KONSTANTA MATEMATIKA “ e ”

Artikel ini di buat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah teori bilangan

Dosen pembimbing EkoYulianto M.Pd

Oleh ,

Gini Alawiyah 142151010

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SILIWANGI

TASIMALAYA

2015

Bilangan apakah e itu ???

Tentu kalian pernah mendengar

yang namanya Euler bukan???

Konstanta matematika e merupakan

bilangan alam, bilangan natural, atau

kadang-kadang disebut juga bilangan

Euler. Sebagai penghargaan atas ahli

matematika Swiss.

Gambar 1. Leonhard Euler

Juga, konstanta Napier sebagai

penghargaan atas ahli matematika

Skotlandia, yang merumuskan konsep

logaritma untuk pertama kali.

Gambar 2. John Napier

Bilangan ini adalah salah satu

bilangan yang terpenting dalam

matematika, sama pentingnya dengan 0,

1, i, dan π.

Mengapa kok disebut bilangan

natural / bilangan alam? Karena

bilangan tersebut banyak ditemukan

dalam kancah ilmu pengetahuan seperti

statistika ( jumlah penduduk ),

kriptografi, kimia untuk menghitung zat

radio aktif serta ilmu pengetahuan

lainnya dengan sifat - sifat yang

memiliki karakteristik tersendiri bila

dibandingkan dengan bilangan -

bilangan yang lainnya.

Sehingga didapat bahwa nilai

e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874

71352...

Nah darimana bisa nemu e ≈

2,718... ???

Begini, Nilai euler didapat dari

pendekatan limit bilangan menuju 1 dari

kanan dengan pangkat menuju tak

hingga, seperti ini:

= (

)

= ( )

Nah...!!! masih ingat rumus

binomial newton kan ???

( ) ∑( )

Karena bilangan e diatas memakai

pendekatan limit, maka bilangan e dapat

dijabarkan menjadi bilangan binomial

sebagai berikut :

(

)

= ∑ ( )

(

)

(

)

= ( ) (

)

(

) (

)

(

) (

)

+ . . .

(

)

=

(

)

( ) (

)

(

)

( ) (

)

(

)

...

(

)

= (

)

( )

(

)

(

) = 1 + 1 +

+ . . .

(

)

+ . . .

Karena h mendekati tak hingga, maka :

(

)

+ . . .

= 2 ,718...

Atau bisa juga melalui rumus

∑

Sehingga,

∑

=

=

= 2,718...

e adalah bilangan irasioanal maka

oleh karena itu nilai e tidak akan pernah

berhenti sama seperti

Bilangan e sendiri merupakan

bilangan transendental. Dimana,

bilangan transendental yaitu bilangan

yang bukan merupakan akar dari

fungsi polynomial ( suku banyak )

p(x) berkoefisien bilangan rasional.

Sama halnya seperti pi. Adapun 30

digit pertama di belakang tanda

koma dari bilangan ini adalah: e ≈

2,71828 18284 59045 23536 02874

71352

Pada tahun 1884 Boorman

menghitung e sampai dengan 346 digit

dibelakang koma dan telah dihitung

sampai dengan 869.894.101 digit

dibelakang koma oleh Sebastian

Wedeniwski. (O’Connor, 2001)

e = 2.71828182845904523536028747

13526624977572470936999595749669

67627724076630353547594571382178

52516642742746639193200305992181

74135966290435729003342952605956

30738132328627943490763233829880

75319525101901157383418793070215

40891499348841675092447614606680

82264800168477411853742345442437

107539077744992069551702761…

apa hebatnya nilai e sehingga

mendapat tempat khusus dalam

semesta bilangan ??? Mengapa tidak

bilangan yang lain ???

Secara sederhana, e adalah bilangan

yang berhubungan dengan pertumbuhan

yang bersifat eksponensial dan kontinyu.

Tak ada yang tahu pasti kapan persisnya

bilangan e mulai dikenal, tapi ada

dugaan bahwa munculnya bilangan

tersebut berkaitan berkembangnya dunia

perbankan ketika orang-orang sibuk

menghitung berapa banyak uang yang

mereka simpan atau mereka pinjamkan

tumbuh.

Mari sekarang kita coba lebih

definitif. Apa yang dimaksud dengan

“pertumbuhan yang bersifat

eksponensial dan kontinyu” ???

