kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx

8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx

http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 1/10

Makalah Fisika Kuantum

“OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR

”

D

I

S

U

S

UN

OLEH

ERVINA

KRISNA (4113240016)

MUTIA AMALIA

VICKY ( 4103240039)

FISIKA Non_Dik 2011

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2013



Kata pengantar

Puji dan Syukur Penulis Panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat

limpahan Rahmat dan Karunia-Nya sehingga penulis dapat menyusun makalah ini yang

berjudul " OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR " serta tepat pada waktunya.

Penulis menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini berkat bantuan dan

tuntunan Tuhan Yang Maha Esa dan tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu dalam

kesempatan ini penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih yang sebesar-besarnya

kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan makalah ini.

Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat kepada para pembaca.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari bentuk

penyusunan maupun materinya. Kritik dan saran dari pembaca sangat penulis harapkan untuk

penyempurnaan makalah selanjutnya.

Medan, 06 November 2013

Penulis



A. Operator dan Mekanika Kuantum

Dalam mekanika kuantum, percobaan fisika (seperti energy, momentum, posisi, dsb)

diwakilkan secara matematika oleh operator. Sebagai contoh, operator yang memiliki

hubungan dengan energy adalah operator Hamiltonian

∑

Dimana sebuah indeks menyeluruh dari partikel dari system tersebut. Kita telah menemui

Hamiltonian partikel-tunggal didalam persamaan. Nilai rata-rata dari sebuah A yang tampak

diwakilkan oleh sebuah operator untuk sebuah molekul kuantum keadaan diberikan

oleh “ nilai dugaan” rumus :

B. Sifat Dasar Operator

Kebanyakan sifat dari operator adalah nyata, tetapi mereka meringkasnya dibawah dari yang

kompleks. .

Hasil penjumlahan dan pengurangan dari dua operator are diberikan

( ) ( )

Hasil dari dua operator ditentukan dengan

Dua operator sama, jika

Untuk semua fungsi f

Identitas operator tidak berpengaruh apa-apa. (atau dikalikan dengan 1)



Biasanya sebuah trik matematika menuliskan operatornya sebagai sebuah jumlah lebih

sebuah paket lengkap keadaan

∑| |

Hukum asosiatif menuliskan untuk operator

() Hukum komutatif tidak secara umum diterapkan untuk operator. Pada umumnya,

. menentukan besarnya dengan mudah dilakukan

[ ] Yg mana disebut komutator dari dan . catatan bahwa urutan persoalan , maka

[ ] [ ]. Jika dan terjadi untuk mempermudah lalu [ ]

Kekuatan n-th dari sebuah operator ditentukan sebagai aplikasi yang berhasil

dari operator seperti

Pangkat dari operator

ditentukan lewat seri besar

C. Operator Linier

Hamper semua pertor dalam mekanika kuantum adalah operator linier. Sebuah operator linier

adalah sbuah operator yang sesuai dengan dua kondisi di bawah :

Dimana adalah sebuah konstana dan dan adalah fungsi. Sebagai contoh , berdasarkan

operator dan ()2. Kita dapat melihat bahwa adalah operator linier sebab

⁄



namun, ()2 bukanlah operator linier sebab,

Kategori lain dari operator hanya yang relevan terhadap mekanika kuantum adalah kumpulan

dari operator antilinier, yang mana

D. Fungsi Eigen dan Nilai Eigen

Sebuah fungsi eigen dari sebuah operator adalah sebuah fungsi seperti penerapan dari pada

memberikan

lagi, waktu adalah konstanta.

