LAPORAN TUGAS

GEOMETRI ANALITIK

Laporan ini disusun untuk melengkapi tugas Geometri Analitik

DOSEN : Bapak Muhammad Syifa’ul Mufid

Disusun oleh:

1. Riko Wijayanto (1215100010)

2. Ayu Ni’matul Fitriyah (1215100013)

3. Hikmatul Ayu Maulydia (1215100031)

4. Indah Rahmadhania (1215100034)

5. Nirwana Fatria Kridayati (1215100070)

6. Anita Puspitasari (1215100094)

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

TAHUN AKADEMIK 2015/2016

SURABAYA

PERMASALAHAN PERTAMA

Diberikan sebarang segitiga ABC dengan titik D, E, F adalah berturut-turut titik

tengah sisi AB, BC, dan CA.

Dimisalkan juga :

L1 merupakan lingkaran luar segitiga ABC

L2 merupakan lingkaran luar segitiga DEF

L3 merupakan lingkaran luar segitiga ADF

L4 merupakan lingkaran luar segitiga BDE

L5 merupakan lingkaran luar segitiga CEF

a. Tentukan perbandingan jari-jari L1 dengan L2

b. Buktikan bahwa L2, L3, L4, L5 merupakan lingkaran dengan jari-jari yang sama

c. Tentukan suatu kondisi agar titik pusat L1 dan L2 berada pada titik koordinat yang

sama. Jelaskan analisa anda.

d. Buktikan bahwa L3, L4, L5 berpotongan pada titik koordinat yang sama.

PENYELESAIAN

a. Perbandingan jari-jari L1 dengan L2

Perbandingan jari-jari L1 dan L2 dapat ditentukan melalui ilustrasi berikut ini.

Terdapat segitiga sebarang ABC dengan DEF sebagai titik tengah masing-masing

sisinya. Masing-masing titik DEF dihubungkan menjadi sebuah segitiga DEF

sebagaimana tampak pada gambar di bawah ini.

Ketika pada ketiga titik ABC digambar sebuah lingkaran luar yang melalui tiga titik

ABC tersebut, maka dapat ditentukan jari-jari lingkaran luarnya.

𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =1

2 𝑏𝑐 sin 𝐴 =

1

2 𝑏𝑐

𝑎

2𝑟1

𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =𝑎𝑏𝑐

4𝑟1

𝑟1 =𝑎𝑏𝑐

4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … . . (1)

Pada segitiga DEF, ketika digambar

sebuah lingkaran luar yang

diasumsikan L2, maka jari-jari

lingkaran tersebut dijelaskan sebagai

berikut.

𝐿∆ 𝐷𝐸𝐹 = 1

2 𝑑𝑒 sin 𝐹 =

1

2 𝑑𝑒

𝑓

2𝑟2

Berdasarkan kesebangunan segitiga, diketahui bahwa luas segitiga kedua yang

dibuat dari perhubungan titik tengah masing-masing sisi segitiga pertama, maka

luas segitiga kedua tersebut adalah seperempat dari luas segitiga pertama, sehingga,

𝐿∆ 𝐷𝐸𝐹 =1

4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶

1

4𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =

𝑑𝑒𝑓

4𝑟2

Diketahui pada awal penjelasan bahwa panjang sisi d, e, f masing-masing

merupakan setengah dari panjang sisi segitiga ABC, berdasarkan ilustrasi dapat

dijelaskan bahwa :

1

4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =

12 𝑐.

12 𝑎.

12 𝑏

4𝑟2=

𝑎𝑏𝑐8

4𝑟2

𝑟2 =𝑎𝑏𝑐

8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … … … . (2)

Dari Persamaan (1) dan persamaan (2) dapat ditarik kesimpulan perbandingan

kedua jari-jari lingkaran

𝑟1 ∶ 𝑟2

𝑎𝑏𝑐

4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 ∶

𝑎𝑏𝑐

8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶

Dengan menyederhanakan kedua ruas, maka didapat perbadingan jari-jari

tersebut adalah 2 : 1.

b. Pembuktian bahwa L2, L3, L4, dan L5 memiliki jari-jari yang sama.

