KETERKONTROLAN DAN KETEROBSERVASIAN SISTEM LlNlER

MAKALAH

~ ' r s - . --. . , , , ,. . t ' > ,

; p c , S ' \. . - & ' V . r n . . . ' . . . , ; & - ;

;;I ..,:=*:..<., . OLEH:.-- -- --.--A _ . _

.. *.--,, - . _ DRA. MARLlANl

JURUSAN PENDlDlKAN MATEMATIKA FPMIPA IKlP PADANG

1999

Kata Pengantar

Puji syukur penulis aturkan kepada Yang Maha Kuasa karena dengan

karuniaNya penulis manlpu menyelesaikan makalah dengan judul Keterkon-

trolan d a n Keterobservasuian Sistem Linier.

Makalah ini tlit~~lis dengan maksud untuk menambah referensi tentang

matematika terapa 11 khususnya dalam bidang Persamaan Diferensial dan Kon-

trol di Jurusan Matelnatika FPMIPA IKIP Padang, selama ini sedikit sekali

bahan bacaan dalam bidang tersebut yang ditulis oleh staf pengajar Jurusan

Matematika sendiri. Disamping itu, materi dari tulisan ini merupakan ap-

likasi dari matematika 111urni terutama bidang Kalkulus dan Aljabar. Jadi,

tulisan ini juga dima.l<su(lkan untuk memotivasi para pengajar dan mahasiswa

matematika untuk lebih rnendalarni matematika mengingat matematika sangat

penting dalam kaitannya dengan bidang lain.

Terima kasih penulis aturkan kepada rekan-rekan sejawat yang telah

membaca dan menil~erilian masukan berharga tentang perbaikan makalah ini.

Semoga makalah sc.clerhana ini bermanfaat bagi pembaca.

Padang, Juli 1999

Kata Pengantar

Daftar Isi

Daftar Isi

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Pembahasan 2

2.1 Ouput yang 'Terkontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 State yang Da.pat Dikontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Keterobservasian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Kesimpulan

Daftar Pustaka

Bagian 1

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Pengetahuan nlengenai sistem linear sangat diperlukan untuk menge-

t ahui kelakuan dari proses dinamik. Walaupun dalam praktek sangat sedikit

sistem yang linear, t .~ tapi sistem ini sering kali digunakan untuk mendekati

model tak linear. Selain itu, pengertian mengenai sistem linear sangat berguna

untuk mempelajari sistem nonlinear.

I. 2 Perrnasalahan

Dalam tulisan ini akan dibahas tentang lteterkontrolan dan keterobser-

vasian sistem linier. Iihususnya, tentang apa syarat perlu dan cukup untuk

keterkontrolan dan l<et.erobsevasian suatu sistem linier.

Bagian 2

Pembahasan

2.1 Ouput yang Terkontrol

Diberilcan sistem

x = A( t ) x + B ( t ) u + E( t )w ,

y = C ( t ) x + D(t )u + F( t )w , (2.1)

dimana A, B, C, D , E'. dan F berturut-turut menyatakan matriks n x n , n x r ,

m x n , m x r , n x p. dan m x p. x E Cn disebut vektor state, y E Rm vektor

ouput, u E R' vektor input (control), dan w E RP vektor disturbance.

Ingin diketahui apakall terdapat input u ( t ) yang mentransfer y( t ) dari y(to) ke

~ ( t l ) .

Definisi 2.1 Untuk sllatu w ( t ) yang ditentukan sebarang, sistem (3.1) dikatakan

mempunyai output terkontrol pada saat to jika untuk setiap yo dun yl sebarang,

terdapat u ( t ) dun t l , l o < t < t l < m, sehingga output y ( t ) yang berkaitan

dengan u ( t ) memenuhi y(to) = yo, y ( t l ) = y1

Misalkan @(t , T ) aclalah matriks transisi dari sistem persamaan diferensial

x = A ( t ) x dan rang [C'(to), D(to)] = m. Maka kita punyai teorema berikut.

Teorema 2.1 Sistenr (3.1) mempunyai output terkontrol pada saat to jika dun

hanya jika no1 bukan nilai eigen dari Y ( t o , t l ) untuk suatu t l > to dimana

Bukti: Perhatikan lsa,hwa dari (2.6) didapat hubungan

Dengan menggunakan Lemma Dirac delta, Lemma 2.6.1 , diperoleh

Untuk mencari solusi rc(t) , mula-mula dihitung x(to)

Karena rang dari [C(to), D(to)] = m, maka [C(to) D(to)] mempunyai invers

kanan. Ini mengakibat)kan adanya solusi, untuk x(to) dan u(to). Selanjutnya

definisikan transforma.si linier

dan tulis

maka diperoleh T (u ) = Y. Untuk menentukan transformasi adjoint dari T,

perhatikan

Sehingga

T*(v) = GT(t)v dan

Transformasi TT* adalah matrilts n x n, nyatakan sebagai Y(to, t l) yaitu

Sistem (3.1) outputnya terkontrol

T(u) = 2 punya solusi u(t) untuk Y sebarang.

Ker(T*) = 0 (dari Lemma 2.4.5)

I<er(TT*)=O (dari Lemma2.4.6)

TT* = Y ( t o , t l ) tidak mempunyai nilai eigen

yang sama dengan no1 (dari Lemma 2.5.1 dan definisi Y(to, t l )) .

Jika didefinisikan

dan dengan mengguna.l;an Lemma Dirac delta, yaitu Lemma 2.6.2, maka (3.2)

dapat dinyatakan da,la,m bentuk

dimana S menyatakail bilangan positif besar sebarang yang merupakan indeks

nilai fungsi delta Dira.c di nol.

def t l Lemma 2.1 Mi~alkni~ Y(to, t l ) = Lo G(r )GT( r ) d r , dimana G( r ) adalah

matriks n x m sebarnizg. Maka pernyataan berikut ekivalen.

1. No1 bukan nila i r dgen dari Y (to, t l )

2. lY(t0, t l ) 1 # 0

3. Y(to,t l) > 0 (dcfinit positif)

Bulcti: 1 .* 2. Definisikan @ ( A ) = I (Y - X I ) I . Jika X I , X2, - 0 - , An adalah

nilai eigen dari Y malia

@ ( A ) = J ( Y - X I ) / = ( X I - X ) ( X 2 - A ) . . - ( A n - A )

Jika diketahui no1 bu1;a.n nilai eigen dari Y maka Xi # 0 V i, jadi

lYl # 0.

2.+ 3. Diketahui 11.1 # 0 akan ditunjukkan Y > 0

Karena Y adjoint dellgan diri sendiri, maka menurut Lemma 2.5.2 terdapat himpunan ortonormal e 1, ez, . , en, yang merupakan vektor eigen dari Y, yang

berturut-turut berkorespondensi dengan nilai eigen X1X2, . , An. Selanjutnya

karena

n

IYI =nX; # O j Xi # O Vi . i= l

Maka diperoleh

A; = cT l ' e ; # 0 dimana Ye; = X;e;, Te; = 1

Tetapi karena vektor eigen el, e2,. - . , en merupakan basis dari Cn, maka untuk

sebarang vektor x E Cin dapat dinyatakan sebagai x = Cy=, aiei. sehingga

Tetapi karena semua X i positif, maka Cy=l XXilai12 2 0 dan ini sama dengan

no1 jika semua a; sama, dengan nol, yaitu jika x = 0. Jadi Y > 0.

3 . d 1. Misalkan X nilai eigen dari Y maka

Karena diketahui Y tlefinit positif maka X positif. Jadi no1 bukan nilai eigen

dari Y.

Sistem Invarian terhadap Waktu

Jika matriks A, B, C. D, E, dan F konstan maka dari (3.3) d m (3.4) diperoleh

Sehingga, dari Teorelxa 3.1.1 dan Lemma 3.1.1, diperoleh ha1 berikut .

Sistem invarian terhadap waktu outputnya terkontrol pada saat to jika dan

hanya jika

Teorema 2.2 Sisten? invarian terhadap waktu

x = A x + B u

y = c x

outputnya terkontrol ;jika dun hanya jika

atau ekivalen denga,~?

