T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d

38

LIMIT FUNGSI

Konsep Limit

Misalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali

mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh terdefinisi boleh

juga tidak

Limit fungsi di satu titik

Jika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup dekat ke

nilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan L dengan cara

memilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x dalam daerah asal

fungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x

mendekati a sama dengan L, ditulis

ax

lim f(x) = L.

Dengan ungkapan lain:

axlim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x – a| < maka | f(x) - L| < .

Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun pada nilai

x = a tidak dipersoalkan.

Misalnya pada fungsi f(x) = 3x – 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001 untuk = 0,003.

Karena |(3x – 4) – 5| = |3x – 9| = 3|x – 3|, maka relasi antara dan pada kasus ini adalah

= 3

untuk nilai fungsi di sekitar x = 3.

Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakan ax

lim f(x) = L tidak

ada.

T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d

39

T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d

40

LIMIT SEPIHAK

Dari gambar di atas dapat terlihat bahwa fungsi f(x) mengalami loncatan pada x = 1

Sekarang coba lengkapi implikasi berikut:

T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d

41

Hasil terakhir menunjukkan bahwa limit kiri dari f(x) untuk x menuju 1 dari kiri bukan 1,5

Definisi Limit Kanan

Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)

untuk x mendekati c dari kanan disebut L, dinotasikan εLxfδcx0δ0,εLxlimfcx

Definisi Limit Kiri

Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)

untuk x mendekati c dari kiridisebut L, dinotasikan εLxfδx-c0δ0,εLxlimfcx

T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d

42

KEKONTINUAN FUNGSI

Kekontinuan Sepihak

Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila

Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila

Kekontinuan Pada Interval

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik di (a,b)

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b) kontinu kanan di a dan

kontinu kiri di b

T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d

43

2. Periksa kekontinuan fungsi f yang diberikan oleh

3. Misalkan fungsi f diberikan oleh

Tunjukkan

4. Hitunglah

0x

0x,

1x

xsin

xf

12xxxf

16xf lim0,xf lim5x1x

xtan2x

xsinxlim

0x