logika

LOGIKA MATEMATIKA

MAKALAH

Oleh

Agung Mujiyono NIM 101810301009

Tia Lestari NIM 101810301012

Kamaludin Husna Hudaya NIM 101810301017

Cinde Puspita Wulandari NIM 101810301020

Ach. Haris Efendy NIM 101810301021

Yeni Patmawati NIM 101810301029

Moch. Yoris Alidion NIM 101810301044

A Saenimun’im H NIM 101810301047

Achmad Sholikhudin NIM 101810301051

JURUSAN KIMIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS JEMBER

2010

BAB 1

PENGERTIAN LOGIKA DAN PERNYATAAN

1.1. Pengertian Logika

Logika (logic) berasal dari bahasa Yunani “logos” yang berarti

“kata”,”ucapan”,atau “alasan”. Logika dapat diartikan ilmu yang berhubungan

dengan prinsip- prinsip validitas penalaran dan argumen- argumen.

Logika adalah suatu studi yang sisitimatik tentang struktur proposisi dan

syarat- syarat umum mengenai penalaran yang sahih dengan menggunakan metode

yang mengesampingkan isi atau bahan proposisi dan hanya membahas bentuk

logisnya saja. (Soekardijo)

Menurut kamus matematika oleh Borowsky, dijelaskan bahwa logika adalah

prinsip dan metode khas yang dipergunakan dalam argumentasi atau penalaran yang

tidak memperhatikan isi atau konteks dari penalaran.

1.1.1. Notasi

Adalah alat bantu untuk menyatakan sesuatu. Notasi menyingkap kalimat

verbal yang panjang dengan suatu simbol yang ringkas.

1.1.2. Definisi

Menurut Borowsky dan Borwein [1] definisi- definisi pernyataan yang tepat

tentang suatu istilah (definiendum) dengan menggunakan istilah lain yang ekuivalen

(definien).

1.2. Pernyataan

Pernyataan (statement) adalh suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar

saja,atau salah saja,tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Contoh:

1. Sekarang hari hujan.

1. Besok ada kuliah dan praktikum di laboratorium.

(Nilai kebenaran kedua pernyataan di atas tergantung pada realitas yang

dinyatakanya)

1.2.1.Pernyataan Tunggal

Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang hanya mengandung satu pokok

persoalan atau satu ide. Pernyataan tunggal pada umumnya dinyatakan dengan

huruf-huruf kecil seperti p, q, dan r.

Logika Matematika 2

Contoh :

p : Lima (5) adalah bilangan prima;

q : Sembilan (9) adalah bilangan genap;

Kebenaran dan ketidakbenaran suatu pernyataan dinamakan nilai kebenaran

atau nilai logik (truth value) dari pernyataan tersebut dan dinotasikan dengan

(p). Sebagai simbol dari benar biasa dipakai B (Benar), R (Right), T (True), atau

1. Sedangkan simbol salah digunakan S (Salah), W (Wrong), F (False), atau 0.

Penggunaan notasi kebenaran itu harus berpasangan.

(i) Nilai kebenaran p adalah benar, (p)=B

(ii) Nilai kebenaran q adalah salah, (q)=S

Negasi dari pernyataan tunggal p adalah suatu pernyataan yang bernilai salah

jika p benar dan bernilai benar jika p salah.

( p)=1 jika (p)=0 dan ( p)=0 jika (p)=1.

Contoh :

p : Lima (5) adalah bilangan prima;

maka

( p) : Tidak benar lima (5) adalah bilangan prima;

: Lima (5) adalah bukan bilangan prima;

Beberapa hal yang harus diperhatikan terkait definisi dan negasi:

a. Kata sifat tidak dapat dijadikan sebagai unsur tak terdefinisi (undefined

term). Jika kata-kata seperti ini dibuat untuk membuat pernyataan, maka

harus didefinisikan terlebih dahulu. Misalnya pada kalimat “Tia anak yang

pandai”, selain butuh observasi juga harus didefinisikan terlebih dahulu

tentang kriteria “pandai”, sehingga tidak menimbulkan penafsiran berbeda.

Logika Matematika 3

b. Jika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah. Jika

pernyataan dan negasinya tidak bisa dinilai benar atau salah maka kalimat

tersebut dikatakan kalimat tidak bermakna. Misalnya:

p : kakak habis dibagi adik, dan

p : kakak tidak habis dibagi adik,

Keduanya tidak bisa bernilai benar atau salah sehingga keduanya bukan

merupakan pernyataan.

c. Dilihat dari jumlah faktor-faktor sejatinya (termasuk a) bilangan dibedakan

menjadi bilangan abundan, bilangan sempurna, dan bilangan defisiensi

berkurang.

1.2.2.Pernyataan Majemuk

Beberapa kalimat tunggal, p, q, dapat digabung menggunakan kata

penghubung sehingga membentuk pernyataan baru seperti : p dan q, p atau q, p

yang q, dan sebagainya. Pernyataan baru ini disebut pernyataan majemuk. Kata

penghubung kedua pernyataan biasa disebut konektor atau perakit

1.2.2.1. Perakit Konjungsi (dan)

Konjungsi dari p dan q (ditulis: p Λ q, dibaca “p dan q”) adalah

pernyataan majemuk yang bernilai benar hanya apabila masing-masing

p maupun q bernilai benar. Sedangkan untuk keadaan lain maka dia

bernilai salah.

Beberapa symbol yang sering digunakan sebagai perakit dan ini

adalah: p Λ q, p x q, p & q atau pq.

Tabel kebenaran p Λ q

p q p Λ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

Perakit konjungsi disebut juga perakit pernyataan, karena harus

menyertakan semua komponen-komponennya dan bernilai benar hanya

jika semua komponennya benar. Kata hubung “dan” mempunyai arti

yang sama dengan “yang”, “tetapi”, “meskipun”, “maupun”.

