Landasan Teori Revisi - thesis.binus.ac.idthesis.binus.ac.id/Doc/Bab3/2007-2-00530 Bab3.pdf ·...
Transcript of Landasan Teori Revisi - thesis.binus.ac.idthesis.binus.ac.id/Doc/Bab3/2007-2-00530 Bab3.pdf ·...
BAB 3
LANDASAN TEORI
3.1 Peramalan
3.1.1 Definisi Peramalan
Peramalan adalah perkiraan probabilistik atau penggambaran dari nilai atau
kondisi di masa depan. Asumsi yang umum dipakai dalam peramalan adalah pola
masa lampau akan berlanjut ke masa depan. Hampir seluruh peramalan didasarkan
pada asumsi bahwa masa lampau akan berulang.
Peramalan (forecasting) merupakan prediksi nilai-nilai sebuah peubah kepada
nilai yang diketahui dari peubah tersebut atau peubah yang berhubungan. Meramal
juga dapat didasarkan pada keahlian penilaian, yang pada gilirannya didasarkan
pada data historis dan pengalaman. (Makridakis et al. 1991, p519)
3.1.2 Kegunaan dan Peranan Peramalan
Sebuah pepatah lama dalam dunia marketing yakni “tidak ada yang terjadi
hingga seseorang menjual sesuatu” sesungguhnya lebih tepat ditulis sebagai “tidak
ada yang terjadi hingga seseorang meramalkan sesuatu.” Peramalan merupakan
bagian penting dalam pembuatan rencana dan pengambilan keputusan karena tidak
akan ada rencana dan keputusan tanpa peramalan.
Peramalan yang efektif sangat dibutuhkan untuk mencapai tujuan strategis dan
operasional dari semua organisasi. Untuk perusahaan, peramalan mengendalikan
sistem kendali informasi pemasaran, keuangan, dan produksi. Untuk sektor publik,
peramalan merupakan bagian yang tidak terpisahkan dari perancangan kebijakan
9
dan program, baik dalam bidang kesehatan masyarakat dan pendidikan. Efek dari
suatu undang-undang atau peraturan yang baru perlu diperkirakan/diramalkan
dahulu sebelum disahkan. Beberapa keuntungan yang dapat diperoleh dari
peramalan adalah:
- Informasi strategis, marketing, keuangan, dan operasi yang lebih baik.
- Peningkatan pelayanan pelanggan.
- Pengalokasian sumber daya terbatas yang lebih baik.
- Peningkatan efisiensi dari proses manufaktur dan operasi.
- Produktivitas yang lebih baik.
- Stabilitas dalam perencanaan.
- Pengurangan bahan baku yang terbuang.
- Peningkatan keuntungan.
- Peningkatan tingkat pengembalian investasi.
Peramalan juga memiliki peran dalam pengembangan basis pengetahuan dari
suatu organisasi dan seluruh komunitas. Metode-metode peramalan bersifat umum,
yang berarti dapat diaplikasikan pada berbagai fenomena berbeda seiring perjalanan
waktu. Metode-metode peramalan merupakan peralatan yang penting bagi para
peneliti, baik dalam bidang permintaan produk, peningkatan kesehatan masyarakat,
sistem pendidikan yang lebih baik, bidang biologi, atau ilmu sosial dan politik.
3.1.3 Definisi Deret Waktu
Seperti dituliskan sebelumnya, peramalan didasarkan pada data historis/deret
waktu untuk memperoleh nilai dugaan dari suatu periode tertentu. Deret waktu
adalah seperangkat hasil pengamatan kontinyu yang disusun/diperoleh berdasarkan
10
rentang waktu yang sama (contoh: penjualan produk tiap bulan, pendapatan
mingguan).
Analisis deret waktu menyediakan alat untuk memilih model yang
menggambarkan deret waktu tersebut dan menggunakan model tersebut untuk
meramalkan suatu kejadian/nilai di masa mendatang. Pemodelan deret waktu adalah
masalah statistik, karena data hasil pengamatan digunakan dalam prosedur
komputasi untuk mengestimasi koefisien dari model yang diasumsikan.
3.1.4 Pola-Pola Umum Deret Waktu
Ketika sebuah deret waktu digambarkan/diplot, akan terlihat suatu pola-pola
tertentu. Pola-pola tersebut dapat dijelaskan oleh banyaknya kemungkinan hubungan
sebab-akibat. Beberapa pola dari data deret waktu adalah sebagai berikut:
• Pola acak, dihasilkan oleh banyak pengaruh independen yang menghasilkan pola
non-sistematik dan tidak berulang dari beberapa nilai rataan.
