5. TURUNAN

1. Definisi Turunan.

2. Aturan Pencarian Turunan.

3. Turunan Sinus dan Cosinus

4. Aturan Rantai

5. Cara Penulisan Leibniz

Definisi Turunan

Leibniz. WilhelmGottfried

oleh kan diperkenalnan untuk turu atau )(

Lambang

)()(lim menjadi , Bila

)()(limlim

)(`)`(

adalah terhadap dari pertamaTurunan

)()(limlim

dituliskan maka,0 sehinggakecil, sedemikian Apabila

)()(

Maka .sebesar berubah sehingga sebesar berubah

nilaiMisalkan . iabeldengan var fungsisuatu adalah Bila

0

00

00

dx

dy

dx

xdfh

xfhxfhx

x

xfxxf

x

y

dx

xdf

dx

dyyxf

xyx

xfxxf

x

y

xx

xfxxfy

yyx

xxf(x)y

h

xx

xx

Definisi Turunan (pendekatan geometri)

)(

)()(lim

)(

)()(limlimlim

:matematis simbolDengan

). (ditulis P titik pada grafik singgung gariskoefisien menjadiberubah PQ garisgradien ,0 Bila

.0 dituliskanatau 0, mendekati hingga sedemikian ,menuju dan

grafik sepanjangberjalan yangik adalah tit dan ap, titik tetsebagai diambil titik Bila

)(

)()(

)(

)()(

dan kan menghubung

yang garis , slopeGradien / .sebesar bertambah maka ,sebesar bertambah bila , ke Dari

y

olehdiberikan dan antaraHubungan

. pada terletak juga yanglain ik adalah tit Titik

.grafik padaik sebuah titadalah titik Bila

0

00

00

01

00

1100

0

00

0

01

01

01

00

0101

0101

11

00

xf

xfxxf

xf

xfxf

x

ymm

mf(x)x

xxP

f(x)),yQ(x),yP(x

xf

xfxxf

xf

xfxf

x

y

xx

yym

QP

myyxxQP

yyyyy

xxxxxx

QP

f(x)y),yQ(x

f(x)y),yP(x

xxxPQtg

tg

xyxy

xyxy

yCy

nxyxy nn

sin`,cos .2

cos`,sin .1

riTriginomet FungsiTurunan

0`,

`, 1

Rumus-Rumus Dasar Turunan

xx

xx

g

aayay

eyey

yxy

xyxy

ln`,.2

`,.1

Eksponen FungsiTurunan

???`,log.2

1`,ln.1

Logaritma FungsiTurunan

Teori Turunan

)tan(),cos(),sin(.8

)`()()()()`()()()()`()`( maka

,)()()()( Jika .7

)(

)`()()()`()`( maka 0)( ,

)(

)()( Jika .9

)`()()`( maka ,)()( Jika .8

)`()()()`()`( maka ,)()()( Jika .7

)`()`()`( maka ,)()()( Jika .6

)`()`( maka ,)()( Jika 5.

)`( maka ,)( Jika 4.

)`( maka ,)( Jika .3

1)`( maka ,)( Jika 2.

0)`( maka ,)( Jika 1.

2

1

1

1

xxx

xwxvxuxwxvxuxwxvxuxf

xwxvxuxf

xv

xvxuxvxuxfxv

xv

xuxf

xuxunxfxuxf

xvxuxvxuxfxvxuxf

xvxuxfxvxuxf

xCuxfxCuxf

CnxxfCxxf

nxxfxxf

xfxxf

xfCxf

nn

nn

nn

.2adalah dari turunan bahwaBuktikan .5

.5adalah 35 dari turunan bahwaBuktikan .4

.0adalah 5 dari turunan bahwaBuktikan .3

22lim2

lim

2lim

)()(lim)`(

2)()(

)(

.2adalah dari turunan bahwaBuktikan .2

0lim

)()(lim)`(

)(

)(

.noldengan sama konstanta fungsi turunan bahwaBuktikan .1

2

0

2

0

222

00

222

2

2

0

0

xxf(x)

xf(x)

f(x)

xxxx

xxx

x

xxxxx

x

xfxxfxf

xxxxxxxxf

xxf

xxf(x)

x

CCx

xfxxfxf

Cxxf

Cxf

xx

xx

x

x

Pembuktian

.sumbu

dengan sejajar sebut titik terdi singgung garis hingga sedemikian

201232grafik padatitik -titikkoordinat Tentukan 5.

(1,4). titik di

26grafik pada singgung garispersamaan Tentukan 4.

1.gradien memiliki

saat pada 3grafik padakoordinat itik Tentukan t .3

.3 titik pada 23 garisgradien Hitunglah .2

1111 b. 69 a.

inidibawah fungsi-fungsi dari `Hitunglah .1

23

32

2

2

3234

x

xxxy

xxy

-xxy

x-xy

xxxf(x)xxf(x)

(x)f

Contoh Soal

)`( )`()`(.)(`)`(

:lain simboldengan ditulisatau

. maka

,)()(

)(),(

:berikut sebagai

ditentukan yangkomposit fungsiadalah F biladan ,diturunkan

dapat yang dan dari fungsiadalah masing-masing dan Bila

xfugxfxfgxF

dx

du

du

dy

dx

dy

xfgxFy

xfuugy

uxgf

Turunan Fungsi Komposit

131238

261234

12344 ,26

diperoleh ,

123 subtitusidengan Maka

.123 dari h 1.Hitungla

32

32

323

4

2

42

xxx

xxxdx

du

du

dy

dx

dy

xxudu

dyx

dx

du

uy

xxu

xxydx

dy

Contoh Soal

)43tan( dari h 4.Hitungla

0.43xuntuk )43ln( dari h 3.Hitungla

)43cos(3

)43cos(cos ,3

diperoleh ,sin

43 subtitusidengan Maka

.)43sin( dari h 2.Hitungla

xydx

dy

xydx

dy

xdx

du

du

dy

dx

dy

xudu

dy

dx

du

uy

xu

xydx

dyContoh Soal

11)2(1

2

1

11

2)`(1

.1

:Contoh

.`)(n maka ,)( Jika

22

121

2

12

21

22

2

2

1-nn

x

xxxxx

dx

dy

xxy

xxfxf(x)

xy

(x)fxfdx

dyxfy

1cos2)2.(1cos

2)`(1

.)1sin(

:Contoh

.`)(cos maka ,)(sin Jika

22

2

2

xxxxdx

dy

xxfxf(x)

xy

(x)fxfdx

dyxfy

12sin22).12sin(

2)`(12

.)12cos(

:Contoh

.`)(sin maka ,)(cos Jika

xxdx

dy

xfxf(x)

xy

(x)fxfdx

dyxfy

)12cos(. .4

ln

1 3.

cos 2.

cos. 1.

:Contoh

.``

` maka Bila 4.

.̀`` maka Bila 3.

.̀`` maka Bila 2.

konstan. ,̀` maka Bila 1.

berlaku Maka . dari fungsimerupakan

,dan dari fungsiadalah dimana rumit, fungsi-fungsiUntuk

3

2

3

2

xxy

xx

xy

x

xy

xxy

v

uvvuy

v

uy

uvvuyuvy

vuyvuy

kkuykuy

x

vuy

Aturan Rantai