Logika Matematika 4

Contoh :

p : dua (2) adalah bilangan genap;

q : dua (2) adalah bilangan prima;

Dapat dinyatakan sebagai

p Λ q : dua (2) adalah bilangan genap dan prima;

p Λ q : dua (2) adalah bilangan genap yang prima;

1.2.2.2. Perakit Disjungsi (atau)

Disjungsi dari pernyataan p dan q adalah pernyataan yang dibaca “p

atau q”. Pernyataan ini bernilai salah hanya apabila masing-masing p

dan q salah. Sedangkan untuk keadaan lain ia bernilai benar.

Notasi yang sering digunakan untuk perakit disjungsi adalah : p Ѵ q; p

+ q.

(p Ѵ q) = 1 jika [ (p)=1 atau (q)=1 atau (p)= (q)=1]

Tabel Kebenaran p Ѵ q

contoh :

p : 5 adalah bilangan prima

q : 5 adalah bilangan genap

p Ѵ q : 5 adalah bilangan prima atau genap

1.2.3.Tautologi dan Kontradiksi

Taotologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benilai benar (dalam

segala hal) tanpa memandang nilai kebenaran komponen – komponennya.

Notasi T kita gunakan untuk menunjukkan bahwa pernyataan majemuk selalu

benar.

P(p1,p2,…,pn)=T, jika [(P(p1,p2,…,pn)]=1 untuk semua kemungkinan (pi).

Logika Matematika

p q p Ѵ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

5

Contoh :

p Ѵ ( ) adalah suatu tautologi.

Buktinya

p p p Ѵ q)

B

S

S

B

B

B

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah

(dalam segala hal) tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari komponennya.

Notasi F kita gunakan untuk menunjukan bahwa pernyataan majemuk selalu

salah.

P(p1,p2,…,pn)=F, jika [(P(p1,p2,…,pn)]=0 untuk semua kemungkinan (pi).

Contoh :

p Λ ( p) adalah suatu kontradiksi.

Buktinya

p p p Λ q)

B

S

S

B

S

S

1.2.4.Aljabar Pernyataan

Ekuivalensi ( ) digunakan sebagai pengganti kesamaan dalam logika.

Aljabar pernyataan atau kalkulus pernyataan merupakan istilah dari operasi

beserta pernyataannya. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen jika pernyataan-

pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran kebenaran yang sama untuk

setiap keadaan komponennya.

Logika Matematika 6

Jika [P(p1,p2,…,pn)] = [Q(q1,q2,…,qn)] maka

P(p1,p2,…,pn) Q(q1,q2,…,qn)

Teorema 1. Relasi ini adalah relasi ekuivalensi yaitu

(i). p q (refleksi)

(ii). Jika p q maka q p (simetris)

(iii). Jika p q dan q r maka p r (transitif)

Contoh :

(p Ѵ q) ( p) Λ ( q)

Logika Matematika 7

Buktinya

Tabel Kebenaran (p Ѵ q) Tabel Kebenaran ( p) Λ q)

p q (p Ѵ q) (p Ѵ

q)

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

S

B

Karena nilai kebenaran (p Ѵ q) dan ( p) Λ

q) sama untuk setiap pasangan nilai komponennya, maka (p Ѵ q) ( p) Λ

( q).

1.2.5.Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan

Bentuk rangkap (dual) dari kalimat-kalimat majemuk P(p1,p2,…,pn) adalah

bentuk yang diperoleh dengan menggantikan tanda Ѵ dengan Λ dan sebaliknya,

demikian juga F dan T dan sebaliknya secara serempak.

Teorema 2. Prinsip kerangkapan/ dualitas jika suatu pernyataan (teorema) sudah

terbukti kebenarannya maka bentuk rangkapnya juga valid.

Contoh :

Bentuk p Ѵ ( ) T adalah valid (merupakan tautologi) maka bentuk p Λ ( p)

F juga valid (merupakan kontradiksi)

Teorema 3. Negasi Ganda

p)) p

Teorema 4. Hukum Komutatif/ Pertukaran

(p Λ q) (q Λ p)

(p Ѵ q) (q Ѵ p)

Teorema 5. Hukum Assosiatif/ Pengelompokan

Logika Matematika

p q ( p) Λ ( q)

S

S

B

B

S

B

S

B

S

S

S

B

8

p Λ (q Λ r) (p Λ q) Λ r

p Ѵ (q Ѵ r) (p Ѵ q) Ѵ r

Teorema 6. Hukum Identitas

p Λ F F dan p Λ T p

p Ѵ T T dan p Λ F p

Teorema 7. Hukum Komplemen Invers

p Λ ( p) F dan ( F) T

p Ѵ ( p) T dan ( T) F

Teorema 8. Hukum De Morgan

(p Λ q) p) Ѵ ( q)

(p Ѵ q) p) Λ ( q)

Teorema 9. Hukum Distribusi

p Λ (q Ѵ r) (p Λ q) Ѵ (p Λ r)

p Ѵ (q Λ r) (p Ѵ q) Λ (p Ѵ r)

Teorema 10. Hukum Idempoten

p Λ q p

p Ѵ q p

Teorema 11. Hukum Absorpsi/ Penyerapan

p Λ (p Ѵ q) p dan p Ѵ (p Λ q)) p

p Ѵ (p Λ q) p dan p Λ (p Ѵ q)) p

Teorema 12. Komplementasi Gabungan

p Λ (( p) Ѵ q) p Λ q

Logika Matematika 9

p Ѵ (( p) Λ q) p Ѵ q

1.2.6.Perakit-perakit Lain

1.2.6.1. Perakit Disjungsi Eksklusif

Disjungsi eksklusif dari p dan q ( dibaca “atau p… atau q”) adalah

pernyataan yang berarti p atau q tetapi tidak dua-duanya. Disjungsi

eksklusif p dengan q dinotasikan dengan p Ѵ q

Jadi secara simbolis dapat dituliskan :

p Ѵ q = (p Ѵ q) Λ [ (p Λ q)]