Gambar 3.1 Bentuk Umum Pola Acak
• Pola trend, peningkatan atau penurunan secara umum dari deret waktu yang
terjadi selama beberapa periode tertentu. Trend disebabkan oleh perubahan
jangka panjang yang terjadi di sekitar faktor-faktor yang mempengaruhi data
deret waktu.
11
Gambar 3.2 Bentuk Umum Pola Trend
• Pola musiman, dihasilkan oleh kejadian yang terjadi secara musiman atau
periodik (contoh: iklim, liburan, kebiasaan manusia). Suatu periode musim dapat
terjadi tahunan, bulanan, harian, dan untuk beberapa aktivitas bahkan setiap jam.
Gambar 3.3 Bentuk Umum Pola Musiman
• Pola siklis, biasanya dihasilkan oleh pengaruh ekspansi ekonomi dan bisnis dan
kontraksi (resesi dan depresi). Pengaruh siklis ini sulit diramalkan karena
pengaruhnya berulang tetapi tidak periodik. Pola ini masih terus dikembangkan
dan diteliti lebih lanjut pemodelannya sehingga dapat diperoleh hasil yang tepat.
Gambar 3.4 Bentuk Umum Pola Siklis
12
• Pola autokorelasi, nilai dari sebuah deret pada satu periode waktu berhubungan
dengan nilai itu sendiri dari peride sebelumnya. Dengan autokorelasi, ada suatu
korelasi otomatis antar pengamatan dalam sebuah deret. Autokorelasi merupakan
hasil dari pengaruh luar dalam skala besar dan pengaruh sistematik lainnya
seperti trend dan musiman.
Gambar 3.5 Bentuk Umum Pola Autokorelasi
3.2 Metode-Metode Peramalan
Pola-pola tersebut diatas dapat dimodelkan dengan berbagai metode peramalan.
Beberapa klasifikasi dari metode peramalan tersebut, yakni:
• Metode peramalan univariat, disebut juga metode deret waktu, menggunakan data
masa lampau dan pola internal untuk meramalkan masa depan. Metode ini
memodelkan fungsinya berdasarkan fungsi deret waktu itu sendiri, tanpa variabel
luar. Metode yang termasuk metode univariat adalah pemulusan, pemulusan
eksponensial (exponential smoothing), dekomposisi, analisa deret Fourier, ARIMA
(Box-Jenkins), trend linear, dan model pertumbuhan non-linear. Tujuan metode-
metode tersebut adalah memodelkan nilai-nilai masa lampau untuk
memproyeksikannya ke nilai-nilai masa depan. Konsep dasar peramalan univariat
adalah nilai di masa depan merupakan fungsi matematis dari nilai –nilai masa
lampau. Secara matematis, fungsinya dapat ditulis sebagai berikut:
13
Nilai masa depan = f (Nilai masa lampau)
• Metode peramalan multivariat, disebut juga metode kausal, yakni membuat proyeksi
untuk masa depan dengan memodelkan hubungan antara sebuah deret dengan deret-
deret lainnya. Sebagai contoh, peramalan dari penjualan produk makanan dapat
berhubungan dengan pendapatan masyarakat, daya beli, pola konsumsi. Variabel-
variabel luar tersebut adalah variabel bebas/independen, sedangkan variabel nilai
penjualan produk makanan tersebut adalah variabel dependen. Metode yang
termasuk metode multivariat adalah regresi sederhana, regresi berganda,
ekonometrik, ekonometrik multi persamaan, deret waktu multivariat, danteknik-
teknik lainnya. Secara matematis, fungsi multivariat sederhana dapat ditulis sebagai
berikut:
Variabel dependen = f (Variabel independen)
atau
Nilai masa depan = f (Nilai masa lampau, Nilai dari variabel lainnya)
• Metode peramalan kualitatif/teknologi, disebut juga peramalan berdasarkan
subjektivitas. Metode ini didasarkan pada penilaian dan opini pihak luar tentang
trend yang akan datang, rasa, dan perubahan teknologi. Yang termasuk metode ini
adalah metode Delphi, penelitian pasar (market research), konsensus panel, pohon
relevansi (relevance trees), analisa skenario, dan metode analogi historis untuk
memperkirakan masa depan. Metode kualitatif biasanya digunakan untuk membuat
prediksi jangka panjang ketika data masa lampau yang berhubungan hanya sedikit
tersedia. Metode ini berguna ketika hanya sedikit data yang tersedia untuk
melakukan metode kuantitatif.
