DEFINISI DERET

Misalkan merupakan suku-suku barisan.jumlah beruntun dari

suku-suku barisan itu dinamakan sebagai deret dan di tulis sebagai

Dalam bentuk penjumlahan beruntun di atas, juga dapat disebut juga suku

penjumlahan yang ke – n. Jika n merupakan bilangan asli berhingga maka deret

itu dinamakan sebagai deret berhingga.

Sebagai ilustrasi,misalnya :

1. Dari bilangan asli ganjil 1,3,5,7,9…dapat disusun deret bilangan asli ganjil

1+3 + 5 +7 + 9….

2. Dari bilangan asli genap 2,4,6,8,10…dapat disusun deret bilangan asli genap

2+ 4+ 6+8+ 10....

3. Dari bilangan asli segi tiga 1,3,6,10,15......dapat disusun deret bilangan

segitiga 1+ 3 +6 + 10 + 15.....

4. Dari bilangan persegi 1,4,9,16,25,......dapat disusun deret bilangan persegi

1+ 4 +9 + 16 + 25 +......

Perhatikan kembali deret sepuluh bilangan asli pertama yang telah dibahas di

atas.deret ini secara lengkap ditulis sebagai : 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +9 + 10

Jumlah suku nya sangat banyak. Oleh karena itu, perlu ada cara lain yang lebih

praktis untuk menulis suatu deret. Cara nenulis deret yang dimaksud dalah dengan

menuliskan tiga buah suku penjumlahan yang pertama kemudian di ikuti dengan

tiga buah titik (...), dan di akhiri dengan suku penjumlah yang terakhir. Dengan

cara demikian, deret sepuluh bilangan asli petama di atas dapat ditulis sebagai

berikut : 1 + 2+ 3 + ... + 10

Suku – Suku Deret

= Suku Pertama

= Suku ke Dua

= Suku ke Tiga

1

= Suku ke Empat

= Suku ke (r + 1 )

Jumlah suku 5 yang pertama dinyatakan

Jadu jumlah n suku yang pertamah dinyatakan

Deret dibagi menjadi dua yaitu :

1. Deret Hitung (Arithmetic Series )

2. Deret Ukur (Giometri Series )

1. Deret Hitung ( Arithmetri Series )

Deret hitung atau arithmetri series adalah deret suatu bilangan,dimana

selisi antara dua suku yang berurutan sama atau tetap

Secara umum dapat di tulis :

a + ( a + b ) +( a + 2d) + (a + 3d) + ....................(1)

Dengan a = Suku

b = Beda

Sn = n/2 (2ª + (n – 1)d)

Suku ke- n = = a + (n – 1)d

Contoh :

Cari jumlah 20 dari suku yang pertama dari deret

10 + 6 + 2 – 2 – 6 ..........dan seterus nya

Penyelesaian:

Sn = n/2 (2a + (n – 1 )d ) a = 10 : d = -4

= 20/2 ( 2(10) )

= (20- 1)(-4)

= 10(20-(19)(-4)

= 10 ( 20 – 76 )

= 10 (- 56 )

= -560

2

Suku ke 20 = a + ( n – 1 )d

= 10 + (20 – 1 ) (-4)

= 10 + ( -76 )

= -66

2. Deret Ukur ( Geomitri Series )

Deret ukur atau geometri series adalah jumlah dari barisan giometri secara

umum Dapat ditulis a +ar + ar + ar + .........dan seterusnya

Rumus

= a . r

= a untuk n > 1

S = a . untuk r < 1

Rumus

Suku ke- n =

Sn =

Contoh :

1. Untuk Deret 8 + 4 + 2 + 1 + ½..............dan seterusnya

Tentukan jumlah 8 suku yang pertama dan suku ke 8

Penyelesaian :

Sn =

a = 8

r = 4/8

= ½

3

S =

= 16.

Suku ke n = ar

Suku ke 8 = 8 (1/2 )

= 8 (1/2 )

= 8 (1/128 )

= 8/128

2. Jika suku ke 5 suatau deret ukur adalah 162 dan suku ke 8 adalah 4373

tentukanlah Deret tersebut :

Penyelesaian :

Suku ke – 5 = 162

Suku ke – n = ar

Suku ke – 5 = ar = 162

Suku ke – 8 = ar = 4373

ar = 162

a =

Deret ukur secara umum :

a + ar + ar +ar + ..............dan seterusnya

2 + (2.3 ) + (2)(3) + (2)(3) + ...............dan seterusnya

2 + 6 + 18 + 54 + ...............dan seterusnya

4

Deret Pangkal Bilangan Asli

Deret 1 + 2 +3 + 4 + 5 +...............n dan seterusnya

(2a + (n-1)d)

= ( 2.1 + (n-1)1)

= ( 2+ ( n-1 ) )

=

Rumus :

Contoh :

1.Tentukan jumlah deret

Penyelesaian :

S5 =

=

= 3

5

= 3

= 3(15)+2

= 45 + 2

= 45

= 45 + 110 = 155

Deret tak berhingga

Tinjaulah deret tak berhingga 1 + ½ + ¼ +1/8 + ............

Deret ini dikenal sebagai deret ukur dengan a = 1 dan r = ½

Sn =

Sn =

½ jika n besar maka ½ akan sangat kecil

n

6

Jumlah semua suku dalam deret tak terhingga ini diberikan

S ~ = harga limit ( batas ) sn jika n ~

S = limit ( sn ) = 2 (1-0) =2

n

Hasil ini mengatakan bahwa kita dapat membuat jumlah deret ini

memungkinkan Dengan2mengambil banyaknya suku yang cukup banyak.

Tinjaulah deret tak berhingga 1 + 3 + 5 + 7 + .............

Ini deret hitung dengan a = 1 dan d = 2

Sn = n/2 (2a + (1-n)d = n/2 (2 + (n-1)2)

= n/2(2 + 2n – 2)

= n

Jika n besar maka sn besar juga,jika n ~,akan sn ~

Jika akan memcobah mencari jumlah taj hingga nya maka kita akan

memperoleh harga

+ ~ atau - ~

Dalam dua hal ini kita dapa membedakan dua hal penting :

1. Kita tidak dapat menghitung jumlah tak berhinggasuku deret hitung karena

selalu Tak berhingga

2. Adahkalanya kita dapat menghitung jumlah tak berhingga suku deret ukur

Untuk Deret ini :

Sn = dan jika < 1 maka r 0

Untuk n ~,s ~ =

7

Rumus : S ~ =

Contoh :

Cobalah cari jumlah tak berhingga deret 20 + 4 + 0,8 + 0,16 + ...............

S ~ =

S ~ =

Harga limit

Dalm program ini kita telah mengetahui bahwa kadang kadang kita perlu

menentukan harga limit sn bila n ~

Contoh :

1.Tentukan harga untuk n ~

Penyelesaian :

lim

= lim

=

=

Dari contoh di atas kita simpulkan dalam hal ini setiap suku pembilang dan

penyebut harus dibagi dengan variabel n berpangkat tinggi yang ada.

Deret Konvergen dan Divergen

8

Deret yang jumlah suku nya n ( sn )menuju ke sebuah harga tertentu jika n ~

disebut deret konvergen (pengumpul),jika sn tidak menuju ke sebuah harga

tertentu ke n ~ deret diseb deret divergen.

Contoh :

1.Tinjau lah deret ukur : 1 + 1/3 + 1/9 + 1/7 + 1/81 + ...............

Penyelesaian :

Sn = dan r = 1/9.3/1 = 1/3

Sn = =3/2 ( 1- 1/3 )

Untuk n ~,1/3 = 0 lim sn = 3/2 ( 1-0) = 3/2

n ~

Jika n ~ ,jumlah suku ke n deret ini menunjukan kesebuah harga tertentu

yaitu 3/2,jadideret ini disebut deret konvergen.

2.Tinjaulah deret ukur : 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ............

Penyelesaian :

Sn = r = 9/3 = 3

Sn =

n ~,3 ~ juga maka sn =

Jadi deret ini disebut deret dipergen

Kaidah Uji Konvergen

1.Jika lim un = 0,didapat deret konvergen.

n ~

9

Jika lim un 0,didapat deret divergen

n ~

2.Uji perdandingan deret perbandingan yang penting

1/1

Jika p <1,deret konvergen,jika p>1 deret divergen

3.Uji pembagian d ,alembery,untuk deret-deret bersuku positif

Jika lim deret konvergen

n ~

lim deret divergen

n ~

lim , tidak ada kesimpulan

n ~

4. Deret pada umumnya :

a.Jika Konvergen, maka konvergen mutlak

b.Jika Divergen ,tetapi divergen untuk konvergen

bersyarat

RANGKUMAN

a. Deret hitung pada umumnya ditulis :

10

a + (a+d) + (a+2d) + (a + 3d) + ...........

Dengan :

a = Suku

b = Beda

Sn = n/2 ( 2a + ( n – 1 )d)

Suku ke – n = U = a + (n – 1)d

b. Secara umum bentuk deret ukur ádalah :

a + ar + ar + ar + ..................dan seterusnya

Suku ke – n = ar

Sn =

c. Deret pangkat bilangan asli :

Deret 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +................n danseterusnya

(2a + ( n – 1)d )

= ( 2.1 + ( n- 1 )1)

= (2 +(n-1))

=

11

d. Deret tak hingga :

Sn = dan jika < 1 maka r

untuk n ~ , s ~ = =

S ~ =

e. Harga limit

Contoh :

1.Tentukan Harga untuk n ~

Penyelesaian :

lim

= lim

=

12

=

f. Deret Konvergen

Contoh :

Tinjau lah Deret Ukur : 1 + 1/3 + 1/9 + 1/7 + 1/81 + ...............

Penyelesaian :

Sn = dan r = 1/9.3/1 = 1/3

Sn = =3/2 ( 1- 1/3 )

Untuk n ~,1/3 = 0 lim Sn = 3/2 ( 1-0) = 3/2

n ~

g. Deret Divergen

Contoh : .

Tinjaulah Deret Ukur : 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ............

Penyelesaian :

Sn = r = 9/3 = 3

Sn = n ~,3 ~ juga maka Sn =

DAFTAR PUSTAKA

13

1. Drs.Wardiman,”Hitungan Integral “ ,Penerbit Hadindita Offsert

Yogyakarta 1983

2. HM.Hasyim Baisumi,” Kalkulus ”Penerbit Universitas Indonesia 1994

3. KA.Stroud,’’Matematika untuk teknik”ed 3 Penerbit Erlangga

Jakarta.2001

4. Edwind J.Purcel Varberg,”Calculus With Analitik Geometry”,jilid 1,ed.4

Penerbit Erlangga 1983

14