1

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Di alam semesta ini, sangat banyak sekali sesuatu yang ada. Mulai dari

yang bernyawa dan mati, cair dan padat, besar dan kecil dan masih banyak lain

sebagainya. Sehingga, dengan banyaknya jenis-jenis tersebut diperlukan suatu

pengelompokan untuk membedakan banyaknya jenis yang melimpah itu. Seperti

pengelompokan hewan menurut apa yang dimakan. Ada kelompok hewan

herbivora, karnivora, dan omnivora.

Begitu juga dengan pengelompokan yang lainnya. Sehingga, didalam ilmu

matematika dipelajari himpunan. Himpunan adalah suatu kumpulan/koleksi dari

objek–objek sembarang. (cara pengumpulan objek–objek itu biasanya berdasarkan

sifat /keadaan mereka yang sama, ataupun berdasarkan suatu aturan tertentu/yang

ditentukan). Dengan himpunan kita akan bisa mengelompokkan objek-objek

dengan suatu keadaan atau sifat yang sama. Didalam aplikasi maple juga

digunakan untuk mengoperasikan himpunan.

Dengan maple akan mudah mengoperasi himpunan secara cepat dan benar.

Sehingga dirasa perlu untuk diadakan praktikum “Pengoperasian Himpunan

Dalam Maple”.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan permasalahan yang akan dibahas diantaranya adalah :

a. Apa yang dimaksud himpunan ?

b. Bagaimana mengoperasikan himpunan dalam maple ?

c. Apa saja jenis-jenis himpunan ?

d. Apa saja sifat-sifat himpunan ?

2

1.3 Tujuan dan Manfaat

1.3.1 Tujuan

Adapun tujuan yang diharapkan diantaranya :

a. Agar mahasiswa paham apa itu himpunan.

b. Agar mahasiswa bisa mengoperasikan himpunan dalam maple dengan benar.

c. Agar mahasiswa apa saja jenis-jenis himpunan.

d. Agar mahasiswa tahu sifat-sifat himpunan.

1.3.2 Manfaat

Adapun manfaat yang akan didapatkan adalah :

Bagi penyusun :

a. Akan lebih tahu mendalam konsep himpunan.

b. Lebih tahu lebih dalam pengaplikasian maple.

Bagi pembaca :

a. Tahu konsep himpunan dan jenis-jenisnya.

b. Mampu mengaplikasikan himpunan dalam maple

c. Tahu perintah apa yang digunakan untuk himpunan dalam maple.

3

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pengertian Himpunan

Untuk bisa memahami apa itu himpunan coba kita perhatikan lingkungan

sekitar kita. Pasti dengan mudah akan menemukan kumpulan/kelompok sebagai

berikut :

a. Kumpulan hewan berkaki dua

b. Kumpulan warna lalu lintas

c. Kelompok tanaman hias

Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, dan burung.

Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan, karena setiap disebut

hewan berkaki dua, maka hewan tersebut pasti termasuk dalam kumpulan

tersebut.

Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, danhijau.

Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah suatu himpunan,karena dengan jelas

dapat ditentukan anggotanya. (Dewi Nuharini, 2008)

Sehingga, dengan fakta diatas dapat kita pahami pengertian himpunan.

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan

jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan

yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

2.2 Notasi Himpunan

Biasanya himpunan dilambangkan dengan huruf besar (kapital)  A, B,

C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis

dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut

anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan . Adapun benda

atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota

himpunan dan dinotasikan dengan .

4

Berdasarkan contoh di atas, A adalah himpunan bilangan cacah kurang

dari 6, sehingga A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Bilangan 0, 1,2, 3, 4, dan 5 adalah anggota atau

elemen dari himpunan A, ditulis 0 A, 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, dan 5 A.

2.3 Diagram Venn

Diagram Venn merupakan alat bantu yang dapat digunakan untuk

menggambarkan suatu himpunan, atau menggambarkan hubungan beberapa

himpunan.

Contoh :

S = {x ׀ x < 7, x bilangan cacah }

2.3 Jenis-jenis Himpunan

Jenis-jenis himpunan diantaranya adalah :

2.3.1 Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang

memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibica-rakan. Himpunan

semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S. (Dewi

Nuharini, 2008)

Contohnya :

Jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semesta pembicaraan dari himpunan

P adalah himpunan S = {buah-buahan}.Dengan kata lain, S adalah himpunan

semesta dari P. Himpunan S memuat semua anggota himpunan P.

2.3.2 Himpunan Kosong (ᴓ)

. 0 . 5 . 1 . 2 . 6 .4 .3

S

5

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan

dinotasikan dengan { }atau ᴓ.

Contoh :

Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buah sisi maka anggota P

tidak ada atau kosong. Himpunan P disebut himpunan kosong (tidak mempunyai

anggota), karena jumlah sisi persegi adalah empat.

2.3.3 Himpunan Berhingga

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan

berhingga.

Contoh :

Jika suatu himpunan dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya maka

kalian dapat menentukan banyaknya anggotahimpunan tersebut. Jika A adalah

himpunan bilangan prima kurangdari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n(A) =

5. Himpunan A disebut himpunan berhingga, artinya banyaknya anggota A

berhingga.