= (p Ѵ q) Λ (p Λ q)

Tabel Kebenaran Disjungsi Eksklusif

1.2.6.2. Operator Stoke

dan Dagger

Operator Stroke dinotasikan dengan “/”. Fungsi ini disebut juga

pengingkaran alternative (The alternative denial).

p/q = ( p) Ѵ ( q)

p/q = (p Λ q)

Operator Dagger dinotasikan dengan “↓”. p ↓ q dibaca “bukan p dan

bukan pula q”. Operator Dagger disebut juga The join denial atau

pengingkaran bersama atau konjungsi ingkaran.

p ↓ q = p Λ q

p ↓ q = (p Ѵ q)

Contoh :

Tabel Kebenaran Operator Stroke dan Dagger

Logika Matematika

p q r =

(p Ѵ q)

s =

(p Λ q)

t =

(s)

r Λ t = p Ѵ

q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B

S

S

S

S

S

S

B

S

B

B

S

10

p q p/q p↓q

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

Logika Matematika 11

BAB 2

PERNYATAAN BERSYARAT

1.1 Negasi

Negasi dari pernyataan tunggal p adalah suatu pernyataan yang bernilai salah

jika p benar dan bernilai benar jika p salah.

p p

B S

S B

1.2 Konjungsi

Adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit “dan”.contohnya

pernyataan berikut:

“Fahmi makan nasi dan minum kopi”

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut :

“Fahmi makan nasi”dan sekaligus”sekaligus”Fahmi minum kopi”.

Suatu konjungsi p Λ q bernilai benar hanya jika komponen- komponenya, yaitu

baik p maupun q , keduanya bernilai benar, sedangkan nilai kebenaran yang selain itu

aka bernilai salah sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:

p q p Λ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

1.3 Disjungsi

Adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit “atau” contohnya,

peryataan Adi berikut: “Fahmi makan nasi atau minum kopi”. Sekarang, bertanyalah

pada diri anda sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas adalah benar dalam

empat kasus berikut yaitu:

1. Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi,

2. Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi,

3. Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi, dan

4. Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.


Pada kasus pertama, Fahmi memang benr makan nasi dan ia juga minum kopi

dalam kasus seperti ini, tidaklah mungkin anda akan mengatakan pernyataan Adi tadi

bernilai salah, karena pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataan. Pada kasus kedua

Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi. Dalam hal ini tentunya anda akan

menyatakan bahwa pernyataan Adi tadi bernilai benar, karena Fahmi sudah benar

makan nasi meskipun ia tidak minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi.

Sedangkan pada kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi

sebagaimana kasus kedua tadi, anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk

Adi tadi bernilai benar, karena meskipun Fahmi tidak makan nasi namun ia sudah

minum kopi sebagaimana yng dinyatakan Adi. Akhirnya, pada kasus keempat, Fahmi

tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Dalam hal ini anda akan menyatakan

bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah, karena tidak ada kesesuaian

antara yang dinyatakan dengan kenyataan yang sesungguhnya. Ia menyatakan Fahmi

makan nasi atau minum kopi namun kenyataanya, Fahmi tidak melakukan hal itu.

Bedasarkan penjelasan di atas dapatlah disimpulkan bahwa, suatu konjungsi p Ѵ

q akan bernilai salah hanya jika komponen-komponenya, yaitu baik p maupun q,

keduanya bernilai salah, yag selain tiu akan bernilai benar ditunjukkan pada tatel

kebenaran berikut:

1.4 Implikasi

Adalah pernyataan yang bernilai salah hanya apabila hipotesisnya benar, tetapi di

ikuti oleh konklusi yang salah. Untuk keadaan lain implikasinya benar.

τ (p → q)= {

Secara matematis kalimat dalam bentuk “jika p maka q” di notasikan dengan “p

→ q” disebut implikasi. Selanjutnya “p → q” dapat dibaca :

1. Jika p maka q ;

2. Setiap kali p, (maka) q ;

Logika Matematika

p q p Ѵ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

13

S jika τ (p)= 1 Λ τ(q)=0, dan

B untuk yang lain.

3. p hanya jika q ;

4. p syarat cukup (sufficient) untuk q ;

5. q syarat perlu (necessary) untuk p.

Tabel kebenaran implikasi

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Selanjutnya, persyaratan p → q :

1. p disebut anteseden/ hipotesis

2. q disebut konsekuen/ konklusi/ kesimpulan

Contoh : Seseorang berjanji kepada orang lain : “jika hari tidak hujan, (maka) saya

akan datang.” Yang kita pertanyakan sekarang adalah : kata orang yang dikatakan tadi

ingkar janji (menyalahi yang di ucapkan)? Jawaban kita adalah jika hari tidak hujan (p

benar) tetapi ia tidak datang (q salah). Hanya dalam keadaan ini saja. Itu berarti untuk

tindakanya yang lain ia tidak dapat dipersalahkan, yaitu jika hari hujan dan ia tetap

datang ia tidak dapat di persalahkan.

IMPLIKASI DAN VARIASINYA

Dari Implikasi p→q,kita dapat membentuk berbagai pertanyaan-pertanyaan yaitu:

1. p→ q yang disebut invers

2. q→p disebut konvers

3. q→ p disebut kontraposisi

Dari Implikasi tadi dan definisi di atas dapat dibuat kebenarannya untuk invers,

konvers, dan kontraposisi,sebagai berikut:

p q p q p→q p→ q q→p q→ p

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B


S S B B B B B B

Dari table diatas terlihat bahwa:

p→q → p dan

p→ q q→p

Sebenarnya dari definisi syarat cukup dan syarat perlu sudah jelas bahwa jika p

dan q artinya dengan jika tidak ada q maka ada p (artinya aplikasi ekuivalen dengan

kontra positif). Hubungan antara implikasi konvers ,invers, dan kontraposisi dapat

ditunjukkan seagai berikut:

