Kong Ruen
-
Upload
nyai-rosi-rosita -
Category
Documents
-
view
223 -
download
0
description
Transcript of Kong Ruen
TEOREMA KEKONGRUENAN SEGITIGA SSS DAN AAA
PADA GEOMETRI RIEMANN GANDA
SKRIPSI
YUNI TANGKE
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA DAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI PAPUA
MANOKWARI
2013
ABSTRAK
Geometri Euclid adalah geometri pada bidang datar. Sedangkan geometri
Riemann ganda merupakan geometri pada permukaan bola. Pada geometri Euclid
dan geometri Riemann, dua buah segitiga dikatakan kongruen jika sudut-sudut
yang bersesuaian sama besar dan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama.
Teorema kekongruenan yang digunakan pada geometri Euclid yaitu SAS (Side
Angle Side), ASA (Angle Side Angle) dan SSS (Side Side Side).
Sedangkan pada geometri Riemann teorema kekongruenan yang digunakan adalah
SSS (Side Side Side) dan AAA (Angle Angle Angle).
TEOREMA KEKONGRUENAN SEGITIGA SSS DAN AAA
PADA GEOMETRI RIEMANN GANDA
YUNI TANGKE
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains dari Universitas Negeri Papua
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA DAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI PAPUA
MANOKWARI
2013
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus karena atas
kasih dan perlindungaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan dan
penyusunan skripsi ini dengan baik.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada
Bpk. Haryanto, S.Pd, M.Sc selaku dosen pembimbing pertama dan kepada Ibu
Jeinne Mumu, S.Pd, M.Sc selaku dosen pembimbing kedua yang dengan penuh
kasih telah memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis dalam penulisan
skripsi ini. Penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada bapak dan ibu
dosen yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis dalam bangku
perkuliahan.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada kedua orang tua dan kakak-
kakakku atas segala doa dan kasih sayangnya. Kepada teman-teman yang telah
memberikan motivasi dan perhatian, penulis ucapkan banyak terima kasih.
Kiranya Tuhan Yang Maha Kuasa senantiasa memberkati dan menyertai kita
semua.
Semoga skripsi ini bermanfaat.
Manokwari, Agustus 2013
Yuni Tangke
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Nabire tanggal 14 Juni 1990 sebagai anak kelima dari
lima bersaudara dari ayah bernama Yulius Tangke dan ibu bernama Herlina
Pabuntang.
Penulis memulai pendidikan formal di Taman Kanak-kanak Kartika pada
tahun 1994 dan tamat pada tahun 1995. Penulis melanjutkan pendidikan pada
Sekolah Dasar Negeri 1 Nabire dan tamat pada tahun 2001. Pada tahun 2004
penulis menamatkan pendidikan Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri 4
Nabire. Penulis melanjutkan pendidikan pada Sekolah Menengah Umum Negeri 1
Nabire dan tamat pada tahun 2007.
Pada tahun 2007 penulis terdaftar sebagai mahasiswa pada Jurusan
Matematika dan Statistika FMIPA UNIPA Manokwari.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. i
DAFTAR GAMBAR β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.... ii
DAFTAR SIMBOL β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦.β¦. v
I. PENDAHULUAN β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦.β¦β¦.. 1
1.1 Latar Belakang β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦... 2
1.2 Tujuan Penelitian β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦.. 2
1.3 Manfaat Penelitian β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦. 2
1.4 Metode Penelitian β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦.. 2
II. LANDASAN TEORI β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦.. 3
2.1 Geometri Euclid
2.2 Geometri Riemann β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. 21
III HASIL DAN PEMBAHASAN β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. 29
3.1 Kekongruenan Segitiga pada Geometri Riemann Ganda β¦β¦β¦... 29
IV PENUTUP β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦ 41
4.1 Kesimpulan β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 41
4.2 . Saran
DAFTAR PUSTAKA β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 42
DAFTAR GAMBAR
Halaman
2.1 Titik Aβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦... 3
2.2 Garis β .................................................................................................. 3
2.3 Sinar ABβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 4
2.4 Garis Lengkungβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 4
2.5 Ruas garis πΆπ· membagi dua π΄π΅ β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.......... 5
2.6 Titik Kolinearβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦... 6
2.7 Sudut A β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦. 7
2.8a Sudut siku-sikuβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦ 7
2.8b Sudut lancipβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦..... 7
2.8c Sudut tumpul β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 8
2.8d Sudut lurusβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 8
2.8e Sudut refleksβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦ 8
2.9 Sudut berdampingan πΌ dan π½β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦.. 9
2.10 Sudut komplementer β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.... 9
2.11 Sudut-sudut suplementerβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦. 10
2.12 Lingkaran β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 10
2.13 Poligon β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 12
2.14 Segitiga ABCβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 12
2.15 Segitiga tidak sama sisiβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦ 13
2.16 Segitiga sama kakiβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.... 13
2.17 Segitiga sama sisi β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 14
2.18 Segitiga siku-sikuβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 14
2.19 Segitiga tumpulβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦ 15
2.20 Segitiga lancipβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦. 15
2.21 βπ΄π΅πΆ Kongruen dengan βπ·πΈπΉβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦... 16
2.22 β π΄π΅πΆ dan β π·πΈπΉ β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 17
2.23 β π΄π΅πΆ dan β π·πΈπΉβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦... 18
2.24 βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ dengan titik G pada π΄πΆβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 18
2.25 βπ΄π΅πΆ β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 19
2.26 βπ΄π΅πΆ kongruen dengan βπ·πΈπΉβ¦...β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...β¦... 20
2.27 βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ β¦β¦β¦...β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦..... 21
2.28 Garis L dan Garis Mβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...... 22
2.29 Model geometri Riemann gandaβ¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...... 24
2.30 Model geometri Riemann tunggalβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦.β¦. 24
2.31 Titik Pβ¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦.................................................... 25
2.32 Garis L dan garis Mβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 26
2.33 Bidang π΅β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦... 26
2.34 Ruas garisOP...β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦ 27
2.36 Sudut πΌβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦.. 28
2.37 Segitiga βπ΄π΅πΆβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦. 28
3.1 βπ΄π΅πΆ kongruen dengan βπ΄β²π΅β²πΆβ²β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 29
3.2 βπ΄π΅πΆ simetris dengan βπ΄β²π΅β²πΆβ²β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 30
3.3 Sudut dihedralβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦ 30
3.4 Sudut Trihedralβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦ 31
3.5 Sudut Trihedral Kongruen dan Simetrisβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦.. 32
3.6 Kutub K β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦.β¦... 33
3.7 β π΄ππ΅ = π΄β²π΅β² β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...β¦β¦β¦β¦β¦..β¦. 34
3.8 P dan Q kutub dari A dan Bβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦ 35
3.9 Segitiga polar β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦.. 36
3.10 βπ΄β²π΅β²πΆβ² segitiga polar dari βπ΄π΅πΆβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦.. 36
3.11 π΄β² kutub dariπ΅πΆβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦.. 37
3.12a β ππ΄π΅πΆ kongruen dengan β ππ΄β²π΅β²πΆβ²β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...β¦β¦β¦β¦..β¦ 38
3.12b β ππ΄π΅πΆ simetris dengan β ππ΄β²π΅β²πΆβ²β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦. 38
3.13a βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦ 39
3.13b βπ΄π΅πΆ simetris dengan βπ·πΈπΉβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...β¦β¦β¦ 39
DAFTAR SIMBOL
: Titik
π΄π΅ : Garis AB
π΄π΅ : Sinar AB
π΄π΅ : Ruas Garis AB
β A : Sudut A
β : Kongruen
β πΌ β β π½ : Sudut 1 kongruen dengan sudut 2
β₯ : Tegak Lurus
πΆπ· β₯ π΄π΅ : Ruas Garis CD tegak lurus terhadap ruas garis AB
β π΄π΅πΆ : Segitiga ABC
β π΄π΅πΆ β β πππ :Segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR
: Terbukti
β : Tidak kongruen
AB : Busur AB
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Geometri berasal dari kata Latin βGeometriaβ ,Geo yang berarti tanah dan
metria berarti pengukuran. Menurut sejarahnya geometri tumbuh pada zaman jauh
sebelum masehi. Hal ini untuk keperluan pengukuran tanah setiap kali sesudah
banjir di Mesir yang diakibatkan oleh meluapnya air sungai Nil. Secara umum
Geometri didefinisikan sebagai cabang matematika yang mempelajari titik, garis,
bidang, ruang serta sifat-sifat, ukuran-ukuran dan hubungannya satu sama lain.
Ditinjau dari aksioma, geometri yang pertama kali muncul adalah geometri
Euclid. Geometri tersebut pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Yunani bernama Euclid. Geometri Euclid adal`ah geometri pada
bidang datar. Euclid mengusulkan berbagai aksioma dan teorema, salah satunya
menyatakan bahwa dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan
sejajar. Geometri yang menentang aksioma tersebut disebut geometri non Euclid
(Walter P dan Meyer, 1965).
Geometri Riemann merupakan salah satu geometri non Euclid. Geometri
ini diperkenalkan oleh G.F.B Bernhard Riemann dari Jerman (Moeharti, 1986).
Postulat kesejajaran Riemann menyatakan bahwa tidak ada garis-garis yang
sejajar dengan garis lain, dua garis selalu berpotongan pada satu titik. Geometri
Riemann dibagi menjadi dua yaitu geometri Riemann tunggal dan geometri
Riemann ganda. Sebarang dua garis yang berpotongan tepat pada satu titik, tetapi
tidak ada garis yang memisahkan bidang dan dua titik yang diametral dianggap
sebagai satu titik (A = Aβ) disebut geometri Riemann tunggal. Sedangkan
geometri Riemann ganda menyatakan bahwa dua garis berpotongan tepat pada
dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang (Walter P dan Meyer, 1965).
Konsep kekongruenan pada geometri Euclid berkaitan dengan dua buah
bangun yang mempunyai bentuk yang sama dan ukurannya sama. Dua buah
segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi syarat-syarat kekongruenan yaitu
sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan panjang sisi-sisi yang bersesuaian
sama. Teorema kekongruenan segitiga pada geometri Euclid adalah teorema SAS
(Side Angle Side), ASA (Angle Side Angle) dan SSS (Side Side Side)
(Berele dan Goldman, 2001).
Pada geometri Riemann juga dikenal dengan adanya teorema-teorema
kekongruenan segitiga. Dua diantaranya adalah teorema kekongruenan SSS (Side
Side Side) dan AAA (Angle Angle Angle). Dalam penelitian ini penulis akan
membuktikan kedua teorema kekongruenan segitiga SSS (Side Side Side) dan
AAA (Angle Angle Angle).
1.2 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan membuktikan teorema kekongruenan segitiga
AAA (Angle Angle Angle) dan SSS (Side Side Side) pada geometri Riemann
1.3 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi bagi setiap pembaca
yang ingin mempelajari ilmu Geometri khususnya geometri Riemann. Penelitian
ini juga memberikan banyak pengetahuan kepada penulis tentang geometri
Riemann.
1.4 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi pustaka yaitu mengumpulkan
teori-teori dari buku-buku dan jurnal-jurnal yang terkait kekongruenan segitiga
pada geometri Euclid dan geometri Riemann.
II LANDASAN TEORI
2.1 Geometri Euclid
Pada subbab ini akan dibahas titik, garis, bidang, sudut, lingkaran,
segitiga, definisi kekongruenan dan teorema kekongruenan segitiga. Konsep
tentang titik, bidang, sudut, dan lingkaran secara keseluruhan dikutip dari buku
βGeometriβ karya Barnet Rich, 2002. Sedangkan definisi dan teorema-teorema
kekongruenan segitiga dikutip dari buku βGeometry Theorems and Constructionsβ
karya Berele dan Goldman, 2001.
Definisi 2.1.1
Titik dilambangkan dengan bulatan kecil (dot) hanya mempunyai posisi. Titik
tidak mempunyai panjang, lebar ataupun ketebalan.
Gambar 2.1 merupakan contoh dari titik A.
A
Gambar 2.1 Titik A
Definisi 2.1.2 (Lilian Gareth, 2010)
Garis adalah himpunan titik-titik yang hanya mempunyai panjang. Garis ditulis
dengan simbol π΄π΅ .
Gambar 2.2 menunjukkan garis β
β
B
A
Gambar 2.2 Garis β
Suatu garis bisa lurus, melengkung, maupun kombinasi dari keduanya. Garis
lurus terbentuk oleh suatu titik yang selalu bergerak kearah yang sama. Suatu
garis lurus dapat diperpanjang kesegala arah secara tidak terbatas. Bagian-bagian
dari garis yaitu sinar, garis lengkung dan ruas garis lurus.
Definisi 2.1.2.1
Sinar adalah bagian dari garis lurus yang dimulai pada suatu titik tertentu dan
diperpanjang secara tidak terbatas ke suatu arah. Sinar AB ditulis dengan simbol
π΄π΅ .
Gambar 2.3 merupakan contoh dari sinar AB
B
A
Gambar 2.3 Sinar AB
Definisi 2.1.2.2
Garis lengkung terbentuk oleh suatu titik yang bergerak dengan arah yang selalu
berubah-ubah.
Gambar 2.4 merupakan contoh dari garis lengkung dengan titik A yang
arahnya selalu berubah.
