MATERI KULIAH DASAR SISTEM KENDALIHilda Mega Marcella1, Srinyta Siregar2, Silvya Amilya3, Rizki Prasetyo4, Andi Yusuf Masalan5, Ridho

Pernanda6, Ganta Yudha7, Gilang Ghufron L8, Riko Andika Wijaya9, Putranusa Perkasa10

1Hilda Mega Marcella (03111004003)2Srinyta Siregar (03111004047)3Silvya Amilya (03111004082)4Rizki Prasetyo (03111004039)5Andi Yusuf Masalan (03111004067)6Ridho Pernanda (03111004081)7Ganta Yuda (03111004089)8Gilang Ghufron L (03111004036)9Riko Andika Wijaya (03111004102)10Putranusa Perkasa (031110040 )

Abstrak-Pada mata kuliah dasar sistem kendali, ada beberapa materi yang diajarkan dalam mata kuliah tersebut. Materi yang

diajarkan antara lain yaitu fungsi alih, transformasi laplace, diagram blok, diagram aliran sinyal dan masson rule. Di dalam

jurnal ini, akan dibahas materi-materi mengenai mata kuliah dasar sistem kendali.

Kata Kunci : fungsi alih, diagram blok, diagram aliran sinyal

Abstract-In the basic subjects of control system, there are some materials that are taught in the course. The material taught,

among others, the transfer function, Laplace transform, block diagrams, signal flow diagram and masson rule. In this

journal, will be discussed materials on basic subjects of control system.

Keywords : transfer function, block diagrams, signal flow diagram

I. PENDAHULUAN

Model matematis suatu sistem :

Persamaan matematis yang menunjukan

hubungan input dan output dari suatu sistem

yang bersangkutan.

Dengan mengetahui model matematis ini, maka

kita dapat menganalisa tingkah laku sistem.

R(s) Sistem C(s)

OUPUT INPUT

Diagram diatas menunjukan diagram model

matematis suatu sistem.

R(s) = transformasi Laplace dari input

C(s) = transformasi Laplace dari output

G(s) = transformasi Laplace dari hubungan

input dan output dari sistem.

C(s) = G(s).R(s)

Transfer function :

C( s )R( s )

=G(s )

model matematis sistem ekuivalen dengan

transfer function.

Transfer function / fungsi alih :

Perbandingan antara transformasi laplace dari

output dengan transformasi laplace dari

inputnya, dengan anggapan semua kondisi awal

= 0.

1. F = input (gaya) ; x = output (pergeseran)

G(s)

k = konstanta pegas

m = massa

f = koefisien gesekan (piston)

carilah transfer function sistem mekanis

dibawah!

Solusi :

F = m.a

F – k.x – f.x.

= m.x..

F(s) – kX(s) – fsX(s) = ms2X(s)

F(s) = (ms2 + fs + k) X(s)

X ( s )F (s )

= 1ms2+ fs+k

1.

J = momen inersia

f = koefisien gesek

= kecepatan sudut (output)

T = torsi (input)

= percepatan sudut

= pergeseran sudut

J = T

Jω.

= T-f.

Js(s) = T(s) – f(s)

T(s) = (Js +f) (s)

(s )T ( s )

= 1Js+ f

eI=L .

didt

+R . i+1c∫ i . dt

……………… (1)

e0 =

1c∫ i . dt

………………(2)

Transformasi Laplace :

1 EI(s) = Ls I(s) + R I(s) +

1Cs

I (s )

2 E0(s) =

1Cs

I (s ) I(s) = C s E0(s)

21:

EI(s) = L C s2 E0(s) + R C E0(s) + E0(s)

EI(s) = C L C s2 + R (s +1) E0(s)

E0(s )Ei(s )

= 1LCs2+RCs+1

E0(s )Ei(s )

= 1RCs+1

(Buktikan !!!)

Bila kedua rangkaian RC disamping tidak

dianggap terpisah.

EI = R1.i1 + ∫( i1−i2 )dt…………………(1)

0 =

1C1∫(i2−i1 )dt+R2 . i2+

1C2∫ i2 .dt

…….(2)

e0 =

1C2∫ i2 . dt

………………….(3)

Transformasi Laplace :

1 Ei( s )=R1 .i1+

1C1(s )

( I1( s )−I 2(s ))

2

0= 1C1 s

( I 2(s )−I 1(s ) )+R2 . I 2( s )+ 1C2 s

I 2( s )

3 E0( s )= 1

C2 sI 2(s )

Eliminasi I1(s) dan I2(s) dari ketiga persamaan

diatas menghasilkan :

E0(s )E1(s )

= 1R1 C1 R2C2 s2+(R1C1+R2C2+R1C2)s+1

Bila Kedua rangkaian RC diatas dianggap

terpisah.

