APLIKASI INTERVAL TERTUTUP

29 MEI 2014

SMA NEGERI 1 JONGGOL Jalan Sukasirna No.36 Jonggol Bogor (16380)

1 | P a g e

PEMBIMBING : Solihat Khoeriah, S.Pd

DISUSUN OLEH :

ᴥ Komarudin M Zaelani ᴥ Asep Suhendi ᴥ Zhara Yugnie C ᴥ David Borneo O ᴥ Fitri Lisdayanti ᴥ Herdiant Yoga

2 | P a g e

I. PENDAHULUAN

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita dihadapkan pada permasalahan

untuk menentukan atau melakukan sesuatu yang terbaik. Misalnya menetukan

biaya termurah, menentukan bahan paling hemat, mencari keuntungan

terbesardan lain sebagainya, yang kesemuanya adalah masalah pemaksimuman

dan peminimuman fungsi.

II. TUJUAN PEMBELAJARAN

Menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan

masalah maksimum dan minimum.

Menentukan turunan kedua fungsi.

III. PEMBAHASAN

Pengertian Nilai Maksimum Dan Minimum Suatu Fungsi Pada Interval Tertutup

Andaikan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada interval tertutup I

yang memuat a, dikatakan bahwa :

a. f(a) adalah nilai maksimum f pada I jika f(a) > f(x) untuk semua x pada

I

b. f(a) adalah nilai minimum f pada I jika f(a) < f(x) untuk semua x pada I

c. f(a) adalah nilai ekstrem f pada I jika f(a) adalah nilai maksimum atau

nilai minimum.

Langkah-Langkah Menentukan Nilai Maksimum Dan Minimum Suatu Fungsi

Dalam Interval Terrtutup

Misalkan y = f(x) suatu fungsi yang terdefinisi pada interval tertutup a ≤

x ≤ b. untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi tersebut

diperlukan langkah-langkah berikut :

a. Tentukan nilai-nilai stasioner serta jenisnya jika ada.

b. Tentukan nilai-nilai fungsi pada ujung interval yaitu f(a) dan f(b)

c. Bandingan nilai-nilai yang diperoleh pada langkah 1 dan 2. Kemudian

tentukan nilai maksimum fungsi yaitu nilai terbesar dan nilai minimum

fungsi yaitu nilai terkecil.

Menyelesaikan Persoalan Maksimum Dan Minimum

3 | P a g e

Langkah-langkah memecahkan persoalan Maksimum dan Minimum adalah

sebagai berikut:

a. Baca soal dengan cermat sehingga kalian paham dengan

permasalahannya, kemudian kalian harus mengetahui apa yang

diberikan (diketahui) dan apa yang akan di maksimumkan dan

diminimumkan.

b. Gunakan rumus-rumus atau persamaan yang menghubungan antara

peubah yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan dengan

peubah yang telah diketahui.

c. Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk untuk menghilangkan peubah

yang tidak diperlukan.

d. Cari titik stasioner

e. Berdasarkan kondisi yang terdapat pada permasalahan, kalian dapat

menentukan nilai stasioner yang memenuhi permasalahan yang

memberikan nilai maksimum atau minimum.

Laju Perubahan Rata-Rata

Perhatikan bahwa kecepatan rata-rata ditentukan sebagai perbandingan

antara perubahan jarak terhadap perubahan waktu, dituliskan.

Atau, pada interval t1 ≤ t ≤ t2

Vrata-rata = Δ𝑠

Δ𝑡

Vrata-rata = Δ𝑠

Δ𝑡=

𝑓(𝑡2)−𝑓(𝑡1)

𝑡2−𝑡1

4 | P a g e

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Sebuah mobil bergerak sepanjang garis lurus, dengan persamaan persamaan gerak S

= t2 + 2t (S dalam meter dan t dalam detik).

Tentukan:

a. Kecepatan rata-rata pada 2 ≤ t ≤ 6.

b. Kecepatan sesaat pada t = 10.

Jawab :

a. Kecepatan rata-rata pada 2 ≤ t ≤ 6.

S =f(t)= t2 + 2t

Vrata-rata = Δ𝑠

Δ𝑡=

𝑓(𝑡2)−𝑓(𝑡1)

𝑡2−𝑡1

𝑓(𝑡1) = 22 + 2(2) 𝑓(𝑡2) = 62 + 6(2) ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1

= 8 = 48 = 6-2 → 4

Vrata-rata = Δ𝑠

Δ𝑡=

48−8

4 = 10 𝑚 𝑠

b. Kecepatan sesaat pada t = 10. V(t) = S’ = f’(t) = 2t + 2 V(10) = f’ = 2(10) + 2 = 22 𝑚 𝑠⁄

Jadi kecepatan pada saat t = 10 detik adalah 22 𝑚 𝑠⁄

2. Hasil penjualan x unit barang dinyatakan oleh suatu fungsi:

P(x) = 50.000 + 400x – 4x2 (dalam ratusan rupiah). Tentukan hasil penjualan

maksimum yang diperoleh.

