Slide 1

Geometri dan Analisa Geometri 2 Dimensi

Oleh :Kelompok 3Lingga Rahmad 110401020Abdul Kahar Sinaga110401022Peter Sumarwan 110401034DEPARTEMEN TEKNIK MESINFAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS SUMATERA UTARA2014

1

GEOMETRI DAN ANALITIK GEOMETRIGEOMETRI Geometri adalah ilmu tentang bangun bangun yang ada hubugannya antara titik, garis dan bidang. Atau juga persoalan mengenai ukuran, bentuk, dan kedudukan serta sifat ruang. Seperti halnya garis, garis adalah kumpulan titik yang banyak tak berujung dan tak berhingga.Macam-macam garis :Kedua garis saling bersilang.Garis yang terletak pada bidang lain atau beda bidang sehinga tampak berpotongan pada hal tidak .

Kedua garis sejajar Garis yang berjarak sama dan ujung ujung nya tidak akan bertemu bertemu.

Kedua garis saling berhimpit

Kedua garis saling berpotonganGaris yang berpotongan dan membentuk sudut 90 derajat atau siku siku

Geometri terbagi atas beberapa macam antara lain : segitiga, persegi panjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang, trapesium dan lingkaran.Geometri ini mempunyai sifat-sifat, rumus keliling dan luas. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya. Contohnya antara lain : Menghitung Volume Kubus

Jadi, volume kubus besar adalah 27 satuan

Menentukan panjang, lebar dan tinggi serta volume balok.

Panjang balok adalah 3 satuanLebar balok adalah 1 satuanTinggi Balok adalah 1 satuanVolume balok = panjang x lebar x tinggi = 3 x 1 x 1 = 3 satuan

Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas. Masalah-masalah geometri akan diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik). Sebagai contoh, panjang suatu segmen garis atau sudut antara dua garis. Jika garis dan titik secara geometrik diketahui, maka bilangan yang menyatakan panjang atau besar sudut antara dua garis pada hakekatnya hanyalah nilai pendekatan dari suatu pengukuran.

ANALITIK GEOMETRI

GARIS BILANGANPersekutuan antara aljabar dan geometri adalah membuat pengaitan antara bilangan dalam aljabar dengan titik dalam geometri. Misalkan kita perhatikan pengaitan bilangan dengan titik pada sebuah garis yang tidak terbatas pada kedua arahnya. Pertama-tama, kita pilih pasangan titik O dan P pada garis seperti terlihat pada gambar 1.1 : . . . .

Gambar 1.1 O P -2 0 1 3

berjarak 2 Panjang SatuanBerjarak 3

Titik O disebut pusat, yaitu dikaitkan dengan bilangan nol, dan titik P yang terletak di sebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan satuan. Dengan menggunakan OP sebagai panjang satuan, kita kaitkan bilangan-bilangan lain dengan semua titik pada garis dengan cara berikut; TitikQ yang terletak satu sisi dengan P terhadap titik pusatO dikaitkan dengan bilangan positif x jika dan hanya jika jarak dari titik pusat adalahx, yaitu OQ = x OP . Titik R yang terletak berlawanan sisi dari titik pusat dikaitkan dengan bilangan negatif x jika dan hanya jika jarak dari titik pusat adalah x. GARIS BILANGAN

KOORDINAT CARTESIUSTitik-titik pada sebuah garis (pada ruang dimensi satu) dinyatakan dengan bilangan tunggal. Sedangkan titik-titik pada sebuah bidang (ruang dimensi dua) dapat dinyatakan dengan pasangan suatu bilangan. Lebih lanjut untuk titik-titik di ruang dimensi tiga dapat dinyatakan dengan tripel suatu bilangan. Untuk merepresentasikan titik pada sebuah bidang dengan pasangan bilangan, kita tentukan dua garis bilangan bersilangan OX dan OY, dan tentukan skala pada masing-masing garis, seperti pada gambar 1.2. Titik potong kedua garis itu digunakan sebagai titik pusat. Bilangan positif ditempatkan pada sebelah kanan titik O garis mendatar OX dan sebelah atas titik O garis ke vertikal OY. Sedangkan bilangan negatif ditempatkan pada sebelah kiri titik O garis mendatar OX dan sebelah bawah titik O garis ke vertikal OY. Biasanya arah positif ditandai dengan tanda panah pada garis bilangan. Garis OX disebut sumbu-x dan garis OY disebut sumbu-y. Dua garis yang bersilangan itu disebut sumbu koordinat.

Y

Py P (a,b)

a

X b Px Gambar 1.2

Misalkan diberikan sebuah titik P pada bidang yang diberi sumbu koordinat, maka terdapat korespondensi dengan titik Px pada sumbu x. Ini adalah titik potong antara sumbu x dengan garis yang sejajar sumbu y yang memuat titik P (jika P berada pada sumbu y maka garis ini berimpit dengan sumbu y). Dengan cara yang sama terdapat titik Py pada sumbu y, yang merupakan titik potong sumbu y dengan garis yang melalui titik P dan sejajar (atau sama) dengan sumbu x. Koordinat kedua titik pada sumbu disebut koordinat titik P. Jika a adalah koordinat Px pada sumbu-x dan b adalah koordinat Py pada sumbu-y maka P direpresentasikan dengan (a, b) atau P(a, b). Dalam contoh ini, a disebut koordinat x, atau absis dari P, dan b disebut koordinat y, atau ordinat dari P. Pada saat sebuah titik tertentu diberikan, meskipun nilai numerik dari komponen koordinatnya tidak diketahui, maka koordinat itu biasanya dinyatakan dengan notasi x dan y yang berindeks atau dengan huruf-huruf awal dari alpabet. Sebagai contoh P1(x1,y1) atau P(a, b).

Pada bidang koordinat, biasanya disepakati aturan sebagai berikut:(1) Sumbu-sumbu koordinat diambil yang tegak lurus satu sama lain;(2) Sumbu x adalah garis mendatar (horisontal) dengan koordinat positif arah kanan dari titik pusat, dan sumbu y adalah garis vertikal dengan koordinat positif ke arah atas dari titik pusat koordinat;(3) Digunakan skala yang sama pada kedua sumbu koordinat.

Kesepakatan ini tentu saja, tidak harus diikuti semuanya jika ada pilihan yang lebih menguntungkan. Kita harus sering meninjau kesepakatan ketiga yaitu apabila akan menentukan gambar akan sangat sulit membuat sketsa grafik jika kita tetap menggunakan skala yang sama pada kedua sumbu. Pada kasus seperti ini, kita harus merasa bebas menggunakan skala yang berbeda, mengingat penyimpangan gambar yang terjadi dalam proses. Kecualitetap memegang kesepakatan atau dinyatakan dalam keadaan tertentu, atau jelas dinyatakan dalam konteks, biasanya kita selalu mengikuti dua kesepakatan pertama.

Sumbu-sumbu koordinat memisahkan bidang ke dalam empat daerah, yang disebut kuadran. Biasanya kuadran diidentifikasi dengan angka romawi sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 1.3. Titik-titik pada sumbu-sumbu koordinat tidak masuk pada sembarang kuadran. Urutan tanda dari absis dan ordinat (x, y) ditunjukkan dalam gambar 1.3.

Kuadran II Kuadran I ( , +) (+ , +)

Kuadran III Kuadran IV ( , )( + , )

Gambar 1.3

13

Dalam sistem koordinat tegaklurus setiap pasangan berurutan dari bilangan real dinyatakan dengan satu dan hanya satu titik pada bidang koordinat, dan setiap titik pada bidang koordinat berkorespondensi satu dan hanya satu pasangan berurutan dari bilangan real. Koordinat titik-titik yang ditentukan dengan cara ini, seringkali dikenal sebagai koordinat Cartesius. Satu hal yang perlu dicatat adalah dua garis sumbu koordinat tidak perlu harus berpotongan secara tegak lurus. Namun demikian jika kedua sumbu berpotongan miring, hasil-hasil secara aljabar menjadi lebih rumit.

