LAPORAN

PENELITIAN PENGEMBANGAN IPTEKS

( PPI)

SIMULASI PERHITUNGAN RADIASI BENDA HITAM DENGAN

MENGGUNAKAN METODE INTERPOLASI

Tim Pengusul

Feli Cianda Adrin Burhendi, S.Pd, M.Si - 0305089001

Rizki Dwi Siswanto, M.Pd. – 031809901

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

2018

iii

SURAT PERJANJIAN KONTRAK

iv

v

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………………...... ii

SPK ……………………………………………………….. iii

DAFTAR ISI ………………………………………………………. v

IDENTITAS PENELITIAN ……………………………………………………….. vi

RINGKASAN ……………………………………………………….. vii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang …………………………………………………............. 1

1.2 Identifikasi Masalah ........ ………………………………………............ 4

1.3 Batasan Masalah ……………………………………………….............. 4

1.4 Rumusan Masalah ………………………………………………............ 4

1.5 Tujuan Penelitian ……………………………………………................. 4

1.6 Kegunaan Penelitian .............................................................................. 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Teori Dasar ……………………………………………........................... 6

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Metode Penelitian ………………………………………………............ 33

3.2 Diagram Alir Penelitian ………………………………………….......... 33

BAB IV HASIL dan PEMBAHASAN

4.1 Hasil dan Pembahasan ……………………………………................... 34

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan ……………………………………………………………. 36

5.2 Saran …………………………………………………………………… 36

DAFTAR PUSTAKA ....……………………………………………………………….. 37

LAMPIRAN

vi

IDENTITAS PENELITIAN

1. Judul Penelitian:

Simulasi Perhitungan Radiasi Benda Hitam Dengan Menggunakan Metode Interpolasi.

2. Tim Peneliti

No. Nama Jabatan Bidang

Keahlian

Instansi

Asal

Aokasi

Waktu

(jam/minggu)

1 Feli Cianda

Adrin Burhendi,

S.Pd., M.Si.

Ketua Pendidikan

Fisika

FKIP 24 minggu

2 Rizki Dwi

Siswanto,M.Pd.

Anggota Pendidikan

Matematika

FKIP 24 minggu

3. Objek Penelitian (jenis material yang akan diteliti dan segi penelitian):

Pertambahan Suhu dan efek Radiasi Benda Hitam

4. Masa Pelaksanaan

Mulai : Bulan: Agustus tahun: 2018

Berakhir : Bulan: Januari tahun: 2019

5. Usulan Biaya Lembaga Penelitian dan Pengembangan UHAMKA

Rp. 11.000.000

6. Lokasi Penelitian (lab./studio/lapangan)

Laboratorium Pendidikan Fisika

7. Instansi lain yang terlibat (jika ada, dan uraikan apa kontribusinya).

Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA tempat penelitian.

8. Temuan yang ditargetkan (penjelasan gejala atau kaidah, metode, teori, produk, atau

rekayasa).

Metode Perhitungan akurat Radiasi Benda Hitam.

9. Kontribusi mendasar pada suatu bidang ilmu (uraikan tidak lebih dari 50 kata, tekankan pada

gagasan fundamental dan orisinal yang akan mendukung pengembangan iptek).

Penelitian ini berkontribusi terhadap uji teoritis dalam perhitungan radiasi benda hitam

sebagai informasi dalam mata kuliah fisika modern.

10. Jurnal ilmiah yang menjadi sasaran (tuliskan nama terbitan berkala ilmiah

internasionalbereputasi, nasional terakreditasi, atau nasional tidak terakreditasi dan tahun

rencanapublikasi).

Jurnal ber-ISSN

vii

RINGKASAN

Telah dirancang program untuk menentukan radiasi efesiensi benda hitam yang melalui

Metode Interpolasi menggunakan bahasa pemrograman Phyton. Untuk mengetahui

level energi pancaran benda hitam diperlukan perhitungan matematis yang mana cukup

rumit dan membutuhkan waktu yang cukup lama, hal ini pasti banyak menghasilkan

kesalahan dalam perhitungan dan pemrosesan data. Program perhitungan yang telah

dirancang ini mampu menghitung efesiensi radiasi benda hitam dengan mudah dan

cepat dengan tingkat kesalahan cukup kecil yaitu 0.5%. Spektrum radiasi cahaya dari

benda bersuhu sekitar 1000°C. Sumbu x menunjukkan frekuensi cahaya, sedangkan sumbu

y menunjukkan intensitas atau kekuatan cahaya. Kalau kita memperhatikan garis lengkung

1000°C, seiring dengan bertambahnya frekuensi cahaya, intensitas cahaya juga makin kuat

alias makin terang. Tapi pada frekuensi cahaya tertentu, garis mencapai puncak, dan

setelah itu intensitas cahaya menurun drastis. Pada suhu 1200°C dan 1400°C, biarpun

suhunya naik, namun secara garis besar grafik garisnya mirip dengan garis 1000°C.

Kata kunci : Radiasi Benda Hitam, Metode Interpolasi, efisiensi

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Pengambilan kesimpulan model matematika dari hukum radiasi benda hitam

sempurna yang dibuat oleh Max Planck pada awal abad ke-20 didasarkan pada

gagasan dan ide, yang dianggap bertentangan dengan hukum fisika klasik [1], [2].

Planck memperkenalkan h konstan dengan dimensi aksi mekanis ke dalam hukum

model matematika dari radiasi benda hitam yang sempurna. Ini bertentangan

dengan sifat radiasi elektromagnetik. Namun demikian, model matematikanya

menggambarkan ketergantungan eksperimental dari radiasi ini. Konstanta yang

diperkenalkan olehnya menunjukkan fakta bahwa tempat radiasi tidak terus

menerus, tetapi dalam paket. Itu bertentangan dengan hukum Reyleigh-Jeans,

yang didasarkan pada gagasan tentang sifat gelombang kontinu dari radiasi

elektromagnetik, tetapi menggambarkan ketergantungan eksperimental dalam

rentang frekuensi rendah saja [2]. Karena model matematika hukum Reyleigh -

Jeans hadir dalam model matematika hukum radiasi benda hitam sempurna, itu

berarti bahwa hukum Planck tentang radiasi benda hitam sempurna didasarkan

pada gelombang yang eksklusif dan sifat gagasan sel radiasi [2], [3], [4], [5].

Proses radiasi gelombang berkelanjutan dengan proses portal merupakan

dasar yang aman untuk pengakuan krisis fisika klasik. Sejak saat itu, fisikawan

mulai berpikir bahwa bidang aplikasi hukum fisika klasik dibatasi oleh dunia

makro. Mereka berpikir bahwa hukum kuantum lain beroperasi di dunia mikro,

itulah sebabnya fisika, yang menggambarkan dunia mikro, harus disebut fisika

kuantum. Perlu dicatat bahwa Max Planck mencoba memahami campuran

gagasan fisik tersebut dan mengembalikannya ke cara perkembangan klasik, tetapi

gagal [3], [5]. Untuk pertama kalinya, model matematika hukum radiasi benda

hitam sempurna oleh ide-ide termodinamika diungkapkan oleh Yu.M. Ageev [10],

[13].

2

Bertahun-tahun kemudian, kita harus mengakui bahwa batas antara hukum

fisika klasik dan fisika kuantum belum ditetapkan. Masih sulit untuk

menyelesaikan banyak masalah dari dunia mikro, dan banyak masalah dianggap

belum terpecahkan dalam kerangka konsep dan konsep yang ada, mengapa kita

harus kembali ke upaya Max Planck untuk mendapatkan model matematika dari

hukum radiasi benda hitam sempurna berdasarkan konsep klasik [6], [7], [8], [10],

[11].

Pertimbangan kondisi lingkungan, fisiografis, keterbatasan data dari

berbagai titik di permukaan bumi ini dapat menghambat penyusunan model.

Selanjutnya untuk menyusun suatu model yang baik disiasati dengan melakukan

intepolasi. Interpolasi merupakan suatu metode atau fungsi matematika untuk

menduga nilai pada lokasi-lokasi yang datanya tidak tersedia. Interpolasi adalah

proses memprediksi nilai pada suatu titik yang bukan merupakan titik sampel,

berdasarkan pada nilai-nilai dari titik-titik di sekitarnya yang berkedudukan

sebagai sampel [9]. Penentuan nilai baru didasarkan pada data yang ada pada titik-

titik sampel pengamatan (lihat gambar 1). Tanpa adanya langkah interpolasi ini,

maka analisis spasial tidak dapat dilakukan secara akurat.

Gambar 1. Interpolasi Sebagai Prosedur Untuk Memprediksi nilai-nilai yang tidak

diketahui berdasarkan nilai-nilai yang diketahui dari titik-titik yang diketahui.

3

Seperti yang sudah dijelaskan pada paragraf-paragraf sebelumnya untuk

meningkatkan Sumber Daya Manusia terutama dalam bidang pendidikan maka

kita harus melakukan penelitian. Penelitian kami kali ini adalah penelitian

tentang “Simulasi perhitungan radiasi benda hitam dengan menggunakan

metode interpolasi”.

Berdasarkan uraian di atas, maka diasumsikan bahwa penelitian kami

kali ini dapat menambah wawasan kita tentang fisika dan aplikasinya. Oleh

karena itu, pada penelitian ini akan dilakukan sebuah penelitian yang

mencoba memberikan sebuah solusi bagi permasalahan di atas yang

diharapkan dapat meningkatkan hasil belajar dan mengubah persepsi kita

semua terhadap penelitian menjadi lebih positif. Hal itu dikarenakan

penelitian juga merupakan salah satu cara pembelajaran yang lebih bermakna

sehingga dapat membekali kita semua dalam menghadapi permasalahan

hidup yang akan kita hadapi dalam kehidupan sehari-hari.

1.2. Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan sebelumnya,

maka masalah pada penelitian ini dapat diidentifikasikan sebagai berikut.

1. Apakah yang dimaksud dengan Fisika ?

2. Apakah yang dimaksud dengan Radiasi Benda Hitam?

3. Apakah yang dimaksud dengan Metode Interpolasi?

1.3 Batasan Masalah

Semua permasalahan yang diuraikan di atas tidak mungkin untuk

diteliti semua karena keterbatasan penelitian ini. Di samping itu, semua

variabel dalam penelitian ini tidak memungkinkan untuk dikontrol semua.

Oleh karena itu, dalam penelitian perlu dilakukan pembatasan masalah.

Adapun pembatasan masalah pada penelitian ini adalah sebagai berikut:

“Simulasi perhitungan radiasi benda hitam dengan menggunakan metode

interpolasi”.

4

1.4 Rumusan Masalah

Berdasarkan batasan masalah di atas, maka rumusan masalah

penelitian ini adalah “Simulasi perhitungan radiasi benda hitam dengan

menggunakan metode interpolasi”.

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui Perhitungan radiasi

benda hitam dengan menggunakan metode interpolasi. Selanjutnya, hasil

penelitian ini bisa digunakan sebagai rujukan untuk memilih penelitian yang

lebih tepat terhadap aplikasi materi fisika yang telah dipalajari di perguruan

tinggi.

1.6 Kegunaan Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat kepada beberapa

pihak yang terlibat langsung terhadap penelitian ini, yaitu sebagai berikut.

1. Bagi mahasiswa, penelitian ini diharapkan dapat membantu untuk

meningkatkan wawasan tentang aplikasi materi fisika dan dapat

mengurangi kebosanan selama pembelajaran berlangsung.

2. Bagi dosen, hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan

alternatif pilihan untuk melakukan penelitian lain yang lebih efektif

dan memiliki inovasi lebih menarik.

5

BAB II

TEORI DASAR

2.1 Radiasi Benda Hitam

Pertanda pertama yang menunjukkan bahwa gambaran gelombang klasik

tentang radiasi elektromagnet (yang berhasil baik menerangkan percobaan Young dan

Hertz pada abad ke sembilan belas yang dapat dianalisis secara tepat dengan persamaan

Maxwell). Tidak seluruhnya benar, tersimpulkan dari kegagalan teori gelombang untuk

menerangkan spektrum radiasi termal yang diamati- Jenis radiasi elektromagnet yang

dipancarkan berbagai benda semata-mata karena suhunya. Teori gelombang juga

ternyata gagal menjelaskan hasil percobaan lain yang segera menyusul, seperti

percobaan yang mempelajari pemancaran elektron dari permukaan logam yang disinari

cahaya (efek foto listrik) dan hamburan cahaya oleh elektron-elektron (efek Compton).

Gambar 2.1

Ekperimen Distribusi Radiasi

Sebuah objek dipertahankan bersuhu T1. Radiasi yang dipancarkan objek ini

kemudian diamati dengan suatu peralatan yang peka terhadap panjang gelombang

radiasi. Sebagai contoh, zat perantara dispersif (penyebar cahaya) seperti prisma dapat

digunakan untuk pengamatan ini karena panjang gelombang berbeda yang

menembusinya akan teramati pada sudutnya yang berbeda pula. Dengan

menggerakkan detektor radiasi ke sudut è yang berbeda-beda, kita dapat mengukur

intensitas radiasi pada suatu panjang gelombang tertentu. Karena detektor bukanlah

6

suatu titik geometris (akan sangat tidak efektif), tetapi mengapit suatu selang sudut dè

yang sempit, maka yang sebenarnya kita ukur adalah jumlah radiasi dalam selang dè

pada è, atau yang setara dengan ini dalam selang dë dan ë. Besaran ini disebut intensitas

radiant (radiant intensity) R, sehingga hasil percobaannya adalah deretan nilai R dë

sebanyak nilai ë berbeda yang kita pilih untuk diukur. Bila percobaannya kemudian

diulangi tetapi dengan menaikkan suhu T2 menjadi lebih tinggi, maka kita simpulkan

dua sifat penting radiasi termal berikut:

1. Intensitas radiant total terhadap seluruh panjang gelombang berbanding lurus suhu

T berpangkat empat, maka dapat ditulis

∫ 𝑅 𝑑𝜆 = 𝜎 𝑇4∞

0 (2.1)

Persamaan ini disebut hukum Stefan dan σ dikenal sebagai tetapan Stefan-Bolzman,

nilai tetapan σ didapati sebesar

𝜎 = 5.6703 × 10−8 𝑊

𝑚2𝐾4 (2.2)

2. Panjang gelombang dimana masing-masing kurva mencapai nilai maksimumnya,

yang disebut λmaks (walaupun ia bukanlah suatu panjang gelombang masimum),

menurun jika suhu pemancar dinaikkan, ternyata sebanding dengan kenaikan suhu,

sehingga λmaks∝1𝑇 dari percobaan didapati bahwa nilai tetapan bandingnya

adalah

𝜆𝑚𝑎𝑘𝑠𝑇 = 2.898 × 10−3𝑚. 𝐾 (2.3)

Hasil ini dikenal sebagai hukum pergeseran Wien.

Pada tahap ini kita akan mencoba untuk menganalisis dan memahami hasil-

hasil ini (ketergantungan R pada λ, hukum Stefan dan hukum Wien) berdasarkan teori

termodinamika dan elektromagnet. Kita dapat melihat berbagai benda karena cahaya

yang mereka pantulkan. Pada suhu ruang, radiasi termal ini paling banyak terdapat

dalam daerah spektrum inframerah (λmaks≅ 10𝜇𝑚), pada daerah mata kita tak lagi

peka. Bila benda tersebut dipanasi, meraka akan mulai memancarkan cahaya tampak.

7

Bila T bertambah, maka λmaks menurun, untuk suhu sedang, λmaks akan menurun ke

daerah cahaya tampak. Sebagai contoh, sepotong logam yang dipanaskan, mula-mula

tampak memijar dengan memancarkan warna merah tua, dan bila suhunya terus

dinaikkan warnanya berangsur berubah menjadi semakin kuning.

Radiasi yang dipancarkan benda tidak hanya bergantung pada suhu, tetapi juga

pada sifat-sifat lainnya, seperti rupa benda, sifat permukaannya, bahan pembuatnya.

