KESERUPAAN

Matriks sebuah operator linier T:V V bergantung pada basis yang di pilih untuk V, salah satu permasalahan mendatar yang di hadapi dalam aljabar linier adalah memilih sebuah basis ntuk V yang dapat menjadikan matriks untuk T sesederhanan mungkin sebuah matriks diagonal atau matriks segitiga, misalnya dalam subab ini kita akan mengkaji permasalahan ini.

Matriks sederhana untuk operator linier basis standar tidak selalu menghasilkan matriks yang paling sederhana untuk operator linier T:R2R2 yang di definisikan oleh

T¿¿[1]

Dan basis standar B=[e1,e2] untuk R2, di mana

e1=¿ [1 ¿ ] ¿¿

¿¿

Berdasarkan teorema 8.4.1, matriks untuk T berkenaaan dengan basis ini adalah matriks standar untuk T, yaitiu,

[ T ]B=[ T ]=[ T (e1 ) | T (e2) ]Dari [1] di peroleh

T (e1 )=[ 1−2] T (e2)=¿ [ 1¿ ]¿

¿¿¿

sehingga

[2]

pg. 1Keserupaaan

(T )B=[ 1 1−2 4 ]

sebagai perbandingan, kita telah menunjukkan pada contoh 4 subbab 8.4 bahwa jika

u1=¿ [ 1¿ ]¿¿

¿¿[3]

Maka matriks untuk T berkenaan dengan basis B,={u1 ,u2}adalah matriks diagonal

2[ T ]

B,=[ 1 1−2 4 ]

[4]

ingat kembali dari Rumus (8) Subbab 6.5 bahwa jika himpunan B =[u1, u2,…….un] dan

himpunan B,={ u

,1 , u

,2 . .. .. u

,n }adalah basis- basis untuk sebuah ruang vector V, maka

matriks transisi dari B, ke B di definisikan oleh rumus

P=[ [ u1, ]B | [ u

2, ]B|.. . .| [ un, ]B ]

[5]

Matriks ini memiliki sifat bahwa untuk setiap vector v pada V

P [ v ] B.=[ v ] B [6]

Yaitu perkalian dengan P memetakan matriks koordinat untuk v relative terhadap B,ke

matriks koordinat untuk v rekatif terhadap B [lihat rumus ke {7} subbab 6.5]. kita telah

menunjukkan dalam teorema 6.5.4 bahwa P dapat di balik dan P−1

adalah matriks transisi

dari B ke B,.

Teorema berikut ini memberikan sudut pandang alternatif yang sangat berguna mengenai matriks transisi; teorema ini menunjukkan bahwa matriks transisi dari suatu basis

B,dapat di pandang sebagai matriks sebuah operator identitas.

pg. 2Keserupaaan

Pengaruh perubahan Basis terhadap matriks Operator Linier.

Sekarang kita telah siap untuk membahas masalah utama dalam subbab ini.

Jawaban untuk pertanyaan ini dapat di peroleh dengan memperhatikan komposisi dari ketiga

operator linier pada V yang di tunjukkan pada gambar 8.5.2 di bawah ini.

I T I

V V V VBasis = B’ Basis = B Basis = B Basis = B

Masalah, misalkan B dan B,adalah dua basis untuk sebuah ruang vector berdimensi

sehingga V, dan misalkan T:VV adalah sebuah operator linier ,hubungan apakah, jika

memang ada,yang terdapat antara mariks [ T ]B dengan matriks

[ T ]B,

?

Dalam gambar ini, V pertama di petakan ke dirinya sendiri oleh operator identitas,kemudian

V di petakan keT [ v ] oleh T, selanjutnya T [ v ] di petakan kedirinya sendiri oleh operator identitas. Keempat runang vector yang terlihat di dalam komposisi ini adalah sama ( yaitu V ); akan tetapi , basis untuk ruang ini berbeda-beda. Karena vector awalnya adalah V dan

vector akhirannya adalah T [ v ] , komposisi ini dapat di katakana sama dengan T,jelasnya:

pg. 3Keserupaaan

Jika B dan B,adalah basis-basis untuk sebuah ruang vector berdimensi terhingga V. dan jika

I:VV adalah operator identitas, maka [I]B,B adalah matriks transisi dari B,ke B

TEOREMA 8.5.1

v v T(v) T(v)

T = I o T o I (7)

Jika, sebagaimana di ilustrasikan dalam gambar 8.5.2. ruang vector pertama dan ruang vector

terakhir di tetapkan memiliki basis B, dan dua ruang vector di pertengahan di tetapkan

memiliki basis B, maka dari rumus (7) dan rumus (15) subbab 8.4 ( dengan sedikit penyesuaian pada nama basis-basisnya) kita akan memperoleh

[ T ]

B, ,B, = [I o T o I]B,B=[I]B,B [T]B,B [I]B,B (8)

Namun dari teorema 8.5.1 kita mengetahui bahwa [I]B,B adalah matriks transisi dari B,ke B

dan sebagai konsekuensinya [ I ]

B,B adalah matriks transisi dari B ke B

,. Oleh karena itu, jika

misalkan P= [ I ]

B,B , maka

P−1=[ I ]B,

B , sehingga (9) dapat di tuliskan sebagai

[ T ]

B,=P−1 [ T ]B P

Sebagai rangkumannya kita dapat menurunkan teorema berikut ini.

Peringatan, dalam menerapkan teorema 8.5.2. kita mudah lupa apakah P adalah matriks transisi dari B ke B’(salah) atau darii B ke B’(benar). Sebagaimana di tunjukkan dalam gambar 8.5.3, akan sangat membantuapabila kita menuliskan (10) dalam bentuk (9), dengan tetap mengingat bahwa ketiga subskrip “ bagian dalam” adalah sama, dan kedua subskrip bagian luar juga sama. Setelah anda dapat memahami pola yang di tunjkukkan dalam gammbar ini, anda hanya perlu mengingat bahwa P=[I]B,B I adalah nattriks transisi dari B’ ke B dan P-

1=[I]B,B’ adalah inversnya.

CONTOH 1 Menggunakan Teorema 8.5.2

Misalkan T:R2R2 di definisikan oleh

pg. 4Keserupaaan

Jika T:V-V adalah sebuah operator linear pada suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, dan jiika B dan B’ adalah basis-basis untuk V, maka

{T}B = p-1[T]BP [10]

Di mana P adalah matriks transisi dari B’ ke B

Teorema 8.5.2

T ([ x1

x2 ])=[ x1 + x2

−2x1 + 4 x2 ]Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis standar B =[e1,e2] untuk R2, kemudian gunakan teorema 8.5.2 untuk menentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis B =[e1,e2], dimana

u

,1=[11 ]

dan u

,2=[12 ]

Pennyelesaian

Kita telah menunjukkan sebelumnya pada subbab ini [lihat(2)] bahwa

[ T ]B=[ 1 1

−2 4 ]Untuk menentukan [T]B

’ dari (10), kita harus menentukan matriks transisi

P= (T )

b , B,=( [ u,1 ] B | (u ,2 )B)

(lihat 5), melalui inspeksi

U’1 = e1 + e2

U’2 = e1 + 2e2

Sehingga

[u’1]B =

[11 ] dan [u’

1]B = [12]

Dengan demikian , matriks transisi dari B’ ke B adalah

P=[1 1

1 2 ]Anda daapat menemukan bahwa

pg. 5Keserupaaan

P−1=[ 2 −1

−1 1 ]

Sehingga menurut teorema 8.5.2 mtriks untuk T relative terhadap B’ adalah

[T ]B'=P−1[T ]B P=[ 2 −1−1 1 ][ 1 1

−2 4 ][1 11 2]=[2 0

0 3]

pg. 6Keserupaaan