Contoh Soal

SELESAI

ANALISIS FOURIERPENDAHULUANGerak gelombang merupakan salah satu gejala fisis yang paling penting dan paling umum dijumpai dalam dunia alami. Segala sesutau yang terlihat dan terdengar, tidak ada yang terlepas dari peranan penjalaran gelombang elastic ataupun gelombang elektro magnet. Tidak hanya terbatas pada peranana alami tersebut, gejala gelombang kini telah dimanfaatkan dalam sistem penginderaan, sistem komunikasi dan sistem informasi. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menganalisis bentuk gelombang yaitu menggunakan cara Analisis Fourier. Konsep utama algoritma analisis fourier adalah mengubah sinyal yang berbasis waktu menjadi berbasis frekuensi dengan membagi masalah menjadi beberapa masalah yang lebih kecil. Frekuensi sendiri terdiri dari sinyal sinyal yang dikarakteristikan oleh suatu variasi amplitudo dengan waktu dari beberapa kuantitas fisik.

Gelombang sinus atau sinusoid adalah fungsi matematika yang berbentuk osilasi halus berulang. Fungsi ini sering muncul dalam ilmu matematika, fisika, pengolahan sinyal, dan teknik listrik, dan berbagai bidang lain. Bentuk paling sederhana dari fungsi ini terhadap waktu )t) adalah:

Grafik fungsi sinus dan kosinus berbentuk sinusoid dengan fase yang berbedadimana:A, amplitudo, adalah puncak simpangan fungsi dari posisi tengahnya,, frekuensi sudut, menunjukkan berapa banyak gerak bolak-balik yang terjadi dalam satu satuan waktu, dalam radian per detik,, fase, menunjukkan dimana posisi awal gerakan ketika t=0, Jika fase tidak bernilai nol, seluruh gelombang akan nampak bergeser menurut sumbu X (sumbu waktu) sebesar / detik. Nilai negatif pada fase menunjukkan jeda, sedang nilai positif menunjukkan gelombang "berangkat lebih awal".Gelombang ini merupakan satu-satunya fungsi periodik yang memiliki sifat ini. Sifat ini menjadikan gelombang ini bagian penting dalam Analisis Fourier.

Analisis Fourier adalah proses matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah bentuk gelombang kompleks dengan menguraikan gelombang itu menjadi komponen sinusoidanya. Setiap bentuk gelombang yang kompleks dapat diperlihatkan terjadi dari sejumlah gelombang sinus murni terdiri dari suatu gelombang sinus dasar ditambah harmonik-harmonik khusus gelombang itu.

Secara umum, fungsi ini dapat memiliki:dimensi ruang, x (posisi), dengan frekuensi k (juga disebut nomor gelombang)titik tengah amplitudo tidak bernilai nol, D (disebut bias DC)dengan rumus:

Nomor gelombang bergantung pada frekuensi sudut dengan rumus:

dimana adalah panjang gelombang, f adalah frekuensi, dan c adalah kecepatan fasePersamaan ini menggambarkan gelombang sinus dalam satu dimensi, yaitu persamaan di atas menggambarkan amplitudo gelombang pada posisi x ketika waktu t dalam satu garis saja. Contohnya gelombang pada seutas tali yang digoyang-goyangkan

Gelombang ini sering muncul sehari-hari, misalnya gelombang laut, gelombang suara, dan gelombang cahaya.Gelombang kosinus merupakan gelombang "sinusoid" karena gelombang kosinus sama seperti gelombang sinus dengan pergeseran fase sebesar n/2. Oleh karena gelombang ini fasenya lebih maju, sering pula dikatakan fungsi kosinus mendahului gelombang sinus, atau gelombang sinus terlambat dari kosinus[3].Telinga manusia dapat menangkap gelombang sinus dari udara sebagai suara yang jernih karena hanya memiliki frekuensi tunggal tanpa harmonik; beberapa suara yang mendekati gelombang sinus sempurna adalah siulan, gelas kristal yang dibunyikan dengan menggesekkan ujung jari pada bibir gelas, dan suara yang dihasilkan garpu tala[4].Gelombang suara yang terdiri dari beberapa sinyal sinus akan tertangkap telinga sebagai bunyi "berisik" atau memiliki harmonik tertentu; dikatakan suara tersebut memiliki "warna" (timbre).

Gelombang kosinus dalam hubungannya dengan lingkaran.