1

Key word

1. Sebutkan 3 hukum penjumlahan prob?

2. Apa pengertian mutual ekslusif:3. Sebutkan proses dalam prob?4. Prob dinyatakan dalam anggka

pecahan berapa? Jelaskan5. Hukum perkalian digunakn untuk?6. 3 konsep dasar perhitungan prob?

2

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRETDISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET

3

OUTLINE

BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan

Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

Konsep-konsep Dasar Probabilitas

Distribusi Probabilitas Diskret

Distribusi Normal

Teori Keputusan

Pengertian Distribusi Probabilitas

Distribusi Probabilitas Binomial

Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

Distribusi Probabilitas Poisson

4

Definisi:

• Distribusi probabilitas adalah sebuah susunan distribusi yang mempermudah mengetahui probabilitas sebuah peristiwa.

• Merupakan hasil dari setiap peluang peristiwa.• Distribusi pro:sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu

percobaan kejadian yang disertai dengan prob masing-masing event

Contoh Kasus:Ada 3 investor yang akan membangun perkebunan

kelapa sawit di jambi. Jumlah lokasi di kab muara jambi ada 2 yaitu mendalo dan sengeti. Ketiga investor tersebut bebas memilih lokasinya, di mendalo atau disengeti semua, atau di sengeti DAN mendalo. Berapa kemungkinan dari pilihan ketiga investor tersebut?.

PENDAHULUAN

5

Contoh probabilitas INVESTOR JUMLAH

Lokasi Sengeti

1 Kumpeh ulu Kumpeh ulu Kumpeh ulu 0

2 Kumpeh ulu Kumpeh ulu Sengeti 1

3 Kumpeh ulu Sengeti Kumpeh ulu 1

4 Kumpeh ulu Sengeti Sengeti 2

5 Sengeti Kumpeh ulu Kumpeh ulu 1

6 Sengeti Kumpeh ulu Sengeti 2

7 Sengeti Sengeti Kumpeh ulu 2

8 Sengeti Sengeti sengeti 3

Dari perhitungan prob ada 8 kemungkinan tersebut, dapatDisusun distribusi probabilitasnya.

6

Perhitungan probabilitas 3 lokasi

JUMLAH Lokasi

Sengeti di pilih

investor

Jumlah frekuensi

Total kemungkinan

Distribusi proba hasil (Pr)

0 1 8 1/8 0.125

1 3 8 3/8 0.375

2 3 8 3/8 0.375

3 1 8 1/8 0.125

Jumlah total distribusi 1.000

Dari perhitungan prob ada 8 kemungkinan tersebut, dapatDisusun distribusi probabilitasnya.

7

Grafik poligon

0,125

0,375 0,375

0,125

00,10,20,30,4

0 1 2 3

jumlah pilihan lokasi

Grafik Distribusi Prob Pilihan Investor

LokasiSengeti

8

VARIABEL ACAK (RANDOM)

Variabel acak Sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi acak atau untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda (Bilagan Real)

Variabel acak diskret Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai tertentu dalam suatu interval.(nilainya bilangan bulat dari perhitungan)

Variabel acak kontinue Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai yang menempati seluruh titik dalam suatu interval (hasil pengukuran)

9

Fungsi Prob Var RandomJika X suatu var Random, maka fungsi Prob dari

X =p(x) jika X Diskrit, atau f(x) jika x Kontinu, yaitu fungsi yang memenuhi syarat berikut:

1. p(x) ≥0 , x diskrit f(x) ≥0 , x kontinu2. ∑ p(x) = 1 , x diskrit ∫ f(x)dx = 1 , x kontinu

Fungsi distribusi:F (x) = P (X ≤x= ∑ p(x) , x diskritF (x) = P (X ≤x)=∫ f(x) dx , x kontinu

10

Contoh

Pada pertandingan sepak bola, jumlah gol yang di cetak adalah variabel random diskrit.Sedangkan waktu yang diperlukan untuk mencetak gol adalah variabel random continue.

11

VARIABEL ACAK DISKRIT DALAM SEBUAH TABEL DISTRIBUSI PROB

JUMLAH PELUANG SELALU SAMA DENGAN SATU, MAKA VAR DISKRIT SUDAHA TERBENTUK. SEHINGGA VAR ACAK DISKRIT MENENTUKAN DIST PROB APABILA: NILAI X= x1, x2...xn TERDAPAT PELUANG P(xi)=P(X=xi) SEHINGGA:

Rumus 1: peluang diskritn∑ P( xi ) = 1Xi

P(x)= Fungsi Prob Untk Var X acak pada harga X=x

12

Expectasi sebuah variabel acak diskrit

Rumus 2: ekspektasi var diskrit acakε (X) = ∑xi . p(xi)Contoh: Pengamatan terhadap banyak

kendaraan yang melalui tikungan setiap menit.

Banyak kendaraan

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Prob 0,01 0,05 0,10 0,28 0,22 0,18 0,08 0,05 0,03

Prob dalam 1 menit paling sedikit ada 3 kendaraan yang lewat= 1-(0,01+0,05+0,10=0,84.Dengan rumus 2 di peroleh bahwa rata-rata tiap menit kendaraanLewat sebanyak: (0)(0,01)+(2)(0.05)+....(8)(0.03)= 3,94 /100 menit

13

RATA-RATA HITUNG, VARIANS DAN STANDAR DEVIASI

• Varians

• Rata-rata Hitung

• Standar Deviasi

= E(X) = (X.P(X))

2= (X - )2 .P(X)

= 2

14

RATA-RATA HITUNG, VARIANS DAN STANDAR DEVIASI

X P(X) X.P(X) X- (X- )2 (X- )2P(X)

0 0,125 0,000 -1,50 2,25 0,28

1 0,375 0,375 -0,50 0,25 0,09

2 0,375 0,750 0,50 0,25 0,09

3 0,125 0,375 1,50 2,25 0,28

= 1,500   2 = 0,75

 

Standar deviasi = = 2 =0,75 = 0,87 (penyimpangan dari nilai tengahnya)

15

OUTLINE

BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan

Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

Distribusi Probabilitas Diskret

Pengertian Distribusi Probabilitas

Distribusi Probabilitas Binomial

Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

Distribusi Probabilitas Poisson

16

DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL

Ciri-ciri Percobaan Bernouli:

• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan;

(b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.

• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1.

• Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.

• Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.• Prinsip pengembalian.

17

PERCOBAAN BERNOULLIBernouli: p(x) = P(X=x)=(N

n) Лx (1-Л)N-x

x= 0,1,2...N, 0 < Л < 1,

Binomial: (NX) ) = N! / x! (N – x )!

Dengan N! = 1 x 2 x 3 x... x(N-1) x N dan 0 ! = 1

Parameter Binomial menggunakan:Rata-rata µ dan simpangan baku σ rumus: µ = NЛ

σ =√NЛ (1- Л)

18

DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL

Rumus distribusi probabilitas binomial:

P (r) = [ n! / r! (n – r ) !] pr q(n-r)

P(r) : nil prob binomial

P : prob sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan

R : banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan

percobaan

n : jumlah total percobaan

q : prob gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1 – p

! : faktorial

19

CONTOH DISTRIBUSI BINOMIAL

PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90% diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero. Berapa peluang 15, dan 13 buah diterima?

Jawab:n = 15 p=0,9 r=15 q=0,1

P (r) = [n!/ r!(n-r)!] Prq(n-r)P(15) = [15!/ 15!(15-15)!] 0,915 0,115-15

P(15) = [15!/15! (0)!]0,915 0,10

P(15) = 1 X 0,206 X 1P(15) =0,206

Untuk mencari nilai distribusi binomial dapat menggunakan tabel distribusi binomial dengan n=15; dimana X =15, dan X = 13 dengan P(p)= 0,9 dan dapat diperoleh nilai ...?

20

Distr Prob Binomial KumulatifHasil Penelitian atau peristiwa yang tidak

tunggal /kumulatif maka diperlukan adanya tabel distribusi prob binomial kumulatif

Contoh:Berapa prob tepat 5 buah semangka tidak

pecah dan berapa prob 5 semangka atau kurang tidak pecah dari 6 buah semangka yang ada dalam box pengiriman.

