OlehIsty Yulianti

0700781

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIABANDUNG

2010

TEORI BILANGAN

AKAR PRIMITIF

LATAR BELAKANG

TEOREMA EULER ORDERBILANGAN BULAT

Bilangan bulat modulo m yang bagaimanakah yang memiliki akar primitif?

Berapa banyak akar primitif yang ada pada suatu bilangan bulat modulo m?

1

2

ORDER BILANGAN BULAT MODULO m

Misalkan a, m dengan m > 0 dan ppb(a,m) = 1. Order dari a modulo m, dinotasikan dengan

ordma adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga an

≡1 mod m.

ContohOrder dari 2 modulo 7 dapat diperoleh dengan mencari pangkat positif dari 2 yang menghasilkan residu 1 (modulo 7). Maka, 21 ≡ 2 mod 7, 22 ≡ 4 mod 7, dan 23 ≡ 1 mod 7. Jadi order dari 2 modulo 7 adalah 3, yang dinotasikan dengan ord72 = 3.

TEOREMA EULERJika ppb(a, m) = 1, maka a(m) mod m = 1 atau

a(m) 1 (mod m).

DEFINISI ORDERJika a, m dengan m > 0 dan ppb(a,m) = 1. Order dari a modulo m, dinotasikan dengan ordma adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga

an 1 (mod m).

Jika ada suatu bilangan bulat r dan order dari r modulo m adalah

(m), maka 𝜱 r disebut akar primitif modulo m

AKAR PRIMITIF

Ordmr = (m)𝜱

Perhatikan Bilangan Bulat Modulo 7!Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 7

adalah 61 bukan akar primitif modulo 7 karena ord71 = 1 ≠ 𝜙(7).2 bukan akar primitif modulo 7 karena ord72 = 3 ≠ 𝜙(7).3 adalah akar primitif modulo 7 karena ord73 = 6 = 𝜙 (7).

Apakah semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif?

Apakah akar primitif modulo 7?

Perhatikan Modulo 8!

Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 8 adalah 4 yaitu 1, 3, 5, dan 7 sehingga 𝜙 (8) = 4.Berdasarkan definisi, maka uji untuk bilangan bulat yang relatif prim dengan 8.ord81 = 1ord83 = 2ord85 = 2dan ord87 = 2Jadi, modulo 8 tidak memiliki akar primitif.

Tidak semua bilangan bulat modulo m memiliki

akar primitif

Apakah akar primitif modulo m itu unik?

Perhatikan Modulo 14!

Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 14 adalah 6 yaitu 1, 3, 5, 9, 11, dan 13.Berdasarkan definisi, uji bilangan bulat yang relatif prim dengan 14 tersebut!ord141 = 1 karena 11 1 (mod 14)ord143 = 6 karena 36 1 (mod 14)ord145 = 6 karena 56 1 (mod 14)ord149 = 3 karena 93 1 (mod 14)ord1411 = 3 karena 113 1 (mod 14)ord1413 = 2 karena 132 1 (mod 14)Jadi, 3 dan 5 adalah akar primitif modulo 14.

Bagaimana cara

mengatahui berapa

banyak akar primitif pada

bilangan bulat modulo

m?

TEOREMAJika akar primitif modulo m ada, maka terdapat tepat sebanyak

𝜙 (𝜙(m)) akar primitif yang tidak saling kongruen

_______

Bagaimanakah akar primitif pada bilangan prima?

Misal p sebuah bilangan prima dan d∊ 𝜡 dengan d > 0 dan d‌‌∣ p -1. Maka

terdapat tepat sebanyak 𝜙(d) bilangan bulat yang tidak saling

kongruen yang mempunyai order d modulo p.

Misal p bilangan prima, maka terdapat tepat sebanyak 𝜙(p – 1) akar primitif yang tidak saling kongruen modulo p.

akar primitif dari suatu bilangan

prima selalu ada

Adakah bilangan lain yang memiliki akar primitif?

Dari contoh sebelumnya,Modulo 7 memiliki akar primitif

Modulo 8 tidak memiliki akar primitifSemua bilangan prima memiliki akar

primitif

Modulo 2 Modulo 4

Modulo 8 Modulo 16

Modulo 2n

Tidak ada akar primitif modulo 2n dimana n ∊ 𝜡

dan n ≥ 3.

_________

Bagaimana akar primitif pada bilangan yang berbentuk mndengan m dan n yang relatif prim?

Contoh 2.Diketahui 3 dan 4 saling relatif prim. Maka akan dicari akar primitif modulo (3.4) atau modulo 12.𝜙(12)= 4 yaitu 1, 5, 7 dan 11.11 1 (mod 12) ⇒ ord121 = 1 ≠ 𝜙(12)52 1 (mod 12) ⇒ ord125 = 2 ≠ 𝜙(12)72 1 (mod 12) ⇒ ord127 = 2 ≠ 𝜙(12)112 1 (mod 12) ⇒ ord1211 = 2 ≠ 𝜙(12)Jadi, modulo 12 tidak memiliki akar primitif

Contoh 1.Diketahui 1 dan 2 saling relatif prim. Maka akar primitif modulo (1.2) atau modulo 2 adalah 1. 11 1 (mod 2) ⇒ ord21 =

1 = 𝜙(2)

_______

Tidak ada akar primitif modulo mndimana m, n ∊ 𝜡 , m, n > 2 dan

ppb(m, n)=1.

Misalkan m dengan m > 0. Jika m dapat dibagi oleh

dua bilangan prima ganjil yang berbeda atau m

dapat dibagi oleh bilangan prima ganjil dan 4, maka

tidak akan ada akar primitif modulo m.

------------

Jika akar primitif modulo m ada, maka m harus sama

dengan 1, 2, 4, pn, atau 2pn dimana p adalah bilangan prima ganjil dan n adalah

bilangan bulat positif.

KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF