Kuliah 6 Kalkulus 1 Definisi Turunan New
description
Transcript of Kuliah 6 Kalkulus 1 Definisi Turunan New
-
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURABAYA DEFINISI TURUNAN
-
Definisi TurunanPada definisi turunan, akan dijelaskan dari konsep gradien garis singgung, bagaimana cara menentukan gradien garis singgung pada kurva y=f(x) dititik (x1,f(x1)) dititik A (x1,f(x1)) dan B (x2,f(x2)) dimana garis AB adalah garis yang menghubungkan kedua titik tersebut ?
Penyelesaian : Gradien garis AB adalah
(x1, f(x1)B (x2,f (x2)) A y = f(x) x2-x1 f(x) f(x1)
0 x1 x2 x
-
Misalkan, x2 - x1 ditetapkan sebagai h , sehingga x2 = x1 + h. Nilai h 0 sebab jika h=0 maka x2=x1 Dengan demikian,
Ketika A tetap dan B digerakkan sepanjang kurva mendekati A, maka x2 mendekati x1 (ditulis x2 x1) atau (x2 - x1) 0 atau h 0 (dibaca h mendekati nol). Akibatnya, garis AB mendekati garis 1 yang merupakan garis singgung kurva di A. Dengan demikian, gradien garis AB mendekati gradien garis singgung kurva di A (x1,f(x1)) .
m disebut gradien garis singgung kurva y=f(x) dititik (x1 , f(x1)).
Contoh soal :Tentukan gradien garis singgung pada kurva y=2x3 dititik (-1,-2)! Penyelesaian :
-
Diketahui (x1 , f(x1) = (-1,-2) sehingga x1 = -1 f(x) = 2x3
Sehingga :f(x1+ h) = f(-1+h) = 2 (-1+h)3 = 2 (-1+3h-3h2 + h3)f(x1)= f(-1)= 2 (-1)3 = -2 f(-1+h) f(-1)= 2 (3h-3h2 + h3)Dengan demikian :
-
Turunan (differential) dari sebuah fungsi f dan fungsi yang diberi lambang f (dibaca f aksen) dan difenisikan sebagai :
Dengan menganggap limit ini ada. Jika f(x) bisa diperoleh, f dikatakan dapat diturunkan (differentiable). Jika f(x) disebut turunan dari f terhadap x. Proses mencari turunan disebut penurunan (differentiation).Contoh soal : Tentukan turunan daria.b.
Penyelesaian :a.
-
b.
-
ATURAN PENCARIAN TURUNANAturan Turunan Fungsi Konstantajika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka f(x) = 0 atau d/dx (k) = 0bukti :
y (x,k) (x+h,k)y (x+h,x+h) (x,x)
x x+h x x x+h x f(x) = k f(x) = xContoh soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut :
-
Penyelesaian :f(x) = 0 , sebab adalah konstanta
2.Aturan Turunan Fungsi IdentitasJika f(x) = x , maka f(x) = 1 atau d/dx (x) = 1Bukti :
3. Aturan Turunan Fungsi Eksponen (Pangkat)Jika f(x) = xn dengan n adalah bilangan real, maka : f(x) = nxn-1 atau d/dx = xn = nxn-1
-
Contoh soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut :a.F(x) = x5 + 3x4 2x3b. F(x) = 5x4 2x2 + 3
Penyelesaian : F(x) = x5 f(x) = 5x5-1 f(x) = 5x4 F(x) = x7 f(x) = 7x7-1 = 7x6
Aturan Turunan Hasil Kali Konstanta dengan FungsiJika f adalah fungsi yang dapat diturunkan dan k adalah suatu konstanta maka fungsi g(x) = k f(x) dapat diturunkan dengan g(x) = k f (x) atau d/dx [k (f(x))] = k fx)
Bukti :
-
Dimana g(x) = k f(x) sehingga g(x+h) = k f(x+h). Jika hasil ini dimasukkan ke dalam g(x) diperoleh :
Contoh soal : K (x) = 3x3 + 2x2F(x) =
Penyelesaian :
-
F(x) = 3x3 + 2x3f(x) = 3.3x3-1 + 2.2x2-1f(x) = 9x2 + 4x
b. F(x) = = x f(x) = . 1. x -1 f(x) = . X - f(x) = .f(x) =
Aturan Turunan Jumlah FungsiJika u dan v adalah fungsi fungsi dari variabel x yang dapat diturunkan, maka u+v juga dapat diturunkan.Misal : f(x) u (x) + v(x)maka f (x) = u(x) + v(x)atau d/dx [u(x) + v (x)] = u(x) + v(x)
-
Dengan demikian, turunan dari jumlah dari dua fungsi sama dengan jumlah dari turunan turunannya.