Radiasinya juga bergantung pada apakah dia memantulkan atau tidak memantulkan

radiasi dari lingkungan sekitar yang jatuh padanya. Untuk menghilngkan beberapa

hambatan ini, kita tidak akan meninjau benda biasa, melainkan yang permukaannya

sama sekali hitam (benda hitam). Jika sebuah benda sama sekali hitam, maka cahaya

yang jatuh padanya tidak ada yang ia pantulkan sehingga sifat-sifat permukaannya

dengan demikian tidak dapat diamati. Perluasan ini masih belum cukup

menyederhanakan persoalan untuk memungkinkan untuk menghitung spektrum radiasi

yang terpancarkan. Karena itu, kita memperluasnya lebih lanjut ke suatu jenis benda

hitam istimewa sebuah rongga, misalnya bagian dalam dari sebuah kotak logam,

dengan sebuah lubang kecil pada salah satu dindingnya. Lubang itulah, bukan

kotaknya, yang berperan sebagai benda hitam. Radiasi dari luar yang menembusi

lubang ini akan lenyap pada bagian dalam kotak dan kecil kemungkinan untuk keluar

kembali dari lubang tersebut; jadi tidak ada pantulan yang terjadi pada benda hitam

(lubang) tersebut. Karena radiasi yang keluar dari lubang itu merupakan cuplikan

radiasi di dalam kotak, maka pemahaman tentang hakikat radiasi di dalam kotak akan

memungkinkan kita untuk memahami radiasi yang keluar melewati lubang kotak itu.

Perhitungan klasik bagi energi radiant yang dipancarkan untuk tiap-tiap

panjang gelombang sekarang terbagi menjadi beberapa tahap perhitungan. Tanpa

dikemukakan pembuktiannya, berikut dikemukakan bagian-bagian penting dari

penurunannya. Pertama yang menyangkut perhitungan jumlah radiasi untuk masing-

8

masing panjang gelombang, kemudian sumbangan tiap-tiap gelombang bagi energi

total dalam kotak, dan terkahir intensitas radian yang berkaitan dengan energi itu.

1. Kotak berisi gelombang-gelombang berdiri elektromagnet. Jika semua

dinding kotak adalah logam, maka radiasi dipantulkan bolak-balik dengan

simpul (node) medan elektrik terdapat pada tiap-tiap dinding (medan listrik

haruslah nol di dalam sebuah konduktor).

2. Jumlah gelombang berdiri dengan panjang gelombang antara λ dan λ+dλ

adalah

𝑁(𝜆)𝑑𝜆 =8𝜋𝑣

𝜆4 𝑑𝜆 (2.4)

V adalah volume kotak. Untuk gelombang berdiri satu dimensi, seperti pada

tali tegang sepanjang L, maka panjang gelombang yang diperkenankan

adalah ă= 2L/n, (n=1,2,3...). jumlah gelombang berdiri yang mungkin

dengan panjang gelombang antara ă1 dan ă2 adalah sehingga dalam

selang antara ă dan ă+dă akan terdapat sebanyak gelombang yang

berbeda.

3. Tiap-tiap gelombang memberi saham energi KT bagi radiasi di dalam

kotak. Hasil ini diperoleh dari termodinamika klasik. Radiasi dalam kotak

berada dalam keadaan kesetimbangan termal dengan dinding pada suhu T.

Radiasi ini terpantulkan oleh dinding kotak karena ia diserap dinding dan

kemudian dipancarkan dengan segera oleh atom-atom dinding, yang dalam

proses ini bergetar pada frekuensi radiasi.

4. Untuk memperoleh intensitas radiant dari kerapatan energi (energi per

satuan volume) kalikan dengan c/4. Hasil ini juga diperoleh dari teori

elektromagnet dan termodinamika klasik.

9

Dengan menggabungkan unsur-unsur di atas, maka intensitas radiant yang

diperkirakan adalah:

Intensitas radiant = (jumlah gelombang per satuan volume) × (energi per

gelombang) × (energi radiant per rapat energi)

𝑅(𝜆) =8𝜋

𝜆4 𝑘𝑇 𝑐

4 (2.5)

Hal ini dikenal sebagai rumus Rayleigh-Jeans. Penurunannya menggunakan

teori klasik elektromagnet dan termodinamika, yang merupakan usaha maksimal dalam

menerapkan fisika klasik untuk memahami persoalan radiasi benda hitam.

Fisika baru memberi tafsiran benar terhadap radiasi termal dikemukakan oleh

fisikawan Jerman, Max Planck. Bencana ultraviolet disebabkan karena intensitas

radiant yang diramalkan hukum Rayleigh-Jeans menjadi sangat besar pada daerah

panjang gelombang pendek (pada ferkuensi yang tinggi). Yang diperlukan adalah suatu

cara untuk membuat R=0 bila λ=0 atau v=∞. Planck mengemukakan bahwa sebuah

atom yang bergetar hanya dapat menyerap atau memancarkan energi kembali dalam

bentuk buntelan-buntelan energi (yang disebut kuanta). Jika energi kuanta berbanding

lurus dengan frekuensi radiasi, maka bila frekuensinya meningkat, energinya akan turut

pula menjadi besar, tetapi karena tidak satu pun gelombang yang dapat memiliki energi

melebihi KT, maka tidak ada gelombang berdiri yang energi kuantumya lebih besar

daripada KT. Ini secara efektif membatasi intensitas radiant ferkuensi tinggi (panjang

gelombang pendek), dan dengan demikian memecahkan persoalan bencana ultraviolet.

Dalam teori Planck, setiap osilator dapat memancarkan atau menyerap energi

hanya dalam jumlah yang merupakan kelipatan bilangan bulat dari suatu energi dasar

𝐸 = 𝑛𝜀 𝑛 = 1,2,3, … (2.6)

n menyatakan jumlah kuanta. Selanjutnya, energi setiap kuanta ini ditentukan

oleh frekuensi menurut:

10

𝜀 = ℎ 𝑣 (2.7)

h adalah suatu tetapan banding yang dikenal sebagai tetapan Planck.

Berdasarkan anggapan ini, spektrum intensitas radiant yang dihitung Planck adalah:

𝑅(𝜆) = (𝑐

4) (

8𝜋

𝜆4) ⌈(

ℎ𝑐

𝜆)

1

𝑒ℎ𝑐

𝜆𝑘𝑇−1

⌉ (2.8)

Gambar 2.2

Hukum Planck

Kesesuaian antara percobaan dan rumus Planck diilustrasikan pada gambar di

atas, yang memperlihatkan betapa baiknya kurva rumus Planck berimpit dengan data

pengamatan.

Penurunan hokum Stefan dan rumus Plack memberikan hubungan tetapan

Stefan-Boltzman dan tetapan Planck berikut:

𝜎 =2𝜋5𝑘4

15𝑐2ℎ3 (2.9)

Karena kita mengetahui σ dari percobaan, maka kita dapat menentukan nilai

tetapan Planck dari hubungan ini dan hasilnya adalah

11

ℎ = 6.626 × 10−34𝐽. 𝑠 (2.10)

Pendekatan terhadap suatu nilai fungsi dibutuhkan pada beberapa kasus dimana

nilai tersebut akan sulit didapatkan dari suatu pendekatan analisis. Pendekatan numeris

untuk hal tersebuat adalah dengan interpolasi. Interpolasi pada suatu fungsi F(x) dapat

dinyatakan dalam berbagai bentuk persamaan diantaranya linear, polinomial atau

parabolik, trigonometri, exponensial, logaritmik, dan sebagainya. Pada bagian ini akan

dibicarakan beberapa model interpolasi diantaranya : linear, kuadratik, beda terbagi

newton, bead maju newton, beda mundur newton, dan interpolasi dengan fungsi spline.

2.2 Interpolasi

Interpolasi adalah proses menemukan dan mengevaluasi sebuah fungsi yang

grafiknya melalui beberapa titik yang sudah diberikan. Fungsi yang dievaluasi paling

banyak berupa polinomial.

Permasalahan dapat dijelaskan sebagai berikut:

Diberikan n+1 titik data yang berupa pasangan bilangan : ),,),,),, (((1100

fxfxfxnn

dengan xxx n,,,

10 semuanya berlainan. Akan dicari suatu polinom xp

n yang

pada setiap xi mengambil nilai f

i yang diberikan, yaitu :

fxpfxpfxpnnnnn

,,,1100 yang mempunyai derajat n atau kurang.

Polinom pn

disebut penginterpolasi. Nilai-nilai x jsering disebut simpul.

12

Nilai fj bisa berupa nilai-nilai fungsi matematis (tetapi xf tidak diketahui) atau

nilai yang diperoleh dari percobaan atau pengamatan. Polinom xpn

digunakan

untuk mendapatkan nilai-nilai aproksimasi xf yang tidak dilakukan pengukuran.

Secara khusus, terdapat 2 macam pengertian untuk interpolasi, yaitu :

Interpolasi : x terletak di antara simpul-simpul yang ada.

Ekstrapolasi : x tidak terletak di antara simpul-simpul → biasanya kurang

cermat.

Interpolasi dan Ekstrapolasi digunakan untuk memprediksi suatu nilai dalam suatu

fungsi yang belum diketahui, dimana fungsi itu bersifat kontinyu dalam interval

tertentu.

2.3 Interpolasi Polinomial

Beberapa interpolasi polynomial yang akan dibahas adalah interpolasi linier,

interpolasi kuadratik, interpolasi beda terbagi Newton, dan interpolasi Lagrange.

2.3.1 Interpolasi Linier

Interpolasi linear menggunakan sarana garis lurus melalui fxfx 1100,,, .

Interpolasi linier dapat digunakan untuk mengestimasi nilai xf untuk x yang tidak

ada di dalam data dengan menggunakan 2 titik terdekat dengan x.Secara detil, dapat

dijelaskan sebagai berikut

- Diberikan 2 titik fx 00, dan fx 11

, dengan x0≠ x1

:

13

Garis lurus yang menghubungkan kedua titik merupakan grafik dari polinomial

linear :

xx

fxxfxxp x

01

1001

1

- Cara penulisan rumus yang lain :

xxfxxfp x10001

, dengan xx

ffxxf

01

01

10,

, disebut beda

- Dengan demikian, fungsi p1

menginterpolasi nilai xi pada titik f

i,

i = 0.1, atau 1.0,1

ifxpii

error

f0

x0 x1x

P1(x) f1

y=f(x)

Gambar 4.1 Ilustrasi interpolasi linier

Dengan demikian, algoritma interpolasi linier dapat disusun sebagai berikut

Input : xi, i = 1, 2 ; f(xi), i = 1, 2 ; P1

Output : linier

Langkah-langkah :

Untuk i = 1, 2 lakukan

Ai := xi

14

Bi := f(xi)

faktor := 12

12

A- A

B - B

linier := B1 + (faktor * (P1 – A1))

2.3.2 Interpolasi Kuadratik

Interpolasi kuadratik adalah interpolasi yang memakai sarana polinom

berderajat paling tinggi dua yang kurvanya melalui 3 titik

fxfxfx dan221100

,,,,,

Polinomial kuadratik yang melalui ketiga titik tersebut adalah :

xxxfxxxxxxfxxfp x2101010002

,,,

dengan xx

ffxxf

01

01

10,

dan

xx

xxfxxfxxxf

02

1021

210

,,,,

Dapat dibuktikan bahwa :

fxp002

fxx

ffxxfxp

101

01

01012

dan

fxp222

15

2.3.3 Interpolasi Beda Terbagi Newton

Interpolasi linear dan kuadratik merupakan kasus khusus interpolasi derajat yang

lebih tinggi. Dalam hal ini, digunakan konsep beda terbagi sebagai berikut:

Untuk order pertama dihitung dari derivatif fungsi xf secara diskrit :

xxxx

ffxxf 10

01

01

10,,

Untuk order yang lebih tinggi, dipakai beda terbagi order yang lebih rendah secara

rekursif:

xx

xxfxxfxxxf

02

1021

210

,,,,

xx

xxxfxxxfxxxxf

03

210321

3210

,,,,,,,

Sehingga:

xx

xxfxxfxxf

n

nn

n

0

101

0

,,,,,,

→ disebut rumus beda terbagi Newton.

Dengan demikian, interpolasi beda terbagi Newton dapat dirumuskan sebagai

berikut:

xxfxxxx

xxxfxxxxxxfxxfp

nn

nx

,,

,,,

010

210101000

16

Dari penjelasan dan perumusan di atas, algoritma Interpolasi Beda Terbagi Newton

dapat disusun sebagai berikut:

- Tujuan: menghitung zpn

dari zf pada z

- Algoritma interpolasi :

input : fxfxfx nn,,,,,,

1100 ; z

output : zpn

Langkah-langkah :

1. Untuk j = 0, 1, 2, … , n lakukan: fxfjj

:

2. Untuk m = 1, 2, … , n-1 lakukan

Untuk j = 0, 1, 2, … , n-m, lakukan

xxxxxxx

xxxjmj

mjjjmjj

mjjj

fff

111

1

,,,,,,,,

3. fp z00

:

4. Untuk k = 1, 2, 3, … , n lakukan

xxxxpp kkkkfzzzz ,,

0101

2.3.4 Interpolasi pada Titik yang Berjarak Sama

Rumus interpolasi beda terbagi Newton berlaku untuk simpul yang berjarak

sembarang. Untuk simpul-simpul yang berjarak sama, maka didapatkan xi:

nhhh xxxxxxx n

002010 ,,2,,

17

dengan h adalah jarak antara 2 simpul. Ini akan menyederhanakan rumus interpolasi.

2.3.4.1 Rumus Beda Maju Newton (Gregory-Newton)

Didefinisikan :

fffjjj

1

→ beda maju pertama

fffjjj

1

2 → beda maju kedua

fffj

k

j

k

j

k 1

1

1

→ beda maju ke-k

Dari definisi-definisi di atas, ternyata dapat dibuktikan bahwa :

00 !

1,, f

hkf

k

kkxx ....(1)

dengan xx jjh

1 (konstan)

Pembuktian:

Pembuktian dilakukan dengan memakai induksi, bahwa memang benar untuk k =

1, karena x1 = x0 + h, sehingga

001

01

01

10!1

11],[ f

hff

hxx

ffxxf

Dengan anggapan (1) benar untuk semua beda maju orde k, maka rumus berlaku

untuk k+1. digunakan xk+1 = xo + (k+1)h dan j = 0.

18

0

1

1

01

011

10

)!1(

1

!

1

!

1

)1(

1

)1(

],,[],,[],...,[

fhk

fhk

fhkhk

hk

xxfxxfxxf

k

k

k

k

k

k

kk

k

Rumus di atas merupakan rumus (1) dengan k+1 sebagai ganti k. Dengan demikian

rumus (1) terbukti.

Bila ditetapkan bahwa rhxx 0 atau h

xxr 0 , 0 ≤ r ≤ n, maka rumus interpolasi

menjadi :

00

2

00

0

0

!

11

!2

1f

n

nrrrf

rrfrf

fs

rxPxf

n

sn

s

n

dengan koefisien-koefisien binomial didefinisikan dengan :

!

121,1

0 s

srrrr

s

rr

Perhitungan terhadap eror yang terjadi :

tfnrrrn

rx n

n

n

11

1!1

dengan 1nf adalah turunan f ke (n+1) dan t terletak antara x dan xn

2.3.4.2 Rumus Beda Mundur Newton (Gregory-Newton)

19

Didefinisikan beda mundur pertama dari f pada xj : 1 jjj fff

Beda mundur kedua : 1

2

jjj fff

Beda mundur ketiga : 1

11

j

k

j

k

j

k fff (k = 1,2, …)

Maka rumus interpolasi beda mundur Newton menjadi:

00

2

00

0

0

!

11

!2

1

1

fn

nrrrf

rrfrf

fs

srxPxf

n

sn

s

n

dengan nrh

xxrhrxx

0,0

0

2.3.5 Interpolasi Lagrange

Diberikan nn fxfxfx ,,,,,, 1100 dengan ix sebarang. Lagrange mempunyai

pemikiran mengalikan jf dengan suatu polinom yang bernilai 1 pada jx dan 0 pada n

titik simpul lainnya dan kemudian menjumlahkan n+1 polinom tersebut untuk

memperoleh polinom interpolasi tunggal berordo n atau lebih kecil.

Rumus interpolasi lagrange:

- Polinomial interpolasi mempunyai bentuk :

xbfxbfxbfxbfxL nnn ...221100

Dengan bk(x) = suatu polinomial derajat “n”

Polinomial bk(x) dapat dicari dengan menggunakan n+1 persamaan constraint.

- Persamaan constraint dapat dibuat sebagai berikut :

20

nifxL iin ,,2,1,0;)(

Sehingga :

0001100000 ... fxbfxbfxbffxL nnn

nnnnnnnn

nnn

fxbfxbfxbffxL

fxbfxbfxbffxL

...