Dimana k adalah konstanta yang disebuat nilai eigen. Sangatlah mudah untuk menunjukkan

bahwa adalah operator linier dengan fungsi eigen lalu bahyak perkalian dari adalah

juga fungsi eigen dari .Ketika system dalam sebuah keadaan eigen dari hasil pengukuran A (seperti : ketika fungsi

gelombang sebuah fungsi eigen dari operator lalu nilai yang diharapkan dari A adalah nilai

eogen dari fungsi gelombang. Dengan demikian,

Asumsikan bahwa fungsi elombang dinormalkan ke 1, sebagai kasus pada umumnya. Pada

suatu peristiwa bahwa tidak dapat diormalkan (partikel bebas,dll) lalu kita bisa

menggunakan rumus ini :



∫

Bagaimana jika fungsi gelombang adala sebuah kombinasi dari keadaan eigen? Mari kita

asumsikan bahwa kita mempunyai fungsi gelombang yang merupakan sebuah kombinasi dari

dua keadaan eigen dari dengan nilai eigen dan

dimana dan lalu apa kira-kira nilai dari A?

|| ||

|| ||

Asumsikan bahwa dan adalah ortonormal (seingkatnya kita akan menunjukkan

bahwa vekor eigen dari operator Hermitian adalah tegak lurus). Dengan demikian rata-rata

nilai A adalah rata-rata berat dari nilai eigen, dengan berat adalah akar dari koefisien dari

vector eigen di semua fungsi gelombang.



E. Hermitian Operators

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, nilai yang diharapkan dari sebuah operator diberikan dengan :

Dan semua pengamatan fisika diwakili oleh nilai harapan. Jelaslah bahwa nilai dari

pngamatan fisika seperti energy atau massa jenis haruslah nyata, maka kita membuat <A>

menjadi nyata. Ini berarti bahwa kita harus membuat <A>=<A>* atau

Operator yang sesuai kondisi ini disebut Hermitian. Satu dapat juga ditunjukkan untuk

sebuah operator Hermitian.

Untuk dua keadaan dan .

Sebuah sifat yang penting dari operator Hermitian adalah nilai eigennya nyata. Kita dapat

melihat ini sebagai : jika kita mempunyai sebuah fungsi eigen dari dengan nilai eigen i.e

lalu untuk sebuah operator Hermitian ()

||



Sejak || tidak pernah negative , kita harus mempunyai atau . Sejak

tidak diterima oleh fungsi gelombang , maka adalah nyata.

Sifa penting lainnya dari operator Hermitian adalah bahwa vector eigen mereka adalah

orthogonal (atau dapat dipilih untuk menjadi demikian ) . anggap bahwa dan adalah

fungsi eigen dari dengan nilai eigen dan . Dengan jika Hermitian lalu

()

||

Sejak eperti yang ditunjukkan di atas. Sebab kita menganggap baha , kita

harus memiliki ∫ , i.e. dan adalah tegak lurus (orthogonal) . dengan

demikian kita dapat menunjujjan bahwa fungsi eigen dari operator Hermitian dengan nilai

eigen yang berbeda adalah tegak lurus. daInlam kasus ini (lebih dari satu fungsi eigen dengan

nilai eigen yang sama), kita dapat memilih fungsi eigen untuk menjadi tegak lurus. Kita dapat

dengan mudah menunjukkan ini untuk kasus dari dua fungsi eigen dari

dengan nilai eigen

yang sama. Maka kita punya

Sekarang kita ingin membuat kombinasi linier dari dan untuk membentuk dua fungsi

eigen dan , dimana dan . sekarang kita ingin dan

untuk menjadi orthogonal , maka

( )



Maka kita harus memilih

∫ ∫

Dan kita memperoleh fungsi eigen yang tegak lurus(ortogonal). Langkah Schmidt-

ortogonalixation ini dapat cakupan luas untuk kasus dari n-lipat degenerasi, maka kita dapat

menujukkan bahwa untuk sebuah operator Hermitian, vector eigen dapat dibuat ortogonal

(tegak lurus).



Daftar Pustaka

Eisberg, Robert M., Quantum Physics. 1985. USA: John Wiley and Sons ,Inc.

Gasiorowicz, Stephen. Quantum Physics. 2003. Minnesota: University Minnesota Press.

Polkinghorne, John. Quantum Theory . 2002. New York: Oxford University Press

Rae, Alastair I.M., Quantum Physics: A Beginner’s Guide. 2005. England: One World Publications.

Yosi, R. Pendalaman Materi Fisika Kuantum. 2008. Jurnal Ilmu Pendidikan.

kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx

Documents

Transcript of kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx