APLIKASI MATRIKS INVERS TERGENERALISASI

PADA KRIPTOGRAFI

Oleh Budi Murtiyasa

FKIP Univ. Muhammadiyah Surakarta

Makalah disampaikan pada Konferda dan Seminar Nasional Matematika Himpunan

Matematika Indonesia Wilayah Jateng dan DIY di FMIP UII Yogyakarta pada

Tanggal 3 Februari 2001

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA

2001

1

APLIKASI MATRIKS INVERS TERGENERALISASI PADA

KRIPTOGRAFI1

Oleh Budi Murtiyasa

FKIP Universitas Muhammadiyah Surakarta

Abstrak

Sejak diperkenalkan model baru kriptografi oleh Diffie dan Hellman, telah banyak cabang matematika yang digunakan untuk mengembangkan disain kriptografi. Tulisan ini mengkaji penggunaan teori matriks di bidang kriptografi. Pada himpunan Z2, dapat ditunjukkan bahwa teori matriks invers tergeneralisasi dapat digunakan untuk melakukan enkripsi dan dekripsi data. Kata Kunci : matriks, kriptografi, enkripsi, dekripsi

A. Pendahuluan

Teori matriks invers tergeneralisasi (generalized invers of matrices) telah

berkembang sejak awal tahun 1970-an. Tetapi pembahasan matriks invers

tergeneralisasi (MIT) ini umumnya terbatas pada lapangan (field) bilangan real (Israel

dan Greville, 1974; Rao dan Mitra, 1971). Tulisan ini mengkaji MIT pada lapangan

terhingga Z2. Dapat ditunjukkan bahwa MIT pada Z2 memberikan alternatif baru

bidang kriptografi pada sistem kunci publik.

Pada tahun 1976, Diffie dan Hellman telah memperkenalkan teknik

kriptografi, yang sekarang populer disebut sistem kunci publik, bahwa media

transmisi (umum) dapat digunakan untuk mentransmisikan informasi-informasi yang

bersifat rahasia (Patterson, 1987). Model kriptografi yang disampaikan oleh Diffie

dan Hellman tersebut menggunakan dua buah kunci (key) yang berbeda saat enkripsi

(encryption) dan dekripsi (decryption) data.

1 Makalah disampaikan pada Seminar Nasional dan Konferda VII HimMI Wil. Jateng & DIY di FMIPA UII Yogyakarta tanggal 3 Februari 2001.

2

Sejak diperkenalkan teknik baru di bidang kriptografi oleh Diffe dan Hellman

tersebut, telah banyak cabang matematika yang digunakan pada bidang kriptografi.

Beberapa cabang matematika yang telah digunakan untuk mengembangkan

kriptografi dapat disebutkan di antaranya adalah aljabar, teori bilangan, dan teori

koding. Shao (1998) telah mengembangkan konsep kunci publik berdasarkan

faktorisasi dan logaritma diskrit. Jenis kunci publik yang lain adalah RSA yang

menggunakan teori bilangan, ElGamal menggunakan logaritma diskrit, Elliptic Curve

System yang dikembangkan berdasarkan teori grup, The Merkle-Ellman Knapsack

System yang berdasar pada subset sum, dan McEliece public key system yang

menggunakan teori koding (Stinson, 1995; Patterson,1987). Tulisan ini mengajukan

penggunaan MIT atas Z2 pada bidang kriptografi. Ide dasar disain kriptografi

menggunakan proses koreksi kesalahan kode (error-corecting code) dengan teknik

MIT.

B. Matriks Invers Tergeneralisasi

Pembahasan MIT berada dalam himpunan terhingga Z2 = {0,1}. Diketahui

matriks umum A yang berdimensi kxn. Suatu matriks B yang berdimensi nxk adalah

MIT dari matiks A yang berdimensi kxn, jika berlaku ABA = A. Jika A+ menyatakan

MIT dari A, maka :

AA+A = A [1]

(Israel dan Greville, 1974; Rao dan Mitra, 1971).

Sebaliknya, untuk matriks A tersebut di atas, matriks re-invers

tergeneralisasi (generalized re-inverses) dari matriks A adalah suatu matriks X

berdimensi nxk sedemikian hingga A adalah generalized inverses dari X, jadi berlaku

XAX = X. Jika A- menyatakan matriks re-invers tergeneralisasi (MRIT) dari A, maka

A- A A- = A- [2]

(Wu dan Dawson, 1998).

Matriks A berdimensi mxn yang mempunyai rank r dapat dibawa ke bentuk :

3

PAQ = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡OOOI r , atau

A = P-1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡OOOI r Q-1 [3]

dengan P adalah matriks nonsingular hasil penggandaan matriks baris elementer dan

Q adalah matriks nonsingular hasil penggandaan matriks kolom elementer; P-1 dan

Q-1 berturut-turut adalah matriks invers dari P dan Q. MIT dari A dalam bentuk [3]

adalah :

A+ = Q ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡WVUI r P [4]

dengan sembarang matriks-matriks U berdimensi rx(m-r), V berdimensi (n-r)xr dan

W berdimensi (n-r)x(m-r). Pada Z2 = {0,1), banyaknya MIT tergantung dari

banyaknya cara untuk memilih U, V, dan W yang berbeda; dalam hal ini adalah

2r(n-r)+n(m-r).

