Menggunakan AlisJK (Analisis Lembar Jawaban Kompuer/Analisis Item Soal)
Jawaban Analisis Real 2 4
7
Pembahasan 2.4 4. Misalkan S , S terbatas di R . a. 0 a dan : : aS as s S inf aS = a inf S Bukti : S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai infimum. Misalkan inf v S , maka v adalah batas bawah S . Jadi , v s s S . 0 a dan v s , maka , av as s S . Jadi av batas bawah aS ...........................................(1) Misalkan t sebarang batas bawah aS , adit : t av . t sebarang batas bawah aS , berarti , t as s S . 0 a dan t as , maka , t s s S a . Jadi t a batas bawah S . inf v S dan t a batas bawah S , maka menurut definisi t v a . Karena 0 a , maka t av ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut definisi inf aS = av = a inf S Jadi inf aS = av = a inf S . sup aS = a sup S Bukti : S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai suprimum. Misalkan sup u S , maka u adalah batas atas S . Jadi , s u s S . 0 a dan s u , maka , as au s S . Jadi au batas atas aS ...........................................(1) Misalkan t sebarang batas atas aS , adit : au t . t sebarang batas bawah aS , berarti , as t s S . 0 a dan as t , maka , t s s S a . Jadi t a batas atas S . sup u S dan t a batas atas S , maka menurut definisi t u a . Karena 0 a , maka au t ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut definisi sup aS = au = a sup S Jadi sup aS = au = a sup S .
Transcript of Jawaban Analisis Real 2 4
Pembahasan 2.4
4. Misalkan S , S terbatas di R .
a. 0a dan : :aS as s S
inf aS = a inf S
Bukti :
S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai infimum.
Misalkan infv S , maka v adalah batas bawah S .
Jadi ,v s s S .
0a dan v s , maka ,av as s S .
Jadi av batas bawah aS ...........................................(1)
Misalkan t sebarang batas bawah aS , adit : t av .
t sebarang batas bawah aS , berarti ,t as s S .
0a dan t as , maka ,t
s s Sa .
Jadi t
abatas bawah S .
infv S dan t
abatas bawah S , maka menurut definisi
tv
a .
Karena 0a , maka t av ..........................................(2)
Dari (1) dan (2) maka menurut definisi inf aS = av = a inf S
Jadi inf aS = av = a inf S .
sup aS = a sup S
Bukti :
S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai suprimum.
Misalkan supu S , maka u adalah batas atas S .
Jadi ,s u s S .
0a dan s u , maka ,as au s S .
Jadi au batas atas aS ...........................................(1)
Misalkan t sebarang batas atas aS , adit : au t .
t sebarang batas bawah aS , berarti ,as t s S .
0a dan as t , maka ,t
s s Sa
.
Jadi t
abatas atas S .
supu S dan t
abatas atas S , maka menurut definisi
tu
a .
Karena 0a , maka au t ..........................................(2)
Dari (1) dan (2) maka menurut definisi sup aS = au = a sup S
Jadi sup aS = au = a sup S .
b. 0b dan : :bS bs s S
inf bS = b sup S
Bukti :
S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai suprimum.
Misalkan supu S , maka u adalah batas atas S .
Jadi ,s u s S .
0b dan s u , maka ,bs bu s S .
Jadi bu batas bawah bS ...........................................(1)
Misalkan t sebarang batas bawah bS , adit : t bu .
t sebarang batas bawah bS , berarti ,t bs s S .
0b dan t bs , maka ,t
s s Sb .
Jadi t
bbatas atas S .
supu S dan t
bbatas atas S , maka menurut definisi
tu
b .
Karena 0b , maka t bu ..........................................(2)
Dari (1) dan (2) maka menurut definisi inf bS = bu = b sup S
Jadi inf bS = bu = b sup S .
sup bS = b inf S
Bukti :
S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai infimum.
Misalkan infv S , maka v adalah batas bawah S .
Jadi ,v s s S .
0b dan v s , maka ,bs bv s S .
Jadi bv batas atas bS ...........................................(1)
Misalkan t sebarang batas atas bS , adit : bv t .
t sebarang batas atas bS , berarti ,bs t s S .