Pada pembahasan sebelumnya, diketahui bahwa panjang jari jari L2 adalah

𝑟2 = 𝑎𝑏𝑐

8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … … (1)

Panjang jari-jari L3 (dibuat melalui segitiga ADF) dapat ditentukan melalui

ilustrasi sebagai berikut,

a

𝐿∆ 𝐴𝐷𝐹 = 1

2 𝑑𝑓 sin 𝐴 =

1

2 𝑑𝑓

𝑎1

2𝑟3

1

4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =

12 𝑏.

12 𝑐.

12 𝑎

4𝑟3=

𝑎𝑏𝑐8

4𝑟3

𝑟3 =

𝑎𝑏𝑐

8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … … (2)

Panjang jari-jari L4 (dibuat melalui segitiga BDE) dapat ditentukan melalui

ilustrasi berikut,

𝐿∆ 𝐵𝐷𝐸 = 1

2 𝑑𝑒 sin 𝐵 =

1

2 𝑑𝑒

𝑏1

2𝑟4

1

4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =

12

𝑎.12

𝑐.12

𝑏

4𝑟4=

𝑎𝑏𝑐8

4𝑟4

𝑟4 = 𝑎𝑏𝑐

8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … … (3)

Panjang jari-jari L5 (dibuat melalui segitiga CEF) ditentukan melalui ilustrasi

berikut,

𝐿∆ 𝐶𝐸𝐹 = 1

2 𝑒𝑓 sin 𝐶 =

1

2 𝑒𝑓

𝑐1

2𝑟5

1

4 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =

12

𝑏.12

𝑎.12

𝑐

4𝑟5=

𝑎𝑏𝑐8

4𝑟5

𝑟5 = 𝑎𝑏𝑐

8 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶… … … … … (4)

Berdasarkan persamaan (1) hingga persamaan (4), didapatkan hasil bahwa jari-jari

masing-masing lingkaran memiliki pola rumus yang sama. Ini membuktikan bahwa

jari-jari L2, L3, L4, dan L5 adalah sama panjang.

c. Kondisi agar L1 dan L2 memiliki pusat dengan titik koordinat yang sama.

Akan ada suatu keadaan dimana lingkaran L1 dan L2 memiliki titik pusat dengan

koordinat yang sama, yakni pada saat segitiga ABC yang dibuat adalah segitiga

sama sisi. Dengan membentuk segitiga ABC sama sisi maka secara otomatis

segitiga DEF juga merupakan segitiga sama sisi.

Ketika dari masing-masing sudut ABC ditarik garis bagi yang juga merupakan

gari berat segitiga, maka ketiga garis tersebut akan berpotongan pada satu titik yang

sama.

Hal serupa juga dilakukan pada segitiga DEF dan akan berpotongan pada satu titik

yang sama. Titik berat segitiga ABC yang mana sama dengan titik berat segitiga

DEF, merupakan titik pusat lingkaran L1 dan L2 yang mana dalam pembuktiannya

dapat dilihat melalui ilustrasi gambar berikut

d. Pembuktian bahwa L3, L4, dan L5 berpotongan pada titik koordinat yang

sama.

Berdasarkan analisa, ketika dibuat lingkaran luar seperti pada gambar, maka ketiga

lingkaran tersebut pasti akan berpotongan di suatu titik . Dan ketika ditarik garis

tinggi segitiga DEF (segitiga yang dalam), maka ketiga garis tinggi tersebut akan

berpotongan pada satu titik yang sama.

Dan berdasarkan gambar,

tampak pula bahwa titik

perpotongan ketiga garis

tinggi segitiga DEF, juga

merupakan titik

perpotongan dari tiga

lingkaran yang dibuat

melewati titik-titik sudut

segitiga.

Berdasarkan pembahasan

sebelumnya diketahui pula

bahwa ketiga lingkaran

tersebut memiliki jari-jari

yang sama, sehingga

otomatis diameter yang

dimiliki ketiga lingkaran

tersebut juga sama

panjang.