14
Ketika suatu model peramalan sudah diterima, diperlukan suatu keterlibatan yang
terus-menerus dalam memperbaharui, merawat, dan memperbaiki model tersebut agar
hasil suatu peramalan dapat selalu efektif bagi pihak yang menggunakannya.
3.2.1 Brown’s Double Exponential Smoothing
Metode ini menggunakan koefisien tunggal, α (alpha), yang bernilai antara
nol dan satu, untuk operasi pemulusannya. Metode ini melakukan pengukuran trend
dengan cara menghitung perbedaan antara pemulusan tunggal dan ganda. Lalu
menambahkan nilai tersebut dengan nilai pemulusan tunggal dengan penyesuaian
untuk mendapatkan nilai trend yang sesuai.
Model Brown diimplementasikan dengan menggunakan beberapa persamaan
berikut:
'1
' )1( −−+= ttt SYS αα (3.2.1.1)
"1
'" )1( −−+= ttt SSS αα (3.2.1.2)
"'"'' 2)( tttttt SSSSSa −=−+= (3.2.1.3)
)(1
"'ttt SSb −
−=
αα
(3.2.1.4)
mbaF ttmt +=+ (3.2.1.5)
dimana:
'tS = single exponential smoothing
"tS = double exponential smoothing
ta = nilai pemulusan diakhir periode t
15
tb = penduga trend diakhir periode t
m = rentang waktu peramalan (forecast horizon)
Persamaan berikut menunjukkan metode umum untuk menghitung nilai awal atau
inisialisasi nilai variabel dari metode ini.
1"1
'1 YSS == (3.2.1.6)
11 Ya = (3.2.1.7)
2)()( 3412
1YYYYb −+−
= (3.2.1.8)
3.2.1.1 Kelebihan Metode Brown
Kelebihan metode ini adalah :
• Dapat memodelkan trend dan tingkat dari suatu deret waktu.
• Secara perhitungan lebih efisien dibandingkan dengan double moving
averages (rata-rata bergerak ganda).
• Memerlukan data yang lebih sedikit dibandingkan dengan double moving
averages. Karena hanya satu parameter yang digunakan, optimasi
parameter menjadi sederhana.
3.2.1.2 Kekurangan Metode Brown
Walaupun optimasi parameternya sederhana, model ini kehilangan
fleksibilitasnya karena konstanta pemulusan untuk tingkat dan trend mungkin
saja tidak sama. Metode ini juga tidak memodelkan pemusiman dari suatu
deret, sedangkan banyak deret waktu yang memiliki sifat musiman. Model ini
16
dapat digunakan untuk musiman jika datanya di non-musimkan
(deseasonalized) terlebih dahulu.
3.2.2 Holt’s Two-Parameter Trend Model
Model ini menggunakan koefisien pemulusan kedua, β (beta) yang sama
sepertiα (alpha), juga bernilai antara nol dan satu, untuk secara berbeda
memuluskan trendnya. Beta digunakan untuk merata-ratakan trend yang ada di
persamaan. Hal ini menghilangkan beberapa kesalahan acak yang dapat terjadi pada
trend yang tidak dimuluskan.
Model Holt’s diimplementasikan dengan menggunakan beberapa persamaan
berikut:
))(1( 11 −− +−+= tttt bSYS αα (3.2.2.1)
11 )1()( −− −+−= tttt bSSb ββ (3.2.2.2)
mbSF ttmt +=+ (3.2.2.3)
dimana:
α = konstanta pemulusan tingkat
St = pemulusan diakhir periode t
β = konstanta pemulusan trend
bt = trend pemulusan di periode t
m = rentang waktu peramalan (forecast horizon)
Untuk metode ini, persamaan untuk menentukan nilai awal dari variabelnya
adalah sebagai berikut:
17
11 YS = (3.2.2.4)
Sedangkan untuk nilai b, sama dengan persamaan 3.2.1.8, yaitu:
2)()( 3412
1YYYY
b−+−
=
3.2.2.1 Kelebihan Metode Holt
Metode ini memiliki kelebihan yang sama dengan metode Brown.
Selain itu, metode ini juga memiliki fleksibilitas terhadap tingkat dan trend
yang dapat dimuluskan dengan bobot yang berbeda.
3.2.2.2 Kekurangan Metode Holt
Metode ini memerlukan optimasi dari dua parameter sehingga
pencarian untuk menemukan kombinasi nilai parameter yang terbaik menjadi
lebih sulit. Sebagaimana dalam metode Brown, metode ini juga tidak
menyertakan pemodelan untuk sifat musiman dari suatu deret.
3.2.3 ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average)
Sesuai dengan nama penemunya, yakni George Box dan Gwilyn Jenkins,
model ini dikenal juga dengan nama Box-Jenkins. Model ini memiliki tiga
komponen, yakni: autoregresi (autoregressive), integrasi (integrated), dan rata-rata
bergerak (moving average). Dalam membentuk suatu model dalam metode ARIMA,
ada beberapa langkah yang digunakan, yaitu:
o Identifikasi model, menggunakan grafik, statistik, dan alat lainnya untuk
mengenali suatu pola dan komponen model.
18
o Estimasi parameter dan diagnosis model, menentukan koefisien dari suatu
fungsi yang tepat dan penentuan apakah suatu model akan digunakan jika
valid dan pengulangan langkah dari identifikasi hingga diagnosis jika suatu
model tidak valid untuk mendapatkan suatu model yang benar-benar valid.
o Aplikasi, penggunaan model yang telah diterima/valid dalam proses
peramalan.
Langkah-langkah dalam membentuk suatu model peramalan tersebut juga
secara umum digunakan untuk metode-metode peramalan lainnya.
3.2.4 Identifikasi Model
Identifikasi model untuk pemodelan data deret waktu menggunakan metode
ini memerlukan perhitungan dan penggambaran dari hasil fungsi autokorelasi (ACF)
dan fungsi autokorelasi parsial (PACF). Hasil perhitungan ini diperlukan untuk
menentukan model ARIMA yang sesuai, apakah ARIMA(p,0,0) atau AR(p),
ARIMA(0,0,q) atau MA(q), ARIMA(p,0,q) atau ARMA(p,q), ARIMA(p,d,q).
Sedangkan untuk menentukan ada atau tidaknya nilai d dari suatu model, ditentukan
oleh data itu sendiri. Jika bentuk datanya stasioner, d bernilai 0, sedangkan jika
bentuk datanya tidak stasioner, nilai d tidak sama dengan 0 (d > 0).
3.2.4.1 Fungsi Autokorelasi (ACF)
Korelasi merupakan hubungan antara satu variabel dengan variabel
lainnya. Nilai korelasi dinyatakan oleh koefisien yang nilainya bervariasi
antara +1 hingga –1. Nilai koefisien tersebut menyatakan apa yang akan
terjadi pada suatu variabel jika terjadi perubahan pada variabel lainnya.
19
Nilai koefisien yang bernilai positif menunjukkan hubungan antar
variabel yang bersifat positif, yakni jika satu variabel meningkat nilainya,
variabel lainnya juga akan meningkat nilainya. Sedangkan nilai koefisien
yang bernilai negatif menunjukkan hubungan antar variabel yang bersifat
negatif, yakni jika satu variabel meningkat nilainya, variabel lainnya akan
menurun nilainya, dan sebaliknya. Bila suatu koefisien bernilai nol, berarti
antar variabel-variabel tersebut tidak memiliki hubungan, yakni jika terjadi
peningkatan/penurunan terhadap suatu variabel, variabel lainnya tidak akan
terpengaruh oleh perubahan nilai tersebut.
Koefisien autokorelasi memiliki makna yang hampir sama dengan
koefisien korelasi, yakni hubungan antara dua/lebih variabel. Pada korelasi,
hubungan tersebut merupakan dua variabel yang berbeda pada waktu yang
sama, sedangkan pada autokorelasi, hubungan tersebut merupakan dua
variabel yang sama dalam rentang waktu yang berbeda. Autokorelasi dapat
dihitung menggunakan fungsi autokorelasi (AutoCorrelation Function),
ACF(k), yang dapat dinotasikan sebagai berikut:
∑
∑
=
+=−
−
−−= n
tt
n
ktktt
YY
YYYYkACF
1
2_
1
__
)(
))(()(
(3.2.4.1.1)
Ssecara umum, ACF digunakan untuk melihat apakah ada sifat
Moving Average (MA), dari suatu deret waktu, yang dalam persamaan
ARIMA direpresentasikan oleh besaran q. Besar nilai q dinyatakan sebagai
banyaknya nilai ACF sejak lag 1 hingga lag ke-k secara berurut yang terletak
di luar selang kepercayaan Z. Jika terdapat sifat MA, q pada umumnya
20
bernilai 1 atau 2, sangat jarang ditemui suatu model dengan nilai q lebih dari
2.
Nilai d, sebagai derajat pembeda (differencing) untuk menentukan
stasisoner atau tidaknya suatu deret waktu, juga ditentukan dari nilai ACF.
Bila ada nilai-nilai ACF setelah time lag ke-k untuk menentukan nilai q
berada di luar selang kepercayaan Z, maka deret tersebut tidak stasioner,
sehingga nilai d tidak sama dengan nol (d > 0), biasanya antara 1 atau 2,
sedangkan bila nilai-nilai ACF tersebut berada dalam selang kepercayaan Z,
maka deret tersebut dapat dibilang stasioner, sehingga nilai d sama dengan nol
(d = 0).
Selang kepercayaan Z, yang besarnya ditentukan oleh derajat bebas
dan selang kepercayaan (α ), dinyatakan sebagai berikut:
nZkACF
nZ 1)(1
≤≤− (3.2.4.1.2)
Galat standar dari ACF tersebut adalah:
nSe kACF
1)( ≅
(3.2.4.1.3)
, dimana n merupakan banyak pengamatan dalam deret.
3.2.4.2 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur derajat asosiasi
antara Yt dan Yt-k, ketika efek dari rentang/jangka waktu (time lag)
dihilangkan. Seperti ACF, nilai PACF juga berkisar antara +1 dan –1.
21
PACF umumnya digunakan untuk mengidentifikasi adanya atau
tidaknya sifat AR (autoregressive), yang dinotasikan dengan besaran p. Jika
terdapat sifat AR, pada umumnya nilai PACF bernilai 1 atau 2, jarang
ditemukan sifat AR dengan nilai p lebih besar dari 2.
Fungsi PACF dapat dituliskan sebagai berikut:
pkpkkkk −−−− ++++= ρφρφρφρφρ L332211 (3.2.4.2.1)
dimana:
k adalah time lag, dengan k =1,..., p.
ρ adalah nilai dari fungsi autokorelasi (ACF)
φ adalah nilai dari fungsi autokorelasi parsial (PACF)
Sebagai contoh, untuk mendapatkan nilai PACF pada time lag 1, k
bernilai 1, diperoleh:
011 ρφρ = , dengan 0ρ (nilai ACF pada lag 0) selalu bernilai 1,
sehingga:
11 ρφ = (3.2.4.2.2)
Berarti nilai PACF pada time lag 1 sama dengan nilai ACF pada time
lag 1. Sedangkan untuk memperoleh nilai PACF pada time lag 2, digunakan
persamaan 3.2.3.2.1 dengan k = 2, diperoleh:
1211 ρφφρ += dan 2112 φρφρ += (3.2.4.2.3)
Dengan memecahkan persamaan 3.2.3.2.3 dan mensubstitusikan 1φ nya,
didapatkan:
21
212
2 1 ρρρ
φ−−
= (3.2.4.2.4)
22
Sedangkan untuk k = 3, menggunakan persamaan 3.2.3.2.1, akan diperoleh:
312213
132112
231211
φρφρφρρφφρφρρφρφφρ
++=++=++=
(3.2.4.2.5)
Demikian seterusnya untuk time lag selanjutnya.
Rumus PACF tersebut dapat juga dituliskan sebagai berikut dengan r
menyatakan nilai ACF (seperti ρ pada persamaan sebelumnya) dari suatu lag
k :
111 r=φ (3.2.4.2.6)
21
212
22 1 rrr
−−
=φ (3.2.4.2.7)
jkkkkjkkj −−− −= ,1,1 φφφφ ; k =2,..., j=1,2,..., k-1 (3.2.4.2.8)
∑
∑−
=−
−
=−−
−
−= 1
1,1
1
1,1
1k
jjjk
k
jjkjkk
kk
r
rr
φ
φφ ; k = 3,... (3.2.4.2.9)
Untuk menentukan besar nilai p yang menyatakan derajat AR,
diperlukan perbandingan nilai PACF pada selang kepercayaan Z. Nilai p
dinyatakan dengan banyaknya nilai PACF sejak lag 1 hingga lag ke-k yang
terletak di luar selang kepercayaan secara berturut-turut. Selang kepercayaan
tersebut serupa dengan persamaan 3.2.3.1.2:
nZkPACF
nZ 1)(1
≤≤− (3.2.4.2.10)
Galat standar dari PACF tersebut adalah:
nSe kPACF
1)( ≅
(3.2.4.2.11)
, dimana n merupakan banyak pengamatan dalam deret.
23
Tabel dan gambar berikut meringkaskan pola ACF dan PACF untuk
model AR dan MA.
Tabel 3.1 Pola Umum ACF dan PACF untuk Model AR dan MA Sederhana
-1
-0.5
0
0.5
1
AC
F Te
oriti
s
-1
-0.5
0
0.5
1
PAC
F Te
oriti
s
Gambar 3.6 Nilai ACF dan PACF Teoritis untuk Model AR(1).
-1
-0.5
0
0.5
1
AC
F Te
oriti
s
-1
-0.5
0
0.5
1
PAC
F Te
oriti
s
Gambar 3.7 Nilai ACF dan PACF Teoritis untuk Model MA(1).
Proses ACF PACF AR(1) Penurunan secara eksponensial; Puncak di lag 1, lalu turun ke nol; pada sisi positif jika 1φ >0 dan puncak positif jika 1φ >0,
terbalik pada sisi negatif jika 1φ <0. negatif jika 1φ <0. AR(p) Penurunan secara eksponensial Puncak di lag 1 hingga p, lalu turun ke atau gelombang sinus yang nol. dimampatkan. Pola tepatnya
bergantung pada tanda dan besar
1φ ,..., pφ MA(1) Puncak di lag 1 lalu turun ke nol; Penurunan secara eksponensial; pada puncak positif jika 1θ <0, negatif sisi negatif jika negatif jika 1θ >0 dan
jika negatif jika 1θ >0. berbalik-balik tanda mulai dari sisi
positif jika 1θ <0. MA(q) Puncak di lag 1 hingga q, lalu Penurunan secara eksponensial atau turun ke nol. gelombang sinus yang dimampatkan. Pola tepatnya tergantung pada tanda dan besar 1θ ,..., qθ .
24
3.2.4.3 Notasi Backshift
Model ARIMA secara umum adalah sulit untuk dituliskan. Model ini
berhubungan dengan variabel dependen/bergantung pada unsur rentang/lag itu
sendiri dan kesalahan rentang/lag.Karena itu dibutuhkan penggunaan suatu
notasi yang menyederhanakan bentuk suatu persamaan, sehingga lebih
sederhana dan lebih mudah bila dikerjakan secara aljabar.
Sebuah notasi yang sangat berguna yakni operator backward shift, B,
dinyatakan sebagai berikut:
1−= tt YBY (3.2.4.3.1)
Dengan kata lain, B, digunakan pada Yt, memiliki efek menggeser data
mundur satu periode. Dua aplikasi dari B terhadap Yt memundurkan data dua
periode sebagai berikut:
22)( −== ttt YYBBYB
(3.2.4.3.2)
Operator ini memudahkan untuk menggambarkan proses diferensiasi.
Diferensiasi pertama/turunan tingkat satu dapat dituliskan sebagai berikut:
tttttt YBBYYYYY )1(1' −=−=−= − (3.2.4.3.3)
Secara serupa, turunan tingkat dua dapat dituliskan sebagai berikut:
t
t
ttt
tttt
ttt
YB
YBB
YYYYYYY
YYY
2
221
211
'1
'"
)1(
)21(
2)()(
)(
−=
+−=
+−=−−−=
−=
−−
−−−
−
Secara umum, turunan tingkat-d dapat dituliskan sebagai berikut:
td YB)1( − (3.2.4.3.4)
25
3.2.5 Estimasi Parameter dan Diagnosis Model
Setelah suatu model diperoleh dari perhitungan pada bagian sebelumnya,
langkah selanjutnya adalah menentukan nilai suatu parameter yang menyertai model
tersebut. Berbagai langkah yang dapat dilakukan untuk mengestimasi nilai parameter
tersebut adalah:
o Menggunakan metode “trial and error”, metode ini menggunakan cara coba-
coba dalam menentukan nilai parameternya.
o Melakukan proses iterasi menggunakan program untuk memperoleh hasil yang
lebih akurat, karena jika dilakukan perhitungan secara manual, waktu yang
dibutuhkan sangat tidak sedikit, sehingga program komputer akan sangat
membantu dalam menentukan nilai parameter yang optimal dalam waktu yang
relatif singkat.
Setelah parameter-parameter yang diperlukan didapat, langkah selanjutnya
adalah melakukan pemeriksaan apakah suatu model cukup representatif atau tidak.
Suatu model dikatakan cukup representatif jika deret dari residunya
(sisaan/error/galat) terdistribusi secara bebas dan acak di sekitar nol, serta jika tidak
ada informasi yang dapat digunakan untuk memperbaiki suatu model. Suatu model
dapat dibilang sesuai jika terdapat nilai nol dalam selang autokorelasi sisaannya.
