Anggota Kelompok• Fadilah Shaomi• Fitri Sabrina• Fitriani Juwita• Lucy Dewan • Sholihatun Azizah

Garis Terhadap Bidang

Jarak Garis ke Bidang

Sudut antara Garis dengan Bidang yang Berpotongan

Jarak Garis Ke BidangMisalkan garis g dan bidang

sejajar. Jarak antara garis g dan bidang yang sejajar itu dapat digambarkan melalui langkah-langkah berikut :

Ambil sebarang titik P pada garis gBuatlah garis k yang melalui P dan

tegak lurus bidangGaris k memotong atau menembus

bidang di titik Q

Panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan bidang yang sejajar

Q

Pg

k

.

.

Contoh :Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 5 cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Hitunglah jarak antara garis AE dan bidang BCGF!Jawab :Garis AE dan bidang BCGF merupakan garis dan bidang yang sejajar. Jarak antara garis AE dan bidang BCGF ditentukan oleh panjang ruas garis AB sebab AB tegak lurus garis AE dan juga tegak lurus bidang BCGF.

Sudut Antara Garis dan Bidang

• Ambil sebarang titik Q, pada garis g.

• Melalui ttik Q, buatlah garis h yang tegak lurus terhadap bidang α. Garis h ini menembus bidang α di titik Q’.

• Sudut QPQ’ ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g dan bidang α yang berpotongan.

g

Q’

h

. .P

α

Q

Definisi

Sudut antara garis dan bidang yang berpotongan

“ Sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksinya pada bidang α.”

• sudut antara garis BH dengan bidang alas ABCD atau <(BH, Bidang ABCD) ditentukan oleh sudut yang dibentuk oleh garis BH dan garis BD (yaitu <DBH) sebab garis BD merupakan proyeksi darigaris BH pada bidang alas ABCD.

A B

CD

EF

GH

• Sudut antara garis TB dengan bidang alas ABCD atau <(TB, bidang ABCD) ditentukan oleh sudut yang dibentuk oleh garis TB dan garis BO (yaitu <TBO), sebab garis BO merupakan proyeksi dari garis TB pada bidang alas ABCD.

A

CD

B

T

O

Contoh Soal

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.a) Hitung besar besar <(AH, bidang ABCD),b) Jika sudut antara diagonal ruang AG dengan

bidang alas ABCD adalah α. Hitunglah sin α

Jawab

a) <(AH, bidang ABCD) = <DAH, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis AH dan garis AD, sebab AD adalah proyeksi AH, dan garis AD, ∆ADH adalah segitiga siku-siku sama kaki sehingga <DAH = 45o.

Jadi, besar <(AH, bidang ABCD) = 45o

b) <(AG, bidang ABCD) = <CAG, yaitu sudut yang dbentuk oleh garis AG dan garis AC, sebab AC adalah proyeksi AG pada bidang ABCD (perhatikan Gambar ).

• ∆ACG merupakan segitiga siku-siku di C, dengan AC = cm, AG = cm dan cg = 6 cm.

• Dengan mengambil sinus, kosinus, dan tangent sudut α pada ∆ACG, diperoleh:

• Sin α =

A B

CD

E F

GH

(b)

Jadi Sin α = 33

1

Contoh 2

• Bidang alas dari limas T.ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 12 cm, AD = 5cm, dan TA = TB = TC = TD = 7cm, Hitunglah panjang AC dan tinggi limas TO.

a) Hitunglah panjang AC dan tinggi limas TO.b) Hitunglah sin <(TA, bidang alas ABCD).

Jawaba) Panjang AC;

A

CD

B

T

O

Gambar 2.3

• Tinggi limas TO;

b) Sudut antara rusuk TA dengan bidang alas ABCD adalah <TAO, sebab proyeksi TA pada bidang alas ABCD adalah AO, ∆TAO adalah segitiga siku-siku di O, sehingga :

A

CD

B

T

O

Gambar 2.3Jadi, , sin <(TA, bidang alas ABCD) =

Sudut antara dua bidang

Kemungkinan:

• Dua bidang berimpit• Dua bidang sejajar• Dua bidang berpotongan

Sudut yang dibentuk antara Dua bidang berimpit atau Dua bidang sejajar sama dengan nol.

Sudut dua bidang berpotongan

Definisi :Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang kedua), garis-garis tersebut tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut.

Langkah-langkah

Misalkan bidang α dan bidang β berpotongan pada garis potong (α,β), sudut antara bidang α dan bidang β ditentukan melalui langkah :

1. Ambil sembarang titik P pada garis potong (α, β).

P

α

β

2. Melalui titik P, buatlah garis PQ pada bidang α, dan garis PR pada bidang β yang masing-masing tegak lurus terhadap garis potong (α, β).

Langkah-langkah

P

α

β

Q

R

3. Sudut QPR ditetapkan sebagai sudut antara bidang α dan β yang berpotongan (sudut tumpuan).

P

α

β

Q

R

Langkah-langkah

4. Jika bidang α tegak lurus dengan bidang β maka besar sudut antara bidang α dan β sama dengan 90⁰, dan sebaliknya.

5. Jika sudut antara dua bidang itu bukan sudut istimewa, maka perhitungan dilakukan melalui nilai perbandingan trigonometri dari sudut tersebut.

Langkah-langkah

α

β

P

Q S

R

Contoh 1

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10cma) Hitunglah besar sudut antara bidang ADGF

dengan bidang ABCD!b) Titik-titik P dan Q berturut-turut adalah titik

tengah rusuk tegak BF dan CG. Hitunglah sinus sudut antara bidang EPQH dan bidang EFGH!

