BAB I VEKTOR

1.1 Definisi

Besaran dapat dikelompokkan sebagai besaran skalar dan besaran vektor.

Skalar adalah besaran yang dicirikan hanya oleh harganya.

Contoh besaran skalar: massa, panjang, waktu, temperatur dan sebagainya.

Medan skalar adalah fungsi kedudukan yang dicirikan hanya oleh harganya di semua

titik dalam ruang.

Vektor adalah besaram yang dicirikan oleh harga dan arahnya.

Contoh besaran vektor: kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya.

Medan vektor adalah suatu fungsi kedudukan yang ditentukan oleh harga dan arahnya

di semua titik dalam ruang.

1.2 Aljabar vektor

Vektor direpresentasikan secara geometris oleh garis berarah, panjangnya menyatakan

besar atau magnitudo dan arahnya menyatakan arah vektor. Vektor secara analitis

merupakan superposisi vektor-vektor basis. Dalam koodinat kartesian V = xi + y j +

zk.

Secara geometris vektor tersusun atas komponen: Vx, Vy, Vz.

γβα cos,cos,cos VVVVVV zyx === , dengan α, β, dan γ masing-masing

adalah sudut antara vektor dengan sumbu X, Y dan Z. 222zyx VVVV ++= adalah

magnitudo atau panjang vektor V.

Jumlah dua buah vektor didefinisikan:

C = A + B (1.1)

Dengan Cx = Ax + Bx, Cy = Ay + By Cz = Az + Bz

Pengurangan vektor

A – B = A + (-B) (1.2)

Sifat asosiatif

(A + B) + C = A + (B + C) (1.3)

Sifat komutatif

A + B = B + A (1.4)

2

Perkalian

Ada tiga jenis perkalian yakni:

1. Perkalian skalar dengan vektor: misal c skalar dan A vektor, maka

B = c A, dengan Bx = c Ax, By = c Ay, Bz = c Az (1.5)

2. Perkalian titik atau dot product atau perkalian skalar:

A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz = αcosBA = c (skalar) (1.6)

Dengan α sudut antara A dan B

3. Perkalian silang atau cross product atau perkalian vektor

A x B = C, C adalah vektor dengan komponen

Cx = AyBz – AzBy, Cy = AzBx – AxBz, Cz = AxBy - AyBx (1.7)

Atau bila ditulis dalambentuk determinan

Perkalian bersifat anti komutatif

A x B = -B x A (1.8)

Magnitudo C = αsinBAC = , dengan α sudut antara A dan B (1.9)

Kombinasi

CB.ACA.B ×−==×=

zyx

zyx

zyx

CCCBBBAAA

D (1.10)

D = A x (B x C) = B (A.C) – C(A.B) (bac-cab rule) (1.11)

1.3 Operator nabla ∇

Operator nabla dengan simbul ∇ , bukan suatu vektor dalam arti biasanya. Sebagai

vektor, dia tidak berdiri sendiri, lazimnya sebagai operator matematik baru berarti bila

dia bekerja kepada suatu fungsi.

Penggunaan operator nabla

Misalkan ada fungsi dengan tiga variabel T(x,y,z) yang menunjukkan suatu suhu pada

suatu ruangan.

3

Menurut teori deferensial parsial:

( ) ( )ldTdzzTdy

yTdx

xTdT •∇=

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

= (1.12)

mengingat dl = i dx + j dy + k dz, maka gradien suhu T = ∇T = kjizT

yT

xT

∂∂

+∂∂

+∂∂

merupakan besaran vektor dengan 3 komponennya masing-masing mempunyai arah

sesuai dengan arah vektor satuan i, j, dan k. Jadi interpretasi geometris suatu gradien,

seperti vektor yang mempunyai harga dan arah, dan ditulis dalam bentuk abstrak:

θcosll dTdTdT ∇=⋅∇= (1.13)

dengan θ sudut antara ∇T dengan dl, sehingga operator ∇ didefinisikan dalam

koordinat Cartesius sebagai:

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇ kji (1.14)

Seperti halnya vektor biasa, operator ∇ dapat bekerja dengan 3 bentuk perkalian:

1. Bekerja pada fungsi skalar: ∇T disebut gradien

2. Bekerja pada fungsi vektor, melalui perkalian dot: ∇.V disebut divergensi

3. Bekerja pada fungsi vektor, melalui perkalian silang: ∇ x V disebut rotasi atau

curl.

Gradien

Gradien suatu fungsi scalar ϕ adalah suatu vector yang harganya merupakan turunan

berarah maksimum di titik yang sedang di tinjau, sedangkan arahnya merupakan arah

turunan berarah maksimum di titik tersebut.

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ϕϕϕϕ (1.15)

Contoh

1. Gradien suatu fungsi r

Ambil f(r) = ( )222 zyxf ++

4

( ) ( ) ( ) ( )zrf

yrf

xrfrf

∂∂

+∂∂

+∂

∂=∇ kji

dengan ( ) ( )rx

xzyx

xr

xr

dxrdf

xrf

=∂

++∂=

∂∂

∂∂

•=∂

∂ 222

dan

sehingga

( ) ( )drdfr

drdf

rdrrdf

rz

ry

rxrf 0̂==

+

+

=∇

rkji (1.15)

misal 020 ˆ11

ˆ1 rrdr

rd

rr

−=

=

∇

2. Anggap bahwa permukaan yang diperhatikan merupakan kulit bola

sepusat/konsentris, maka ( ) konstan,, 222 ===++= ii Crzyxzyxϕ dan

ii Cr ∆=∆=∆ϕ adalah beda nilai pada kulit bola yang berbeda. Gradien ϕ:

( ) ( )00 ˆˆ r

drrdrr ==∇

ϕϕ

Jelaslah bahwa turunan maksimum fungsi adalah dalam arah radial.

Divergensi

Divergensi suatu vector adalah limit integral permukaan persatuan volum, jika volum

yang terlingkupi oleh permukaan tersebut mendekati nol.

∫ •→

=•∇S

dV

anF0V

limF 1 (1.16)

r1

r2

ϕ∇=0̂r

x

y

z

5

Dalam koordinat tegak lurus, divergensi:

z

Fy

Fx

F zyx

∂∂

∂

∂+

∂∂

=⋅∇ F. (1.17)

Arti fisis dari divergensi dapat dipahami seperti contoh pada mekanika fluida berikut:

Jika v menyatakan kecepatan fluida sebagai fungsi kedudukan, dan ρ kerapatannya,

maka daS

nv ⋅∫ ρ , jelas merupakan jumlah volum fluida persatuan waktu (atau debit)

yang meninggalkan volum yang terlingkupi oleh S. Jadi jelaslah bahwa divergensi

dapat ditafsirkan sebagai limit kuat sumber persatuan volum atau merupakan kerapatn

sumber fluida tak termampatkan.

Teorema Divergensi/Teorema Gauss

Integral dari divergensi suatu vector pada volum V sama dengan integral permukaan

komponen normal vector itu pada permukaan yang melingkupi V.

∫∫ ⋅=⋅∇SV

dadV nFF (1.18)

Kita tinjau vector-vektor radial yang banyak muncul dalam masalah listrik magnet:

( ) 3. =∂∂

+∂∂

+∂∂

=++⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇zz

yy

xxzyx

zyxkjikjir

Bagaimana divergensi perkalian vector dan fungsi scalar radial?

. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )

+++=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇drdf

rz

drdf

ry

drdf

rxrfrfz

zrfy

yrfx

xrf

222

3r

( ) ( )drdfrrfrf +=⋅∇ 3r (1.19)

Bila ( ) ( ) ( ) 11111 213maka, −−−−− +=−+=⋅∇= nnnnn rnrnrrrrf r

Rotasi atau Curl

Rotasi suatu vector adalah limit angka banding antara integral perkalian silang vector

itu dengan normal yang berarah ke luar di seluruh permukaan tertutup terhadap volum

yang terlingkup oleh permukaan tersebut untuk untuk harga volum yang mendekati

nol.

6

∫ ×→

=×∇S

daVV

FnF 10

lim (1.20)

Perhatikan bahwa definisi rotasi sangat mirip dengan divergensi, bedanya dot dengan

cross.

Kita tinjau vector dan fungsi radial

( ) ( ) ( )[ ] rrr ×∇+×∇=×∇ rfrfrf

0=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

zyxzyx

kji

r , dan ( ) ( )dr

rdfrrf 0̂=∇ , sehingga

( ) 00̂ =×=×∇ rr rdrdfrf karena 0̂r dan r arahnya sama.

Arti fisis rotasi suatu medan vector adalah setara dengan divergensi suatu medan

vector. Namun bahwasanya medan vector ada yang bersifat divergen atau bersifat

rotasional. Divergensi medan vector adalah rapat sumber dari medan vector yang

bersifat divergen, sedang Rotasi medan vector menghasilkan rapat sumber dari suatu

medan vector rotasional.

Operator Laplace

.

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⋅∇zyxzyxϕϕϕϕ kjikji

ϕϕϕϕ 22

2

2

2

2

2

∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

=zyx

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⇒ , dinamakan operator Laplace

Cari ( ) ?=∇•∇ rg

Dari contoh 1: ( ) ( )dr

rdgrrg 0̂=∇

Dari contoh 4: ( ) ( )drdg

rdrrdgrrg r

⋅∇=⋅∇=∇⋅∇ 0̂

( ) 2

2

22

2 23dr

gddrdg

rdrdg

rr

drgd

rr

drdg

rrg +=

−++=∇⋅∇∴

7

Teorema Stokes

Integral garis suatu vektor sepanjang kurva tertutup sama dengan integral komponen

normal curlnya pada permukaan yang dibatasi oleh kurva tersebut.

∫∫ •×∇=•SC

dad nFlF

Perhatikan bahwa pada teorema divergensi bentuk pengintegralan volum dan luasan

dapat saling digantikan dengan prosedur tertentu, sedang pada teorema Stokes integral

luasan dapat digantikan dengan integral garis dengan prosedur tertentu.