Diagram venn mengilustrasikan variasi implikasi, invers, konvers, dan kontraposisi

1.5 Biimplikasi atau Bikondisional

Adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan

dengan p↔q yang bernilai sama dengan (p→q) Λ (q→p) sehingga dapat dibaca : “p

jika dan hanya jika “p atau q” atau “p bila dan hanya bila q”. Tabel kebenaran dari

p↔q adalah

p q p↔q

B B B

B S S

S B S

Logika Matematika

Invers

Kon

vers

Invers

15

p → q

q → p → p

p → q

Kontraposisi

S S B

Dengan demikian jelaslah bahwa biimplikasi dua pernyataan p dan q hanya

akan bernilai benar jika kedua pernyataan tunggal bernilai sama. Contoh biimplikasi:

1. Suatu segitiga adalah segitiga siku- siku jika dan hanya jika luas persegi pada

hepotenusanya sama dengan jumlah luas dari persegi- persegi pada kedua sisi

yang lain.

2. Suatu segitiga adalah sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya.

1.6 Negasi suatu Pernyataan

2.6.1. Negasi Suatu Konjungsi

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit

“dan”. Contohnya, pernyataan Adi berikut:

“Fahmi makan nasi dan minum kopi”.

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan dua pernyataan tunggal tersebut

“Fahmi makan nasi” dan sekaligus “Fahmi minm kopi”. Suatu konjungsi p Λ q

akan bernilai benar hanya jika komponen- komponennya yaitu baik p maupun

q, keduanya bernilai benar. Sedangkan negasi atau ingkaran suatu pernyataan

adalah pernyataan lain yag bernilai benar jika pernyataan awalnya salah dan

bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar. Karena itu, negasi dari:

”Fahmi makan nasi dan minum kopi” adalah suatu pernyataan majemuk lain

yang salah satu komponennya merupakan negasi dari komponen pernyataan

awalnya. Dengan demikian, negasinya adalah “Fahmi tidak makan nasi atau

tidak minum kopi”. Sebagaimaa ditunjukkan pada tabel berikut:

p q p Λ q p q p Ѵ q

B B B S S S

B S S S B B

S B S B S B

S S S B B B

2.6.2. Negasi Suatu Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit

“atau”. Contohnya, pernyataan Adi berikut: “ Fahmi makan nasi atau minum


kopi”. Suatu disjungsi p Ѵ q akan bernilai salah hanya jika komponen-

komponennya yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai salah, yang selain itu

akan bernilai benar. Karenanya, negasinya adalah “Fahmi tidak makan nasi

dan tidak minum kopi”. Sebagaimana ditunjukkan pada tabel berikut:

p q p Ѵ q p q q

B B B S S S

B S B S B S

S B B B S S

S S S B B B

2.6.3. Negasi Suatu Implikasi

Perhatikan pernyataan berikut yang merupakan suatu implikasi:

“Jika hari hujan maka Adi membawa payung”

Negasi dari implikasi di atas adalah : “Hari hujan akan tetapi Andi tidak

membawa payung”. Sehingga (p→q) Λ q seperti ditunjukkan tabel

kebenaran berikut ini:

p Q q p→q Λ q

B B S B S

B S B S B

S B S B S

S S B B S

Bedasarkan penjelasan di atas, p→q p→q)] Λ q)

2.6.4. Negasi Suatu Biimplikasi

Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua

pernyataan p dan q dinotasikan dengan p↔q yang ekuivalen (p→q)Λ(q→p),

sehingga:

p ↔ q) [(p → q) Λ (q → p)]


BAB 3

KUANTOR

3.1 Tetapan dan Peubah

Tetapan atau konstanta adalah lambang yang mewakili suatu elemen

tertentu yang bersifat khusus atau bersifat tetap dalam suatu semesta pembicaraan.

Semesta pembicaraan adalah kumpulan yang menjadi sumber atau asal unsur-unsur

yang dibicarakan. Tetapan disimbolkan dengan huruf-huruf pertama dari abjad

seperti : α, b ,c ,…..

Contoh tetapan:

Bentuk fungsi linear adalah = α + b

Peubah atau veriabel adalah lambang yang masih mewakili suatu elemen umum

yang belum dikhususkan atau yang nilainya berubah-ubah pada semesta

pembicaraannya. Peubah umumnya dilambangkan dengan huruf- huruf terakhir dari

abjad seperti : , , ,…..

Contoh :

(i) adalah bilangan asli

(ii) manusia berbaju merah

3.2 Kalimat Matematika, Kalimat Terbuka, Kalimat Tertutup

Kalimat matematika adalah kalimat yang memuat simbol- simbol matematika seperti

peubah, tetapan dan operator lainnya.

Kalimat matematika terbuka adalah kalimat matematika yang belum bisa dinilai

benar atau salah.

Contoh : P( ) = +2≥7


Misal : adalah anggota dari himpunan bilangan real, bila diganti dengan

bilangan sembarang real ≥ 5, maka pernyatan bernilai benar. Sebaliknya jika

diganti dengan < 5, maka pernyataan bernilai salah.

Kalimat matematika tertutup (disebut juga pernyataan matematis) adalah kalimat

matematika yang sudah bisa dinilai benar atau salah.

Himpunan kebenaran atau himpunan penyeleaian adalah himpunan semua unsur dari

semesta pembicaraan yang menyebabkan terjadinya kalimat / pernyataan yang

bernilai benar.

Tp = {u U, T (P(U)) = 1}

Contoh :

(i) + 2 ≥ 10, bilangan asli, maka Tp = { ≥ 8, bilangan asli}.

(ii) p( ) : ² < 0, bilangan real makaTp = Ø

Suatu kalimat terbuka dapat dinyatakan kalimat tertutup dengan menggantikan

peubahnya dengan tatapan dari semesta pembicaraanya.