Jawab

Sudutantarabidang ADGF danbidang ABCD adalah atau CDG. BesarBAF = CDG = 45° Sebab AF merupakan diagonal sisi ABFE.

EP = EP = EP = EP = = 5

Nilai sinus FEP :sin FEP = sin FEP = =

a.

b.

Contoh 2

Pada limas segiempat T.ABCD. Bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. Sudut α adalah sudut antara bidang TBC dengan bidang alas ABCD dan sudut β adalah sudut antara bidang TAB dengan bidang TCD.a. Hitunglah tan αb. Hitunglah cos β

Jawab

tan α = tan TPO =

tan α = = 3

a.

QR = BC = 6 cm dan TQ = TR = 3 cmb.

=

=

= = =

Irisan Bangun Ruang

K

M

F

D

A B

C

E

GH

P

R

Q

L

SU

T

Bidang yang mengiris bangun ruang akan membagi bangun ruang menjadi dua bagian

Bidang irisan ini berupa segi banyak yang sisi-sisinya merupakan garis potong bidang pengiris dengan bidang-bidang sisi bangun ruang tersebut.

Bidang yang terbentuk dari irisan bidang pengiris dan bangun ruang disebut bidang irisan.

Bagaimana cara melukis irisan bangun ruang ?

2. Perpotongan Bidang Diagonal

1. Sumbu Afinitas

3. Perluasan Sisi Tegak

? ?

Salah satu cara untuk melukis irisan adalah dengan membuat Sumbu Afinitas (garis koliniasi = garis dasar)

Sumbu afinitas adalah garis potong bidang pengiris dengan bidang alas.

Dua titik menentukan garis. Garis dapat diperpanjang pada

kedua ujungnya. Bidang dapat diperluas.

Postulat yang diperlukan dalam melukis bidang irisan:

1. Pilih dua titik pada bidang irisan yang terletak sebidang pada bangun ruang.

2. Lukislah garis yang melalui dua titik tersebut.3. Perpanjang garis-garis pada alas bangun ruang

sehingga memotong garis pada langkah 2.4. Hubungkan 2 titik baru pada bidang alas bangun

ruang. Garis yang diperoleh adalah sumbu afinitas.

5. Lengkapi gambar irisan bidang tersebut.

LANGKAH-LANGKAH MELUKIS

CONTOHDiketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik-titik P, Q, dan R berturut–turut terletak pada pertengahan AB, CG, dan GH. Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R!

C

BA

D

E

H G

F

Q

R

P

K

L

M

Sumbu Afinitas

F

D

A B

C

E

GH

P

Q

R

Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R

K

S

T

L Sumbu Afinitas

Lukislah bidang irisan

limas T.ABCD yang

melalui titik P, Q, dan

R

Sum

bu A

finitas

B C

D

A

T

R

Q

P

K

L

M

S

K

L

Sumbu A

finitas

M

FG

A

E

D

BC

H

QP

Lukislah bidang irisan prisma ABCD.EFGH yang melalui titik E,

P, dan Q

R

Lukislah bidang irisan limas T.ABCD yang melalui titik P,

Q, dan R

dengan titik Q pada bidang TCD.

Sumbu Afinitas

L

K

B C

D

A

T

R

Q

P

S

U

TQ’

1. Menggambar irisan bangun ruang dengan cara

perpotongan bidang diagonal dilakukan dengan

memanfaatkan garis potong bidang diagonal bangun

ruang tersebut.

2. Menggambar irisan dengan cara ini tidak memerlukan

perluasan daerah gambar, tetapi jika alasnya merupakan

segi-n dengan n yang cukup besar, maka gambarnya

menjadi lebih rumit.

Perpotongan Bidang Diagonal

A B

CD

EF

GH

P

Q

R

Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R

K

L

MS

B C

D

A

T

R

Q

P

S

Lukislah bidang irisan limas T.ABCD yang melalui titik P, Q, dan R

K

L

FG

A

E

D

BC

H

QP

Lukislah bidang irisan prisma ABCD.EFGH yang melalui titik E, P, dan Q

L

K

M

R

Menggambar irisan bangun ruang dengan cara

perpotongan perluasan sisi tegak dapat dilakukan jika

sisi-sisi tegaknya berpotongan pada daerah bidang

gambar, bukan di luar bidang gambar.

Perluasan Sisi Tegak

Lukislah bidang irisan limas T.ABCD yang melalui titik P, Q, dan R

E

KB C

D

A

T

P

Q

R

S

FG

A

E

D

BC

H

QP

Lukislah bidang irisan prisma ABCD.EFGH yang melalui titik E,

P, dan Q

R

K

L

S

A B

CD

EF

GH

P

Q

R

K

L

M

S

T

U

Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R

Sumbu Afinitas

A

D

B

C

E F

GH

R

P

Q

Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R

K

L

M

S

TU

Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R. Dimana R pada perpanjangan DH dan Q pada bidang BCGF

Q’L

N

P

Q

A B

CD

EF

GH

R

M

S

T

U

N

V

Sumbu

Afinitas

P

Q

A B

CD

EF

GH

R

R’

T

S

K

Sumbu

Afinitas

L

M

N

U

Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R

Lukislah bidang irisan prisma ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R

A

B C

D

E

F G

H

P

Q

R

K

M

S

L

Lukislah bidang irisan prisma ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R

A

B C

D

E

F G

H

P

Q

R

I

J

K

S

Merci (: