Hasil teoritis yang penting adalah Rumus Carter, rumus untuk daerah fraktur dengan lebar yang konstan dan dibentuk oleh injeksi pada tingkat konstan dengan cairan yang hilang ke formasi. Untuk fraktur hidrolik vertikal dengan konstan ketinggian, formula Carter memberikan panjang fraktur sebagai fungsi dari ketinggian yang kosntan.

Namun, pada nilai waktu yang besar efek asumsi ini menjadi tidak signifikan karena pengaruh kehilangan cairan mendominasi.Lebar dari vertical fracture pertama kali diteliti oleh Khristianovic and Zheltov dengan asumsi bahwa lebar tidak menyebar di arah vertical.

FORMULAFraktur vertical merambat menjauhi sumur dalam garis lurus.

Ketinggian fraktur vertical diasumsikan terbatas dalam sebuah jarak h yang konstan terhadap lapisan batu yang resistan fraktura . Resistan tersebut diakibatkan oleh tegangan lapisan tektonik yang besar atau kekuatan fraktura di batuan yang mengelilingi reservoir.

Dalam sistem koordinat x,y,z, dengan x searah dengan arah perambatan fracture dan z parallel dengan sumbu sumur. Dapat diasumsikan bahwa isotropic material elastis yang homogeny berada di sekitar fracture. Asumsi kehomogenan tidak selalu konsisten dengan asumsi awal bahwa fracture dari batuan yang resistant membatasi reservoir yang mengalami fracture. Akan tetapi, berdasarkan hukum St. Vennant’s dalam teori keelastisan, sifat elastis di sekitar fracture dikontrol oleh batuan reservoir dan batuan sekeliling yang berbeda seharusnya memiliki efek yang kecil terhadap lebar dari fracture.

Kita membatasi perhatian tentang perambatan fraktur ketika panjang, L, jauh lebih besar daripada tinggi, h, dan semua kuantitas diharapkan bervariasi secara perlahan dengan x di sebagian besar fraktur.

Sebelum terjadi retakan, tegangan tekanan berperan sebagai alat parallel untuk fraktur di dalam reservoir. Cairan dalam fraktur berada di bawah tekanan S + dP dan kita mengabaikan variasi dP dengan z sehingga dP = dP (x, t). Kemudian, dengan solusi pesawat-regangan untuk retak di bawah tekanan konstan, fraktur berbentuk lonjong dan lebar, w (x, t), diberikan oleh ...

di mana G dan v adalah modulus bulk ahear dan rasio Poisson untuk formasi. Solusi pesawat-regangan mengabaikan pengaruh variasi pori-tekanan pada respons elastis yang merupakan efek yang kecil dalam masalah fraktur.

Selanjutnya, kita mempertimbangkan aliran cairan dalam fraktur. Persamaan contuinity untuk aliran suatu fluida dalam fraktur dapat ditulis sebagai

dimana q (x, t) adalah tingkat volume aliran melalui penampang (x = const.) fraktur, qp (x, t) adalah tingkat volume kehilangan cairan pembentukan per satuan panjang fraktur, dan A (x, t) adalah luas penampang fraktur.

dengan berasumsi bahwa q berhubungan dengan gradien tekanan dengan solusi klasik untuk aliran laminar cairan kental Newtonian dalam tabung elips semiaxes 1 / 2b dan 1 / 2w max dengan b >> w max, yaitu.

di mana u adalah viskositas fluida rekah.

Dan persamaan tiga menjadi

Luas penampang dari fraktur elips diberikan oleh:

Tingkat kehilangan cairan , q l, berhubungan dengan tingkat kerugian , ul, per satuan luas permukaan fraktur oleh

Dan apabila ul adalah variabel independen dari z, maka

Dan dari eksperimen disarankan bahwa untuk laju kehilangan dari fracturing fluids dapat dinyatakan sebagai

Dimana C adalah koefisien dari fluid-loss dan r adalah waktu saat mulai aliran. Koefisien C bergantung pada jenis cairan, parameter formasinya, dan biasanya diberitaukan berdasarkan hasil eksperimen. Perbedaan tekanan diantara tekanan retakan S+∆ p dan tekanan lubang formasi

persamaan tersebut memuat ∆ p yang bergantung dari x dan t.

Di sumur(x=0) boundary condition q dan p harus dispesifikasikan. Kondisi ini akan bergantung pada hubungan q(p) dari alat popma yang digunakan dalam porses retakan. Untuk konstan laju inflow

Untuk kondisi batas lainnya dapat dibantu dengan metode numeric.Inisialisiasi, patahan tertutup,

Selain itu, fraktur tertutup ketika x ≥ L(t).

Dimana panjang retakan ditentukan sebagai bagian dari solusi.Dengan mensubstitusi persamaan 5, 6, 8, dan 9 kedalam persamaan 2, didapat

Dimana r(x) adalah waktu dimana retakan membuka di x

Atau dengan kata lain r(x) adlah fungsi inverse L(t). Dengan mensubstitusikan persamaan 5 kedalam persamaan 11 didapat

Untuk meminimalisir perhitungan, lebih mudah untuk mengubah persamaan yang mengatur ke dalam bentuk berdimensi . Dengan demikian , jika kita mengatur

dimana

Persamaan 18 diselesaikan dengan metode numeric.

HASILHasil yang telah diperoleh dengan tiga metode yang berbeda dari lampiran yang telah diterapkan pada persamaan berdimensi (persamaan 18 ) . Panjang fraktur LD ( berdimensi ) dan lebar rekahan di sumur W ( O , berdimensi ) vs waktu berdimensi ditunjukkan pada Gambar . 2 dan 3 .

Sebuah solusi perkiraan dalam fungsi dasar berasal dalam lampiran B atas pengabaian istilah dA / Jt dalam Pers. 2. Pendekatan ini berlaku untuk waktu yang cukup besar seperti yang ditunjukkan dalam Lampiran B dan dikonfirmasi oleh perbandingan dengan hasil numerik pada Gambar . 2 dan 3. Kasus tidak ada cairan kerugian dari fraktur dilihat di lampiran C. Transformasi kesamaan dalam kombinasi dengan metode numerik lampiran A melengkapi solusi untuk setiap nilai waktu .Solusi perkiraan Lampiran B dan C memberikan wawasan yang cukup ke dalam efek Parameter fisik dalam panjang, lebar, dan tekanan retakan.Untuk kasus fluid-loss yang besar, panjang rekahan dan lebar maksimum dari lubang bor dapat ditulis sebagai fungsi

Dan untuk kasus tidak ada fluida yang hilang atau waktu yang sebentar, berikut ini adalah fungisnya

Studi rinci efek variasi parameter dapat dilakukan melalui persamaan 17 dan hasil berdimensi pada Gambar 2 dan 3 berguna dalam kita mendesain perawatan fraktur . Sebagai contoh , koefisien fluid- loss , C , diperlukan untuk mencapai panjang fraktur yang diinginkan setelah waktu memompa tertentu dapat ditentukan dari hasil ini . Tekanan memompa diperlukan untuk mencapai injeksi yang diinginkan.

Dan bahkan perawatan fraktur dapat dirancang sedemikian rupa sehingga pembukaan fraktur sesuai dengan ukuran proppantnya . Mungkin asumsi yang paling penting adalah bahwa tinggi fraktur terbatas vertikal dan panjang rekahan jauh lebih besar daripada ketinggian ( L >> b ) . Seperti yang terlihat dari Gambar . 4 , asumsi kedua menjamin variasi lambat lebar , w , dengan x yang memvalidasi asumsi dasar plane strain . Jika kondisi L >> b , khususnya setelah inisiasi fraktur , tidak terpenuhi atau jika fraktur tidak vertikal terbatas , maka model teoritis lainnya propagasi fraktur yang lebih tepat.