...

11000

1111110011

Untuk mempermudah penyelesaian persamaan constraint, maka dipilih :

ki

kixb ik

;0

;1

Persamaan tersebut telah memenuhi persamaan constraint.

- Bentuk persamaan polinomial bk(x) adalah sebagai berikut :

)())(())()(( 11210 nkkkk xxxxxxxxxxxxCxb

Sesuai pilihan di atas yang cocok dengan constraint yaitu bk(xk) = 1

Maka konstanta Ck dapat dicari dengan rumusan berikut :

)())(())((

1

1110 nkkjkkkk

kxxxxxxxxxx

C

Dengan demikian semua polinomial bk(x) diperoleh :

21

)())((

)())()((

)())()((

)())((

110

31022

32011

2100

nnn

n

n

n

xxxxxxCxb

xxxxxxxxCxb

xxxxxxxxCxb

xxxxxxCxb

di mana :

)())()((

1

)())()((

1

)())()((

1

)())()((

1

1210

0

2321202

0

1312101

1

0302010

0

nnnnn

n

n

n

xxxxxxxxC

xxxxxxxxC

xxxxxxxxC

xxxxxxxxC

Jadi polinomial bk(x) dapat ditulis secara lengkap :

)())()((

)())()((

)())()((

)())()((

)())((

)())((

)())((

)())((

1210

1210

2321202

3102

12101

20

1

02010

21

0

nnnnn

nn

n

n

n

n

n

n

xxxxxxxx

xxxxxxxxxb

xxxxxxxx

xxxxxxxxxb

xxxxxx

xxxxxxxb

xxxxxx

xxxxxxxb

Sehingga persamaan polinomial dari lagrange interpolation dapat dirumuskan

sebagai berikut :

22

)())(())((

)())(())(()(

1110

1110

0 nkkkkkkk

nkkn

k

knxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxfxL

Atau jika )())(())()(( 11210 nkkn xxxxxxxxxxxxxl

maka rumus interpolasi lagrange adalah :

k

n

k kk

kn f

xl

xlxLxf

0 )(

dengan :

nxxxxxxxl 210 untuk k = 1,2, …, n-1

nkkk xxxxxxxxxl 110

110 nn xxxxxxxl

Dengan demikian : kkn fxl dan 0jk xl jika j ≠ k

Djuhana (2002) melakukan analisis kesalahan metode Lagrange. Kesalahan itu

terjadi saat metode ini ingin memberikan aproksimasi suatu fungsi f(x) dengan

polinomial Ln(x) yaitu :

1000

)!1(

)())((

n

nn fn

xxxxxxxLxfxE

di mana tergantung pada nilai x dan tidak diketahui di dalam interval x, x0 dan xn

Algoritma interpolasi polinomial lagrange dapat dirumuskan sebagai berikut :

Input : n, ix , i = 0, 1, 2, … , n ; f( ix ) ; x

23

Output : Plag = ln(x)

Langkah-langkah :

Plag := 0

Untuk i = 0,1,2, …, n lakukan

faktor := 1

Untuk j = 0,1, … , n

Jika j ≠ i, faktor := faktor * ji

j

xx

xx

Plag := Plag + faktor * f(xi)

2.4. Fungís-fungsi Interpolasi Non-Polinomial

Interpolasi dan ekstrapolasi adalah salah satu metode pendekatan atau

aproksimasi. Interpolasi dan ekstrapolasi digunakan untuk memprediksi suatu nilai

dalam suatu fungsi yang belum diketahui, di mana fungsi itu bersifat kontinyu dalam

interval tertentu.

Terdapat beberapa kelemahan penggunaan interpolasi polinomial:

Titik-titik penginterpolasi harus dipilih dengan hati-hati. Jika tidak, bisa terjadi

perbedaan yang sangat besar antara fungsi dan hasil interpolasi seiring bertambah

banyaknya titik yang digunakan.

Contoh:

Interpolasi terhadap 21

1)(

xxf

pada interval [-5,5]

24

Gambar 4.2 Grafik interpolasi dengan N=6

Gambar 4.3 Grafik interpolasi dengan N=11

Kurva yang dihasilkan tidak smooth (mulus).

- Dengan interpolasi linier:

Ide dasar dari interpolasi linier: pada saat data dalam bentuk tabel tidak begitu

bervariasi, sehingga memungkinkan untuk dilakukan pendekatan dengan

menggunakan sebuah garis lurus di antara dua titik yang berdekatan.

-4 4

1

0

1

-4 40

25

_

_

1

1

2

2 3 4

Gambar 4.4 Interpolasi linier untuk data di atas

- Dengan interpolasi kuadratik (polinomial derajat 2):

_

_

1

1

2

2 3 4

Gambar 4.5 Interpolasi kuadratik untuk data di atas

- Dengan interpolasi polinomial derajat 6:

1

1

2

2

3

3

4

4

26

Gambar 4.6 Interpolasi derajat 6 untuk data di atas

2.4.1 Interpolasi dengan Fungsi Spline

Smoothness bisa didapatkan dengan interpolasi polinomial secara lokal

menggunakan fungsi-fungsi spline. Polinomial-polinomial berderajat rendah (yang

berbeda derajatnya) digunakan untuk tiap interval [Xi, Xi+1]

Definisi fungsi spline

Misalkan nxxx .....10 adalah serangkaian titik. Fungsi s merupakan spline

berderajat k jika:

a. s adalah polinomial berderajat tidak lebih dari k pada tiap subinterval [Xi, Xi+1].

b. )1(,.....,', ksss semuanya kontinyu pada interval [X0, XN]

Contoh-contoh fungsi spline:

a.

85

1)( 2

x

xx

x

xs

43

31

10

x

x

x

Merupakan fungsi spline derajat 2. Derajat masing-masing fungsi paling tinggi

adalah 2. Bukan merupakan spline kubik (derajat 3) karena derivatif titik 2 tidak

kontinyu, yaitu 0, 2, 0, untuk masing-masing interval.

b.

x

xxs

12)(

21

10

x

x

Merupakan spline linier.

Soal: bagaimana dengan:

27

a.

4325

254

12

12

)(

23

23

2

23

xxx

xxx

xx

xxx

xs

43

31

10

02

x

x

x

x

b.

2

3

)1(3)1(53

2)(

xx

xxxf

]4,1[

]1,0[

x

x

2.4.2 Interpolasi Spline Kubik Alamiah (Natural Cubic Spline Interpolation)

Diberikan n titik data (xi, yi) dengan x1 < x2 < ... < xn dan a = x1, b = xn. Akan

dicari fungsi s(x) yang terdefinisi pada [a,b] yang menginterpolasi data:

ii yxs )( , i = 1, ....., n

Agar s(x) mulus, )(' xs dan s”(x) harus kontinyu supaya kurva mengikuti bentuk umum

dari interpolasi linear, )(' xs tidak boleh berubah terlalu banyak pada titik-titik.

Syaratnya, s”(x) bernilai sekecil mungkin.

Maka s(x) harus memenuhi:

a. s(x) berupa polinom kubik pada masing-masing interval ],1[ jj xx untuk j = 2, 3,

....., n

b. 0)(")(" 1 nxsxs

s(x) disebut fungsi spline kubik alamiah yang menginterpolasi data (xi, yi).

Untuk membentuk s(x), dapat digunakan cara sebagai berikut:

Misalkan Mi, ....., Mn dengan )(" ii xsM , i = 1, ….., n. s(x) akan dinyatakan dalam

Mi.

28

s(x) persamaan kubik pada tiap selang ],1[ jj xx , maka s”(x) akan linear pada selang

tersebut. Fungsi linier akan ditentukan oleh 2 titik dan dipakai

11)(" jj Mxs dan jj Mxs )("

Maka 1

11 )()()("

jj

jjjj

xx

MxxMxxxs untuk jj xxx 1

Antiderivatif ke-2 dari s”(x) pada ],1[ jj xx yang memenuhi kondisi penginterpolasi

jjjj yxsyxs )(,)( 11 adalah:

)(

)()(

)(6

)()()(

1

11

1

3

11

3

jj

jjjj

jj

jjjj

xx

yxxyxx

xx

MxxMxxxs

])())[((6

1111 jjjjjj MxxMxxxx ...... (1)

untuk jj xxx 1

Rumus tersebut diterapkan pada tiap interval ],[],.....,,[ 121 nn yxxx

s(x) akan kontinyu pada [a, b] karena syarat ij yxs )( . Agar )(' xs kontinyu pada [a,

b] maka )(' xs pada ],[ 1 jj xx dan ],[ 1jj xx harus mempunyai nilai yang sama pada

titik batas x = xj, j = 2, ....., n-2.