Pertumbuhan yang bersifat

eksponensial artinya pertumbuhan yang

berbasiskan pangkat. Sebagai misal,

andaikan ada suatu bakteri setiap

menitnya berkembang biak dengan

tingkat pertumbuhan 10n dimana n

adalah menitnya sehingga jika dibuat

tabel, maka pertumbuhan bakteri

tersebut setiap menitnya adalah sebagai

berikut:

Menit Jumlah bakteri

0 1

1 10

2 100

3 1.000

4 10.000

Pertumbuhan jumlah bakteri seperti

di atas dikenal sebagai pertumbuhan

eksponensial. Sebagai pembanding, ada

pertumbuhan yang tidak bersifat

eksponensial semisal pertumbuhan yang

jika dirumuskan akan menghasilkan

rumus (n + 1) atau 2n.

Sedangkan yang dimaksud dengan

pertumbuhan kontinyu adalah

pertumbuhan yang terus bertambah

tanpa pernah berhenti atau terputus.

Kontinyu di sini berarti bergerak secara

mulus tanpa ada keterputusan sehingga

jika digambarkan akan membentuk

kurva yang mulus.

Apakah pilihan nilai e adalah sesuatu

yang bersifat acak saja??? Apa

kegunaannya??? Apakah digit

desimalnya bisa dimanfaatkan???

Seperti telah disebutkan, ada

dugaan bahwa konteks persoalan

pertumbuhan eksponensial dan kontinyu

yang melahirkan bilangan e adalah

persoalan pertumbuhan uang, entah uang

yang kita simpan atau yang kita

pinjamkan. Kita tentukan saja bahwa

kasus kita adalah kasus pertumbuhan

uang yang kita simpan.

Kita tahu bahwa dalam dunia

perbankan, berlaku prinsip bunga

majemuk. Untuk menjelaskan apa itu

bunga majemuk, ada baiknya kita

langsung membicarakan contohnya.

Dalam sistem perbankan, bunga

simpanan ditentukan sebagai nilai

persentase per tahun dari pokok

simpanan kita.

Misalkan saja kita punya simpanan

sebesar 100.000 dan bunga simpanan

yang berlaku ialah 100% per tahun. Jika

bunga dihitung setiap setahun sekali,

maka berapakah jumlah uang simpanan

kita?

Jawabnya sederhana:

Pokok simpanan + bunga simpanan

100.000 + ( 100% × 100.000 )

100.000 + 100.000

200.000

Jadi, uang simpanan kita di akhir tahun

menjadi 2 kali lipat dari nilai semula.

Bagaimana jika bunga simpanan

dihitung setiap 6 bulan sekali, atau

dengan kata lain setahun 2 kali?

Tapi, tidakkah sama saja

menghitung bunga setahun sekali dan

setahun dua kali? Sama sekali tidak.

Prinsip bunga majemuk menyatakan

bahwa perhitungan untuk 6 bulan yang

kedua tidak lagi berdasarkan simpanan

awal yang sebesar 100.000, tapi

berdasarkan jumlah uang simpanan kita

pada 6 bulan pertama yang sebesar

150.000 (yaitu jumlah simpanan awal

ditambah dengan bunga 6 bulan pertama

sebesar 100% : 2 = 50%).

Untuk mempermudah membahasa-

kannya, maka kita simbolkan masing-

masing sebagai berikut:

a = simpanan awal

b = simpanan setelah 6 bulan pertama

c = simpanan setelah 1 tahun

m = bunga

Jika dibahasakan ke dalam bahasa

simbol, maka simpanan setelah 1 tahun

ialah:

c = b + (bm)

Karena

b = a + (am)

maka

c = a + (am) + ((a + (am))m)

c = a + (am) + (am + am2)

c = a + 2am + am2

c = 100.000 + (2 × 100.000 × 50%) +

(100.000 × 50%2)

c = 100.000 + 100.000 + 25.000

c = 225.000

Perhatikan bahwa nilai simpanan

setelah 1 tahun dengan sistem

perhitungan bunga setiap 6 bulan lebih

besar jika dibandingkan dengan sistem

perhitungan bunga setelah 1 tahun. Jika

dalam sistem perhitungan setiap 1 tahun,

kita mendapatkan nilai simpanan sebesar

2 kali lipat simpanan awal, dengan

sistem 6 bulan, kita mendapatkan nilai

simpanan sebesar 2,25 kali lipat

simpanan awal.

Dalam bahasa matematika yang

lebih ringkas, situasi kita di atas bisa

dibahasakan sebagai berikut:

Tingkat pertumbuhan simpanan =

(

)

.

Dimana,n = banyaknya perhitungan

bunga dalam setahun.