A
Gambar 2.4 Garis lengkung
Definisi 2.1.2.3
Ruas garis lurus adalah bagian dari garis lurus yang berada diantara dua titik
pada garis lurus tersebut, termasuk kedua titik tersebut. Ruas garis lurus ditulis
dengan π΄π΅ .
Jika suatu ruas garis dibagi menjadi bagian-bagian maka
1. Panjang keseluruhan ruas garis sama dengan jumlah dari panjang semua
bagiannya.
2. Panjang keseluruhan ruas garis lebih besar dari panjang bagiannya yang
manapun.
3. Dua ruas garis yang mempunyai panjang sama dikatakan kongruen. Jadi, jika
AB = CD maka π΄π΅ kongruen dengan πΆπ· sehingga ditulis π΄π΅ β πΆπ· .
Jika suatu ruas garis dibagi menjadi dua bagian yang sama maka
1. Titik baginya adalah titik tengah ruas garis tersebut.
2. Garis yang memotong pada titik tengah dikatakan membagi dua ruas garis
tersebut.
Perhatikan Gambar 2.5. Titik M adalah titik tengah π΄π΅ . Ruas garis πΆπ·
membagi dua π΄π΅ . Ruas garis-ruas garis yang sama dapat diberi tanda dengan
garis-garis pendek yang berjumlah sama yang memotong ruas garis-ruas garis
tersebut. Perhatikan bahwa π΄π dan ππ΅ dipotong oleh satu garis pendek.
C
A M B
D
Gambar 2.5 Ruas garis CD membagi dua AB
3. Pada Gambar 2.6, jika tiga titik A, B, dan C terletak pada satu garis maka
ketiganya disebut kolinear. Jika A, B, dan C kolinear dan AB + BC = AC
maka B terletak diantara A dan C.
C
B
A
Gambar 2.6 Titik kolinear
Definisi 2.1.3
Bidang adalah suatu permukaan dengan suatu garis yang menghubungkan dua
titik pada permukaan tersebut secara keseluruhan akan terletak pada permukaan
tersebut. Bidang mempunyai panjang dan lebar tetapi tidak mempunyai
ketebalan.
Berikut ini akan dibahas definisi sudut dan jenis-jenis sudut
Definisi 2.1.4
Sudut adalah suatu gambar yang terbentuk oleh dua sinar yang mempunyai titik
akhir yang sama. Sinar-sinar tersebut merupakan sisi-sisi sudut, sementara titik
akhirnya merupakan titik sudut. Sudut dapat dinyatakan dengan simbolβ atau β‘.
Perhatikan Gambar 2.7, π΄π΅ dan π΄πΆ adalah sisi-sisi dari sudut. Titik A
adalah titik sudut. Besarnya sudut tidak tergantung pada panjang sisi-sisi sudut.
Besarnya β π΄ tidak akan berubah jika sisi-sisi π΅π΄ dan π΄πΆ diperpanjang atau
diperpendek.
B
A C
Gambar 2.7 Sudut A
Sudut dibagi menjadi lima jenis yaitu sudut siku-siku, sudut lancip, sudut
tumpul, sudut lurus, dan sudut refleks. Berikut ini penjelasan tentang kelima
sudut tersebut.
1. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90Β° (Gambar 2.8.a)
90Β°
Gambar 2.8.a Sudut Siku-siku
2. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya kurang dari 90Β° ( Gambar 2.8.b).
πΌΒ°
Gambar 2.8.b Sudut lancip
3. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya lebih dari 90Β° dan kurang dari 180Β°
(Gambar 2.8.c).
π½Β°
Gambar 2.8.c Sudut tumpul
4. Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180Β° (Gambar 2.8.d).
Gambar 2.8.d Sudut lurus
5. Sudut refleks adalah sudut yang besarnya lebih dari 180Β° dan kurang dari
360Β° (Gambar 2.8.e).
πΏΒ°
Gambar 2.8.e Sudut refleks
Jenis-jenis pasangan sudut dibagi menjadi tiga yaitu sudut-sudut
berdampingan, sudut-sudut komplementer, dan sudut-sudut supplementer
(berpelurus).
1. Sudut-sudut berdampingan adalah dua sudut yang mempunyai titik sudut
sama dan terdapat satu sisi yang dimiliki bersama diantara keduanya.
B
D
πΏ
π½
A πΌ C
Gambar 2.9 Sudut berdampingan πΌ dan π½
Jadi sudut πΏ pada Gambar 2.9 dibagi menjadi dua sudut yang berdampingan
yaitu πΌ dan π½. Kedua sudut yang berdampingan ini mempunyai titik sudut yang
sama yaitu A dan satu sisi yang dimiliki bersama diantara keduanya yaitu π΄π· .
Disini πΌ + π½ = πΏ
2. Sudut-sudut komplementer adalah dua sudut yang jika dijumlahkan
berukuran 90Β°.
πΌ πΌ
π½ π½
(a) (b)
Gambar 2.10 Sudut komplementer
Pada Gambar 2.10(a), sudut-sudut πΌ dan π½ adalah sudut-sudut
komplementer yang berdampingan. Pada Gambar 2.10(b) sudut-sudut
komplementernya tidak berdampingan
3. Sudut-sudut supplementer adalah dua sudut yang jika dijumlahkan berukuran
180Β°.
πΌ π½ πΌ π½
(a) (b)
Gambar 2.11 Sudut-sudut supplementer
Pada Gambar 2.11 sudut dan π½ adalah sudut-sudut supplementer. Masing-
masing sudut disebut supplement.
Selanjutnya akan dibahas definisi lingkaran dan unsur-unsur pada lingkaran
Definisi 2.1.5
Lingkaran adalah himpunan semua titik pada suatu bidang yang berjarak sama
dari titik pusat.
B
A O C
Gambar 2.12 Lingkaran
Keterangan Gambar 2.12
π΄πΆ : diameter lingkaran
π΄π΅ : busur
ππ΅ : jari-jari
: tali busur AB
β π΅ππΆ : sudut pusat
: daerah setengah lingkaran
Dari Gambar 2.12 dapat didefinisikan unsur-unsur pada lingkaran yaitu
1. Keliling lingkaran adalah jarak (panjang) mengelilingi lingkaran. Keliling
ini mencakup 360Β°.
2. Jari-jari adalah ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan suatu
titik pada lingkaran.
3. Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sembarang pada
lingkaran.
4. Diameter adalah tali busur yang melalui titik pusat lingkaran.
5. Busur adalah bagian kontinu dari suatu lingkaran. Busur yang
berukuran1Β°memiliki besar 1/360 bagian dari keliling lingkaran.
6. Setengah lingkaran adalah busur yang berukuran setengah keliling suatu
lingkaran sehingga mencakup 180Β°.
Diameter membagi lingkaran menjadi dua buah setengah lingkaran.
7. Sudut pusat adalah sudut yang terbentuk oleh dua jari-jari.
Selanjutnya teori yang akan dibahas adalah definisi poligon, definisi
segitiga, jenis-jenis segitiga berdasarkan kesamaan panjang sisi-sisinya dan
segitiga berdasarkan jenis sudut yang dimilikinya.
Definisi 2.1.6
Poligon adalah benda datar tertutup yang dibatasi oleh sisi-sisi yang berupa ruas
garis-ruas garis lurus.
Gambar 2.13 Poligon
Definisi 2.1.7
Segitiga adalah poligon yang mempunyai tiga sisi.Titik sudut segitiga adalah titik
dimana dua diantara sisi-sisi segitiga tersebut bertemu.
B
A C
Gambar 2.14 Segitiga ABC
Segitiga ditulis dengan simbol β. Jadi segitiga pada Gambar 2.14 diberi
nama βπ΄π΅πΆ; sisi-sisinya adalah π΄π΅, π΄πΆ, π΅πΆ ; titik-titik sudutnya adalah A, B, C;
sudut-sudutnya adalah β π΄, β π΅, β πΆ.
Segitiga diklasifikasikan berdasarkan kesamaan panjang sisi-sisinya dan
berdasarkan jenis sudut yang dimilikinya.
Segitiga berdasarkan kesamaan panjang sisi-sisinya dibagi menjadi tiga
yaitu segitiga tidak sama sisi, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi. Berikut
ini penjelasan tentang segitiga tidak sama sisi, segitiga sama kaki dan segitiga
sama sisi.
1. Segitiga tidak sama sisi adalah segitiga yang tidak mempunyai sisi-sisi yang
kongruen.
B
c a
A b C
Gambar 2.15 Segitiga tidak sama sisi
2. Segitiga sama kaki adalah segitiga yang sedikitnya mempunyai dua sisi
yang kongruen.
B
c a
A b C
Gambar 2.16 Segitiga sama kaki
3. Segitiga sama sisi adalah segitiga yang mempunyai tiga sisi yang kongruen.
C
b a
A c B
Gambar 2.17 Segitiga sama sisi
Segitiga berdasarkan jenis sudutnya dibagi menjadi tiga yaitu segitiga siku-
siku, segitiga tumpul, segitiga lancip. Berikut ini penjelasan tentang segitiga siku-
siku, segitiga tumpul dan segitiga lancip.
1. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sudut siku-siku.
B
A c
C b A
Gambar 2.18 Segitiga siku-siku
Pada Gambar 2.18 segitiga siku-siku ABC, β πΆ adalah sudut siku-siku. Sisi c
yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut hipotenusa (sisi miring ).
Perhatikan sisi-sisi yang saling tegak lurus, a dan b disebut dengan kaki atau
lengan segitiga siku-siku.
2. Segitiga tumpul adalah segitiga yang mempunyai sudut tumpul.
E
D F
Gambar 2.19 Segitiga tumpul
3. Segitiga lancip adalah segitiga yang mempunyai tiga sudut lancip.
J
H K
Gambar 2.20 Segitiga lancip
Pada Gambar 2.20 segitiga lancip HJK β π», β π½, β πΎ adalah sudut-sudut
lancip.
Selanjutnya teori yang akan dibahas adalah definisi kekongruenan segitiga
dan teorema-teorema kekongruenan yaitu SAS (Side Angle Side), ASA (Angle
Side Angle) dan SSS (Side Side Side).
Definisi 2.1.8 Kekongruenan Segitiga (Berele dan Goldman, 2001)
Diberikan βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ. Jika β π΄ β β π·, β π΅ β β πΈ, β πΆ β β πΉ dan
π΄π΅ β π·πΈ, π΅πΆ β πΈπΉ, π΄πΆ β π·πΉ maka β π΄π΅πΆ kongruen dengan β π·πΈπΉ.
Ditulis βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ.
C F
A B D E
Gambar 2.21 βπ΄π΅πΆ kongruen dengan βπ·πΈπΉ
Ekuivalen dengan Definisi 2.1.8, Rich Barnet (2002) mendefinisikan
kembali pengertian kekongruenan dua segitiga seperti pada Definisi 2.1.9.
Definisi 2.1.9 (Rich, 2002)
Dua buah segitiga βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ dikatakan kongruen jika sudut-sudut yang
bersesuaian sama besar dan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama.
Teorema 2.1.10 SAS ( Side Angle Side) (Berele dan Goldman, 2001)
Diberikan βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ. Jika π΄π΅ β π·πΈ, β π΄ β β π· dan π΄πΆ β π·πΉ
maka βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ.
Bukti
Diketahui βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ dengan π΄π΅ β π·πΈ, β π΄ β β π· dan π΄πΆ β π·πΉ.
C F
A B D E
Gambar 2.22 βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ
Perhatikan βπ·πΈπΉ. Pada βπ·πΈπΉ, β π· diletakkan pada β π΄ dengan π·πΈ pada π΄π΅ dan
π·πΉ pada π΄πΆ.
Karena π΄π΅ β π·πΈ maka β πΈ berada tepat di atas β π΅.
Karena π΄πΆ β π·πΉ maka β πΉ berada tepat di atas β πΆ.
Akibatnya πΈπΉ β π΅πΆ
Jadi menurut Definisi 2.1.8 β π΄π΅πΆ β β π·πΈπΉ.
Teorema 2.1.11 ASA (Angle Side Angle)
Diberikan βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ. Jika β π΄ β β π·, π΄π΅ β π·πΈ dan β π΅ β β πΈ
maka βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ.
Bukti
Diketahui βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ dengan β π΄ β β π·, π΄π΅ β π·πΈ dan β π΅ β β πΈ
A D
B C E F
Gambar 2.23 β π΄π΅πΆ dan β π·πΈπΉ
Perhatikan π΄πΆ dan π·πΉ. Jika π΄πΆ β π·πΉ maka jelas βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ.
Asumsikan π΄πΆ β π·πΉ dengan π΄πΆ lebih panjang dari π·πΉ.
Karena π΄πΆ lebih panjang dari π·πΉ maka ada titik G pada π΄πΆ sedemikian
sehingga π΄πΊ β π·πΉ. Eksistensi titik G memberikan suatu βπ΄π΅πΊ (Gambar 2.24 )
A D
G
B C E F
Gambar 2.24 βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ dengan titik G pada π΄πΆ
Perhatikan βπ΄π΅πΊ dan βπ·πΈπΉ. Kedua segitiga tersebut memenuhi
π΄π΅ β π·πΈ, β π΄ β β π· dan π΄πΊ β π·πΉ.
Jadi, dari Teorema 2.1.10 diperoleh βπ΄π΅πΊ β βπ·πΈπΉ.
Dengan demikian β π΄π΅πΊ = β πΈ (1)
Dilain pihak diketahui β πΈ = β π΅ = β π΄π΅πΆ (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh β π΄π΅πΊ = β π΄π΅πΆ
Padahal β π΄π΅πΊ lebih kecil dari β π΄π΅πΆ karena G merupakan titik dalam dari
β π΄π΅πΆ.
Jadi suatu kontradiksi.
Berarti asumsi π΄πΆ β π·πΉ salah, seharusnya π΄πΆ = π·πΉ.
Dengan demikian βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ.
Teorema 2.1.12 dibuktikan untuk digunakan dalam pembuktian Teorema
2.1.13
Teorema 2.1.12
Misalkan βπ΄π΅πΆ sebarang segitiga.
(1).Jika β π΅ β β πΆ maka π΄π΅ β π΄πΆ
(2). Jika π΄π΅ β π΄πΆ maka β π΅ β β πΆ
Bukti
Perhatikan Gambar 2.25
A
B C
Gambar 2.25 βπ΄π΅πΆ
(1). Pada βπ΄π΅πΆ dan βπ΄πΆπ΅, β π΅ β β πΆ, π΅πΆ β πΆπ΅ dan β πΆ β β π΅
Menurut Teorema 2.1.11 βπ΄π΅πΆ β βπ΄πΆπ΅
(2). Pada βπ΄π΅πΆ dan βπ΄πΆπ΅, π΄π΅ β π΄πΆ, β π΄ β β π΄ dan π΄πΆ β π΄π΅
Menurut Teorema 2.1.10 βπ΄π΅πΆ β βπ΄πΆπ΅.
Teorema 2.1.13 SSS (Side Side Side) (Berele dan Goldman, 2001)
Diberikan βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ. Jika π΄π΅ β π·πΈ, π΅πΆ β πΈπΉ dan π΄πΆ β π·πΉ
maka βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ.
Bukti
Diketahui βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ dengan π΄π΅ β π·πΈ, π΅πΆ β πΈπΉ dan π΄πΆ β π·πΉ.
Pada Gambar 2.26 dikonstruksi suatu titik G
sehingga β πΊπ΅πΆ β β πΈ dan β πΊπΆπ΅ β β πΉ.
Menurut Teorema 2.1.10 βπΊπ΅πΆ β βπ·πΈπΉ.
Selanjutnya akan ditunjukkan βπΊπ΅πΆ β βπ΄π΅πΆ
Dikonstruksi πΊπ΄. Karena π΄π΅ β π·πΈ dan π·πΈ β πΊπ΅ maka π΄π΅ β πΊπ΅,
sehingga βπ΅π΄πΊ merupakan segitiga sama kaki.
Jadi dari Teorema 2.1.11 disimpulkan β π΅π΄πΊ β β π΅πΊπ΄.
A D
G
B C E F
Gambar 2.26
Karena β π΄ β β πΊ maka π΄πΆ β πΆπΊ
sehingga βπΆπ΄πΊ merupakan segitiga sama kaki dan β πΆπ΄πΊ β β πΆπΊπ΄.
Perhatikan bahwa
β π΅π΄πΊ > β πΆπ΄πΊ,
β πΆπ΄πΊ β β πΆπΊπ΄,
β πΆπΊπ΄ > β π΅πΊπ΄
β π΅πΊπ΄ β β π΅π΄πΊ
sehingga β π΅π΄πΊ > β BAG., hal ini tidak mungkin terjadi karena β π΅π΄πΊ β β π΅π΄πΊ
Jadi, G harus berimpit dengan A sehingga β πΊπ΅πΆ = β π΅ β β πΈ.
Akibatnya βπΊπ΅πΆ β βπ΄π΅πΆ.
Dengan demikian menurut Teorema 2.1.10
βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ
Pada geometri Euclid sifat AAA (Angle Angle Angle) tidak berlaku. Hal ini
dapat dijelaskan pada counter example berikut.
Diberikan dua segitiga yaitu βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ pada geometri Euclid
(Gambar 2.27) dengan β π΄ = β π·, β π΅ = β πΈ dan β πΆ = β πΉ.
F
C
A B D E
Gambar 2.27 βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ
Kedua segitiga tersebut mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama
besar. Perhatikan bahwa π΄π΅ β π·πΈ, π΄π΅ β π·πΈ dan π΅πΆ β πΈπΉ. Dari Definisi 2.1.9,
dua segitiga dikatakan kongruen jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
dan sisi-sisi yang bersesuaian panjangnya sama, berarti βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ tidak
kongruen meskipun sudut-sudut yang bersesuain besarnya sama. Jadi dengan
demikian sifat AAA (Angle Angle Angle) tidak berlaku pada geometri Euclid.
2.2 Geometri Riemann
Pada subbab ini akan dibahas tentang geometri Riemann yang keseluruhan
teorinya diambil dari Basic Concepts of Geometry, Walter P, Meyer. 1965.
Bernhard Riemann (1826-1866) dari Jerman dalam tahun 1854 membacakan
disertasinya tentang penemuannya yang baru di fakultas Filsafat Gottingen.
Postulat dari kesejajaran Riemann adalah tidak ada garis-garis yang sejajar dengan
garis lain. Pernyataan ini bertentangan dengan pernyataan Euclid tentang
kesejajaran. Pernyataan Euclid dapat dilihat dalam Teorema 2.2.1.
Teorema 2.2.1
Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis adalah sejajar.
Bukti
Diketahui dua garis β dan m tegak lurus pada n. Titik potong β dan m terhadap n
berturut-turut A dan B.
Andaikan β dan m tidak sejajar maka garis-garis itu akan berpotongan di P.
P
β m
n A B
Pβ
Gambar 2.28 Garis β dan m
Langkah Alasan
1). PA diperpanjang dengan APβ= PA 1).Suatu ruas garis boleh diperpanjang
2). ditulis PβP 2).Dua titik menentukan 1 garis
3). βπ΄π΅π β βπ΄π΅πβ² 3).Teorema SAS
4). β π΄π΅π = β π΄π΅πβ² 4).Unsur yang berkorespondensi
5).β π΄π΅πβ² = 90Β° = π΄π΅π hingga BP
dan BPβ berimpit
5).Melalui 1 titik pada suatu garis
hanya ada 1 garis yang tegak lurus
garis itu
6). l dan m berimpit 6).Dua titik menentukan 1 garis
Terdapat kontradiksi dengan ketentuan bahwa l dan m berlainan. Jadi pengandaian
salah, berarti l dan m sejajar.
Pada pembuktian Teorema 2.2.1, Euclid mengasumsikan bahwa setiap garis
memisahkan bidang menjadi dua sisi yang berhadapan. Jadi pada langkah pertama
telah dianggap bahwa P dan Pβ berlainan. Menurut Riemann, jika setiap garis
memisahkan bidang maka P dan Pβ harus merupakan titik yang berbeda. Jika dua
garis berpotongan pada dua titik maka ada dua teori yang mengasumsikan postulat
kesejajaran Riemann yaitu geometri Riemann tunggal dan geometri Riemann
ganda. Model dari geometri Riemann ganda dapat direpresentasikan pada model
bola dan model dari geometri Riemann tunggal ialah setengah bola.
Pada geometri Riemann ganda, titik A dan Aβ dianggap berbeda sehingga
garis pada bola membagi bola menjadi dua bagian.
Aβ
A
Gambar 2.29 Model geometri Riemann ganda
Pada geometri Riemann tunggal, titik A dan Aβ dianggap sama sehingga
tidak ada garis yang memisahkan bidang menjadi dua bagian.
Aβ
A
Gambar 2.30. Model geometri Riemann tunggal
Tabel 2.2 Penyajian geometri Riemann ganda pada bola Euclid
Geometri Riemann Ganda Representasi pada Euclid
Titik Titik pada bola
Garis Lingkaran besar
Bidang Bola
Ruas Garis Busur dari suatu lingkaran
Jarak antara dua titik Panjang busur terpendek dari
Lingkaran besar yang melalui
kedua titik itu
Sudut yang dibentuk oleh dua garis Sudut pada bola yang dibentuk
oleh dua lingkaran besar
Keterangan pada Tabel 2.2 dapat dilihat pada Gambar 2.31 sampai Gambar 2.36
P
Gambar 2.31 Titik P
L
M
Gambar. 2.32 Garis L dan garis M
B
Gambar 2.33 Bidang B
O
P
Gambar 2.34 Ruas garis OP
C
D
Gambar 2.35 Jarak antara titik C dan titik D
πΌ
Gambar 2.36 Sudut πΌ
Pada geometri Riemann, segitiga terbentuk dari tiga buah ruas garis yang
berpotongan. Seperti diperlihatkan pada Gambar 2.37
A B
C
Gambar. 2.37 Segitiga ABC
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Pembahasan pada bab III diawali dengan membahas definisi-definisi dan
teorema-teorema yang dipakai dalam pembuktian teorema kekongruenan segitiga
SSS (Side Side Side) dan AAA (Angle Angle Angle) pada geometri Riemann
Ganda.
3.1 Kekongruenan Dua Segitiga pada Geometri Riemann Ganda
Definisi 3.1.1 Definisi Kekongruenan Segitiga
Diberikan βπ΄π΅πΆ dan βπ΄β²π΅β²πΆβ² . Jika β π΄ = β π΄β² , β π΅ = β π΅β² ,β πΆ = β πΆβ² dan
π΄π΅ = π΄β²π΅β², π΄πΆ = π΄β²πΆβ² , π΅πΆ = π΅β²πΆβ² maka βπ΄π΅πΆ kongruen dengan βπ΄β²π΅β²πΆβ² .
Ditulis βπ΄π΅πΆ β βπ΄β²π΅β²πΆβ².
A Aβ
B C Bβ Cβ
Gambar. 3.1 βπ΄π΅πΆ kongruen dengan βπ΄β²π΅β²πΆβ²
Definisi 3.1.2 Segitiga Simetris pada Geometri Riemann Ganda
Diberikan βπ΄π΅πΆ dan βπ΄β²π΅β²πΆβ² dikatakan simetris jika sisi yang bersesuaian
pada βπ΄π΅πΆ dan βπ΄β²π΅β²πΆβ² sama panjang dan juga sudut yang bersesuaian sama
besar namun urutannya terbalik.
Aβ
Cβ Bβ
B C
A
Gambar 3.2 βπ΄π΅πΆ simetris dengan βπ΄β²π΅β²πΆβ²
Definisi 3.1.3 Sudut Dihedral (Berele dan Goldman, 2001)
Sudut dihedral merupakan sebuah sudut didalam ruang yang terbentuk oleh
bidang (π, β) dan bidang (π, β) yang memotong garis β. Bidang (π, β) dan
bidang π, β disebut permukaan sudut dan β sebagβai rusuk sudut dihedral.
β
(π, β)
C
A
B
(π, β)
Gambar. 3.3 Sudut dihedral
Perhatikan Gambar 3.3 . Misalkan A merupakan suatu titik pada β pada
suatu sudut dihedral. Buat B pada suatu permukaan sehingga π΄π΅ β₯ β dan buat C
pada permukaan lain sehingga π΄πΆ β₯ β. Jadi (π΄, π΅, πΆ) tegak lurus terhadap β dan
β π΅π΄πΆ disebut suatu sudut bidang pada sudut dihedral.
Definisi 3.1.4 Sudut Dihedral Kongruen (Berele dan Goldman, 2001)
Dua sudut dihedral disebut kongruen jika keduanya mempunyai ukuran yang
sama.
Definisi 3.1.5 Sudut Trihedral (Berele dan Goldman, 2001)
Sudut trihedral adalah sudut yang terbentuk jika sisi dari tiga bagian bidang
bersekutu disatu titik persekutuan yang disebut vertex A.
Gambar 3.4 merupakan sudut trihedral β π΄π΅1π΅2π΅3 yang meliputi vertex A,
rusuk π΄π΅1 , π΄π΅2, π΄π΅3
. Ketiga sudut β π΅1π΄ π΅2, β π΅2π΄ π΅3 dan β π΅3π΄ π΅1 disebut
sudut permukaan.
A
π΅3
π΅1 π΅2
Gambar 3.4 Sudut trihedral
Teorema 3.1.6 (Berele dan Goldman, 2001)
Diberikan dua sudut trihedral β π΄π΅1π΅2π΅3 dan β π΄β²π΅1β² π΅2β²π΅3β², sudut dihedral
π΄π΅1 kongruen dengan sudut dihedral π΄β²π΅1β² . Jika β π΅1π΄ π΅2 β β π΅1β²π΄β² π΅2β² dan
β π΅1π΄ π΅3 β β π΅1β²π΄β² π΅β²3β² maka dua sudut trihedral kongruen atau simetris.
Bukti
Untuk menunjukkan bahwa dua sudut trihedral kongruen atau simetris cukup
menunjukkan bahwa β π΅2π΄ π΅3 β β π΅2β² π΄β²π΅3β².
A
π΅3
π΅1
π΅2
(a)
π΄β²
π΅3β²
π΅1β²
π΅2β²
(b)
π΄β²
π΅3β²
π΅2β² π΅1β²
(c)
Gambar 3.5 Sudut trihedral kongruen (a), (b) dan simetris (a), (c).
