KARAKTERISTIK INTEGRAL KHINTCHINErepository.ump.ac.id/6185/1/COVER_DWI LIYANTI_MTK'13.pdf · Telah...

KARAKTERISTIK INTEGRAL KHINTCHINE

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian Syarat

Mencapai Gelar Sarjana S-1

Oleh :

DWI LIYANTI

0901060140

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO

2013

HALAilIANPERSETUJUAT{

KANAIffERISTIK INTBGNAL KHINTCfrIFTE

NAMA: IFJYI UY'Ai{TINfrI:S901ffi1#

Diperi*sadar disetujui sleh :

Pernbimbingl P.emrlimbingll

NIP.21&109 NrP.21ffi227

Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013

Skripsi Berjudul

KARAKTERISTIK INTEGRAL KHINTCIIINE

Dipersiapkan dan disusun oleh:

DWI LTYANTI0901060140

Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 16 Agustus 2013

dan dinyatakan memenuhi syarat untuk diterima sebagai kelengkapan

persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

1.

Pembimbing

Eka Setvaninesih. S.Si.. M.Si.MK.2160109

Emi Widivastuti. S.Si.. M.Si.NtK.2rcA227

1.

Penguji

Dr. H. Akhmad Jazuli. M.Si.NrK.2160037

Chumaedi Sugihandardji. S.Si.. M.Si.MK.2160127

Purwokerto, 16 Agustus 2013

Universitas Muhammadiyah Purwokerto

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan


SURAT PERNYATAAII

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama

NIM

Program Studi

Fakultas

Dwi Liyanti

090r060140

Pendidikan Matematika

Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Menyusun slaipsi dengan judul :

KARAKTERISTIK INTEGRAL KTIINTCHII\E

Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi ini adalah hasil karya tulis saya sendiri

dan bukan dibuatkan orang lain atau jiplakan karya orang lain. Bila pernyataan ini tidak

benar, maka saya bersedia menerima sanksi termasuk pencabutan gelar kesarjanaanymtg

sudah saya peroleh.


Yang menyatakan

DWI LTYAIYTI(0e01060140)


v

Persembahan

Dengan tulus ikhlas dan penuh kerendahan hati, skripsi yang penuh dengan

tantangan ini akan ku persembahkan kepada :

Bpk. Hartono dan Ibu Witing, kedua orang tuaku yang selalu mencurahkan

segala bentuk kasih sayang kepadaku dan tak henti-hentinya

memberikanku do’a, materi, motivasi dan inspirasi, terima kasih untuk

semuanya. Kasih sayang yang tulus itu tak akan pernah tergantikan oleh

apapun.

Kakakku ( Akhman Liyanto) yang telah memberikan dukungan dan selalu

memberikan keceriaan dalam hidupku, terima kasih atas do’a dan kasih

sayangnya.

Seluruh keluarga besarku yang menaruh harapan besar pula padaku.

Harapan yang kalian berikan memberiku semangat yang lebih.

- Dwi Liyanti -


vi

MOTTO

ص (ماعنالا :١٦٢) ىت ص بىت اح ع ص ىت ح بع وص ص اىت ىت ن ن ىت وص ح ص اص ص ن ص صاىت ص إ

“Sesungguhnya shalatku, ibadahku, hidupku, dan matiku hanya untuk Allah,

Tuhan seluruh alam.”

(Q.S Al-An’am : 162)

Selalu berusaha menjadi yang sederhana

Untuk menjadi yang terbaik tidak harus menjadi yg pertama, karena yang

pertama belum tentu bisa menjadi yg terbaik


vii

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji karakteristik integral-K. Metode

yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode literatur. Langkah – langkah

yang dilakukan dalam penelitian ini adalah dengan mendefinisikan konsep dari

integral-K dan mengidentifikasi sifat – sifat yang berlaku pada integral-K.

Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah (1) Jika 𝐹𝑎𝑝′ ≥ 0 hampir

dimana – mana pada 𝑎, 𝑏 maka 𝐹 tak turun pada 𝑎, 𝑏 . (2) Jika 𝐹𝑎𝑝′ = 0 hampir

dimana – mana pada [𝑎, 𝑏] maka F konstan pada [𝑎, 𝑏]. (3) Jika 𝐹 hampir

terdiferensialkan mendekati dimana – mana pada [𝑎, 𝑏] maka 𝐹𝑎𝑝′ terintegral-K

dan ∫ 𝐹𝑎𝑝′𝑥

𝑎= 𝐹 𝑥 − 𝐹(𝑎). (4) Jika 𝑓 terintegral Khintchine pada [𝑎, 𝑏] maka 𝑓

terintegral Khintchine pada setiap sub interval pada [𝑎, 𝑏] dan jika 𝑓 terintegral

Khintchine pada setiap interval [𝑎, 𝑐] dan [𝑐, 𝑏] maka 𝑓 terintegral-K pada [𝑎, 𝑏]

dan ∫ 𝑓𝑏

𝑎= ∫ 𝑓

𝑐

𝑎+ ∫ 𝑓

𝑏

𝑐. (5) Jika 𝑓 dan 𝑔 terintegral Khintchine pada [𝑎, 𝑏] maka :

(a) ∫ 𝑘𝑓𝑏

𝑎= 𝑘 ∫ 𝑓

𝑏

𝑎; (b) ∫ 𝑓 + 𝑔

𝑏

𝑎= ∫ 𝑓

𝑏

𝑎+ ∫ 𝑔

𝑏

𝑎; (c) Jika 𝑓 ≤ 𝑔 hampir dimana–

mana pada 𝑎, 𝑏 maka ∫ 𝑓𝑏

𝑎≤ ∫ 𝑔

𝑏

𝑎; (d) Jika 𝑓 = 𝑔 hampir dimana – mana pada

[𝑎, 𝑏] maka ∫ 𝑓𝑏

𝑎= ∫ 𝑔

𝑏

𝑎. (6) Jika 𝑓 terintegral-K pada 𝑎, 𝑏 dan jika 𝑓 = 𝑔

hampir dimana – mana pada 𝑎, 𝑏 maka 𝑔 terintegral-K pada 𝑎, 𝑏 dan

∫ 𝑔𝑏

𝑎= ∫ 𝑓

𝑏

𝑎. (7) Jika 𝑓 terintegral-K pada [𝑎, 𝑏] dan 𝐹 𝑥 = ∫ 𝑓

𝑥

𝑎 maka:

(a) Fungsi 𝐹 kontinu pada 𝑎, 𝑏 ; (b) Fungsi 𝐹 hampir terdiferensialkan hampir

dimana – mana [𝑎, 𝑏] dan 𝐹𝑎𝑝′ = 𝑓 hampir dimana – mana pada [𝑎, 𝑏]; (c) Fungsi

𝑓 terukur pada [𝑎, 𝑏].

Kata kunci : Integral-K (Integral Khintchine)


viii

KATA PENGANTAR

بسم هللا الر حمن الر حيم

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Alhamdulillahirobbil’aalamin, segala puji syukur peneliti panjatkan

kehadirat Alloh SWT yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang atas segala

limpahan rahmat dan hidayah-Nya serta kekuatan baik lahir maupun batin

sehingga atas ridho-Nya skripsi ini dapat diselesaikan.

Skripsi dengan judul “ Karakteristik Integral Khintchine ” disusun

untuk memenuhi syarat dalam rangka menyelesaikan program studi strata 1

Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Dalam

penyusunan skripsi ini peneliti mendapatkan banyak dukungan, bimbingan, serta

bantuan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Maka

dari itu peneliti menyampaikan ucapan terimakasih yang setulus – tulusnya

kepada :

1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H, M.H. Rektor Universitas Muhammadiyah

Purwokerto.

2. Drs. Ahmad, M. Pd., Dekan FKIP Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

3. Erni Widiyastuti, S.Si, M.Si., Kaprodi Pendidikan Matematika Universitas

Muhammadiyah Purwokerto sekaligus Pembimbing II yang juga telah

memberikan bimbingan, petunjuk, dan arahan dalam penyusunan skripsi ini

4. Eka Setyaningsih, S.Si, M.Si., Pembimbing I yang telah memberikan

bimbingan, petunjuk, dan arahan dalam penyusunan skripsi ini.


ix

5. Bapak dan Ibu dosen Prodi Pendidikan Matematika yang telah memberikan

ilmu yang bermanfaat bagi pribadi peneliti selama belajar di Universitas

Muhammadiyah Purwokerto.

6. Semua pihak yang telah membantu peneliti dalam menyelesaikan skripsi ini

yang tidak dapat peneliti sebutkan karena keterbatasan peneliti.

Tidak ada sesuatu yang dapat peneliti sampaikan sebagai balasan, hanya

doa yang peneliti panjatkan semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan

senantiasa mendapat balasan dari Alloh SWT. Peneliti menyadari bahwa skripsi

ini masih memiliki banyak kekurangan maka dari itu peneliti berharap semoga

kekurangan dalam skripsi ini bisa menjadi bahan evaluasi bagi penelitian

selanjutnya sehingga bisa lebih baik. Peneliti juga berharap skripsi ini dapat

memberikan manfaat bagi dunia pendidikan dan berbagai pihak yang

membutuhkan.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.


Peneliti


x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...........................................................................................i

HALAMAN PERSETUJUAN ............................................................................ii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................iii

SURAT PERNYATAAN....................................................................................iv

PERSEMBAHAN ...............................................................................................v

MOTTO ..............................................................................................................vi

ABSTRAK ..........................................................................................................vii

KATA PENGANTAR ........................................................................................viii

DAFTAR ISI .......................................................................................................x

DAFTAR LAMBANG .......................................................................................xiii

DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xv

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................1

A. Latar Belakang ........................................................................................1

B. Rumusan Masalah ...................................................................................2

C. Tujuan .....................................................................................................2

D. Manfaat dan Kegunaan ...........................................................................3

BAB II LANDASAN TEORI .............................................................................4

A. Sistem Bilangan Real ..............................................................................4

B. Sistem Bilangan Real diperluas ..............................................................12

C. Topologi Dalam Ruang Metrik ...............................................................13

1. Ruang Metrik....................................................................................13


xi

2. Persekitaran, Titik Limit dan Titik Interior ......................................14

3. Himpunan Terbuka dan Himpunan Tertutup ...................................17

4. Ukuran Himpunan ............................................................................20

5. Himpunan Terukur ...........................................................................22

D. Fungsi ......................................................................................................23

1. Fungsi Terbatas .................................................................................24

2. Limit Fungsi ......................................................................................24

3. Fungsi Kontinu ..................................................................................27

4. Diferensial .........................................................................................29

5. Fungsi Naik dan Fungsi Turun ..........................................................31

6. Fungsi Terukur ..................................................................................32

7. Pendekatan Derivatif .........................................................................33

8. Fungsi Kontinu Mutlak .....................................................................34

9. Sifat hampir dimana - mana ..............................................................35

E. Integral ....................................................................................................35

F. Integral Khintchine..................................................................................36

BAB III METODOLOGI PENELITIAN............................................................37

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................39

A. Pengertian Integral Khintchine ...............................................................39

B. Karakteristik Integral Khintchine ............................................................45

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ..............................................................57

A. Kesimpulan .............................................................................................57

B. Saran ........................................................................................................58


xii

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 59

LAMPIRAN ...................................................................................................... 60


xiii

DAFTAR LAMBANG

≠ Tidak sama dengan

= Sama dengan

≡ Ekuivalen

∈ Elemen

< Lebih kecil dari

> Lebih besar dari

≤ Lebih kecil atau sama dengan

≥ Lebih besar atau sama dengan

∩ Irisan

∪ Gabungan

⊂ Himpunan bagian sejati

⊆ Himpunan bagian (subset)

I Interval

∀ Untuk setiap

∃ Terdapat atau ada

𝑅 Sistem bilangan real

𝑅∗ Sistem bilangan real diperluas

𝑥 Harga mutlak x

∅ Himpunan kosong

𝑁 Himpunan bilangan asli

Jumlah

Sup𝐸 Batas atas terkecil himpunan 𝐸

Inf 𝐸 Batas bawah terbesar himpunan 𝐸


xiv

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) Limit dari fungsi 𝑓 𝑥 dengan 𝑥 mendekati 𝑐

𝑋𝐸 Fungsi karakteristik dari himpunan 𝐸


xv

DAFTAR GAMBAR

Nomor Nama Gambar Halaman

1. Batas atas dan batas bawah 11

2. Persekitaran titik (2,2) dengan radius 𝑟 15

3. Persekitaran titik −5

2,

9

4 dengan radius

1

8 16

4. Fungsi 𝑓(𝑥) 23

5. Limit fungsi 𝑓 di titik 𝑐 25


KARAKTERISTIK INTEGRAL KHINTCHINErepository.ump.ac.id/6185/1/COVER_DWI LIYANTI_MTK'13.pdf · Telah...

Documents

Transcript of KARAKTERISTIK INTEGRAL KHINTCHINErepository.ump.ac.id/6185/1/COVER_DWI LIYANTI_MTK'13.pdf · Telah...