Em( s )Ei(s )

= 1R1 C1 s+1

Em( s )Ei(s )

= 1R2 C2 s+1

Transfer Function :

E0(s )Ei(s )

=E0( s )Em( s )

.Em(s )E i(s )

= 1R2C2 s+1

.1

R1C1 s+1

= 1

R1 C1 R2C2 s2+(R1C1+R2C2)s+1

G1(s )=X2(s )X1(s )

,G2( s )=X3(s )X2(s )

G( s )=X3(s )X1(s )

=X2( s )X1( s )

.X3( s )X2( s )

=G1(s ) .G2( s )

E0(s )Ei(s )

=( 1R1C1 s+1

)(K )( 1R2 C2 s+1

)

= K(R1C1 s+1 )(R2C2 s+1 )

Bentuk Blok Diagram Sistem Tertutup ( Close loop System )

Dimana :

R(s) adalah Input Laplace transformC(s) adalah Output Laplace transformG(s) adalah Transfer function forword elementH(s) adalah TF. Feedback elementE(s) adalah Error sinyalC(s)/R(s) adalah closed loop Transfer functionE(s)/ R(s) adalah Error RatioB(s)/ R(s) adalah Primaery feedback ratio

PENYEDERHANAAN DIAGRAM BLOK

Dalam penyederhanaan diagram blok sangat penting untuk diperhatikan, sebab blok-blok hanya dapat dihubungkan secara seri jika keluaran sutu blok tidak dipengaruhi oleh blok-blok berikutnya. Tetapi apabila ada pengaruh pembebanan antar komponen maka, perlu

G(s)

H(s)

R(s) E(s) C(s)

+ - C( s)

R( s)=

G( s )

1+H ( s)⋅G( s )

dilakukan penggabungan dari bebrapa komponen menjadi satu blok/kotak saja.

Untuk diagram blok yang yang melibatkan bebrapa loop berumpan balik maju, maka selangkah demi selangkah dari komponnen-konponennya perlu diperhatikan, dalam penyederhanaan diagram blok/kotak :1. Hasil kali fungsi alih (transfer function)

pada arah umpan maju harus tetap sama.2. Hasil kali fungsi alih pada pengelilingan

loop harus tetap sama.

Suatu bentuk aturan umum untuk menyederhanakan diagram blok adalah memindahkan titik cabang dan titik penjumlashan, lalu kemudian menyerhanakan umpan balik didalamnya.

Contoh Soal : Carilah fungsi alih ( Transfer function ) dari suatu system yang terdiri dari bentuk gambar diagram blok/kotak system tertutup sbb :

Soal :Ringkaslah diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan fungsi alih dari system, apabila R(s) sebagai input dan C(s)

sebagai output. Kerjakan dengan cara selangkah demi selangkah (Step by step)

C( s )R( s )

=(G1( s)⋅G2( s)⋅G3( s) )׿¿¿¿

∴ C (s )R( s )

=G1( s)×G2( s)×G3( s )

(1+H1( s)⋅G1( s)⋅G2( s))+(H2( s )⋅G2( s )⋅G3( s ))

G1(s) G(s) G3(s)G2(s)

H1(s)

H2(s)

-

+-

+C(s)

R(s)

G(s)

H(s)

R(s) E(s)C(s)

+ -F(s)A(s)

C( s )E( s )

=G(s )=G p( s )⋅A( s )⋅F (s )

E( s )=R( s )−B( s )C (s )=G (s )×E (s )B(s )=H (s )×C( s )C (s )G( s )

=E( s )=R( s )−B( s )=R( s )−H ( s )×C (s )

∴C (s )G( s )

=R (s )−H (s )×C (s )⋅→R( s )

Inputmenyatakanbahwa :

R( s )=[1G( s )+H ( s )]×C (s )

∴maka . ..C ( s )R (s )

=G( s )

1+G( s )×H (s ).. .. . terbukti

X2 tidak ada hubungan dengan yang lain

DIAGRAM ALIRAN SINYAL

Dalam penggambaran (Representasi)

diagram kotak atau blok adalah “Sangat Baik”

dalam menimbulkan suatu system control, dapat

juga sebagai pengganti metode ini yaitu Dagram

Aliran Sinyal atau dapat juga disebut Grafik

Aliran Sinyal.

Adapun yang disebut grafik aliran sinyal

adalah suatu pernyataan gambar dari

persamaan-persamaan serempak yang

menguraikan sebuah system secara grafis

memperagakan suatu bentuk transmisi isyarat

melalui system seperti yang dilakukan pada

diagram Blok. Tetapi Grafik ini lebih mudah

digambarkan atau lebih mudah dimanipulasi

daripada diagram blok atau kotak.

Maka untuk diagram aliran sinyal pada

system control dikonstruksi pemakaian Gain,

sehingga akanm menghasilkan semua transfer

function. Suatu diagram aliran sinyal pada

sebuah system adalah merupakan jaringan yang

terdiri dari titik hubung yang disebut dengan

“Node”(simpul) dan ruas garis lurus yang

disebut dengan “Cabang”. Simpul-simpul itu

dihubungkan oleh cabang yang arahnya telah

ditentukan.

Contoh: Suatu bentuk sederhana dari grafik aliran sinyal

Jadi Xi = Aij . Xj

Variable-variable Xi dan Xj dapat merupakan

fungsi-fungsi dari waktu, frekuensi komplek

atau sembarang besaran lainnya, dapat juga

keduanya merupakan tetapan-tetapan variable

dalam pengertian matematis.

Sedangkan Aij adalah merupakan sebuah

operator matematik yang meletakkan Xj ke

daam Xi, dan hal tersebut merupakan bentuk

dari “Fungsi transmisi”

Adapun konstruksi diagram aliran sinyal

meliputi urutan penyebab-penyebab dan

pengarah dari hubungannya.

Misalkan: Bentuk dari diagram aliran sinyal C(s) = G(s) . R(s)

Maka diagram aliran sinyalnya adalah

Biasanya : C(s), G(s), R(s) dapat ditulis dengan cara menghilangkan tanda (s)Sehingga dapat ditulis C, G dan R saja

Contoh :

Tinjau bentuk persamaan dibawah ini dari sekumpulan Error persamaan dan transfer function (TF)

a). X1 = R – H1 . X3

b). X2 = G1 . X1 – H2 . Cc). X3 = G2 . X2

d). C = G3 . X3

Dimana, X1, X2, X3 adalah merupakan node konstruksi diagram, maka diagram aliran sinyalnya adalah:

kkkkkk P

PP

..1.

RX1

X2 X3C

-H1

G21

RX1 X2 X3

1

- H1C

RX1 X2 X3 C1

-H2

G1

RX X2

X3

C

-H1

G2 G31

-H2

1G1

Keterangan:

Persamaan a).Dinyatakan bahwa sinyal X1

tergantung atas sinyal R dan X3, Sinyal X3

adalah dikalikan dengan Gain -H1 yang masuk

kedalam node X1

Gain -H1 adalah dinyatakan pada cabang X3 ke

X1

Untuk tiga (3) persamaan yang lain dapat

diterangakan seperti diatas, Sehingga untuk

memudahkan penggambaran aliran sinyal kita

tetapkan menurut dasar-dasar sebagai berikut:

1. Simpul-simpul (node) direpresentasikan

/ digambarkan sebagai variable disistem

dan disusun menurut rangkaian

penyebab effect dari system.

2. Sepanjang perjalanan sinyal pada

cabang ditentukan arahnya.

3. Sinyal yang dikirim sepanjang cabang

dikalikan dengan gain dari cabang itu.

4. Banyaknya variable yang dikemukakan

oleh suatu node/simpul adalah sama

dengan jumlah sinyal yang masuk

5. Banyaknya variable yang dikemukakan

oleh suatu node ditransmisikan atau

dikirim pada semua cabang

meninggalkan simpul

6. Jalan maju adalah jalan node input ke

node output tanpa melalui node yang

lain

7. Jalan feedback tak menyinggung atau

loop yang tidak mempunyai node

bersama

8. Jalan feedback adalah permulaan jalan

dan ahkir jalan dalam node yang sama

9. Gain dari suatu jalan adalah sama

dengan hasil dari semua gain pada jalan

itu.

RUMUS PENGUATAN MASSON’S

Adapun untuk menentukan hubungan antara

variable masukkan dan variable keluaran dalam

grafik aliran sinyal, maka “Rumus Penguatan

Masson’s” dapat di[pergunakan, sebab dapat

dipakai dalam penyelesaian bentuk-bentuk

kasus praktis. Dimana transmisi antara simpul

masukkan dan simpul keluaran adalah

merupakan penguatan keseluruhan, atau

transmisi keseluruhan antara dua buah simpul.

Dimana : P = Semua gain, biasanya ditulis C(s)/R(s)Pk= Penguatan atau transmisi lintasan maju ke “k”

∆ = Determinan grafik

Δ=1−∑i

Li+∑i , j

Li⋅L j−∑i , j , p

Li⋅L j⋅Lp

∑i

Li= Jumlah dari semua penguatan loop yang berbeda

∑i , j

Li⋅L j=Jumlah hasil kali penguatan dari

semua, kombinasi yang mungkin dari dua loop yang tidak bersentuhan.