Prob tidak pecah (p)=0,95 dan prob pecah (q) = 1-p =1-0,95 =0,05.

21

Jawaban1. Prob tepat 5 semangka tidak pecahP(5) = [6!/5!(6-1)!] 0,95 5.0,05(6-5)=0.232

2. Prob 5 atau kurang semangka tidak pecah

P(r≤5|n = 6.p = (0,95)=P(r=0)+P(r=1) +...P(r=5) = 0.000

+0.000+0.000+0.002=0.031+0.232 = 0.265

22

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

• Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap atau konstan atau antar-kejadian saling lepas.

• Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering terjadi tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan.

• Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi Hipergeometrik.

• Percobaan tanpa pengembalian pada populasi terbatas dan jumlah sampel tehadap populasi lebih dari 5%.

23

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Rumus nilai Distribusi Hipergeometrik:P(r) = [(sCr) x (N-s C n-r)] / NCn

s = jumlah sukses dalam Nr = jumlah sukses yang menjadi obyek penelitian/perhatian

24

CONTOH DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Ada 33 perusahaan di BEJ akan memberikan deviden dan 20 di antaranya akan membagikan dividen di atas 100/lembar. Bapepam sebagai pengawas pasar saham akan melakukan pemeriksaan dengan mengambil 10 perusahaan. Berapa dari 10 perusahaan tersebut, 5 perusahaan akan membagikan saham di atas 100/lembarnya?

Jawab:

25

Jawaban

N=33 n=10 s=20 r=5P(r) = [(sCr) x (N-s C n-r)] / NCn

P(r) = [(20C5) x (33-20 C 10-5)] / 33C10

P(r) = 15.504 x 1.287 / 92.561.040 = 0.216

Ekseleraasi dis prob binomial terhadap hiper dengan n < 0,05 N. Maka nilai keduanya sama.

26

Tabel perbandingan hiper dan binom

Perusahaan deviden >Rp 100/lembar

Distribusi Probabilitas hipergeometrik

Distribusi probabilitas Binomial

0 0.0000 0.0001

1 0.0002 0.0013

2 0.0026 0.0090

3 0.0211 0.0374

>100 saham 4 >0.0898 0.1023

5 >0.2156 0.1920

6 0.2994 0.2503

7 0.2395 0.2237

8 0.1062 0.1312

9 0.0236 0.0456

10 0.0020 0.0071

jumlah 1.000 1.000

27

DISTRIBUSI POISSON

• Dikembangkan oleh Simon Poisson

• Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p) sangat kecil akan sulit mendapatkan nilai binomialnya.

• Percobaan poison merupakan percobaan yang menghasilkan variabel random X yang menyatakan banyaknya kejadian dalam suatu interval wktu tententu atau daerah tertentu

28

Sifat-sifat percobaan poisson

1. Banyaknya kejadian dalam interval yang satu dengan Interval yang lain saling bebas2. Prob terjadinya satu kejadian dalam interval yang sgtPendek sebanding dengan panjang interval dan tidak Tergantung pada kejadian diluar interval dan tidak tergantung Pada banyaknya kejadian diluar interval tersebut.3. Prob terjadinya dua atau lebih kejadian dalam interval yang Pendek dianggap nol. Artinya tidak mungkin terdapat 2 kejadianSecara bersamaan.

Contoh:Rata-rata banyaknya tikus diluasan 5 meter persegi ialah 10 ekor.Hitunglah bahwa didalam luasan 5 meter persegi tertentu adaLebih dari 15 ekor tikus.

29

contoh Contoh:Rata-rata banyaknya tikus diluasan 5 meter persegi

ialah 10 ekor. Hitunglah bahwa didalam luasan 5 meter persegi tertentu ada Lebih dari 15 ekor tikus.

Jawab: µ = 10 15 P(x>15) =∑ (x . e- /X!) = 1 - ∑ e10 10x /

x! 0

= 1- 0.9513 =0.0487

30

Rumusan Distribusi Probabilitas Poisson

P(X) = x . e- /X!

µ= rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses, dimana µ=n.pe = bilangn konstant 2.71828

Contoh:

Jumlah emiten di BEJ ada 150 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen?

31

Jawaban Diketahui :n = 150 X=5 p=0,1 (ciri

poisson, N>50 dan p kecil yaitu ≤ 0,1)

µ = n.p =150 x 0,1 =15 P(X)= x . e- /X!

P(5)=155 . 2.7182815 / 5 = 0.02Hanya 0,2% prob 5 perusahaan membagikan

dividennya.

32

CONTOH DISTRIBUSI POISSON

Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen?

Jawab:

Untuk mendapatkan nilai distribusi Poisson, dapat digunakan tabel distribusi Poisson. Carilah Nilai = 12 dan nilai X = 5, maka akan didapat nilai …?

33

Case binom 1. Di PT X diketahui bahwa dari 9 macam

alasan karyawan tidak masuk kerja, satu macan alasan karn sakit. Diambil secara random 4 ijin tidak masuk kerja, berapa prob bahwa 3 diantaranya karena sakit?

2. Rektor ITN mengatakan bahwa hanya 40%dari testing masuk akan lulus ujian saringan masuk ITN. Dari 14 orang peserta testing masuk yang diambil secara random, berapa prob?

34

Case distribusi Prob3.Suatu studi menunjukkan bahwa 60%

dari semua pasien yang berobat di rumah sakit S, telah menunggu dalam ruang tunggu RS tersebut paling sedikit 45 menit, hitunglah prob bahwa antara diantara 10 pasien yang berobat di RS tersebut 0,1,2,3...atau 10 pasien yang telah menunggu paling sedikit 45 menit. Gambarkan histogram dari distribusi probabilitas tersebut?

35

Case Distribusi Prob4. Menurut kantor pusat kepolisian seksi

kecelekaan di kota Jambi, rata-rata banyak kematian karena kecelakaan lalulintas tiap tahun adalah 4 dari tiap 100.000 penduduk. Hitunglah prob bahwa disuatu kota dengan 200 000 penduduk terdapat:

1.10 kematian karena kecelakaan lalu lintas2, 4 sampai 6 kematian3. Kurang dari 5 kematian4. Lebih dari 2 kematian.

36

Case Distribusi Prob

5. 10% dari batu bata yang diproduksi pabrik X diketahui rusak/tidak memenuhi standar.sari sampel 10 buah batu bata yang diambil secara random, hitunglah probnya 2 buah batu bata diantaranya rusak / tidak memenuhi standar dengan menggunakan :

Distribusi binomial dan pendekaatan poisson

37

Case distriusi prob poisson6. Prob bahwa seseorang akan

menderita reaksi buruk dari injeksi suatu macam serum adalah 0,001. hitunglah bahwa dari 2.000 orang yang diinjeksi dengan serum tersebut:

a. 3 orang menderita reaksi burukb. Lebih dari 2 orang menderita

reaksi buruk

38

Case Distribusi Prob Poison

7. Seorang broker real estate dapat menjual rata-rata 2 rumah setiap minggunya. µ = 2. hitunglah probnya bahwa dalam minggu tertentu dia hanya dapat menjual satu rumah.

39

Case distribusi prob multinomial

8. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih dan 3 bola biru. Sebuah bola diambil secara random dari kotak tersebut, warnanya dicatat dan kemudian bola tersebut dikembalikan kedalam kotak. Hitunglah prob bahwa dari 6 kali pengmbilan bola diperoleh 3 bola merah dan 2 bola putih dan 1 bola biru?

40

Case Distribusi Prob Hypergeometrik

9. Sebuah kantong berisi 6 kelerng biru dan 4 kelereng merah. Dilakukan eksperimen dengan cara mengambil secara random sebuah kelereng dari dalam kantong tersebut dan warna kelerang yang terambil dobservasi, kemudian diambil lagi sebuah kelereng secara random dengan catatan kelereng yang telah terambil sebelumnya tidak dikembalikan kedalam kantong tersebut. Dari 5 kali pengambilan, berapa probabilitasnya diperoleh 3 kelereng biru?