Jawab:

P(x) = 50.000 + 400x – 4x2

Nilai P(x) akan mencapai nilai maksimum dari x yang diperoleh dari P’(x) = 0

P’(x)= 400 - 8x

400 - 8x = 0

8x = 400

x = 400

8 = 50

P”(x) = -8

P”(50) = -8 < 0 (negative), maka P(x) mempunyi nilai maksimum, yaitu, P(x).

5 | P a g e

P(50) = 50000 + 400(50) – 4(50) = 50000 + 20000 – 10000 = 60000

Fungsi P(x) = 50.000 + 400x – 4x2 (dalam ratusan rupiah) sehingga hasil penjualan maksimum yang diperoleh adalah Rp. 6.000.000,00. 3. Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus, panjang lintasan s meter pada waktu t

detik (t≥0) ditentukan oleh rumus S = 3 – 6t + 2t3 . Tentukanlah a. Panjang lintasan t = 1 dan t = 2 b. Rumus untuk v dan a pada waktu t detik. c. Tunjukan bahwa v = 0 pada waktu t = 1 d. Kecepatan pada waktu percepatan nol.

Jawab: Dik: S = 3 – 6t + 2t3

a. Panjang lintasan t = 1 dan t = 2 t = 1, ,maka S = 3 – 6(1) + 2(1)3 = -1 t = 2, maka S = 3 – 6(2) + 2(2)3 = 7

b. Rumus untuk v dan a pada waktu t detik.

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡= −6 +6t2 dan 𝑎 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 12t

c. Tunjukan bahwa v = 0 pada waktu t = 1

t = 1 maka v = -6 + 6(1)2 = 0 jadi , kecepatannya pada t = 1 adalah nol.

d. Kecepatan pada waktu percepatan nol. a = 0 maka 12t = 0, t = 0. v = -6 + 6(0)2 = -6

4. Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi ƒ(x) = x3 – 3x dalam {x|0≤x≤5} dan nyatakan hasilnya dalam bentuk a ≤ ƒ(x) ≤ b. Jawab : ƒ(x) = x3 – 3x ƒ’(x) = 3x2 – 3 ƒ”(x) = 6x titik stasioner diperoleh dari ƒ’(x) = 0

⟺ x3 – 3x = 0 ⟺ x2 – 1 = 0 ⟺ (x + 1)(x – 1) = 0 ⟺ x = -1 atau x = 1.

X=-1 (tidak pada interval) sehingga nilai dengan stasioner dari ƒ(x) diselidiki untuk x = 1 dan titik-titik pada ujung interval. ƒ(1)= 13 – 3 (1)= -2 ƒ(0)= 03 – 3 (0)= 0 ƒ(5)= 53 – 3 (5) = 110, jadi -2≤ ƒ(x)≤110.

5. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar

6 | P a g e

(75 + 2x + 0,1x2) rupiah. Jika semua produk terjual dengan hara Rp.40,00 untuk setiap produknya. Hitunglah laba maksimumnya. Jawab: P(x) = (75 + 2x + 0,1x2) Nilai P(x) akan mencapai nilai maksimum dari x yang diperoleh dari P’(x) = 40. P’(x) = 2 + 0,2x 2 + 0,2x = 40

x = 40−2

0,2 = 190.

P(190) = 75 + 2(190) + 0,1(190)2

= Rp.4065,00

6. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 5x2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis di jual dengan harga Rp.5000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah…. Jawab: P(x) = (9000 + 1000x + 5x2) Nilai P(x) akan mencapai nilai maksimum dari x yang diperoleh dari P’(x) = 5000 P’(x) =1000 + 10x 1000 + 10x = 5000

x = 5000−1000

10= 400

P(x) = (9000 + 1000x + 5x2) P(400) = 9000 + 1000(400) + 5(400)2

= Rp.1.209.000,00

7. Carilah laju pertumbuhan rata –rata dimana fungsi :

Interval Jumlah

1990 - 1995 800

1995 - 2000 820

2000 - 2005 850

2005 - 2010 900

Jawab :

ᴼ 1990 – 1995

𝑃 (1995) − 𝑃 (1990)

1995 − 1990=

800

5= 160

ᴼ 1995 – 2000

𝑃 (2000) − 𝑃 (1995)

2000 − 1995=

820

5= 164

ᴼ 2000 – 2005

7 | P a g e

𝑃 (2005) − 𝑃 (2000)

2005 − 2000=

850

5= 170

ᴼ 2005 – 2010

𝑃 (2010) − 𝑃 (2005)

2010 − 2005=

900

5= 180

IV. PENUTUP Mohon maaf kiranya selama proses pembelajaran terjadi kesalahan dan dalam

penyusunan laporan ini mohon di maklumi, karena kami selaku tim penyusun

masih dalam tahap pengembangan. Terimakasih

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo, sartono. 2007. Matematika. Jakarta : Erlangga

Waluyo, Slamet (dkk). 2008. Matematika. Jakarta : Bumi Aksara

Suparmin (dkk). 2014. Matematika. Surakarta : Mediatama