Selang autokorelasi sisaan dinyatakan dalam persamaan berikut:
SEkre 2)(2 ± (3.2.5.1)
, dimana standard error (SE) didapat dengan menggunakan persamaan 3.2.4.1.3 dan
k merupakan time-lag, dan re merupakan nilai autokorelasi sisaan.
26
Cara yang lain adalah dengan memeriksa kesesuaian model tersebut
menggunakan pengujian berdasarkan SE dari koefisien autokorelasi nilai sisaan
secara sekaligus. Statistik uji yang digunakan adalah Chi-Square dengan statistik
hitung yang digunakan adalah:
∑=
−=k
ke krdNQ
1
2 )()( (3.2.5.2)
,dengan re merupakan fungsi autokorelasi nilai sisaan dari suatu time-lag k, d
merupakan derajat pembeda, dan N merupakan banyak periode waktu.
Berdasarkan statistik hitung diatas, suatu model dikatakan sesuai jika model
tersebut memenuhi kriteria sebagai berikut:
2)( qpkQ −−≤ αχ (3.2.5.3)
Dan suatu model dikatakan tidak sesuai jika:
2)( qpkQ −−> αχ (3.2.5.4)
Sehingga diperlukan perhitungan ulang dari langkah pertama dan interpretasi data
yang lebih tepat.
3.2.6 Aplikasi Model untuk Peramalan
Setelah suatu model dianggap sesuai, maka proses peramalan dapat dilakukan
sesuai dengan model tersebut dengan nilai-nilai yang telah diperoleh dari proses
perhitungan sebelumnya untuk memperoleh nilai ramalan dari periode waktu yang
akan diramalkan.
27
3.2.7 Berbagai Model ARIMA
Seperti sudah disebutkan sebelumnya, model ARIMA terdiri atas AR
(AutoRegressive) dan MA (Moving Average). Kedua model tersebut dapat
dipasangkan secara efektif menjadi model lainnya yang disebut ARMA
(AutoRegressive Moving Average). Tetapi, model tersebut hanya dapat digunakan
jika datanya stasioner. Model ini dapat dikembangkan untuk data non-stasioner
dengan memberikan derajat pembeda (d) pada deret datanya. Model dengan derajat
pembeda tersebut disebut model ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving
Average), yang dikenal juga dengan nama model Box-Jenkins.
Model ARIMA secara umum dituliskan dengan notasi ARIMA(p,d,q).
Dimana p merupakan derajat autoregresi (AR), d merupakan derajat
pembeda/integrasi (I), q merupakan derajat rata-rata bergerak (MA).
3.2.7.1 Model AR orde satu
Persamaan berikut menunjukkan bentuk dasar model ARIMA(1,0,0)
atau AR(1), dimana nilai Yt bergantung pada Yt-1 dan nilai koefisien
autoregresi 1φ dibatasi antara –1 hingga +1:.
ttt eYY += −11φ (3.2.7.1.1)
Dengan notasi backshift, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:
tt eYB =− )1( 1φ (3.2.7.1.2)
28
3.2.7.2 Model MA orde satu
Persamaan untuk model MA orde satu, dengan nilai pengamatan Yt
bergantung pada galat et dan galat periode sebelumnya et-1, adalah sebagai
berikut:
11 −−= ttt eeY θ (3.2.7.2.1)
Dengan notasi backshift, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:
tt eBY )1( 1θ−= (3.2.7.2.2)
3.2.7.3 Model AR orde-p
Secara umum, model ARIMA(p,0,0) sama dengan model AR(p) dan
dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut:
tptpttt eYYYY ++++= −−− φφφ L2211 (3.2.7.3.1)
Dengan notasi backshift, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:
ttp
p eYBBB =−−−− )1( 221 φφφ L (3.2.7.3.2)
3.2.7.4 Model MA orde-q
Secara umum, model ARIMA(0,0,q) sama dengan model MA(q) dan
dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut:
qtqtttt eeeeY −−− −−−−= θθθ L2211 (3.2.7.4.1)
Dengan notasi backshift, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:
tq
qt eBBBY )1( 221 θθθ −−−−= L (3.2.7.4.2)
29
3.2.7.5 Model ARMA
Gabungan model AR(1) dengan model MA(1), disebut model
ARMA(1,1) atau ARIMA(1,0,1). Model ARMA seharusnya mampu