∑i , j , p

Li⋅L j⋅L p= Jumlah hasil kali penguatan

dari semua kombinasi yang mungkin dari tiga loop yang tidak bersentuhan.

∆k = Kofactor dari determinan lintasan maju ke “k” dengan menghilangkan loop-loop yang menyentuh lintasan maju ke “k”

Contoh : Tinjaulah system pada gambar diagram blok seperti dibawah, cari fungsi alih loop tertutup C(s)/R(s). Selesaikan dengan rumus penguatan Masson’s

Penyelesaian:

Jumlah Loop : 3 # Ada satu lintasan maju

K = 1 P1 = G1 . G2 . G3

L1 = G1. G2 . H1

L2 = - G2 . G3 . H2

L3 = - G1 . G2 . G3

# ∆ = 1 – ( L1 + L2 + L3 ) = 1 - G1. G2 . H1 + G2 . G3 . H2 + G1 . G2 . G3

Maka kofaktor (∆1) dari determinan lintasan maju yang menghubungkan simpul masukkan dan keluaran diperoleh dengan menghilangkan loop-loop yang menyentuh lintasan, karena “P1” menyentuh semu loop maka ( ∆1= 1 )

# Untuk mencari Loop Yang tidak berhubungan adalah:

Jumlah Loop : 3 # Ada satu lintasan maju

K = 1 P1 = G1 . G2 . G3

L1 = - G1. H1

L2 = - G2 . H2

L3 = - G3 . H3

# ∆ = 1 – ( L1 + L2 + L3 ) + (L1 x L3 ) = 1 – (G1.H1 + G2 .H2 + G3.H3) + (G1.G3.H1.H3)

Maka kofaktor (∆1) dari determinan lintasan maju yang menghubungkan simpul masukkan dan keluaran diperoleh dengan menghilangkan

G1(s) G(s) G3(s)G2(s)

- H2

H1(s)

H2(s)

+

+

+

-

-+

C(s)R(s)

R(s) C(s)G1 G2 G3

+ H1

- 1

1 1X1 X2

X3

X4

C)

X1 X2 X3 X4

G1(s) G3(s)G2(s)

- H2

H1(s)

H2(s)

+

+ --

-

+

C(s)R(s)

R(s) C(s)G1 G2 G3

- H1

1 1X1

X2

X3 X4

X1 X2 X3 X4

H3(s)

X5

1

- H3

G1(s) G(s) G3(s)G2(s)

H1(s)

H2(s)

+

+

+

-

-+

C(s)R(s) X1 X2 X3 X4

P=[ Pk⋅Δk

Δ ]k=1

∴ . P=C (s )R( s )

=P1⋅Δ1

Δ=

G1⋅G2⋅G3

1−G1⋅G2⋅H1+G2⋅G3⋅H2+G1⋅G2⋅G3

P=[ Pk⋅Δk

Δ ]k=1

loop-loop yang menyentuh lintasan, karena “P1” menyentuh semua loop maka ( ∆1= 1 )

Contoh Soal :Ringkaslah diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan fungsi alih dari system, apabila R(s) sebagai input dan C(s)

sebagai output. Kerjakan dengan cara selangkah demi selangkah (Step by step)

DAFTAR PUSTAKA

Ogata, Katsuhiko, 1985, Teknik Kontrol Otomatik (terj. Ir. Edi Laksono), Jakarta: Penerbit Erlangga

Hale, Francis J., 1988, Introduction To Control System Analysis and Design , 10 th ed, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. 84

Distefano, Joseph J., Allen R. Stubberud, Ivan J. Williams, 1992, Sistem Pengendalian dan Umpan Balik (terj. Ir. Herman Widodo Soemitro), Edisi ke-2, Jakarta: Penerbit Erlangga

G1(s) G3(s)G2(s)

H1(s)

G4(s)

+

+

+

-

++

C(s)

R(s)

H2(s)

G1(s) G3(s) + G4(s)G2(s)

H1(s)

+

+

+

-

C(s)

R(s)

H2(s)

G1(s) x G2(s)

1- H1(s)x(G1(s) x G2(s))G3(s) + G4(s)

+

-

C(s)

R(s)

H2(s)

∴ . P=C (s )R( s )

=P1⋅Δ1

Δ=

G1⋅G2⋅G3

1+(G1⋅H1+G2⋅H2+G3⋅H3 )+(G1⋅G3⋅H1⋅H3 )