Contoh :

P(n) = n+2>8 adalah kalimat terbuka, pada semesta N (himpunan semua bilangan

asli), maka:

(a) p(2) = 2+2>8 adalah pernyataan salah

(b) p(8) = 8+2>8 adalah pernyataan benar

Jika P( ) kalimat terbuka pada semesta U dan diambil dalam setiap elemen u dari U,

maka P( ) bisa bernilai benar atau salah. Semua elemen menyebabkan P( )

bernilai benar disebut himpunan penyelesaian / himpunan kebenaran, dinotasikan

dengan Tp.


Secara implisit dengan memberikan kata-kata : setiap, beberapa atau tak satupun, di

depan kalimat terbuka maka kalimat terbuka akan menjadi pernyataan yang bernilai

benar atau salah.

Contoh :

P( ) = +2 ≥ 8 adalah kalimat terbuka pada N, maka :

(a) untuk semua berlaku +2 ≥8, adalah pernyataan salah.

(b) Ada bilangan asli yang bersifat +2 ≥8 adalah benar


3.3 Kuantor

Kuantor adalah kata yang dapat digunakan untuk mengukur keberadaan himpunan

penyelesaian (unsur-unsur yang menyebabkan p( ) bernilai benar) dalam logika

dengan istilah : terdapat, semua/setiap, dengan demikian, kuantor dapat dibedakan

menjadi kuantor universal dan kuantor eksistensial.

3.3.1. Kuantor Universal

Simbol dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut kuantor

umum/universal. Jika p( ) adalah fungsi pernyataan pada suatu himpunan A

(himpunan A adalah semesta pembicaraannya) maka ( P( ) atau

P( ) atau p( ) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk

setiap elemen A, P( ) merupakan pernyatan yang benar” atau “untuk semua

berlaku p( )”.

Contoh :

P( ) = bernafas dengan paru-paru

P(paus) = paus bernafas dengan paru-paru

Maka p( ) = , p( ) = {paus}, p{ } = semua paus bernafas

dengan paru-paru

* P( ) merupakan kalimat terbuka, p( ) merupakan pernyataan

(merupakan nilai benar/salah tetapi tidak kedua-duanya).

3.3.2 Kuantor Eksistensial

Simbol dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu”

disebut kuantor khusus atau eksistensial. Jika p( ) adalah pernyataan pada

himpunan tertentu A (himpunan A adalah semesta pembicaraannya) maka (

) atau , p( ) atau p( ) adalah suatu pernyataan yang dibaca


“ada elemen A, sedemikian hingga p( ) merupakan pernyataan benar atau

untuk beberapa , berlaku p( ).

Contoh :

P( ) = adalah wanita

P (Perwira Polisi) = Perwira polisi adalah wanita

p( ) = , p( ) = {Perwira Polisi},

P( ) = ada wanita yang menjadi perwira polisi (benar)

3.4 Negasi Kuantor

”Pernyataan yang diperoleh dengan melakukan penyangkalan terhadap kalimat yang

mengandung kuantor”

Contoh:pernyataan “semua manusia tidak kekal”

Negasinya “ ada/ beberapa manusia tidak kekal”

Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal maka “semua manusia

adalah tidak kekal” atau bernilai benar,dan “beberapa manusia tidak

kekal”atau benilai salah.pernyataan diatas dapat ditulis dengan simbol:

Jadi negasi dari suatu pernyataan yang mengandung kuantor universal adalah

ekuivalen dengan pernyataan yang mengandung kuantivikasi eksistensial (fungsi

pernyataan yang dinegasikan) dan sebaliknya.

Hasil di atas dapat dianggap sebagai penerapan hukum De Morgan pada pernyataan

yang mengandung kuantor.

3.5 Notasi lain untuk dan


Misalkan U (2,3,5) dan adalah bilangan prima,maka pernyataan :”2

adalah bilangan prima dan 3 adalah bilangan prima dan 5 adalah bilangan prima”

dapat dinotasikan dengan : (2) Λ jadi diperoleh:

Λ

Demikian pula kalimat:”2 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima atau 5

adalah bilangan prima” dapat dinotasikan :

Ѵ Ѵ

Pernyataan ini sama artinya dengan setidaknya (paling tidak) ada satu elemen U

yang bersifat yaitu : jadi

u U, p(u) Ѵ p(u)

Jadi notasi Λ juga dapat di pergunakan selain notasi jika U adalah himpunan

berhingga

Begitu juga notasi Ѵ juga dapat digunakan selain notasi jika U adalah himpunan

tak berhingga.

3.6 Kuantor, Disjungsi, Konjungsi dan Implikasi

Penggunaan kuantor dapat bersama-sama dengan konektif atau perakit-perakit

pernyataan disjungsi, konjungsi maupun implikasi.

Berikuit ini adalah contoh kuantor yang bergabung dengan beberapa perakit logika

yang telah di pelajari.

1. Untuk semua bilangan asli, jika dia prima (P), Maka dia ganjil (G)

2. Semua segitiga sama sisi (S) adalah sama kaki (K). Pernyataan ini ekuivalen

dengan “ Untuk semua segitiga, jika sama sisi maka dia sama kaki”.


u є U

u є U

3. Ada bilangan prima (P) yang genap (A). Pernyataan ini ekuivalen dengan “Ada

bilangan asli(N) yang sekaligus prima(P) Dengan genap(A)”

4. Untuk semua bilangan bulat, jika tidak ganjil,pastilah genap dan tidak mungkin

dua-duanya.

Apabila adalah kalimat majemuk yang mengandung perakit, maka negasinya

adalah:

Demikian juga

Dengan maupun mengikuti aturan nagasi De Morgan.

Contoh : Ada bilangan asli yang prima (P) tetapi tidak ganjil (G)

Contoh: Ada segitiga sama sisi (S) yang tidak sama kaki (K)

Contoh: Semua bilangan prima prima(P) tidak genap (A). Pernyataan ini ekuivalen

dengan “untuk semua bilangan asli (N) jika dia prima (P) maka dia tidak genap (A)”.

Contoh: Ada bilangan bulat yang tidak ganjil dan tidak genap atau ada bilangan

bulat yang sekaligus ganjil dan genap

3.7 Contoh Penyangga

“Pernyataan ) bernilai jika ada contoh penyangganya dan bernilai benar jika

ada contoh penyanggahnya”.


Contoh: tsemua bilangan prima (P) adalah ganjil (G) atau untuk setiap bilangan Riil,

jika dia prima pastilah ganjil

Penyataan ini adalah salah karena ada contoh penyanggahnya, yaitu

masing-masing 8 Kuantor dan Kalimat terbuka lebih dari satu peubah

Untuk kalimat terbuka lebih dari satu peubah, pada prinsipnya tiap-tiap peubah

disajikan dengan kuantor masing-masing. Misalkan ada beberapa himpunan

A1,A2,. . .A n. Suatu kalimat terbuka pada A1 x A2 x . . . x An dinotasikan dengan p(x1,

x2,. . . xn) dengan sifat bahwa p(x1, x2 . . . xn) bernilai benar atau salah (tetapi tidak

keduanya) untuk suatu (x1, x2 . . . xn) A1 x A2 x . . .x An.

Contoh untuk semesta U = {1, 2, 3} selidiki apakah pernyataan berikut benar atau

salah

2 + y2 ≤ 2z2

Jawab:

Untuk sembarang atau semua x, y, U terdapat atau dapat di ambil z U

sedemikian sehingga x2 + y2 ≤ 2z2. Pernytaan ini benar karena tidak ada contoh

penyanggahnya. Namun untuk lebih jelasnya kita dapat memeriksa semua pasangan

x dan y seperti berikut ini :

x X2 + y2 ≤ 2z2 Nilai (B/S)

1 1 2 18 B

1 2 5 18 B

1 3 10 18 B

2 1 5 18 B

2 2 8 18 B

2 3 13 18 B

3 1 10 18 B

3 2 13 18 B

3 3 18 18 B


BAB 4

PENALARAN LOGIS

4.1 Argumen

Arguman adalah suatu proposisi/pernyataan majemuk yang memuat

sekumpulan pernyataan-pernyataan P1,P2, …,Pn(disebut premis) dan di ikuti suatu

pernyataan lain Q yang di sebut konklusi/kesimpulan.

Contoh :

P1 : jika orang hidup melajang maka ia akan tidak bahagia

P2 : jika orang tidak bahagia maka ia mati muda

Q : jadi (.’.)orang yang hidup membujang akan mati muda

4.2 Bentuk-bentuk Argumen Yang Valid

Telah diuraikan di depan bahwa validitas suatu argumen bergantung pada bentuknya

apakah merupakan implikasi logis atau tidak. Berikut ini beberapa bentuk implikasi

logis yang umumnya di pakai dalam penarikan kesimpulan.

4.2.1. Simplifikasi

Simplifikasi ini merupakan penalaran yang paling sederhana dan dengan mudah

dapat dipahami bahwa jika p Λ q benar maka baik p maupun q adalah benar.

Contoh :

2 dan 5 adalah bilangan prima

2 adalah bilangan prima

4.2.2. Konjungsi

Contoh :


2 adalah bilingan genap

2 adalah bilangan prima dan genap

4.2.3. Adisi

Contoh :

2 bilangan prima

2 atau 8 adalah bilangan prima

4.2.4. Silogisme Disjungsi

Pernyataan pVq benar jika salah satu atau keduanya benar,kerena itu, jika p

tidak benar maka logis kita simpulkan q benar.

Contoh :


2 atau 8 adalah bilangan prima

8 bukan bilangan prima


4.2.5. Silogisme Disjungsi Eksklusif

Pada disjungsi eksklusif kebenaran komponennya tidak terjadi bersama – sama .

Jadi p jika p benar harusalah q salah (tidak terjadi)

Contoh :

Ayah sedang pergi ke pasar atau ke kantor

Ayah sedang di kantor

Ayah tidak sedang di pasar

4.2.6. Modus Ponen Hukam Detasemen

Contoh :

Jika matahari terbit dari barat maka manusia tidak pernah mati

Matahari terbit dari barat

Manusia tidak pernah mati

4.2.7. Modus Ponen

Pada penerapan hukum simplifikasi ,maka tidak perlu digunakan sebagai

kesimpulan

4.2.8. Silogisme Hipotetik

Salah satu cara untuk membuktikan secara keseluruhan implikasinya dapat di

ubah

4.2.9. Dilema Kontruktif

Dilema Kontruktif adalah merupakan bentuk Modus Ponen yang lengkap

(gabungan dua madus ponen).

Contoh :

Jika hari ini hujan maka tanah basah

Jika kamu datang maka saya senang

Hari ini hujan atau kamu datang

Tanah basah atau saya senang

4.2.10. Dilema Destruktif

Contoh :

Jika hari ini hujan maka tanah basah

Jika kamu datang maka saya senang

Tanah tidah basahatau saya tidak senang


Hari tidak hujan atau kamu tidak datang

4.3 Induksi Matematika

Dalam matematika khususnya yang menyangkut himpunan bilangan asli dikenal juga

pembuktian lain yang di sebut induksi matematika/induksi lengkap.

4.3.1.Argumen Berkuantor

Translasi kuantor universal dan eksistensial

Perhatikan empat pernyataan berikut :

i. Setiap / semua P bersifat Q

ii. Taksatupun P bersifat Q

iii. Sebagian P bersifat Q

iv. Sebagian P bersifat Q

4.3.2.Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial

Perhatikan pernyataan : ( )(P( )), yang berarti kita dapat mengambil tetapan

α , secara bebas dan kita peroleh P (α). Jadi kita telah mengkhususkan dari

peubah ke suatu tetapan α, dengan kata lain kita memberikan contoh. Prinsip

ini disebut Spesifikasi Universal (US Universally Specified = UI = Universal

Instantiation). Perhatikan bahwa pemunculan α di sini adalah bebas (free

occurrence) karena P( ) berlaku untuk semua .

US : ( )(p( )) P(α), α

4.3.3.Generalisasi universal dan Generalisasi Eksistensial

Apabila untuk sembarang (arbitraty) α kita menemukan P(α) maka kita dapat

menggeneralisasikan bahwa setiap , P( ). Ingat bahwa α diambil sembarang

(arbitrarily selected). Generelisasi ini disebut Generelisasi Universal (UG).

UG : α , P(α) ( )(P( )) sembarang.


BAB 5

KARAKTERISTIK, BENTUK NORMAL, DAN APLIKASINYA

5.1. Karakteristik

Dalam keadaan tertentu kita membutuhkan cara penulisan yang lebih ringkas untuk

menunjukkan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk.

1. Karakteristik dari pΛq adalah 1000/ BSSS

2. Karakteristik dari pVq adalah 1110/BBBS

3. Karakteristik dari p→q adalah 1011/BSBB, dan

4. Karakteristik dari p↔q adalah 1001/BSSB

Karakteristik suatu penyataan majemuk adalah nilai logika dari pernyataan tersebut

dalam tabel kebenaran dengan urutan kemungkinan nilai yang disepakati.

5.2. Bentuk Normal

Bentuk Normal dibedakan menjadi dua yaitu normal konjungtif dan normal

disjungtif. Untuk memudahkan dengan menggunakan penggunaan simbol dan atau

sebagai notasi disjungsi. Sedangkan negasi ( ) di notasikan dengan ‘. Selanjutnya

bentuk yang dipisahkan oleh + disebut sebagai suku sedangkan bentuk yang

dipisahkan oleh x atau . kita sebut sebagai faktor. Misalkan jika pernyataannya

hanya 2, p dan q maka bentuk suku-sukunya adalah : pq,pq’,p’q, dan p’q’ jadi

bentuk faktornya adalah (p + q), (p + q’), (p’ + q), dan (p’ + q’). Dengan demikian

pernyataan majemuk dapat dianggap sebagai kumpulan suku-suku atau faktor-

faktor.

Bentuk Normal Disjungtif Lengkap (Complete Disjunctive Normal Form =

CDNF)

Apabila semua kemungkinan / semua bentuk suku-suku termuat dalam bentuk

normal tersebut dikatakan bentuk normal tersebut adalah lengkap.Contoh pernyataan

berbentuk Bentuk Normal Disjungtif Lengkap

i) pq + pq’ + p’q + p’q’

ii) pqr + pqr’ + pq’r + pq’r’ + p’qr + p’qr’ + p’q’r + p’q’r’


Dapat di tunjukkan bahwa bentuk Bentuk Normal Disjungtif Lengkap adalah suatu

tautologi. Disebabkan dapat mengubah bentuk tidak normal menjadi suatu bentuk

normal atau sebaliknya menyederhanakan suatu bentuk normal sehingga diperoleh

bentuk yang meskipun tidak normal tapi lebih sederhana.

Bentuk Normal Konjungtif (Conjunctive Normal Form = CNF)

Bentuk pernyataan majemuk ada yang dianggap sebagai sepenuhnya hasil kali

faktor-faktor yang setiap faktornya memuat secara lengkap unsur-unsur

penyusunnya dalam bentuk jumlah.

Bentuk tersebut ditandai oleh cirri-ciri berikut :

1. disusun dalam bentuk perkalian faktor-faktor.

2. tiap-tiap faktor memuat secara lengkap semua unsur atau pernyataan yang

dibicarakan

Beberapa pernyataan berbentuk Bentuk Normal Konjugtif

i) (x + y) (x + y’)

ii)(p + q + r) (p + q’ + r) (p + q + r)

Tetapi p(p + q) ; p(p + r) bukan dalam bentuk normal.

Bentuk Normal Konjungsi dikatakan Lengkap (Complete Conjunctive Normal

Form = CCNF) jika memuat secara lengkap semua bentuk faktor-faktornya.

Bentuk Normal Konjungsi Lengkap yang terdiri dua unsur p dan q adalah :

(x + y) (x + y’) (x’ + y) (x’ + y’)

Bentuk Normal Konjungsi Lengkap adalah suatu Kontradiksi

5.3. Komplemen Bentuk Normal

Komplemen Bentuk Normal adalah suku-suku atau faktor-faktor dari bentuk

lengkap yang tidak dimuat

Contoh

Tentukan komplemen dari :


i) pq’ + p’q

ii) xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’

Suku-suku yang tidak termuat dari dua bentuk di atas adalah masing-masing :

i) pq + p’q’

ii)x’yz + x’yz’ + x’y’z + x’y’z’

5.4. Translasi Bentuk Normal

Suatu bentuk CNF dapat diubah atau ditranslasikan ke bentuk DNF atau sebaliknya

baik dengan mengunakan sifat-sifat perakit maupun dengan membuat negasi dari

komplemennya.

Contoh translasi dari bentuk DNF ke CNF

(x + y) (x’ + y’), CNF

(x + y) (x’ + y’) (x + y)x’ + (x + y)y’ distributif

xx’ + yx’ + xy’ + yy’ distributif

0 + yz’ + xy’ + 0 komplemen

yx’ + xy’ DNF identitas

Langjah-langkah untuk mengubah dari bentuk CNF ke DNF dan sebaliknya.

1. Tentukan komplemen dari bentukyang dimiliki, yaitu suku atau faktor dari CDNF

atau CCNF yang tidak ada dalam pernyataan yang dimiliki

2. Tentukan negasi dari komplemen yang diperoleh

Maka bentuk yang diperoleh sudah berubah dari CNF ke DNF atau Sebaliknya,

tetapi masih ekuivalen dalam artian nilai kebenarannya masih lama.