2.3.4 Himpunan Tak Berhingga

Himpunan yang memiliki banyak anggota yang tak berhingga disebut

himpunan tak berhingga.

Contoh :

Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4,6, ...}, dengan n (B)

= tidak berhingga. Himpunan B disebut himpunan tak berhingga, karena

banyaknya anggota B tak berhingga.

2.4 Sifat-sifat Himpunan

Operasi himpunan memiliki sifat-sifat berikut:

2.4.1 Idempoten

(a) A∩A=A

(b) A∪A=A

2.4.2 Komutatif

(a) A∩B=B∩A

(b) A∪B=B∪A

6

2.4.3 Asosiatif 

(a) (A∩B)∩C =A∩(B∩C )

(b) (A∪B)∪C =A∪(B∪C )

2.4.5 Sifat Komplemen

(a)A∪Ac=U 

(b)A∩Ac=∅

(c)(Ac)c=A

(d)Uc = dan∅ ∅c=U 

2.4.7 Hukum de Morgan

(a)(A∪B)c=Ac∩Bc

(b)(A∩B)c=Ac∪Bc

2.4.4 Distributif 

(a)A∪(B∩C ) = (A∪B)∩(A∪C )

(b)A∩(B∪C ) = (A∩B)∪(A∩C )

2.4.6 Sifat Identitas

(a)A∪∅=A

(b)A∩U =A

(c)A∪U =U 

(d)A∩ =∅ ∅

7

BAB 3. METODOLOGI

3.1 Alat dan Bahan

3.1.1 Alat

a. PC atau laptop

b. Buku catatan untuk panduan

3.1.2 Bahan

a. Program / software maple

3.2 Cara Kerja

a. Pertama hidupkan PC atau laptop yang digunakan untuk untuk

mengoperasikan maple.

b. Buka program aplikasi maple yang sudah diinstal di PC atau laptop.

c. Kemudian, maple sudah dapat digunakan untuk mengoperasikan himpunan.

8

BAB 4. PEMBAHASAN

4.1 Penulisan Himpunan Dalam Maple

Untuk menuliskan himpunan didalam program maple dengan cara

mendefinisikan himpunan tersebut. Himpunan yang didefinisikan dikurung

dengan menggunakan tanda kurung kurawal ({...}). Untuk lebih paham gunakan

rumus seperti ini :

Huruf sebagai definisi:={himpunannya};

Contoh :

Misalkan A adalah bilangan genap kurang dari 10. Maka didalam maple

dituliskan sepeti ini : A:={2,4,6,8};

Contoh dalam maple :

> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9};

> B:={2,4,6,8};

> b:={hewan,berkaki,empat};

4.2 Perintah-perintah Himpunan Dalam Maple

Pengoperasian himpunan didalam maple tentunya mempunyai perintah-

perintah yang harus digunakan. Berikut beberapa perintah yang digunakan dalam

mengoperasikan himpunan dalam maple :

a. member

Penggunaan perintah member dalam maple digunakan jika ingin mengetahui

kebenaran keberadaan suatu anggota himpunan. Misalkan, himpunan A

mempunyai anggota bilangan genap kurang dari 10, penulisannya : A:={2,4,6,8}.

Misalkan kita ingin mengetahui apakah 6 masuk dalam himpunan A, maka

penulisannya menggunakan rumus seperti ini : member(anggota yang ingin

9

diketahui[koma][spasi]himpunan), jadi penulisannya adalah : member(6, A); jika

memang 6 merupakan anggota A, maka setelah di enter jawabannya true, namun

jika 6 bukan anggota A maka akan terjawab false.

Contoh:

> member(8, A);

> member(3, B);

b. evalb

Penggunaan perintah evalb mempunyai fungsi yang sama dengan perintah

member, yaitu mencari apakah anggota himpunan yang diketahui atau bukan.

Namun, perbedaannya terletak pada penulisannya di maple. Rumus dalam maple

yang harus digunakan jika menggunakan perintah evalb untuk menemukan

kebenarannnya adalah : evalb(anggota[spasi]in[spasi]himpunan). Jawaban yang

diberikan sama dengan penggunaan perintah member yaitu true dan false.

Contoh:

> evalb(3 in B);

> evalb(8 in A);

c. intersect

Penggunaan perintah intersect digunakan untuk perintah irisan (∩). Misalkan,

ingin dicari irisan dari himpunan A dan B. Rumus yang digunakan adalah :

himpunan pertama[spasi]intersect[spasi]himpunan kedua, Maka didalam maple

ditulis seperti sebagai berikut: A intersect B;

Contoh:

> a intersect b;

> b intersect a;

10

> a intersect b;

d. union

Sementara untuk penggunaan gabungan (U) digunakan perintah union.

Misalkan saja kita ingin mencari gabungan dari himpunan A dan B, maka untuk

penulisan rumusnya sama dengan intersect hanya diganti perintahnya. Maka

penulisannya seperti ini: A union B;

Contoh:

> a union b;

> b union a;

> a union b;

e. minus

Perintah lainnya yang juga digunakan pengoperasian himpunan didalam

maple adalah minus. Perintah minus digunakan jika kita ingin melakukan

perintah bukan anggota dari. Misalkan kita ingin mengetahui anggota mana saja

dari himpunan A yang bukan anggota dari himpunan B. Maka dapat

menggunakan perintah minus, yaitu A minus B; .

Contoh:

> A:={2,3,4,5,6};

> B:={4,3,2,1,5};

> A minus B;

11

f. subset

Perintah subset digunakan jika kita ingin mengetahui apakah semua anggota

sebuah himpunan merupakan bagian dari himpunan lainnya. Misalkan, kita ingin

mengetahui apakah anggota himpunan A semuanya juga merupakan anggota

himpunan B. Maka, ditulis menggunakan perintah subset, yaitu A subset B; maka

nantinya jawaban yang akan keluar adalah true dan false.

Contoh:

> A:={2,3,4,5,6};

> B:={4,5};

> A subset B;

> B subset A;

g. remove

Apabila kita ingin menuliskan suatu himpunan yang anggotanya sama dengan

anggota himpunan yang lainnya yang sudah ada didalam worksheet kerja maple

anda tidak usah menulis kembali, cukup menggunakan perintah remove jika ingin

menghapus beberapa anggota dari himpunan yang sama anggotanya. Misalkan,

himpunan A mempunyai anggota bilangan genap kurang dari 10, kemudian kita

ingin membuat himpunan baru yang anggotanya bilangan genap kurang dari 5.

Maka, kita cukup menghapus anggota 6. Misal himpunan baru tersebut

didefinisikan G, maka yang ditulis adalah G:=remove(has,A,6); maka secara

otomatis akan terbentuk himpunan baru yang anggotanya 2 dan 4.

Contoh:

> A:={2,3,4,5,6};

> B:={4,5};

12

> G:=remove(has,A,6);

13

BAB 5. PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Untuk menuliskan suatu himpunan didalam aplikasi maple kita harus

menggunakan tanda kurung kurawal ({..}) dan mendefinisikan anggota yang ada

didalam tanda kurung kurawal tersebut dengan suatu huruf. Untuk lebih jelasnya

kita menggunakan rumus sebagai berikut :

Huruf sebagai definisi:={himpunannya};

Selain itu, didalam mengoperasikan himpunan didalam maple juga diperlukan

beberapa perintah yang perlu diketahui. Diantaranya perintah yang dibutuhkan

adalah:

a. member

Berfungsi untuk mengetahui kebenaran keberadaan suatu anggota dari suatu

himpunan.

b. Evalb

Mempunyai fungsi yang sama dengan member hanya beda penulisan.

c. Intersect

Berfungsi untuk menuliskan operasi irisan.

d. Union

Berfungsi untuk menuliskan operasi gabungan.

e. Minus

Berfungsi untuk mencari anggota mana dari suatu himpunan yang bukan

anggota himpunan lainnya.

f. Subset

Berfungsi untuk mengetahui apakah seluruh anggota dari suatu himpunan

juga termasuk anggota dari himpunan yang lainnya.

g. Remove

Berfungsi untuk menuliskan himpunan baru yang anggotanya sama dengan

himpunan yang lainnya hanya lebih beberapa anggota yang berbeda.

14

5.2 Saran

Dalam menuliskan operasi himpunan didalam maple, ada beberapa hal

yang perlu diperhatikan. Diantaranya adalah sebagai berikut :

a. Diperhatikan penulisan tanda kurung kurawal dengan tanda kurung biasa.

b. Penulisan perintah dengan benar, sebab akan mempengaruhi hasil yang

diperoleh.

c. Jangan menggunakan huruf D dengan kapital pada pendefinisian himpunan,

sebab mempunyai fungsi tersendiri. Jika menggunakan hasilnya akan error.

15

DAFTAR PUSTAKA

Hartono, Yusuf. 2006. Program Ilmu Komputer. Palembang: Universitas

Sriwijaya.

Nuharini, Dewi. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya. Jakarta: Depdiknas.

16

> A:={2,3,4,5,6};

> B:={4,3,2,1,5};

> C:={1,2,3,4,5};

> s:={1,2,3,4,5,6,7,8,9};

1. Idempoten

> A union A;

> A intersect A;

2. Komutatif

> (A union B)union C;

> A union(B union C);

> (A intersect B)intersect C;

> A intersect(B intersect C);

3. Asosiatif

> A union B;

> B union A;

> A intersect B;

> B intersect A;

4. Distributif

> A union(B intersect C);

> (A union B)intersect(A union C);

17

> A intersect(B union C);

> (A intersect B)union(A intersect C);

5. Komplemen

> A intersect(s minus A);

> A union(s minus A);

> s minus(s minus A);

6. Identitas

> A intersect s;

> A union {};

> A intersect s;

> A union s;

> A intersect {};

7. De Morgan

> s minus (A intersect B);

> (s minus A)union(s minus B);

> s minus (A union B);

> (s minus A)intersect(s minus B);