Dihasilkan: 1

1

1

1

1

111

1

1

636

jj

jj

jj

jj

j

jj

j

jj

j

jj

xx

yy

xx

yyM

xxM

xxM

xx

j = 2, 3, ....., n-1 ....... (2)

29

→ Terdapat n-2 persamaan

Dengan asumsi sebelumnya : M1 = Mn = 0 ....... (3)

Akan dihasilkan M1, ....., Mn yang akan disubstitusi pada (1) menghasilkan fungsi

penginterpolasi s(x).

2.5 Interpolasi Rasional dan Pecahan Bersambung

Fungsi-fungsi rasional (yang merupakan perbandingan polinomial) diperlukan

untuk karakteristik tertentu, misalnya asimtot.

Sebagai contoh: untuk melihat bagaimana kondisi x

x 12 di dekat 0 tidak dapat di

dekati dengan polinomial.

Misal Nxxx ,.....,, 10 dengan N = n + m adalah titik-titik dimana f(x0), ..... f(xN)

diketahui. Maka untuk tiap i = 0, ..... N,

m

imi

n

ini

xbxb

xaxaaxf

.....1

.....)(

1

110

Ini dapat ditulis dengan:

)().....)((..... 1110 i

m

imii

n

in xfxbxbxfxaxaa

yang merupakan sistem linear.

Tetapi sistem tersebut ternyata belum tentu mempunyai penyelesaian dan jika ada,

penyelesaian tersebut belum tentu unik. Dengan demikian, diperlukan metode lain.

Salah satu metode yang dapat dipakai adalah metode pecahan bersambung

(Continued Fractions) yang menggunakan beda invers (inverse differences).

30

Definisi beda invers : untuk fungsi f pada titik-titik x0, ….., xN :

Inverse differences ke-0 : ][][ ii xfx

Inverse differences ke-1 : ][][

],[ji

ji

jixx

xxxx

Secara umum:

],,.....,[],,.....,[],,,.....,[

rpqp

rq

rqpxxxxxx

xxxxxx

Contoh soal:

Untuk data x0 = -1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 dengan nilai-nilai fungsi 2, 1, 3, 2.5, didapatkan

tabel beda invers sebagai berikut.

i xi fi ],[ 0 ixx ],,[ 10 ixxx ],,,[ 3210 xxxx

0 -1 2

1 0 1 -1

2 1 3 2 0.3333

3 2 2.5 6 0.2857 -21.0084

Salah satu perhitungan: 7

2

61

20

],[],[],,[

3010

31

310

xxxx

xxxxx

Dari definisi beda invers di atas, dapat diturunkan rumus interpolasi pecahan

rasional bersambung, seperti uraian berikut ini:

31

0

0

00

)()()()()(

xx

xfxfxxxfxf

],[][

0

0

0xx

xxx

..... (1)

],,[],[],[

],[][)(

10

1100

10

0

00,1

xxx

xxxxxx

xx

xxxx

Substitusi terhadap (1) maka:

],,[],[

][)(

10

110

0

0

xxx

xxxx

xxxxf

Maka )(1,1 x didapatkan dengan mengganti x pada ],,[ 210 xxx dengan x2

13

17

1

12)(

31

1,1

x

x

x

xx

Dengan demikian, rumus interpolasi pecahan rasional bersambung secara umum:

.....],,,[],,[

],[

][)(

3210

2210

110

0

0

xxxx

xxxxx

xxxx

xxxxf

32

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Desain Penelitian

Metode merupakan salah satu bagian penting dalam melakukan

penelitian, karena berfungsi sebagai strategi untuk mencapai tujuan yang

diinginkan. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode

kajian teoritis dan komputasi.

Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Dasar dasar dan

Lanjut Univ. Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA jalan tanah Merdeka,Ps.

Rebo dan di tempat tinggal peneliti Jln. Paus Dalam Blok D 15,

Rawamangun. Penelitian dilaksanakan mulai bulan juli 2018.

3.2 Diagram Alir Penelitian

Gambar 3.1 Alur Penelitian

Pencarian literatur

Memilih Model dan Formalisme

Menggunakan Model dan

Formalisme untuk

menghasilkan data teoritis

Proses Komputasi

Membandingkan Hasil

Teoritis dengan data hasil

eksperimen

Selesai

33

BAB IV

HASIL DAN DISKUSI

4.1 Hasil dan Diskusi

Grafik spektrum radiasi benda hitam bisa dilihat di bawah. Grafik dari

spektrum itu bisa dilihat di bawah ini. Garis lengkung paling bawah adalah spektrum

radiasi cahaya dari benda bersuhu sekitar 1000°C. Sumbu x menunjukkan panjang

gelombang, sedangkan sumbu y menunjukkan intensitas atau kekuatan cahaya. Kalau

kita memperhatikan garis lengkung 1000°C, seiring dengan bertambahnya frekuensi

cahaya, intensitas cahaya juga makin kuat alias makin terang. Tapi pada frekuensi

cahaya tertentu, garis mencapai puncak, dan setelah itu intensitas cahaya menurun

drastis. Pada suhu 1200°C dan 1300°C, biarpun suhunya naik, namun secara garis

besar grafik garisnya mirip dengan garis 1000°C. Hanya bedanya, titik puncaknya

semakin tinggi dan sedikit bergeser ke kanan (ke frekuensi cahaya yang lebih besar).

Kita juga bisa melihat bahwa frekuensi cahaya pada intensitas tertinggi berbanding

lurus dengan suhu benda tersebut.

Gambar 4.1 Hasil Interpolasi data

34

Saya menggunakan fortran95 untuk mengeksekusi data dan menggunakan gnuplot untuk

memplot data tersebut agar menjadi grafik. Dari gambar terlihat bahwa hasil perhitungan

interpolasi sangat sesuai dengan teori max planck.

Berikut langkah algoritma dan kode program Python :

from scipy.constants import codata

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

D = codata.physical_constants

h = D['Planck constant'][0]

k = D['Boltzmann constant'][0]

c = D['speed of light in vacuum'][0]

konstantaWien = 2.897e-3

def planck(T, l):

# calculate the Planck Law for a specific temperature and an array of wavelengths

p = c*h/(k*l*T)

result = np.zeros(np.shape(l))+1e-99

# prevent underflow - compute only when p is "not too big"

calcMe = np.where(p<700)

result[calcMe] = (h*c*c)/(np.power(l[calcMe], 5.0) * (np.exp(p[calcMe])-1))

return result

# compute for a range of temperatures

Tbody=np.arange(2000, 12000, 2000)

Lpeak = konstantaWien / Tbody

plot1 = plt.figure()

ax = plot1.add_subplot(111)

# compute Planck function for a range of wavelengths and temperatures:

for ti,T in enumerate(Tbody):

# wavelengths used: from 0.1 * peak to 100* peak

Lvec = np.logspace(-1, 2, 500) * Lpeak[ti] # wavelengths: 1 nm - 1 mm

r = planck(T, Lvec)

ax.plot(Lvec*1e9, r, label='T=%d'%T)

# create axes and labels

plotAs = 'linear' # set to 'log' for log plot

ax.set_xlabel('lambda (nm)')

ax.set_ylabel('radiance (W/sr/m^3)')

ax.set_title('Black body spectrum')

ax.legend()

ax.set_xscale('log')

ax.set_yscale('log')

ax.set_ylim (1e-8, 2.5e14)

plt.show()

35

Persamaannya sedikit sulit memang, tapi lumayan cocok dengan grafik spektrum

radiasi benda hitam. Kelemahan grafik Rayleigh-Jeans bisa diatasi sehingga garis

pada frekuensi cahaya tinggi menjadi cocok. Tapi sayangnya, garis pada frekuensi

cahaya rendah malah sedikit menyimpang bila dibandingkan dengan grafik Rayleigh-

Jeans.