5.5. Aplikasi Bentuk Normal

Manfaat utama Bentuk Normal adalah dalam menentukan bentuk persamaan yang

diketahui karakteristiknya. Sebagaimana telah dipelajari sebelumnya nilai

karakteristik terdiri atas 0 dan 1 atau B dan S.

Jika kita perhatikan nilai 1 dari karakteristiknya maka aturannya adalah :

1. Bentuk yang diperoleh adalah DNF

2. Tiap baris yang benilai 1 merupakan satu suku dengan nilai 1 berarti bentuk

adalah positif dan nilai 0 berarti negasi (‘ )

Jika yang kita perhatikan adalah 0 dari karakteristiknya maka aturannya adalah :

1. Bentuk yang diperoleh adalah CNF

2. Tiap baris yang benilai 0 berbentuk positif dan yang bernilai 1 berbentuk adalah

negasi (‘ )

Untuk mengerjakan yang lebih sederhana kita memilih bentuk CNF atau DNF sesuai

dengan jumlah yang lebih sedikit dari yang lain yaitu :

1. Jika 1 lebih sedikit gunakan DNF

2. Jika 0 lebih sedikit gunakan CNF

5.6. Aplikasi Logika dalam Aljabar Himpunan dan Listrik

Hukum-hukum logika dapat diterapkan dalam aljabar jaringan listrik. Pada dasarnya

semua pembahasan ini didasari oleh aljabar Boole. Keharmonisan aljabar Boole,

logika himpunan dan aljabar jaringan listrik dapat ditunjukkan dengan tabel.

Dalam himpunan didefinisikan bahwa A∩B adalah himpunan yang hanya

beranggotakan unsur-unsur yang sekaligus €A dan €B. Tabel keanggotaan untuk A∩B

dilihat pada tabel :


Tabel keanggotaan A Λ B dan tabel kebenaran A ∩ B

A B A Λ B

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

Logika Matematika

A B A B

∉ ∉∉∉∉

35

BAB 6

PENGANTAR LOGIKA

6.1. KONSEP DASAR

Sejauh ini kita telah mempelajari logika dengan nilai kebenaran yang mutlak,

0 atau 1. Logika ini selanjutnya disebut logika biner ( bernilai 2 ). Padahal di

masyarakat dikenal banyak hal yang sulit ditentukan secara mutlak apakah suatu itu

benar atau salah. Nilai kebenaran suatu pernyataan p yang dinotasikan dengan τs

pada logika biner dapat dianggap sebagai suatu fungsi indikator yang memetakan p

ke himpunan { 0,1 }, seperti dinyatakan dalam definisi berikut.

Nilai kebenaran p pada logika biner didefinisikan sebagai τs : p → { 0,1 } dengan

τs (P)= {

6.2. LOGIKA BERNILAI TIGA ATAU LEBIH

Logika metematika tradisional dapat juga dikatakan sebagai logika dengan 2

kategori, yaitu 0 dan 1. Salah satu bentuk generalisasi yang paling sederhana adalah

dengan menambahkan satu kategori lagi, misalkan s yang menyatakan nilai

kebenarannya masih samar ( ragu – ragu ).

Dengan logika bernilai tiga ini maka nilai kebenaran pada logika ini

merupakan fungsi indikator dengan definisi berikut.

Nilai kebenaran p pada logika matematika ‘ bernilai – 3 ‘ didefinisikan sebagai

τs : p →{ 0, s, 1 } dengan

τs (P) = {Karena nilai kebenaran dapat dianggap sebagai bilangan rill, atau setidaknya

bilangan rasional, 0 < s < 1, maka operator ¬, Λ, V dapat didefinisikan sebagai

berikut.

Logika Matematika

1 jika p benar

0 jika p salah

1 jika p benar

0 jika p salah

s jika p bukan salah satu di atas

36

Definisi kebenaran logika samar dari pernyataan – pernyatan p, q, r, … ,

masing – masing dengan nilai kebenaran kontinu pada [ 0,1 ] didefinisikan sebagai

τs (¬ p) = 1 – τs (p)

τs ( pΛ q ) = minimum { τs (p), τs (q) }

τs ( p V q ) = maksimum { τs (p), τs (q) }

Dengan demikian, untuk kategori penilaian 3, yaitu 0, s, dan 1, maka tabel

kebenaran ¬ p, p Λ q dan p V q dapat didefinisikan sebagai berikut ini.

Λ 0 s 1 V 0 s 1 ¬

0 0 0 0 0 0 s 1 0 1

s 0 s s s s s 1 s s

1 0 s 1 1 1 1 1 1 0

Dengan cara yang sama kita juga dapat membuat tabel kebenaran untuk

implikasi → dan biimplikasi ↔. Sebagaimana pada logika biasa, maka p → q Ξ (¬ p

V q), maka s → 0 Ξ ¬ s V 0 Ξ s sedangkan dan seterusnya.

→ 0 s 1 0 s 1

0 1 1 1 0 1 s 0

s s 1 1 s s 1 s

1 0 s 1 1 0 s 1


DAFTAR PUSTAKA

Noeryanti. Proposisi dan Kuantor Logika Matematika. http://202.91.15.14/upload/

files/2488_Bab_1_Proposisi.pdf dan http:// 202.91.15.14/upload/files/880_Bab_2_Kuantor.pdf

Seputro, Theresia M.H. 1989. Pengantar Dasar Matematika (Logika dan Teori Himpunan).

Surabaya: IKIP Surabaya.

Soesianto, F. dan Djoni Dwijono. 2003. Logika Proposisional. Yogyakarta: Penerbit Andi.

Tirta, I. M. 2003. Pengantar Dasar Matematika. Jember: Unit Penerbit FMIPA Universitas

Jember.

Tirta, I. M. 2003. Pengantar Dasar Matematika (Logika Matematika). Jember: Unit Penerbit

FMIPA Universitas Jember.


logika

Documents

Transcript of logika