Menurut Wu dan Dawson (1998) untuk matriks A berdimensi mxn dan

A = [Im 0] dengan rank (A) = m, MRIT dari A adalah :

A- = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡YX

[5]

untuk suatu matriks X(m,m) dan Y(n-m,m) tertentu. Dalam hal ini X dan Y adalah

suatu matriks sedemikian hingga :

X2 = X dan YX = Y [6]

Dapat ditunjukkan bahwa untuk suatu matriks X adalah matriks diagonal yang

sekurang-kurangnya ada satu entri diagonal yang tidak nol sedangkan matriks Y

adalah matriks yang entri pada kolom ke-i semuanya nol jika entri diagonal ke-i dari

X adalah nol, pasangan X dan Y tersebut memenuhi [6].

Secara umum untuk matriks A(m,n) yang mempunyai rank m, bawa matriks A

sedemikian hingga A = [Im 0] Q, dengan 0 matriks nol berdimensi mx(n-m) dan Q

matriks nonsingular berdimensi nxn. MRIT dari A adalah :

4

A- = Q-1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡YX

[7]

dengan X dan Y memenuhi [6].

C. Kode Linear

Diketahui k , n bilangan bulat positip dengan k ≤ n dan himpunan terhingga

Z2. Kode linear C yang mempunyai dimensi k, dinyatakan dengan C-(n,k), adalah

ruang bagian (subspace) dari ruang vektor Vn(Z2). (Vanstone dan Oorschot, 1989).

Kode linear C-(n,k) yang mempunyai dimensi k, berarti C dapat dibangun

oleh k buah vektor yang bebas linear. Jika satu basis dari C dipilih, maka ada

korespondensi satu-satu antara ruang pesan (data) berdimensi-k dengan kode C.

Dalam hal ini, untuk pesan m, jika ditentukan G adalah matriks yang baris-barisnya

merupakan vektor basis dari kode C, maka mG adalah katakode (codeword) dari

pesan m tersebut. Matriks G tersebut dinamakan matriks generator. Jadi matriks

generator G untuk kode linear C-(n,k) adalah suatu matriks berdimensi kxn yang

mempunyai baris-baris berupa vektor-vektor basis dari C. Matriks generator G yang

berdimensi kxn tersebut dengan melakukan sederetan operasi baris elementer dapat

dibawa menjadi bentuk :

G = [Ik A] [8]

dengan A matriks berdimensi kx(n-k).

Sedangkan untuk matriks :

H = [-AT In-k] = [AT In-k] [9]

sedemikian hingga GHT = 0 atau juga HGT = 0, ini berarti bahwa baris-baris dari G

dan H saling ortogonal, matriks H tersebut dinamakan matriks paritas (parity check

matrix) dari kode C-(n,k) (McWilliam dan Sloane, 1993). Hal ini menunjukkan

bahwa suatu kode linear C dapat dispesifikasikan berdasarkan matriks generator G

dan/atau matriks paritas H.

5

D. Disain Kriptografi

Skema enkripsi dan dekripsi dari sistem kunci publik dapat dijelaskan sebagai

berikut : data (pesan) dari pengguna (user) A, yang disebut dengan plaintext,

dienkripsikan (disandikan) dengan kunci milik pengguna B, dalam hal ini berupa

kunci publik (public key). Setelah chipertext (data yang sudah disandikan) diterima

pengguna B, chipertext ini kemudian didekripsikan dengan menggunakan kunci

kedua milik pengguna B, dalam hal ini disebut kunci rahasia (privat key); sehingga

pengguna B dapat membaca plaintext yang dikirim pengguna A.

Diketahui kode linear C–(n,k), matriks generator G, dan matriks paritas H

dari kode linear C tersebut. Matriks H- adalah MRIT dari matriks H. Diketahui juga

plaintext m adalah vektor biner dengan panjang k; maka mG adalah katakode (code

word). Dengan menambahkan bentuk kesalahan (sebagai proses koreksi kesalahan

katakode mG):

E = e(H-)T [10]

di mana e adalah vektor biner random dengan panjang n-k; diperoleh chipertext :

c = mG ⊕ e(H-)T [11]

Selanjutnya proses dekripsi untuk memperoleh kembali plaintext m, dapat dilakukan

sebagai berikut :

(i) hitung c(H- H)T = mGHT(H-)T ⊕ e(H-)T (H)T (H-)T = e(H-)T = E

(ii) hitung mG = c ⊕ E

(iii) dapatkan m dari mG dengan menyelesaikan sistem persamaan linear

menurut sembarang k vektor kolom G yang bebas linear.

Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa proses enkripsi intinya

terletak pada proses koreksi kesalahan kode mG yang akan ditransmisikan dengan

menambahkan bentuk kesalahan E = e(H-)T yang berupa produk dari sembarang

vektor biner e dengan transpose MRIT dari matriks paritas H. Karena m berupa pesan

yang akan dikirimkan dan e adalah vektor biner random, maka proses enkripsi untuk

6

mendapatkan chipertext c = mG ⊕ e(H-)T ini sangat tergantung pada matriks

generator G dan MRIT dari H, yaitu H-. Jadi dalam hal ini G dan H- bersifat publik.

Sedangkan proses dekripsinya ditentukan oleh produk dari chipertext c yang

diterima dengan tranpose dari produk matriks paritas H dan MRIT-nya, yaitu H-H,

untuk memperoleh bentuk kesalahan E. Jadi c(H-H)T = E. Jika E diperoleh, maka

didapatkan katakode :

mG = c ⊕ E

mG = c ⊕ c(H-H)T

mG = c (In⊕ (H-H)T)

Selanjutnya pesan m dapat dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan yang ada.

Jadi dalam hal ini H-H bersifat rahasia (private), yang berfungsi menemukan bentuk

kesalahan E. Uraian di atas dapat dirangkum sebagaimana ditunjukkan dalam Tabel 1

di bawah.

Tabel 1 : Disain Kriptografi

Publik G, H-

Rahasia H- H

Enkripsi c = mG ⊕ e(H-)T

Dekripsi (1) mG = c(In ⊕ ( H- H)T)

(2) Dapatkan m dari mG

Prosedur Pembentukan Kunci

Untuk kode C-(n,k), prosedur untuk membangun matriks kunci G, H, dan H-

dapat dijelaskan sebagai berikut :

(1) Pilih matriks generator G = [Ik A]; dengan sembarang A(k, n-k).

(2) Bentuk H1 = [AT In-k].

(3) Pilih sembarang S(n-k, n-k) yang nonsingular.

(4) Bentuk matriks paritas H = SH1.

7

(5) Bawa H ke bentuk H = [In-k 0]Q, dengan 0(n-k, k) matriks nol dan Q(n, n)

matriks nonsingular.

(6) Pilih matriks X(n-k, n-k) dan Y(k, n-k) yang memenuhi [6]

(7) MRIT dari H adalah H- = Q-1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡YX

.

(8) Kunci rahasia (privat key) R = H- H

Selanjutnya G dan H- dipublikasikan sebagai kunci publik untuk enkripsi data oleh

pengirim pesan, dan R = H-H disimpan sebagai privat key untuk mendekripsikan

pesan yang diterima.

E. Penutup

Dari implementasi menunjukkan bahwa disain ini telah bekerja dengan benar,

khususnya untuk pengiriman pesan berupa teks. Artinya, teori MIT dapat diterapkan

di bidang kriptografi. Pada disain ini, yang perlu ditelaah lebih lanjut masalah

metode untuk menemukan MRIT, khususnya untuk mendapatkan matriks X dan Y

dalam [6]. Apa yang disajikan dalam tulisan ini hanyalah salah satu cara

mendapatkan matriks X dan Y sedemikian hingga memenuhi [6]. Metode lain, yang

bersifat umum, untuk menemukan matriks X dan Y perlu pengkajian lebih

mendalam.

Pengkajian lanjutan yang juga perlu dilakukan adalah tentang model

autentikasi dan pertukaran kunci antara pengirim dan penerima pesan. Di samping itu,

penelitian tentang penggunaan disain kriptografi untuk pengiriman peta atau gambar

juga perlu dikaji lebih lanjut.

F. Daftar Pustaka

Israel, A.B., dan Greville, T.N.E., 1974, Generalized Inverses : Theory and Applications, John Wiley & Sons, New York.

8

MacWilliams, F.J., dan Sloane, N.J.A., 1993, The Theory of Error Correcting Codes, Eight Impression, North-Holland Mathematical Library, Amsterdam.

Patterson, W., 1987, Mathematical Cryptology for Computer Scientists and

Mathematicians, Rowman & Littlefield Publisher, New Jersey. Rao, C.R., dan Mitra, S.K., 1971, Generalized Inverse Matrices dan its Applications,

New York : John Wiley & Sons, Inc. Shao, Z., 1998, “Signature Schemes Based on Factoring and Discrete Logarithms”

dalam IEE Proceedings Computer Digit. Tech. Vol. 145 No. 1, January 1998, Pp : 33 – 36.

Stinson, D.R., 1995, Cryptography Theory and Practice, CRC Press LLC, Florida. Vanstone, S.A., dan Oorschot, V.P.C., 1989, An Introduction to Error Correcting

Code with Applications, Kluwer Academic Publisher. Wu, C.K., dan Dawson, E., 1998, “Generalised Inverses in Public Key Cryptosystem

Design” dalam IEE Proceedings Computer Digit. Tech. Vol. 145 No. 5, September 1998, Pp : 321 – 326.