menghasilkan hasil ramalan yang lebih akurat daripada model AR ataupun
MA secara terpisah karena model ARMA kedua model tersebut. Model
ARMA(1,1) atau model ARIMA(1,0,1) dapat dituliskan dalam persamaan
berikut:
1111 −− −+= tttt eeYY θφ (3.2.7.5.1)
Dengan notasi backshift, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:
tt eBYB )1()1( 11 θφ −=− (3.2.7.5.2)
Sementara untuk model ARMA dengan orde yang lebih tinggi (ARMA(p,q)
atau ARIMA(p,0,q)), persamaannya menjadi:
qtqttptptt eeeYYY −−−− −−−+++= θθφφ LL 1111 (3.2.7.5.3)
atau dengan operator backshift menjadi:
tq
qtp
p eBBYBB )1()1( 11 θθφφ −−−=−−− LL (3.2.7.5.4)
3.2.7.6 Model ARIMA
Jika bentuk non-stasioner ditambahkan pada model ARMA, maka
model umum untuk ARIMA(p,d,q) diperoleh. Persamaannya untuk bentuk
paling sederhana ARIMA(1,1,1), adalah:
30
tt eBYBB )1()1)(1( 11 θφ −=−− (3.2.7.6.1)
AR(1) First MA(1) Difference
Sedangkan bentuk umumnya untuk orde lebih tinggi adalah:
tq
qtdp
p eBBYBBB )1()1)(1( 11 θθφφ −−−=−−−− LL (3.2.7.6.2)
Bentuk umum model ARIMA(p,d,q) menghasilkan variasi yang
sangat beragam pada pola ACF dan PACF. Pada aplikasinya di dunia nyata,
yang sering digunakan adalah model-model dengan nilai p, d, atau q berkisar
antara 0, 1, atau 2. Karena dengan range nilai yang sangat kecil untuk p, d,
atau q, sudah dapat mencakup berbagai situasi peramalan praktis.
3.2.8 Kelebihan ARIMA
Model-model yang disediakan oleh metode ini sangat beragam dan bervariasi,
sehingga hampir semua jenis pola data deret waktu dapat tercakup dalam
pemodelannya. ARIMA juga dapat dikembangkan untuk tipe data multivariat
(MARIMA/Multivariate ARIMA) dan musiman (SARIMA/Seasonal ARIMA) selain
daripada model AR, MA, serta ARMA dan ARIMA itu sendiri. Ramalan yang
dihasilkan metode ini dapat dikembangkan untuk periode-periode yang sangat
pendek.
3.2.9 Kekurangan ARIMA
Proses pemodelannya cukup rumit, setelah perhitungan untuk variabel p, d,
dan q, diperlukan lagi perhitungan untuk menentukan besarnya parameter dari tiap-
31
tiap variabel, sehingga hasil peramalan yang dihasilkan dapat optimal. Proses
perhitungannya memerlukan ketelitian dan waktu yang cukup lama, khususnya untuk
optimalisasi nilai parameternya.
Untuk mendapatkan model peramalan yang lebih akurat, diperlukan jumlah
data deret waktu yang lebih besar. Walaupun mungkin dapat disusun model ARIMA
dengan data bulanan selama 2 tahun, akan tetapi hasil yang terbaik dapat dicapai, bila
digunakan sekurang-kurangnya data 5 sampai dengan 10 tahun, sehingga dapat
ditunjukkan dengan tepat adanya deret data dengan pengaruh musim yang kuat.
(Assauri, Sofjan. 1984, p159)
3.3 Pengukuran Relatif
Untuk mengecek besar kesalahan peramalan, dapat diketahui dengan menghitung
selisih antara nilai asli dengan nilai peramalannya, yang biasa dikenal dengan nama
error atau galat. Berikut ini adalah berbagai cara pengukuran yang digunakan untuk
mengetahui besarnya kesalahan yang dihasilkan oleh suatu model peramalan:
Percentage Error: %100)( ×−
=
∧
t
ttt Y
YYPE (3.3.1)
Mean Percentage Error: n
PEMPE
n
ii∑
== 1 (3.3.2)
Mean Absolute Percentage Error: n
PEMAPE
n
ii∑
== 1
|| (3.3.3)
Mean Absolute Deviation (Mean Absolute Error): n
YYMAD
n
iii∑
=
∧
−= 1 (3.3.4)
32
Mean Square Deviation(Mean Square Error): n
YYMSD
n
iii
2
1∑=
∧
−= (3.3.5)
Persamaan yang biasa digunakan untuk mengecek tingkat kesalahan suatu
peramalan adalah MAPE dan MSD. Semakin kecil nilai yang dihasilkan oleh persamaan
tersebut, semakin baik dan semakin akurat metode tersebut.