0b dan bs t , maka ,t
s s Sb
.
Jadi t
bbatas bawah S .
infv S dan t
bbatas bawah S , maka menurut definisi
tv
b .
Karena 0b , maka bv t ..........................................(2)
Dari (1) dan (2) maka menurut definisi sup bS = bv = b inf S .
Jadi sup bS = bv = b inf S .
6. Misalkan A , B , ,A B R dan ,A B terbatas di R .
Misalkan : : ,A B a b a A b B . Buktikan :
a. Sup A B sup A + sup B
b. Inf A B inf A + inf B
Bukti :
,A B terbatas di R , berarti A dan B mempunyai batas atas dan batas bawah.
A dan B mempunyai batas atas dan batas bawah, berarti A dan B mempunyai suprimum dan
infimum.
a. Misalkan supu A , berarti u batas atas A .
Jadi ,a u a A .......................................(1)
Misalkan supv B , berarti v batas atas B .
Jadi ,b v b B .......................................(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh , ,a b u v a A b B .
Jadi u v adalah batas atas A B ......................................................................(*)
Misalkan t adalah sebarang batas atas A B . Adit : u v t .
t adalah sebarang batas atas A B , berarti , ,a b t a A b B .
a b t ekuivalen dengan ,a t b a A
Jadi t b batas atas A .
supu A dan t b batas atas A , maka menurut definisi u t b .
u t b ekuivalen dengan ,b t u b B .
Jadi t u batas atas B .
supv B dan t u batas atas B , maka menurut definisi v t u .
v t u ekuivalen dengan u v t .
Jadi u v t untuk t adalah sebarang batas atas A B ...........................................(**)
Dari (*) dan (**), maka menurut definisi suprimum, Sup A B u v = sup A + sup B
Jadi Sup A B sup A + sup B .
b. Misalkan ' infu A , berarti 'u batas bawah A .
Jadi ',a u a A .......................................(1)
Misalkan ' infv B , berarti 'v batas bawah B .
Jadi ',b v b B .......................................(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh ' ', ,a b u v a A b B .
Jadi ' 'u v adalah batas bawah A B ......................................................................(*)
Misalkan 't adalah sebarang batas bawah A B . Adit : ' ' 'u v t .
't adalah sebarang batas bawah A B , berarti ', ,a b t a A b B .
'a b t ekuivalen dengan ' ,a t b a A
Jadi 't b batas bawah A .
' infu A dan 't b batas bawah A , maka menurut definisi ' 'u t b .
' 'u t b ekuivalen dengan ' ',b t u b B .
Jadi ' 't u batas bawah B .
' infv B dan ' 't u batas bawah B , maka menurut definisi ' ' 'v t u .
' ' 'v t u ekuivalen dengan ' ' 'u v t .
Jadi ' ' 'u v t untuk 't adalah sebarang batas bawah A B ...........................................(**)
Dari (*) dan (**), maka menurut definisi infimum, inf A B ' 'u v = inf A + inf B
Jadi inf A B inf A + inf B .
1. Tunjukkan sup 1
1 : 1n Nn
Jawab :
Misalkan 1
:S n Nn
, maka akan ditunjukkan 1
sup 1 : 1 sup 1n N Sn
Karena 1 1
( 1)n n
, kita misalkan * 1:S n N
n
.
Berdasarkan Corollary 2.4.4. inf * 0S .
1 0 , maka menurut soal 4.b, sup S = *1 inf 1 .0 0S
Jadi sup 0S .
Berdasarkan contoh 2.4.1, 1
sup 1 : 1 sup 1 0 1n N Sn
1sup 1 : 1n N
n
2. Jika 1 1
: : ,S n m Nn m
, tentukan inf S dan sup S !
Jawab :
Misalkan 1
:nS n Nn
, 1
:mS m Nm
dan * 1:mS m N
m
Berdasarkan Corollary 2.4.4, maka inf 0nS dan inf * 0mS
Berdasarkan soal 2.3 no. 3, maka sup * 1n mS S .
Berdasarkan soal no. 4, Inf *( 1).sup ( 1).1 1m mS S
Jadi inf 1mS .
Berdasarkan soal no. 4, sup *( 1).inf ( 1).0 0m mS S
Jadi sup 0mS .
Berdasarkan soal no. 6, maka inf S = inf nS + inf 0 ( 1) 1mS .
Jadi inf 1 1
: : , 1S n m Nn m
Berdasarkan soal no. 6, maka sup S = sup nS + sup 1 0 1mS .
Jadi sup1 1
: : , 1S n m Nn m
3. Misalkan S dan S R . Buktikan jika u R memenuhi kondisi : (i) 1
un
bukan batas atas
S , n N (ii) 1
un
batas atas S , n N , maka supu S .
Bukti :
Andaikan u bukan batas atas S , berarti ,s S u s . Akibatnya 0s u .
Berdasarkan Corollary 2.4.5, maka 1
,s u
s u
n N s un
.
1
s u
s un
ekuivalen dengan 1
s u
u sn
, untuk suatu s S .
Jadi 1
s u
un
untuk suatu s un N , bukan batas atas dari S .
Kontradiksi dengan 1
un
batas atas S , n N
Jadi pengandaian u bukan batas atas S salah.
Jadi u batas atas S .
Misalkan 0 , maka menurut Corollary 2.4.5, 1
,n Nn
.
Karena 1 0 dan u R , maka 1
u un
untuk suatu n N .
Jadi 1
S u Sn
sehingga 1
u S u Sn
.
Maka menurut lemma 2.3.4. supu S .
5. Misalkan X dan :f X R memiliki range yang terbatas di R . Jika a R , buktikan :
a. sup : sup :a f x x X a f x x X
b. inf : inf :a f x x X a f x x X
Bukti :
:f x x X terbatas di R maka :f x x X mempunyai batas atas , berarti B R
sehingga ,f x B x X .
:f x x X terbatas di R maka :f x x X mempunyai batas bawah , berarti C R
sehingga ,f x C x X .
Karena :f x x X mempunyai batas atas dan batas bawah, maka menurut sifat
kelengkapan , R :f x x X mempunyai suprimum dan infimum.
a. Misalkan sup :B f x x X , berarti B batas atas f x .
Jadi ,f x B x X .
Karena a R dan f x B maka ,a f x a B x X .
Jadi a B batas atas a f x ............................................(i)
Misalkan 'B adalah sebarang batas atas a f x , Adit : 'a B B .
'B adalah batas atas a f x , berarti ',a f x B x X .
Karena a R dan 'a f x B maka ' ,f x B a x X .
Jadi 'B a adalah batas atas f x .
sup :B f x x X dan 'B a adalah batas atas f x maka menurut definisi
'B B a yang ekuivalen dengan 'a B B .
Jadi 'a B B untuk 'B sebarang batas atas a f x ............(ii)
Berdasarkan (i) dan (ii) maka sup : sup :a f x x X a B a f x x X .
Jadi sup : sup :a f x x X a f x x X .
b. Misalkan inf :C f x x X , berarti B batas bawah f x .
Jadi ,f x C x X .
Karena a R dan f x C maka ,a f x a C x X .
Jadi a C batas bawah a f x ............................................(i)
Misalkan 'C adalah sebarang batas bawah a f x , Adit : 'C a C .
'C adalah batas bawah a f x , berarti ',a f x C x X .
Karena a R dan 'a f x C maka ' ,f x C a x X .
Jadi 'C a adalah batas bawah f x .
inf :C f x x X dan 'C a adalah batas bawah f x maka menurut definisi
'C a C yang ekuivalen dengan 'C a C .
Jadi 'C a C untuk 'C sebarang batas bawah a f x ............(ii)
Berdasarkan (i) dan (ii) maka inf : inf :a f x x X a C a f x x X .
Jadi inf : inf :a f x x X a f x x X .
7. Misalkan X , f dan g fungsi yang didefinisikan di X yang terbatas di R . Buktikan :
a. sup : sup : sup :f x g x x X f x x X g x x X
b. inf : inf : inf :f x x X g x x X f x g x x X
Bukti :
8.