41

Jawab

1.p= 1/9 (prob alasan sakit) q= 1-p = 1-1/9 = 8/9 (alasan lain) n= 4 r=3P(r=3) = 4! / 3!(4-3)! (1/9)3 (8/9)

= 4 . 1/729 . 8/9 = 32/656

Rumus Distri Prob Binomial

(Kazmier 1979 & Suharyadi 2005)

P (r) = [ n! / r! (n – r ) !] pr q(n-r)

42

Jawab 8. Metode 1:P(bola merah pada pengambilan yang mana saja) = 5/12

P(bola putih pada pengambilan yang mana saja) = 4/12P(bola biru pada pengambilan yang mana saja) = 3/12Jadi: P(3 Merah, 2 Putih, 1 Biru) =6! / 3 ! 2! 1! (5/12)3 (4/12)2 (3/12)1 = 625/5184

Metode ke 2:Prob terpilih bola merah yang mana saja adalah 5/12.Maka prob terambil 3 bola merah adalah (5/12)3

Demikian pula 2 bola putih dan 1 bola biru.

43

8. Metode ke 3

Prob yang dinyatakan dalam: P m3 P2

p P1

b

dalam ekspansi multinomial dari (pm+ pP +

pb)6 dimana Pm = 5/12, PP=4/12 dan Pb =3/12.

P (X1= n1 , X1 = n2 , X3 = n3) = n! P1n

1

n1! N2! n3!

= 6! / 3! 2! 1! (5/12)3 (4/12)2

(3/12)1

44

Jawaban 9Metode 1. banyaknya cara pengambilan 3 kelereng

hitam dari 6 kelereng putih adalah: 6! / (6 – 3)!

banyaknya cara pengambilan 2 kelereng sisanya dari 4 kelereng merah adalah: 4! / (4 – 2)!Jadi: banyaknya sampel yang berbeda yan terdiri dari 3 kelereng biru dan 2 klrg merah adalah:(6! / 3!(6-3)! ( 4! / 2!(4-2)!Jumlah total cara yang berlainan dari pengambilan 5 kelereng dari 10 kelereng dalam kantong (6+4) = 10! / 5!(10-5)!. Jadi prob yang dinyatakan tersebut adalah (6! / 3!(6-3)! ( 4! / 2!(4-2)! / 10!/5!(10-5)! = 10/21

45

9. Metode 2

Di ketahui: Biru =6, merah= 4. n=5, x=3

Gunakan rumus hypergeometrik dengan without replacement:

P(X=x)= (bx) (n

r- x) / (b +

nm)

= (63

)(42

) / (105)

(6! / 3!(6-3)! (4! / 2!(4-2)! / 10!/5!(10-5)! = 10/21

46

1. Anda klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function.

2. Anda pilih menu statistical pada function category3. Anda pilih menu Binomdist pada function name, Anda

tekan OK.4. Setelah anda tekan OK pada langkah ke-3, maka akan

keluar kotak dialog seperti berikut: 

BINOMDIST Number_s : ………… (masukkan nilai X) Trials : ……….. (masukkan nilai n) Probability : ………… (masukkan nilai p) Cumulative: ………… (tulis kata False)

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL

Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

47

48

49

• Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function

• Pilih menu statistical pada function category• Pilih menu HYPGEOMDIST pada function name, anda

tekan OK• Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar

kotak dialog seperti berikut HYPGEOMDISTSampel_s : ………… (masukkan nilai r)Number_sampel : ……….. (masukkan nilai n)Population_s : ………… (masukkan nilai S)Number_pop : ………… (masukkan nilai N)

• Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8

50

51

52

• Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function• Pilih menu statistical pada function category• Pilih menu POISSON pada function name, tekan OK• Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar

kotak dialog seperti berikut:

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI POISSON

Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8

• Nilai P(X) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

POISSONX : ………… (masukkan nilai x)Mean : ……….. (masukkan nilai )Cumulative : ………… (tulis FALSE)

53

54

55

TERIMA KASIH