Perhatikan Gambar 3.5. Pilih π΅1,, π΅1β² sehingga π΄π΅1 β π΄β²π΅1β²
dan dipilih π΅2,π΅3, π΅2β² ,π΅3β²sehingga π΅2
π΅1 dan π΅3
π΅1 tegak lurus terhadap π΄π΅1
dan
π΅2β² π΅1β² , π΅3β² π΅1β² tegak lurus terhadap π΄β²π΅1β²
sehingga βπ΄ π΅1π΅2 β βπ΄ β²π΅1β²π΅2β² dan βπ΄ π΅1π΅3 β βπ΄ β²π΅1β²π΅3β²
Oleh karena itu π΅1π΅2 β π΅1β²π΅2β² dan π΅1π΅3
β π΅1β²π΅3β² .
Menurut Definisi 3.1.4 β π΅2π΅1 π΅3 β β π΅2β²π΅1 β²π΅3 β²
Oleh karena itu βπ΅2π΅1π΅3 β βπ΅2β²π΅1β²π΅3β²
karena βπ΅1π΅2π΅3 β β π΅1β²π΅2β²π΅3β² maka π΅2π΅3 β π΅2β²π΅3
β² ,
dan karena βπ΄ π΅1π΅3 β βπ΄ β²π΅1β²π΅3β² maka π΄π΅2 β π΄β²π΅2β²
Jadi βπ΄ π΅2π΅3 β βπ΄ β²π΅2β²π΅3β² sehingga β π΅2π΄ π΅3 β β π΅2β² π΄β²π΅3β²
karena sudut permukaan β π΅1π΄ π΅2 β β π΅1β² π΄β²π΅2β² β π΅1π΄ π΅3 β β π΅1β²π΄β² π΅3β² dan
β π΅2π΄ π΅3 β β π΅2β² π΄β²π΅3β² maka sudut trihedral β π΄π΅1π΅2π΅3 kongruen
dengan β π΄β²π΅1β² π΅2β²π΅3β² (Gambar 3.5 (a), (b)) atau β π΄π΅1π΅2π΅3 simetris dengan
β π΄β²π΅1β² π΅2β²π΅3β² (Gambar 3.5(a), (c)).
Definisi 3.1.7 Kutub (Moeharti, 1986)
Diberikan suatu titik K dan sebuah garis β pada bola. K disebut kutub dari β jika
jarak antara K pada setiap titik di β sama dan setiap ruas garis yang
menghubungkan K dengan suatu titik pada β tegak lurus pada β. Jarak K sampai
garis β disebut jarak polar.
K
β
Gambar 3.6 Kutub K
Teorema 3.1.8 (Berele dan Goldman, 2001)
Misalkan β π΄ππ΅ adalah sudut bola dan C merupakan lingkaran besar yang
mempunyai kutub P. Busur ππ΄ dan ππ΅ diperpanjang sehingga memotong C di π΄β²
dan π΅β² maka β π΄ππ΅ = π΄β²π΅β².
Bukti
Diketahui P merupakan kutub dari C dan Q merupakan antipodal dari P dan O
adalah pusat bola.Andaikan lingkaran besar tegak terhadap P dan A memotong C
di π΄β² dan lingkaran besar tegak terhadap P dan B memotong C di Bβ.π΄β²dan π΅β²
dihubungkan dengan pusat bola O (Gambar 3.7).
P
C A B
O
Bβ
Aβ
Q
Gambar 3.7 β π΄ππ΅ = π΄β²π΅β²
Oleh karena itu ππ tegak lurus terhadap C di O. ππ β₯ ππ΄β² dan ππ β₯ ππ΅β².
Akibatnya membentuk β π΄β²ππ΅β² yang merupakan sudut bidang dari sudut dihedral
yang tegak terhadap sudut bola β π΄ππ΅.
Karena suatu sudut dihedral diukur dari sembarang sudut bidang dan β π΄ππ΅β²
adalah sudut pusat dari π΄β²π΅β² maka β π΄ππ΅ = π΄β²π΅β² .
Teorema 3.1.9 (Berele dan Goldman, 2001)
Jarak antara kutub pada setiap titik dari lingkaran besar adalah 90Β°.
Bukti
Misalkan O merupakan titik pusat bola. Dibuat titik A dan B pada lingkaran besar
dengan P dan Q merupakan kutub dari lingkaran besar. Dari Definisi 3.1.5,ππ
tegak lurus terhadap lingkaran besar melalui pusat O seperti pada Gambar 3.8
P
O
A B
Q
Gambar 3.8 P dan Q kutub dari A dan B
Karena ππ΄ dan ππ΅ merupakan jari-jari maka β πππ΄ = β πππ΅ = 90Β°.
Jadi ditulis ππ΄ = ππ΅ = 90Β° .
Jadi jarak P kesetiap titik pada lingkaran besar adalah 90Β°.
Definisi 3.1.10 Segitiga Polar (Berele dan Goldman, 2001)
Diberikan βπ΄π΅πΆ pada bola, segitiga polar dari βπ΄π΅πΆ adalah βπ΄β²π΅β²πΆβ² jika A
merupakan kutub dari π΅β²πΆβ², B merupakan kutub dari π΄β²πΆβ² dan C merupakan kutub
dari π΄β²π΅β².
Aβ Cβ
A C
B
Bβ
Gambar 3.9 Segitiga Polar
Teorema 3.1.11 (Berele dan Goldman, 2001)
Jika βπ΄β²π΅β²πΆβ² merupakan segitiga polar dari βπ΄π΅πΆ maka βπ΄π΅πΆ merupakan
segitiga polar dari βπ΄β²π΅β²πΆβ².
Bukti
Akan ditunjukkan bahwa π΄β² merupakan kutub dari π΅πΆ, π΅β² merupakan kutub dari
π΄πΆ dan πΆβ² merupakan kutub dari π΄π΅.
Menurut Definisi 3.1.10, π΅ merupakan kutub dari π΄β²πΆβ² dan menurut Teorema
3.1.9 jarak polar π΄β² ke π΅ adalah 90Β°, πΆ merupakan kutub dari π΄β²π΅β² sehingga jarak
polar πΆ ke π΄β² adalah 90Β° (Gambar 3.10)
π΄β² πΆβ²
π΄β² πΆβ²
π΅β²
π΅β²
Gambar 3.10 βπ΄β²π΅β²πΆβ² segitiga polar dari βπ΄π΅πΆ
π΄β²
π
π΅ πΆ
π
Gambar 3.11 π΄β² kutub dari π΅πΆ
Pada Gambar 3.11 dikonstruksi π΄β²π, ππ΅, ππΆ dan sudut β π΄β²ππ΅ = β π΄β²ππΆ =
90Β°. Jadi π΄β²π tegak lurus terhadap lingkaran besar yang memuat π΅πΆ di π
sehingga π΄β² berada di bola dengan π΄β² merupakan titik sumbu. Oleh karena itu π΄β²
merupakan kutub dari π΅πΆ. Dengan cara yang sama, diperoleh π΅β² merupakan
kutub dari π΄πΆ dan πΆβ² merupakan kutub dari π΄π΅.
Teorema 3.1.12 Sisi Sisi Sisi (Berele dan Goldman, 2001)
Diberikanβπ΄π΅πΆ dan βπ΄β²π΅β²πΆβ². Jika π΄π΅ = π΄β²π΅β², π΅πΆ = π΅β²πΆβ² dan π΄πΆ = π΄β²πΆβ²
maka βπ΄π΅πΆ kongruen atau simetris dengan βπ΄β²π΅β²πΆβ². Dua segitiga disebut
kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian urutannya sama dan disebut simetris jika
sisi-sisi yang bersesuaian urutannya terbalik
Bukti
Diketahui βπ΄π΅πΆ dan βπ΄β²π΅β²πΆβ² dengan π΄π΅ = π΄β²π΅, π΅πΆ = π΅β²πΆβ² dan π΄πΆ = π΄β²πΆβ² .
Misalkan titik O adalah titik pusat bola yang memuat βπ΄π΅πΆ dan βπ΄β²π΅β²πΆ
(Gambar 3.12a dan 3.12b ) maka dapat dibuat garis ππ΄, ππ΅, ππΆ, ππ΄β² , ππ΅β² , ππΆβ².
A O Aβ O
B Bβ
C Cβ
Gambar 3.12a β ππ΄π΅πΆ kongruen dengan β ππ΄β²π΅β²πΆβ²
Aβ O O π΄β²
Bβ Bβ
Cβ πΆβ²
Gambar 3.12b β ππ΄π΅πΆ simetris dengan β ππ΄β²π΅β²πΆβ²
karena π΄π΅ = π΄β²π΅, π΅πΆ = π΅β²πΆβ² dan π΄πΆ = π΄β²πΆβ²
maka sudut permukaan β π΄ππ΅ = β π΄β²ππ΅β² , β π΅ππΆ = β π΅β²ππΆβ²
dan β π΄ππΆ = β π΄β²ππΆβ²
karena sudut permukaan sama maka dari Teorema 3.1.6
sudut trihedral β ππ΄π΅πΆ kongruen dengan β ππ΄β²π΅β²πΆβ² atau β ππ΄π΅πΆ simetris
dengan β ππ΄β²π΅β²πΆ.
Hal ini berarti hubungan antara segitiga adalah kongruen seperti pada Gambar
3.12a atau simetris seperti pada Gambar 3.12b
Teorema 3.1.13 Sudut Sudut Sudut (Berele dan Goldman, 2001)
Diberikan βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ dengan β π΄ = β π·, β π΅ = β πΈ dan β πΆ = β πΉ maka
βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ. Dua segitiga disebut kongruen jika sudut-sudut yang
bersesuaian urutannya sama dan disebut simetris jika sudut-sudut yang
bersesuaian urutannya terbalik.
Bukti
Diberikan βπ΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ. Misalkan βπ΄β²π΅β²πΆβ² adalah segitiga polar dari
βπ΄π΅πΆ dan βπ·β²πΈβ²πΉβ² adalah segitiga polar dari βπ·πΈπΉ.
Akan ditunjukkan βπ΄β²π΅β²πΆβ² β βπ·β²πΈβ²πΉβ² dan βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ
C F
Cβ Fβ
Aβ Bβ Dβ Eβ
A B D E
Gambar 3.13a βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ
C F
Cβ Fβ
Aβ Bβ Eβ Dβ
A B E D
Gambar 3.13b βπ΄π΅πΆ simetris dengan βπ·πΈπΉ
Pada Gambar 3.13a dan Gambar 3.13b, β π΄ merupakan supplement dari π΅β²πΆβ² dan
β π· merupakan supplement dari πΈβ²πΉβ² . Karena diketahui β π΄ = β π·
maka π΅β²πΆβ² = πΈβ²πΉβ² .
Supplement dari π΄β²πΆβ² adalah β π΅ dan supplement dari π·β²πΉβ² adalah β πΈ . Karena
β π΅ = β πΈ maka π΄β²πΆβ² = π·β²πΉβ² .
Supplement dari π΄β²π΅β² adalah β πΆ dan supplement dari π·β²πΈβ² adalah β πΉ . Karena
diketahui β πΆ = β πΉ maka π΄β²π΅β² = π·β²πΈβ² .
Jadi menurut Teorema 3.1.12, βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ
Selanjutnya, β π΄ β² merupakan supplement dari π΅πΆ dan β π·β² merupakan
supplement dari πΈπΉ . Karena β π΄β² = β π·β² maka π΅πΆ = πΈπΉ.
Supplement dari π΄πΆ adalah β π΅β² dan supplement dari π·πΉ adalah β πΈβ² . Karena
β π΅β² = β πΈβ² maka π΄πΆ = π·πΉ.
Supplement dari π΄π΅ adalah β πΆβ² dan supplement dari π·πΈ adalah β πΉβ² . Karena
β πΆβ² = β πΉβ² maka π΄π΅ = π·πΈ.
Sehingga dari Teorema 3.1.12, terbukti bahwa βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ
Pada geometri Riemann ganda, teorema kekongruenan segitiga SSS (Side
Side Side ) dan AAA (Angle Angle Angle) telah dibuktikan berturut-turut pada
Teorema 3.1.12 dan Teorema 3.1.13 sehingga untuk membuktikan kekongruenan
dua segitiga dapat menggunakan kedua teorema tersebut.
IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Dari hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa kekongruenan dua segitiga
pada geometri Riemann dapat dibuktikan dengan Teorema AAA (Angle Angle
Angle) dan Teorema SSS (Side Side Side).
4.2 Saran
Hal yang belum dilakukan dalam penelitian ini sekaligus yang menjadi
saran untuk penelitian lanjutan adalah
1. Menyelidiki eksistensi teorema kekongruenan SSA ( Side Side Angle)
pada geometri Euclid.
2. Membuktikan dua teorema kekongruenan dua segitiga pada geometri
Riemann yaitu Teorema ASA (Angle Side Angle) dan Teorema SAS
( Side Angle Side).
DAFTAR PUSTAKA
Berele A dan Goldman. J. 2001. Geometry Theorems and Constructions.
Prentice Inc. New Jersey.
Gareth Lilian. Elemen dan Garis. http://www Pdfgemi. Com/Elemen + Garis-
Blokbinadarma.ac.id (20 Maret 2012).
Moeharti. 1986. Sistem-sistem Geometri. Universitas Terbuka. Jogjakarta.
Rich Barnet 2002. Geometri. Erlangga. Jakarta.
Walter P, Meyer. 1965. Basic Concepts of Geometry. Xerox College Publishing.
Lexington Massachusetts, Toronto.