P s [ C B C A B CAn-'B]

m e m p u n y a i r a n g m .

Bukti: Dari (3.7) clan dengan mensubstitusikan D = 0 ke (3.6) diperoleh

(3.9). Selanjutnya alian dibuktikan (3.10). Untuk itu definisikan

Dengan menggunakan (2.7), yaitu

diperoleh

Definisi kan

v j = 1' aj(t1 - T ) U ( T ) d~

M aka

Misalkan sistem (3.S) outputnya terkontrol maka untuk Y sebarang, persamaan

(*) dapat diselesaikan (untuk v ) . Sehingga menurut Teorema 2.1.2 rang P =

m. Sebaliknya misallian rang P = m maka menurut Teorema 2.1.2 sistem

(*) selalu dapat diselesaikan (untuk v ) . Jadi terdapat u yang memenuhi per-

samaan tersebut. Dengan kata lain sistem terkontrol.

2.2 State yang Dapat Dikontrol

Tinjau sistem persanlaan diferensial

i = A( t ) x + B ( t ) u + E( t )w

Definisi 2.2 Untuk srtatu w ( t ) yang ditentukan sebarang, sistem (3.11) dikatakan

mempunyai state ter.l,.orztrol pada saat to jika untuk setiap x( to) dun x ( t l ) se-

barang, terdapat u ( t ) dan t l , to 5 t 5 t l < oo, sehingga solusi x ( t ) yang

berkaitan dengan u ( l ) memenuhi x( to) = xo, x ( t l ) = xl . Yaitu, terdapat u ( t )

yang membawakan ro k e X I dalam waktu t l .

Teorema 2.3 Sistem (3.11) mempunyai state terkontrol pada saat to jika dun

hanya jika X ( t o , t l ) > 0 untuk suatu t l > to dimana X( to , t l ) didefinisikan oleh.

(3.3).

Bukti ini diperoleh dcngan mensubstitusikan C = I, D = 0 dan F = 0 ke

Teorema 3.1.1 dan de~lgan menggunakan Lemma 3.1 .l.

Teorema 2.4 Sister,, invarian terhadap waktu x = Ax + B u mempunyai state

terkontrol jika dun I~cr~zya jika X ( to , t l ) > 0 atau ekivalen dengan

mempunyai rang n . Bukti dari teorema ini diperoleh dengan mensubstitusikan

C = I , D = 0 dun F = 0 ke Teorema 3.1.2.

Dari Teormea 3.2.2 diperoleh Lemma berikut

Lemma 2.2 X ( t o , t l ) > 0 untuk suatu t l > to jika dun hanya jika r a n k [ B A B - An-' B1

n

d' imana

Keterkontrolan dari Transformasi Koordinat

Perhatikan Sistem linier

x = A x + B u

y = C x + D u

Jika dilakukan transforma.si koordinat x = Mq, dimana M adalah matriks tak

singulir, maka diperoleh

M q = A M q + B u

y = C M q + D u

Teorema 2.5 Tranqli)rmasi koordinat dari state tidak mengubah keterkon-

trolan dari state atav output dari sistem linier

Bukti: Dari (3.4) diperoleh

Y(to, t l) = D D ~ S + D ( M - ~ B ) ~ ( C M ) ~ + CMM-IBD~

Jadi uji keterkontrola 1 1 . Y (to, t l ) , tidak berubah. Hal ini menunjukkan bahwa

keterkontrolan dari output tidak berubah jika dilakukan transformasi koordi-

nat. Selanjutnya, d e ~ ~ g a n mensubstitusikan C = I, D = 0 diperoleh bahwa

uji keterkontrolan da.ri state, yaitu X(to, t l ) , juga tidak berubah.

Teorema 2.6 MisalXvn A mempunyai nilai eigen yang saling

def berbeda dun M = [vl . . . v,], dimana vl, vz, - , v, adalah vektor eigen dari

A. Maka sistem (3.14) mempunyai state yang terkontrol jika dun hanya jika

B = M-'B tidak mfrnpunyai baris nol.

