” maka Q(3,0) bernilai benar.

Kuantor

Ketika variabel-variabel yang ada di fungsi proposisi

menghasilkan beberapa nilai, proposisinya mempunyai

beberapa nilai kebenaran. Untuk menyatakan nilai

kebenaran dari fungsi proposisi ini digunakan konsep

kuantifikasi. Kuantifikasi menyatakan predikat mana yang

benar dari elemen hasil. Kita akan fokus membahas dua

jenis kuantor. Kuantor universal yang menyatakan predikat

benar untuk setiap elemen yang memenuhi. Kuantor

eksistensial menyatakan terdapat satu atau lebih elemen

yang memenuhi yang membuat predikat menjadi benar.

Kuantor Universal

Definisi 1

Kuantor universal dari P(x) adalah pernyataan

“P(x) untuk semua nilai x yang ada di domain”

Notasi ∀ xP(x) menyatakan kuantor universal P(x). ∀melambangkan kuantor universal. ∀ xP(x) dibaca untuk

semua x P(x)” atau untuk setiap x P(x).” Sebuah elemen

yang membuat P(x) salah disebut contoh penyangkal dari

∀xP(x).

Contoh 1 :

Misalkan P(x) adalah pernyataan “x+1>x” Apakah nilai kebenaran kuantor

∀xP(x) dengan domain terdiri dari semua bilangan real?

Karena P(x) benar untuk semua bilangan real x, maka kuantor ∀xP(x)

benar.

Contoh 2 :

Misalkan Q(x) adalah pernyataan “x < 2” Apakah nilai kebenaran

kuantor ∀xQ(x) dengan domain terdiri dari semua bilangan real?

Q(x) tidak benar untuk semua bilangan real x karena Q(3) bernilai salah.

Jadi x=3 merupakan contoh penyangkal untuk pernyataan ∀xQ(x)

sehingga ∀xQ(x) bernilai salah.

Mencari contoh penyangkal untuk kuantor universal penting dalam

pembelajaran matematika. Ketika semua elemen domain dituliskan

sebagai 𝑥1, 𝑥2, ...., 𝑥𝑛, maka ∀xP(x) sama dengan konjugasi P(𝑥1) ˄

P(𝑥2) ˄ … ˄ P(𝑥𝑛). Konjugasi bernilai benar jika dan hanya jika P(𝑥1),

P(𝑥2), … . ,P(𝑥𝑛) semua benar.

Kuantor Eksistensial

Definisi 2

Kuantor eksistensial dari P(x) adalah proposisi

“Terdapat sebuah elemen x di domain sehingga P(x)”

Notasi ∃xP(x) untuk menyatakan kuantor eksistensial dari

P(x). ∃ disebut kuantor eksistensial.

Contoh 1 :

Misalkan P(x) menyatakan “x > 3” Apakah nilai kebenaran dari ∃xP(x)

dengan domain terdiri dari semua bilangan real?

Karena x>3 bernilai benar untuk nilai x tertentu seperti x=4, maka ∃xP(x)

benar.

Contoh 2 :

Misalkan Q(x) menyatakan “x=x+1”. Apakah nilai kebenaran ∃xQ(x)

dengan domain terdiri dari semua bilangan real?

Karena Q(x) bernilai salah untuk setiap bilangan real x, kuantor

eksistensial ∃xQ(x) salah.

Ketika semua elemen domain dituliskan sebagai 𝑥1, 𝑥2, ...., 𝑥𝑛, kuantor

eksistensial ∃xP(x) sama dengan disjungsi P(𝑥1) v P(𝑥2) v ... v P(𝑥𝑛).Disjungsi bernilai benar jika dan hanya jika salah satu dari P(𝑥1),

P(𝑥2), … . ,P(𝑥𝑛) benar.

Kuantor

Pernyataan Kapan bernilai benar? Kapan bernilai salah?

∀xP(x) P(x) benar untuk setiap x Terdapat satu x yang

membuat P(x) salah

∃xP(x) Terdapat satu x yang

membuat P(x) benar

P(x) salah untuk setiap

x

Kuantor yang Bersifat Unik

Kita telah mempelajari kuantor universal dan kuantor

eksistensial. Terdapat kuantor bersifat unik yang

dilambangkan ∃! yang dapat dinyatakan dengan “terdapat

tepat sebuah x yang membuat P(x) benar.

Contoh: ∃!x(x-1=0). Nilai x yang memenuhi hanya x=1.

Kuantor Dengan Domain Terbatas

Apa maksud dari pernyataan ∀x<0 (𝑥2>0), ∀y ≠0 (𝑦3 ≠0),

dan ∃z>0 (𝑧2=2) dengan domain terdiri dari bilangan real?

Pernyataan ∀x<0 (𝑥2>0) menyatakan bahwa untuk setiap

bilangan real x dengan x<0, 𝑥2 >0. Dengan kata lain,

“kuadrat dari bilangan real negatif adalah positif.

Pernyataan ini sama dengan ∀x(x<0 → 𝑥2>0)

Pernyataan ∀y ≠ 0 ( 𝑦3 ≠ 0) menyatakan bahwa untuk

setiap bilangan real y dengan y≠0, berlaku 𝑦3 ≠0. Dengan

kata lain, “pangkat tiga dari setiap bilangan real tak nol

adalah bilangan tak nol.” Pernyataan ini sama dengan

∀y(y ≠0 → 𝑦3 ≠0).

Pernyataan ∃z>0 ( 𝑧2 =2) menyatakan bahwa terdapat

sebuah bilangan real z dengan z>0, sehingga 𝑧2 =2.

Dengan kata lain, “terdapat akar 2 positif.” Pernyataan ini

sama dengan ∃z(z > 0 ˄ 𝑧2=2)

Precedence (prioritas) Kuantor

Kuantor ∀ dan ∃ mempunyai prioritas tertinggi daripada semua operator

logika berdasarkan kalkulus proposisi. Misalkan ∀xP(x) v Q(x) adalah

disjungsi antara ∀xP(x) dan Q(x). Dengan kata lain, (∀xP(x)) v Q(x), bukan

∀x (P(x) v Q(x))

Variabel Terikat

Ketika sebuah kuantor digunakan untuk variabel x, maka dapat dikatakan

variabel ini terbatas. Variabel yang tidak terikat oleh kuantor atau dibuat

sama dengan nilai tertentu disebut variabel bebas.

Contoh : ∃x(x+y=1). Variabel x terikat pada kuantor ∃x, tetapi y adalah

variabel bebas karena tidak terikat kuantor dan tidak nilai yang membatasi

varibel ini.

Logika Ekuivalen yang Mengandung Kuantor

Pernyataan yang mengandung predikat dan kuantor termasuk logika

ekuivalen jika dan hanya jika mereka memiliki nilai kebenaran yang sama,

tidak masalah predikat mana yang disubtitusikan ke pernyataan ini dan

domain mana yang digunakan untuk variabel pada fungsi proposisi. Kita

gunakan notasi S ≡ T untuk menyatakan dua pernyataan S dan T yang

mengandung predikat dan kuantor adalah logika ekuivalen.

Contoh:

Tunjukkan bahwa ∀x(P(x) ˄ Q(x)) dan ∀xP(x) ˄ ∀xQ(x) logika ekuivalen.

Misalkan kita memiliki predikat P dan Q dengan domain yang sama. Kita

tunjukkan dengan dua cara yaitu jika ∀x(P(x) ˄ Q(x)) benar maka ∀xP(x) ˄∀xQ(x) benar. Lalu jika ∀xP(x) ˄ ∀xQ(x) benar maka ∀x(P(x) ˄ Q(x))

benar.

Misalkan ∀x(P(x) ˄ Q(x)) benar, berarti jika a di domain maka P(a) ˄ Q(a)

benar. Jadi P(a) benar dan Q(a) benar. Karena P(a) benar Q(a) benar

untuk setiap elemen domain, dapat disimpulkan ∀xP(x) ˄ ∀xQ(x) benar.

Kemudian misalkan ∀xP(x) ˄ ∀xQ(x) benar, berarti ∀xP(x) benar dan

∀xQ(x) benar. Karena a ada di domain maka P(a) benar dan Q(a) benar.

Jadi untuk semua a, P(a) ˄ Q(a) benar maka ∀x(P(x) ˄ Q(x)) benar.

Dengan demikian ∀x(P(x) ˄ Q(x)) ≡ ∀xP(x) ˄ ∀xQ(x).

Negasi Pernyataan Berkuantor

Untuk memahami bentuk negasi dari pernyataan berkuantor, coba pahami

contoh berikut.

Contoh :

Semua mahasiswa di kelas ini telah mengikuti mata kuliah kalkulus.

Jika kita tuliskan bentuk kuantornya menjadi ∀xP(x) dengan P(x) adalah

pernyataan x telah mengikuti mata kuliah kalkulus dan domain x adalah

mahasiswa di kelas ini. Negasi dari pernyataan tersebut adalah “Tidak

benar bahwa semua mahasiswa di kelas ini telah mengikuti mata kuliah

kalkulus. Dengan kata lain terdapat mahasiswa di kelas ini yang belum

mengikuti mata kuliah kalkulus. Pernyataan ini adalah bentuk dari kuantor

∃x¬P(x). Dengan demikian, ¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x).

Contoh Penerapan Kuantor dari Lewis Carroll

Semua singa adalah hewan buas

Beberapa singa tidak minum kopi

Beberapa hewan buas tidak minum kopi

Misalkan :

p : x adalah singa

q : x adalah hewan buas

r : x minum kopi

∀x(P(x) → Q(x))

∃x(P(x) ˄ ¬R(x))

∃x(Q(x) ˄ ¬R(x))

1.5 Kuantor BersusunSetelah mempelajari beberapa macam kuantor pada sesi 1.4, kita akan

belajar tentang kuantor bersusun. Kuantor bersusun banyak digunakan

dalam pernyataan matematika. Konsep-konsep kuantor yang telah kita

pelajari pada sesi 1.4 merupakan dasar untuk memahami konsep

kuantor bersusun.

Memahami Kalimat yang Mengandung Kuantor Bersusun

Perhatikan contoh-contoh penggunaan kuantor bersusun pada

pernyataan matematika berikut!

Asumsikan domain x dan y adalah bilangan real

Urutan Kuantor-Kuantor

Misalkan Q(x,y) menyatakan “x+y=0”. Bagaimana nilai kebenaran kuantor

bersusun ∃y∀xQ(x,y) dan ∀x∃yQ(x,y)?

∃y∀xQ(x,y) menyatakan bahwa terdapat bilangan real y sehingga untuk

setiap bilangan real x berlaku Q(x,y). Berapapun nilai y yang dipilih maka

terdapat satu nilai x yang memenuhi x+y=0. Karena tidak ada bilangan

real y yang dapat memenuhi x+y=0 untuk setiap bilangan real x maka

pernyataan ∃y∀xQ(x,y) salah.

∀x∃yQ(x,y) menyatakan bahwa untuk setiap bilangan real x maka

terdapat bilangan real y berlaku Q(x,y). Diberikan sebuah bilangan real x

maka terdapat satu bilangan real y sehingga berlaku x+y=0. Nilai y = -x.

Dengan demikian ∀x∃yQ(x,y) benar

Berdasarkan contoh ini maka dapat dilihat bahwa ∃y∀xQ(x,y)

dan ∀x∃yQ(x,y) tidak ekuivalen.

Menerjemahkan Pernyataan Matematika ke Dalam Pernyataan yang

Mengandung Kuantor Bersusun.

Gunakan kuantor untuk menyatakan definisi limit fungsi bernilai real f(x) dari

variabel real x pada titik a di domain!

Definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = L adalah untuk setiap bilangan real 휀>0 terdapat bilangan

real 𝛿>0 sehingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 apabila 0< 𝑥 − 𝑎 <𝛿 .

Bentuk kuantornya adalah ∀휀∃𝛿∀𝑥(0< 𝑥 − 𝑎 <𝛿 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀). Dapat pula ditulis sebagai ∀휀 > 0∃𝛿 > 0∀𝑥(0< 𝑥 − 𝑎 <𝛿 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀).

Menerjemahkan Kuantor Bersusun ke Kalimat Biasa

Terjemahkan kuantor bersusun berikut

C(x) menyatakan “x mempunyai komputer”

F(x,y) menyatakan “x dan y adalah teman”

Domain x dan y adalah siswa di sekolahmu

Makna dari kuantor tersebut adalah untuk setiap siswa x di

sekolahmu, x mempunyai komputer atau terdapat siswa y

sehingga y mempunyai komputer dan x dan y berteman.

Dengan kata lain, setiap siswa di sekolahmu mempunyai

komputer atau punya teman yang mempunyai komputer.

Menerjemahkan Kalimat Biasa ke Kalimat Logika

Tuliskan pernyataan berikut ke dalam kalimat logika berkuantor!

Jika seseorang adalah wanita dan merupakan orang tua, maka orang ini

adalah ibu dari seseorang

Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai “Untuk setiap orang x, jika orang

x adalah wanita dan merupakan orang tua,maka terdapat orang y

sedemikian sehingga x adalah ibu dari y.

F(x) menyatakan x adalah wanita

P(x) menyatakan x adalah orang tua

M(x,y) menyatakan x adalah ibu dari y

Pernyataan tersebut menjadi ∀x((F(x) ˄ P(x)) → ∃yM(x,y)

Dapat pula ditulis sebagai ∀x∃y ((F(x) ˄ P(x)) → M(x,y))

Negasi Kuantor Bersusun

Gunakan kuantor dan predikat untuk menyatakan bahwa lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) tidak ada

untuk f(x) fungsi bernilai real dari variabel real x dan a di domain.

Karena lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) tidak ada maka lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ≠ L.

Kita gunakan contoh sebelumnya tentang definisi limit.

¬∀휀 > 0∃𝛿 > 0∀𝑥(0< 𝑥 − 𝑎 <𝛿 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀).

TERIMA KASIH

ATAS

PERHATIANNYA

SOAL-SOAL LATIHAN

Exercise 1.1 nomor 15, 27, dan 32 (hal. 14-15)



Exercise 1.4 nomor 7, 14, dan 34 (hal. 53-55),

Exercise 1.5 nomor 1, 19, 31 (hal. 64-67)

Logika dan Pembuktian

Education

Transcript of Logika dan Pembuktian