36

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Penggunaan Metode Interpolasi untuk perhitungan efisiensi radiasi benda hitam dapat digunakan karena

sesuai dengan data praktikum atau eksperimen yang telah dilakukan oleh wien. Sehingga ini mempermudah

pengambilan data dan peramalan data dengan akurat untuk level energi yang berbeda.

5.2 Saran

Peneliti sebaiknya menggunakan software lain selain phyton untuk menambah variasi

hasil yang lebih baik.

37

BAB VI

LUARAN

6.1 Bukti Submit Jurnal

Hasil penelitian kali ini telah di submit di Jurnal Omega. Dipilihnya jurnal ini dikarenakan Jurnal Omega

telah Terakreditasi secara nasional dengan ISSN : 2502-2318 (online) dan ISSN : 2443-2911 (Print). Dimana

Jurnal ini menerbitkan makalah ilmiah tentang hasil studi dan tinjauan literatur dalam bidang fisika,

pendidikan menengah dan pendidikan tinggi.

ISSN: 2502-2318 (Online)

ISSN: 2443-2911 (Print)

Homepage: http://omega.uhamka.ac.id/

Accredited by RISTEKDIKTI, Decree No: 14/E/KPT/2019

ω o m e g a

Omega: Jurnal Fisika dan Pendidikan Fisika 5 (1), 23 - 26 (2019)(Journal of Physics and Physics Education)

Simulation of Radiation Calculation of Black Body by Using theInterpolation Method

Feli Cianda Adrin Burhendi1,∗, Rizky Dwi Siswanto2, Wahyu Dian Laksanawati1

1Physics Education Study Programme, Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKAJl. Tanah Merdeka, Pasar Rebo, Jakarta 13830, Indonesia

2Mathematics Education Study Programme, Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKAJl. Tanah Merdeka, Pasar Rebo, Jakarta 13830, Indonesia

(Received 15 Februari 2019; published 6 July 2019)

AbstractSimulation of radiation calculation of black body by using the interpolation method is designed to facilitate the

determination of radiation in black matter efficiency. Fortran programming languages are chosen for computa-

tional processes. The calculation program that has been designed is able to calculate the efficiency of black body

radiation easily and quickly with a fairly small error rate of 0.5%. The light radiation spectrum of objects is

around 1000, 1100, 1200, and 1300 ◦C. The x axis shows the wavelength, while the y axis shows the intensity or

strength of light. If we pay attention to the curvature of 1000 ◦C, along with the increasing frequency of light,

the intensity of light is also getting stronger aka more bright. But at certain light frequencies, the line reaches

the peak, and after that the light intensity drops dramatically. At temperatures of 1200 ◦C and 1300 ◦C, even

though the temperature rises, the outline of the line graph is similar to the line 1000 ◦C. This is in accordance

with the existing theoretical and experimental results.

c© 2019 The Authors. Published by Pendidikan Fisika UHAMKA

Keywords: black body radiation, interpolation method, efficiency

DOI: 10.31758/OmegaJPhysPhysEduc.v5i1.23

∗Corresponding author. E-mail address: felicianda@uhamka.ac.id

Introduction

In Physics, black body is objects absorbs alllight falling him, no light that went or reflected.The term black body was first introduced by gus-tav kirchoff in 1862. Light emitted by objects blackcalled black body radiation. If objects is heatedat high temperature emitting light waves lookedin lenght, like metal, incandescence long time laterthere will candescant, and brings forth light [1].

Knowledge of the laws governing thermal radi-ation of bodies enables understanding and descrip-tion of large number of phenomena in nature, and

operation principles for a wide range of devices usedin everyday life and scientific applications. As ex-amples, it is worth mentioning cosmologic research,the greenhouse effect, heat transfer processes usedin harvesting of energy from renewable resources,such as solar collectors or solar ponds, cooling ofelectronic systems, measurement of thermal prop-erties of bodies, motion detectors used in alert andprotection systems or thermal vision cameras [2].

In line with that, the conclusion of the math-ematical model of the law of perfect black matterradiation made by Max Planck at the beginningof the 20th century was based on ideas and ideas,

Feli Cianda Adrin Burhendi et al. / Omega: Jurnal Fisika dan Pendidikan Fisika 5 (1), 23 - 26 (2019)

which were considered contrary to the laws of clas-sical physics [3].

Here we will take a closer look at the Maxwellfield and then in particular its properties at finitetemperature in the form of black-body radiation. Itis characterized by a pressure p and an energy den-sity ρ. In a spacetime with three spatial dimensions,these are related by ρ = ρ/3. This can be derived bypurely kinematic arguments which are used in thefollowing section to find the corresponding relationin a D-dimensional Minkowski spacetime. Whenthe radiation is in thermal equilibrium at tempera-ture T , we then get by thermodynamic argumentsthe generalization of the Stefan-Boltzmann law inthe form ρ ∝ TD [4].

The generalized statistical mechanics has suc-cessfully been applied to investigate physical sys-tems which exhibit nonextensive features like stel-lar polytrops, Levy-like anomalous diffusions, twodimensional turbulence, cosmic background radi-ation, solar neutrino problem and many others.Within the framework of the nonextensive statisti-cal mechanics, we have generalized the Planck’s lawfor the black-body radiation. Earlier, an attemptwas made to generalize the Planck’s radiation law(known as the asymptotic approach) [5] for the ex-planation of the cosmic microwave background ra-diation [6] at a temperature of 2.725 K. Anotherattempt was made to generalize statistics of quan-tum and classical gases using the factorization ap-proach [7]. There are some versions of generalizedPlanck’s law available in the existing literature[8] inthis regard. There are also recent attempts to gen-eralize the Planck’s radiation law using Kaniadakisapproach [9, 10].

The total radiant intensity of all wavelengths isdirectly proportional to the temperature of a four-level T , so it can be written∫ ∞

0

R dλ = σT 4 (1)

This equation is called the Stefan law and σ isknown as the Stefan-Bolzman constant, the σ con-stant value is equal to

σ = 5.6703× 10−8W

m2K4(2)

The wavelength where each curve reaches itsmaximum value, which is called λmaks (althoughit is not a maximum wavelength), decreases if thetransmitter temperature is increased, it is propor-tional to the increase in temperature, so λmaks ∝ 1Tis found

λmaksT = 2.898× 10−3mK (3)

This result is known as the Wien shift law.

Classic calculations for radiant energy emittedfor each wavelength now are divided into several cal-culation stages. Without the proof being presented,the following points out the important parts of thedecline. First, the calculation of the amount of ra-diation for each wavelength, then the contributionof each wave to the total energy in the box, andfinally the intensity of radians associated with thatenergy. The box contains electromagnetic standingwaves. If all the walls of a box are metal, then theradiation is reflected back and forth with the nodes(electric nodes) found on each wall (the electric fieldmust be zero in a conductor).

The number of standing waves with a wave-length between λ and λ+ dλ is

N(λ) dλ =8πv

λ4dλ (4)

V is the volume of the box. For a one-dimensionalstanding wave, such as in a tension rope alongL, the permissible wavelength is f E= 2L/n, (n =1, 2, 3, ...). The number of possible standing waveswith a wavelength between f E1 and f E2 is so thatin the interval between f E and f E + df E there willbe as many different waves.

Each wave gives a share of kT energy to radia-tion in the box. This result is obtained from clas-sical thermodynamics. Radiation in the box is in astate of thermal equilibrium with the wall at tem-perature T . This radiation is reflected by the wall ofthe box because it is absorbed by the wall and thenemitted immediately by wall atoms, which in thisprocess vibrate at the radiation frequency. To ob-tain radiant intensity from energy density (energyper unit volume) multiply by c/4. These resultswere also obtained from the theory of electromag-nets and classical thermodynamics.

By combining the elements above, the estimatedradiant intensity is

R(λ) =8π

λ4kT

c

4(5)

This is known as the Rayleigh-Jeans formula.The decline uses classical electromagnetic theoryand thermodynamics, which is a maximum effort inapplying classical physics to understand the prob-lem of black matter radiation.