Bukti: Dari (3.14 ) cliperoleh

dimana A = M-' AM clan B = M-' B. Andaikan baris dari 23 ada yang sama dengan nol, misalkan baris ke-i, maka

4.; = Xiqi, dimana Xi adalah nilai eigen yang berkorespondensi dengan vektor

eigen vi. Dalam kasus ini komponen ke-i dari solusi, yaitu qi berbentuk qi =

cexit. Untuk c # 0, q; tidak dapat dibawa ke no1 didalam waktu hingga, karena

untuk Xi > 0 ex" + m atau untuk Xi < 0 exit + m , jika t + m .

Ini berarti kompone~ I ke-i tidak terkontrol. Sehingga solusi t ak terkontrol,

bertentangan dengall sitem mempunyai state terkontrol. Ini membuktikan

bahwa jika st atenya t crl<ontrol maka B tidak mempunyai baris nol. Sebaliknya,

misalkan B tidak me~llpunyai baris nol. Solusi di t l dari q = Aq + Bu adalah

Misalkan bi adalah baris ke-i dari ??3 dan u ( t ) = x;=, Pje-'jt $7 dimana Pj adalah konstanta yang tidak diketahui. Maka komponen ke-i dari

q( t ; ) adalah

atau

dimana d ; ( t ) = e-,'tf 6; dan

Dalam bentuk matrilis, setelah digabung, didapat

atau

Untuk menunjukkan Imhwa invers dari [ ( O i ( r ) , 0j ( T ) ) ] ada perhatikan ha1 berikut . Dari asumsi diketahui b; # 0 'd i dan X i berbeda. Ini mengakibatkan { O j ( t ) ) ,

j = 1,2 , . . . , n bebas linier. Misalkan G ( t ) = [O1(t) 02( t ) . . . O,(t)] dan &fin-

isikan

Jelas bahwa , IIG(t)sl12 = 0 * G( t )x = 0. Karena {Oj(t)) bebas linier

maka persamaan G(f1.r = 0 hanya dipenuhi oleh x = 0. Ini berarti matriks

J," G T ( ~ ) ~ ( ~ ) d~ d~f in i t positif. Sehingga menurut Lemma 3.1.1 matriks ini

tak singulir. Oleh ka.rena itu

= ltl G T ( r ) G ( r ) d r

adalah matriks tak siligulir. Dari (*) didapat

Jadi fungsi inputnya. adalah

Teorema 2.7 Sisten~ dalam bentuk Jordan

m e m p u n y a i s tate terliontrol jika dun hanya jika

I. {bit, bjt, . . . , bkl) adalah h impunan bebas linier, d imana J ; , Jj, . . . , Jk

adalah blok Jor.rlnn dengan nilai eigen sama X i dun b$ adalah baris ter-

alchir dari B i .

2. bPt # 0 jika J , c~dnlah satu-satunya blok Jordan dengan nilai eigen A,.

Bukti: Untuk menyetlerhanakan pembuktian, asumsikan hanya ada tiga blok.

dengan BT = [bll b12 b13 I b21 b22 I b31 b32]. Menurut Teorema 3.2.2 dan dari

(3.15) diperoleh

Dengan induksi matc~natika dapat dibuktikan bahwa

Syarat perlu dari (2 ) cukup jelas karena, sebagai contoh, jika b32 = 0 maka

baris ke-7 dari P adalah baris no1 dan rang P < n. Untuk melihat syarat perlu

dari (I), misalkan b22 = ab13. Maka dengan melakukan operasi baris elementer

(kalikan baris ke-3 dengan CY lalu tambahkan ke baris ke-5) diperoleh baris ke-5

menjadi baris nol. Ini berarti rang P < n, sehingga sistem tidak terkontrol.

Sebaliknya, akan ditl11;j ukkan sistem (3.15 ) mempunyai state yang terkontrol.

Dengan melakulcan operasi kolom elementer pada P diperoleh PI =

Dua baris terakhir da.ri PI terdiri dari B3, ( J3 -XI I)B3, ( ~ 3 - X l I ) ~ B ~ , (J3-

X1 I)3B3,. . . . Akhirnya. dengan melakukan operasi baris elementer (pertukaran

baris) diperoleh

Menurut syarat ( I) , 613, b22 bebas linier sehingga rang dari [!?I adalah 2.

Oleh karena itu determinan tak no1 2 x 2 dapat dibentuk dengan mengha-

puskan kolom-kolom. Dari syarat (I), yaitu sifat kebebas linierannya, diper-

oleh b13 # 0. Selanjut nya karena bg2 # 0 malta determinan tak no1 2 x 2 dapat

diperoleh dari [(J3 - XI I)3B3 (J3 - X I I)4B3]. Jadi matriks segitiga blok bawah

dapat dibentuk dari 11" dan rang P" = rang P = n. Ini berarti sistem (3.15)

mempunai state terkontrol.

CONTOH

Perhatikan sistem linier i = Ax + Bu , dimana

Maka diperoleh

Rang(P) = 7 sehingga, sistem ini terkontrol.

Rang(P) = 6 sehingga sistem ini tak terkontrol.

2.3 Keterobservasian

Perhatikan sistem

2 = A(t )x + B( t )u

y = C ( t ) x + D(t)u

Solusi dari (3.16) diperoleh dari (2 .6) , yaitu

Definisi 2.3 Sistem (.I. 16) dikatakan terobservasi pada saat t jika x ( t o ) dapat

ditentukan secara unil,: berdasarkan y ( ~ ) , u ( T ) , 0 5 T 5 t .

Perhatikan bahwa nilai x untuk tl sebarang dapat ditentukan segera sesudah

x ( t o ) diketahui, yai t u clengan menggunakan (2 .4)

Teorema 2.8 Sistem linear (3.16) terobservasi pada saat t l jika dun hanya

jika no1 bukan nilai f igen dari K(to, t l ) dimana

Bukti: Dari (3.17) cliperoleh

Tulis

dan definisikan transf'ormasi linear

maka diperoleh

Misalkan sistem (3.16) terobservasi. Maka, menurut definisi, x(to) dapat di-

tentukan secara tunggal. Sehingga dari Lemma 2.4.3 diperoleh Ker(T) = 0. Transformasi linear T* dapat digunakan sebagai pengganti dari T pada

Lemma 2.4.6. Akiba.t nya, diperoleh Ker(T*T) = Ker(T) = 0. Untuk menda-

patkan transformasi acljointnya, perhatikan

sehingga

dan

Dari Lemma 2.5.1 diperoleh Iiler(T*T) = 0 jika dan hanya jika nilai eigen

dari T*T tidak sama 1101. Karena K(to, t l ) = T*T, maka no1 bukan nilai eigen

dari K(to, t l ) . Sebalili~lya, misalkan no1 bukan nilai eigen dari K(to, t l) . Ka-

likan ( tc ) dari sebela,h kiri dengan [$T(t, to )cT( t ) ] dan itegralkan, diperoleh tl -T S,, Q (t,to) C T ( t ) W ) d t

t -T = Lo1 Q (t, to)CT(t)r( t )@(t , to)x(to) dt.

Dengan mengubah variabel integrasi, diperoleh

karena no1 bukan l~ilai eigen dari K(to, t l) malca menurut Lemma 3.1.1

IK(to,tl)l # 0 atau I\'-'(to, tl) ada. sehingga solusi untuk x(to) adalah

.(to) = K-l (to, t,) QT(r, to)CT(r)9(t) dr. Lot1 -

Jadi, menurut definisi . sistem linear (3.16)dapat diobservasi.

Lemma 2.3 Misalknll

Maka pernyataan be~ili,ut ekivalen.

1. No1 bukan nilai cigen dari K ( t o , t l )

3. K(to , t l ) > 0 (d t f in i t positif)

Bukti dari lemma ill i diperoleh dengan mensubstitusikan

T ( ~ , t O ) C T ( 7 ) ke Lc~uma 3.1.1.

Sistem Invarian terhadap Waktu

Sistem invarian terhaclap waktu

Teorema 2.9

dapat diobservasi jika dan hanya jika

mempunyai rang n.