Dalam sistem perhitungan bunga

setiap 6 bulan, n = 2 dan menghasilkan

tingkat pertumbuhan simpanan sebesar

2,25 kali lipat simpanan awal.. Jika kita

lihat polanya, kita bisa menduga bahwa

semakin sering perhitungan bunga

dilakukan dalam setahun, semakin besar

pula tingkat pertumbuhan simpanan.

Untuk membuktikan dugaan tersebut,

maka kita lakukan perhitungan

jika n kita naikkan nilainya. Katakanlah

semisal mulai dengan 3 kali setahun, 4

kali setahun, 5 kali setahun dan

seterusnya hingga bahkan tak terbatas

kali dalam setahun. ( Dengan kata lain,

perhitungan bunga dilakukan setiap

menit, atau bahkan setiap detik ). Hasil

perhitungan kita tampilkan di dalam

tabel berikut ini.

n (

)

1 2

2 2,25

3 2,37

5 2,448

10 2,5937

100 2,7048

1.000 2,7169

10.000 2,71814

100.000 2,718268

1.000.000 2,7182804

… …

Perhatikan!!! Bahwa semakin besar

nilai n, maka nilai (

)

semakin

mendekati nilai tertentu, yaitu 2,718…

Nilai inilah yang kemudian disebut

sebagai e. Jika dirumuskan ke dalam

bahasa limit, maka e itu tak lain dan tak

bukan berasal dari:

e = (

)

Dari rumus di atas, e adalah nilai

maksimum dari pertumbuhan

eksponensial.

Sebagaimana dalam kasus

perhitungan jumlah uang simpanan,

bilangan e ini juga berguna untuk

menghitung segala apapun yang sifatnya

tumbuh secara eksponensial dan

kontinyu, sebagai misal peluruhan

radioaktif, jumlah penduduk, kriptografi

dan sebagainya.

Pemanfaatan digit desimal e pada

kriptografi

Kriptografi adalah ilmu yang

mempelajari bagaimana membuat

suatu pesan yang dikirim pengirim

dapat disampaikan kepada penerima

dengan aman [ Schneier, 1996 ].

Kriptografi dapat memenuhi

kebutuhan umum suatu transaksi.

Kebutuhan untuk kerahasiaan

(confidentiality) dengan cara

melakukan enkripsi (penyandian).

Keutuhan (integrity) atas data-data

pembayaran dilakukan dengan fungsi

khas satu arah.

Model-model enkripsi pada

kriptografi

Enkripsi dengan kunci

Pribadi

kunci enkripsi ini dikenal

dengan istilah enkripsi dengan kunci

pribadi, karena kunci hanya boleh

diketahui oleh dua pribadi yang

berkomunikasi tersebut.

Cara enkripsi dengan kunci pribadi

umumnya digunakan untuk kalangan

bisni maupun pemerintahan.

Beberapa metode yang termasuk

dalam enkripsi dengan kunci pribadi

antara lain: subtitution cipher,

Caesar cipher (mono alphabetical

cipher), transposition cipher, Data

Encryption Standard (DES), Triplel

DES, Rivest Code 2 (RC2) dan Rivest

Code 4 (RC4), IDEA, Skipjack, Gost

Block Cipher, dan Poly alphabetical

cipher.

Dari beberapa metode di atas, di

dalam pembahasan esey ini hanya

akan membahas 2 metode saja yaitu

Caesar cipher dan subtitution cipher.

1. Variasi dari Caesar cipher.

Misalkan sahabat akan mengirim

sebuah pesan “KEAJAIBAN

MATEMATIKA” pada tanggal 1

Maret. Penggunaan kode sederhana

A↔1, B↔2, C↔3, D↔4, …,

Z↔26, spasi ↔27 atau 0 (mod 27),

maka pesan akan menjadi barisan

dari 17 numerik yang merupakan

plaintext, yaitu :

11 5 1 10 1 9 2 1 14 0 13 1 20 5 13 1

20 9 11 1

Tanggal 1 maret dijadikan

sebagai kunci, yang ditulis dalam

bentuk 0103, yang artinya bahwa

kunci dari enkripsi adalah 17 digit

mulai dari digit ke 103 dari nilai

desimal bilangan e, yaitu mulai dari 4

6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 3 0 5 9 9 2 . Nilai

ini selanjutnya tambahkan ke

plaintext sebagai berikut:

11 5 1 10 1 9 2 1 14 0 13 1 20 5 13 1

20 9 11 1

4 6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 3 0 5 9 9 2 4 6 6

15 11 7 13 10 10 11 4 16 0 13 4 20

10 22 10 22 13 17 7

Berdasarkan nilai numerik

ciphertext di atas, selanjutnya

dikonversikan ke string yang akan

menghasilkan pesan “OKGMJJKDP

MDTJVJVMQG”.

Untuk mengembalikan pesan ke

bentuk aslinya, maka dikonversi ke

bentuk bilangan dan dikurangi

dengan digit bilangan e mulai dari

digit ke 103.

2. Variasi dari Transformasi

Affine

Pada tranformasi affine diperlukan dua

buah kunci, misal kunci 1 dan kunci 2.

Andaikan a merupakan nilai dari digit ke

(x+1) yang lokasinya ditunjuk oleh

kunci 1 (yaitu: x), sedang b merupakan

nilai dari digit ke (x+y+1) yang

lokasinya dirujuk oleh kunci 2 (yaitu: y).

Berdasarkan kedua nilai digit tersebut,

maka Ciphertext (C) dan Plaintext (P)

dihubungkan berdasarkan persamaan:

C = aP + b (mod 27).

Misal diberikan kunci 1 = 3 dan kunci 2

= 11, maka a = nilai dari digit ke (3+1)=

2 dan b = nilai dari digit ke (3+11+1) =

2. Sehingga diperoleh persamaan :

C = (2P + 2) (mod 27) … (2)

Andaikan pesan yang akan dikirm

adalah “KEAMANAN JARINGAN”,

maka plaintext dalam barisan integer

dinyatakan dengan

11 5 1 10 1 9 2 1 14 0 13 1 20 5 13 1

20 9 11 1

yang selanjutnya akan dienkripsi

berdasarkan persamaan 2 di atas sebagai

berikut:

24 12 4 22 4 20 6 4 20 2 28 4 42 12 28 4

42 20 24 4 ( nilai 2P + 2 ), yang

selanjutnya dimoduluskan dengan

angka 27 sebagai berikut:

24 12 4 22 4 20 6 4 20 2 1 4 15 12 1 4

15 20 24 4 (mod 27)

Hasil enkripsi ini dalam bentuk string

adalah“XLDVDTFDTBADOLADOTX

D”. (mod 27)

KESIMPULAN

e merupakan konstanta bilangan real

yang sering disebut bilangan alam,

bilangan natural, atau kadang-kadang

disebut juga bilangan Euler yang

nilainya mendekati 2.71828 18284

59045 23536...

untuk memperoleh nilai e maka

dilakukan cara sebagai berikut, yaitu:

Bentuk pendekatan limit yang

dijabarkan menjadi bilangan

binomial

Bentuk deret

Dan kegunaan e salah satunya

digunakan dalam kriptografi

sebagaimana yang telah dibahas dalam

artikel ini.

SARAN

Seiring dengan perkembangan

zaman, teknologipun semakin

canggih. Maka keamanan sangatlah

penting. Oleh karena itu, digit

desimal euler dapat dimanfaatkan

dan diaplikasikan sebagai kunci

untuk membuka suatu berangkas.

Serta, sebagai permainan yang

bersifat mengasah otak. Untuk lebih

mengenal bilangan e, tentunya kita

memerlukan tambahan referensi

yang memuat kegunaan e dalam

aplikasi lainnya. Hal tersebut

merupakan tugas kita sebagai calon

matematikawan kelak.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. Apa itu e??? [Online]. Tersedia

:http:// ariaturns. wordpress.

com/ 2008/09/17/ apa-itu-e/.

[20 mei 2015]

Anonim. Asal Usul Bilangan Euler

(e). [Online]. Tersedia : http://

aiihoppus.blogspot.com/ 2012/

12/ asal-usul-bilangan-euler-

e.html?m=1. [18 mei 2015]

Anonim. Bilangan Apakah e itu?.

[Online]. Tersedia :https:// mengerti-

matematika.wordpress.com/

2012/08/05/bilangan-apakah-

e-itu/. [20 mei 2015]

Anonim. Bilangan Euler . [Online].

Tersedia: https:// matematikajitu.

Wordpress. com/ 2012/

07/26/ bilangan-euler/. [18

Mei 2015]

Kuswarihernawati, bambangsumarno

HM. Pemanfaatan keunikan digit

desimal bilangan euler pada

kriptografi. [Online]. Tersedia :http://

staff.uny.ac.id/ sites/ default/

files/ penelitian/ kuswari%20

hernawati, %20S.Si.,M.Kom./

Bilangan % 20 Euler % 20pada

%20 Kriptografi. pdf. [18 Mei

2015]