Selain itu, bila titik-titik

sudut segitiga ABC dan titik perpotongan tiga lingkaran dihubungkan oleh suatu

garis, maka garis tersebut akan memiliki panjang yang sama. Serta, berdasarkan

pembuktikan pada komputer, didapatkan hasil bahwa garis yang menghubungkan

titik sudut segitiga ABC dengan titik perpotongan ketiga lingkaran merupakan

diameter lingkaran luar ADF, BDE, dan CEF.

PERMASALAHAN KEDUA

Terdapat segiempat ABCD dengan titik E, F, G, H adalah berturut-turut titik tengah

sisi AB, BC, CD, DA.

a. Jika ABCD segiempat tali busur, apakah EFGH selalu merupakan segiempat tali

busur.

b. Tentukan suatu kondisi agar ABCD dan EFGH merupakan segiempat tali busur.

Jelaskan analisa anda.

PENYELESAIAN

Segiempat tali busur merupakan segiempat yang titik-titik sudutnya berada pada

keliling lingkaran. Ketika diberikan segiempat ABCD yang merupakan segiempat

tali busur lingkaran, dan dibuat segiempat EFGH (segiempat yang dibentuk dari

titik-tengah masing-masing sisi pada segiempat ABCD), TANPA membuat

lingkaran baru yang menyentuh titik EFGH, maka segiempat EFGH mustahil

merupakan segiempat tali busur. Karena, ketika sisi AB, BC, CD, dan DA yang

merupakan tali busur lingkaran diambil titik tengahnya, dan masing-masing titik

dihubungkan, maka jarak antar titik EFGH berada di dalam segiempat ABCD, dan

sisi EFGH berada di perbatasan sisi ABCD. Ini mengakibatkan jarak titik pada

EFGH dibatasi oleh ABCD sehingga EFGH tidak menyentuh lingkaran. Dan

segiempat EFGH BUKAN SEGIEMPAT TALI BUSUR.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi berikut

Dalam gambar tampak bahwa, bila ABCD merupakan segiempat sebarang maka

segiempat EFGH juga merupakan segiempat sebarang. Dalam hal ini menyebabkan

panjang masing-masing sisi EF,FG, GH, dan HE belum tentu sama. Ketika dari titik

EFGH diusahakan dibuat lingkaran baru, maka lingkaran tersebut belum tentu

mencapai titik-titik segiempat EFGH. Ini mengakibatkan EFGH TIDAK SELALU

SEGIEMPAT TALI BUSUR.

Selain itu, syarat sudut yang berhadapan pada segiempat yang merupakan

segiempat tali busur harus berjumlah 180°. Sedangkan bila dianalisis lebih jauh,

sudut yang berhadapan pada segitiga EFGH (contoh: ilustrasi di atas) tidak selalu

berjumlah 180°. Perhatikan gambar berikut,

Agar segiempat ABCD dan segiempat EFGH keduanya merupakan segiempat tali

busur, maka DIBUAT LINGKARAN BARU yang menyentuh titik EFGH. Dan

agar keduanya merupakan segiempat tali busur secara bersamaan, maka harus

dipastikan bahwa panjang ABCD memenuhi syarat agar panjang EFGH juga sama.

Hal ini akan terpenuhi jika ABCD merupakan segiempat sama sisi atau persegi.

Dengan membuat ABCD berupa persegi dan keempat titik sudutnya menyentuh

kelilling lingkaran, maka secara otomatis dengan dalil Phytagoras didapatkan

bahwa segiempat EFGH juga merupakan persegi dan masing-masing titik sudutnya

akan menyentuh keliling lingkaran baru yang dibuat. Hal ini mengakibatkan

segiempat EFGH juga merupakan segiempat tali busur serta sudut yang berhadapan

berjumlah 180°. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi gambar berikut :

LAMPIRAN FOTO

Gambar 1

Gambar 2

Gambar 3

Gambar 4