Bukti :
-
Contoh soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut.
Penyelesaian :
Aturan Turunan Selisih FungsiJika u dan v adalah fungsi fungsi dari variabel x yang dapat diturunkan, maka u-v juga dapat diturunkan, seperti aturan turunan jumlah fungsi.Misal : g (x) = u(x) v(x)maka, g(x) = u(x) v(x)atau d/dx [u(x) v(x)] = u(x) v(x)
-
Bukti untuk penurunan selisih dari dua fungsi, sama seperti proses penurunan jumlah dari dua fungsi.
Contoh soal : F(x) = 3x4 5x2F(x) = 4.3x4-1 5.2x2-1F(x) = 12x3 10x
7.Aturan Turunan Hasil KaliJika u dan v adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka hasil kali u.v juga dapat diturunkan. Misalkan f9x) = u(x).v((x) maka : f(x) = u(x).v(x) + v(x).u(x) Tampak bahwa turunan dari perkalian dua fungsi adalah fungsi pertama dikali dengan turunan fungsi pertama. d/dx (perkalian) = (pertama) (turunan dari kedua) + (kedua) (turunan dari pertama).
Bukti : Jika f(x) = u(x).v(x)
-
Contoh soal : Tentukan turunan dariF(x) = (x+2) (3x+6)F(x) = (2x3 - 3x2) (5x2 7)
Penyelesaian :a.F(x) = (x+2) (3x+6)u(x) = (x+2) u(x)=1v(x) = (3x+6) v(x) = 3f(x) = u(x).v(x) + v(x) + u(x)= (x+2) (3) + (3x+6) (1)= 3x + 6 + 3x + 6= 6x + 12
F(x) = (2x3 - 3x2) (5x2 7)u(x)= (2x3 - 3x2) u(x) = 6x2 - 6xv(x) = (5x2 7) v(x) = 10xf(x) = u(x).v(x) + v(x) + u(x)
-
= (2x3 - 3x2) (10x) + (5x2 7) (6x2 - 6x)= (20x4 30x3) + (30x4 30x3 42x2 + 42x)= 20x4 30x3 + 30x4 30x3 42x2 + 42x= 50x4 - 60x3 - 42x2 + 42x
Aturan Hasil Bagi FungsiJika u dan v adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka pembagian u/v juga dapat diturunkan., maka pembagian u/v juga dapat diturunkan. Misal : , u(x) disebut juga fungsi pembilang dan v(x) disebut fungsi penyebut, maka :
Turunan dari pembagian dua fungsi adalah penyebut dikali dengan pembilang dikurangi dengan pembilang dikali dengan turunan penyebut. Kemudian, hasilnya dibagi dengan kuadrat penyebut. Bukti : Jika maka : u(x) = f(x).v(x) u(x) = f(x).v(x) + f(x).v(x) f(x).v(x) = u(x) f(x).v(x)
-
f(x).v(x) = u (x) . f(x) . (x)
Soal : Tentukan turunan fungsi dari : a.
b.
Penyelesaian :
-
a.
b.
-
Sehingga dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan yang dirangkum sebagai berikut :
1. Jika f (x)=k, maka 2.3.
4.
5. dengan g(x) 0.
-
3.Tentukan turunan pertama dari Soal!1. Tentukan turunan pertama dari 2. Tentukan turunan pertama dari
-
Soal LatihanTentukan fungsi turunan pertama dari1.2.3.4.5.
-
Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
Bukti:
a. Misal f(x) = sin x maka
-
b. Misal f(x) = cos x maka
-
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v
-
Aturan RantaiAndaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka
Contoh : Tentukan dariJawab :Misal sehingga bentuk diatas menjadi Karena
dan maka
-
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), danAda, makaContoh : Tentukan dariJawab :Misal u = Sin v sehingga
-
Contoh : Tentukan
jawab :
-
Tentukan fungsi turunan pertama dari y = sin x tan [ x2 + 1 ]Soal Latihan1.2.3.4.5.6.
*****************