Bulcti: Menurut l'corema 3.3.1 sistem (3.19) terobservasi jika dan hanya

jika no1 bukan nilai eigen dari K( to , t l ) . Menurut Lemma 3.3.1, ini ekivalen

dengan K(to , t l ) > 0. .J adi, dari Lemma 3.2.1 dengan mengganti B dengan

dan A dengan XT, sistem (3.19) terobsevasi jika dan hanya jika r a n g (Q) = n.

Keobservasian dari Transformasi koordinat

Perhatikan sistem (3.13). Jika dilakukan transformasi koordinat x = Mq maka

dari (3.14) diperoleh

Untuk keobservasian~~~:a, menurut Teorema 3.3.2, kita harus menguji rang dari

Tetapi rang Q* = r n ~ l g Q'M untuk sebarang matriks tak singulir M . Jadi

transformasi koordinaf tidak mengubah sifat keobservasian dari sistem.

Teorema 2.10 Mis~~llian A mempunyai nilai eigen yang saling

def berbeda dun M = [ I Y ~ va . . - v,], dimana v1, v2, - . , v, adalah vektor eigen

dari A. Maka sisterir invarian terhadap waktu (3.14) terobservasi jika dun

hanya jika C = C M r'ddak mempunyai kolom no/.

Bukti: Dari (3.14) cliperoleh

Andaikan kolom dari C ada yang sama dengan no1 , misalkan kolom ke-i, maka

output y tidak dipengaruhi oleh qi. Sehingga qi(to) bisa mempunyai nilai se-

barang. Oleh karena itu q(to) tidak dapat ditentukan secara unik. Dengan

kata lain tidak terobscrvasi. Sebaliknya, misalkan C tidak memuat kolom nol.

Ini ekuivalen dengan cT tidak memuat baris nol. Sehingga, dari proses pem-

buktian Teorema 3.2.-1. diperoleh I - ( t o , t l ) tak singulir. Jadi menurut Lemma

3.3.1 dan Teorema 3.3.1 sistem terobservasi.

Teorema 2.11 Misc~lkan output dari sistem (3.14) adalah

Maka sistem ini tero0.servasi jika dun hanya jika

1 { c , c . . . , c } adalah himpunan bebas linier, dimana

Jd, J j , . . . , Jk adnlah blok Jordan dengan nilai eigen sama A; dun c;l

adalah kolom I)( rtama dari Ci.

2. cpl # 0 jika J , c~dalah satu-satunya blok Jordan dengan nilai eigen A,.

Bulcti: [Lihat [3] ]

Bagian 3

Kesimpulan

Sistem

i = A(t )x + B(t )u + E(t )w ; y = C ( t ) x + D(t)u + F(t)w

mempunyai output tc11,kontrol pada saat to jika dan hanya jika Y ( to , t l ) > 0

untuk suatu t l > to tlimana

Sistem x = A(t )x+B(f )u+E(t )w mempunyai state terkontrol pada saat to jika

dan hanya jika X ( t o , 1 , ) > 0 untuk suatu t l > to dimana

Sistem linear

terobservasi pada sa.at t l jika dan hanya jika K(to, t l ) > 0 dimana K(to, t l )

didefinisikan oleh

Transformasi ko0rdina.t dari state tidak mengubah keterkontrolan dari state

atau output dan sifa.t keterobsevasian dari sistem linier.

Daftar Pustaka

[l] Brockett, R.W., l"iizite Dimensional Linear Systems, John Wiley & Sons,

New York, 1970.

[2] Brogan, W. L., hlorlern Control Theory, Quantum Publishers, New York,

1974.

[3] Coddington, E.A. a.nd N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equa-

tions, McGraw-Hill, New York, 1955.

[4] Halmos, P.R., Fiilite Dimensional Vector Spaces, 2nd Ed., D. Van Nos-

trand, Princeton, New Jersey, 1958.

[5] Jacob, B., Lineal .-llgebra, W.H. Freeman and Company, New York, 1990.

[6] Schwarz, R.J ant1 Friedland., Linear Systems, McGraw-Hill, New York,

1965.

[7] Skelton, R.E., Dylrnmic Systems Control, John Wiley & Sons, New York,

1988.