In Planck’s theory, each oscillator can emit orabsorb energy only in quantities that are multiplesof integers of a basic energy

E = nε, n = 1, 2, 3, ... (6)

n denotes the number of quanta. Furthermore, theenergy of each quanta is determined by frequencyaccording to

ε = hν (7)

24

Feli Cianda Adrin Burhendi et al. / Omega: Jurnal Fisika dan Pendidikan Fisika 5 (1), 23 - 26 (2019)

h is an appeal constant known as the Planck con-stant. Based on this assumption, the spectrum ofradiant intensity Planck calculates is

R(λ) =( c

4

)(8π

λ4

)[(hc

λ

)1

e hcλkT−1

](8)

Methods

The are many methods that able us to measuremore or less accurately Planck’s constant. The mostuseful, for a college or high school physics labora-tory, are based on aplication of the photoelectric ef-fect or black body radiation. Those are not the mostaccurate, but are the easiest to implement underthe above-mentioned conditions. The first methodrelies upon Einstein formula describing the energyof electrons emitted from an illuminated surfacefor different frequencies of incoming photons. Thismethod is quite often used in introductory laborato-ries. The second method seems more interestingasits implementation requires more knowledge aboutbasic of quantum and statistical physics [11]. Whileimplementing the method of interpolation.

Interpolation calculations were carried out toobtain theoretical results, then computation wascarried out with the fortran95 program to obtainexperimental data.

Results

The graph of the black body radiation spectrumcan be seen in Figure 1. The bottom curved lineis the spectrum of light radiation from objects ataround 1000 ◦C. The x axis shows the wavelength,while the y axis shows the intensity or strength oflight. If we pay attention to the curvature of 1000◦C, along with the increasing frequency of light, theintensity of light is also getting stronger aka morebright. But at certain light frequencies, the linereaches the peak, and after that the light intensitydrops dramatically. At temperatures of 1200 ◦Cand 1300 ◦C, even though the temperature rises, theoutline of the line graph is similar to the line 1000◦C. Only the difference, the peak point is higher andslightly shifted to the right (to a greater frequencyof light). We can also see that the frequency of lightat the highest intensity is directly proportional tothe temperature of the object.

Figure 1: Graph of the black body radiation spectrum

Conclusion

The use of the interpolation method for calcu-lating the efficiency of black body radiation can beused because it is in accordance with practical dataor experiments that have been carried out by Wienand Max Planck. So this facilitates accurate dataretrieval and forecasting data for different energylevels.

References

[1] Festiyed, Program perhitungan efisiensi energi ra-diasi benda hitam melalui metode Simpson denganBorland Delphi 7, SAINSTEK XI (1), (2008).

[2] W. Poprawski, Z. Gnutek, E. B. Radojewska, andR. Poprawski, Investigation of black body radia-tion with the aid of a self-made pyroelectric in-frared detector, Eur. J. Phys. 36 (6), 65025 (2015).

[3] M. A. Ramirez-Moreno, S. Gonzalez-Hernandez,and G. A. De Parga, A semiclassical approach tothe matte black-body, Eur. J. Phys. 36 (6), 65039(2015).

[4] H. Alnes, F. Ravndal, and I. K. Wehus, Black-bodyradiation with extra dimensions, J. Phys. A Math.Theor. 40 (47), 14309-14316 (2007).

[5] C. Tsallis, F. C. Sa Barreto, and E. D. Loh, Gen-eralization of the Planck radiation law and appli-cation to cosmic microwave background radiation,Phys. Rev. E 52, 1447 (1995).

[6] J. C. Mather, Measurment of the cosmic microwavebackground spectrum by the Cobe FIRAS instru-ment, Astrophys. J. 420 (2), 439-444 (1994).

[7] F. Buyukilic, Dogˇan Demirhan, and A. Gulec,A statistical mechanical approach to generalizedstatistics of quantum and classical gases, Phys.Lett. A 197 (3), 209-220 (1995).

[8] U. Tirnakli, F. Buyukilic, and D. Demirhan, Gen-eralized distribution functions and an alterna-tive approach to generalized Planck radiation law,Physica A 240 (3-4), 657-664 (1997).

[9] K. Ourabah and M. Tribeche, Planck radiation lawand Einstein coefficients reexamined in Kaniadakisκ statistics, Phys. Rev. E 89, 062130 (2014).

25

Feli Cianda Adrin Burhendi et al. / Omega: Jurnal Fisika dan Pendidikan Fisika 5 (1), 23 - 26 (2019)

[10] I. Lourek and M. Tribeche, Thermodynamic prop-erties of the blackbody radiation: a Kaniadakis ap-proach, Phys. Lett. A 381 (5), 452-456 (2017).

[11] J. Dryzek and K. Ruebenbauer, Planck’s constantdetermination from black?body radiation, Am. J.Phys. 60, 251 (1992).

26

37

DAFTAR PUSTAKA

[1] Planck M, Selected Works, M. Nauka, 1975, 788 pages.

[2] Spolsky EV, Atomic Physics, Volume 1, M. Publishing house of physical and

mathematical literature, 1963, 575 pages.

[3] Jammer M, Evolution of Notions of Quantum Mechanics, M. Nauka, 1985, 380

pages.

[4] Kanarev Ph.M, New Analysis of Fundamental Problems of Quantum Mechanics,

Krasnodar 1990, 173 pages.

[5] Kanarev Ph.M, Analysis of Fundamental Problems of Modern Physics, Krasnodar,

1993, 255 pages.

[6] Kanarev Ph.M, On the Way to the Physics of the XXI Century, Krasnodar, 1995,

269 pages (in English).

[7] Kanarev Ph.M, The Crisis of the Theoretical Physics, 3rd edition, Krasnodar, 1998,

200 pages.

[8] Kanarev Ph.M, Water as a New Source of Energy, 3rd edition, Krasnodar, 2001,

194 pages (in English).

[9] Physical Encyclopaedia, 1984, 944 pages.

[10] Yu M Ageev, “To a Theory of Balanced Radiation - 1. Fundamental Problems of

Natural Science and Technics”, Volume 1, St. Petersburg, 2000, Pages 15-17.

[11] Kanarev Ph.M, Artyomov II, Zelensky SA, Summary of Lecture on Theoretical

Mechanics, Krasnodar, 2001, 263 pages.

[12] Sprole R, Modern Physics. Quantum Physics of the Atoms of the Solid Body and

Nuclei, M. Nauka, 1974, 591 pages.

[13] Yu M Ageev, “To theory of equilibrium radiation II”, Proceedings of the Kuban

State Agrarian University, Issue 382 (410), Krasnodar 2000, pages 442-450.

[14] Boas, L Mary. 1983. Mathematical Methods in the Physical Sciences

Second Edition. Unite States of America.

38

[15] Lab Fisika Dasar. 2010. Buku Penuntun Praktikum Fisika. Jakarta: UHAMKA

[16] R. Mudjiarto. 1995. Matematika Fisika I. Bandung: Penerbit ITB.

[17] Resnick, Halliday. 1991. Fisika Jilid 1 Terjemahan. Jakarta: Penerbit Erlangga.

[18] Sutrisno. 2001. Seri Fisika Dasar. Bandung: Penerbit ITB.

[19] Tipler,Paul A. 1991. Fisika Untuk Sains dan Teknik. Jakarta: Penerbit Erlangga. [20] Young and Freedman. 1999. Fisika Universitas Edisi Kesepuluh Jilid 1. Jakarta:

Penerbit Erlangga.

Lampiran 1: Susunan Organisasi Tim Peneliti/Pelaksana dan Pembagian Tugas

No Nama / NIDN Instansi

Asal Bidang Ilmu

Alokas

Waktu

(Jam/Minggu)

Uraian Tugas

1 Feli Cianda

Adrin Burhendi,

M.Si./

0318099101

UHAMKA Pendidikan

Fisika

1 Jam per

minggu

selama 24

minggu

1. Menemukan ide penelitian

2. Merancang desain

penelitian

3. Kajian Teoritis

4. Membuat proposal

penelitian

5. Mengumpulkan data

6. Menganalisis data

7. Membuat laporan

penelitian

8. Membuat artikel publikasi

9. Publikasi di Seminar

Internasional

2 Rizki Dwi

Siswanto, M.Pd

/ 0318099101

UHAMKA Pendidikan

matematika

1 Jam per

minggu

selama 24

minggu

1. Menelusuri literature

2. Membuat proposal

penelitian

3. Proses Komputasi

4. Mengumpulkan data

5. Menganalisis data

6. Membuat laporan

7. Membuat artikel

publikasi

8. Publikasi di Seminar

Internasional