1. IsomorfismaA.PendahuluanIstilah isomorfisma berasal dari bahasa Yunani yang terdiri dari dua katayaitu isos mempunyai arti sama dan morphe yang berarti bentuk/wujud.Gagasan ini pertama kali diperkenalkan oleh Galois sekitar 175 tahun yang lalu.Misalkan seorang Amerika dan Jerman diminta untuk menghitung beberapabenda. Orang Amerika mengatakan, "one, two, three, four, five,. . . , " Sedangkanorang Jerman mengatakan "Eins, zwei, drei, vier, fnf,. . " Apakah keduanyamelakukan hal yang berbeda? Tidak, Mereka berdua menghitung benda tersebut,tetapi mereka menggunakan perbedaan terminologi (bahasa,istilah) untukmelakukannya. Demikian pula, ketika orang Amerika mengatakan: "two plusthree is five" dan orang Jerman akan berkata: "Zwei und drei ist fnf". Merekaberdua setuju dengan konsep dan hasil yang telah digambarkan, tetapi merekamenggunakan perbedaan terminologi (bahasa,istilah) untuk menggambarkankonsep yang dimaksud.Situasi serupa sering terjadi dengan grup, dimana grup yang samadigambarkan atau diselesaikan dengan terminologi yang berbeda memiliki hasildan tujuan yang sama. Dimana pada bab 1, kita mengambar simetri dari sebuahpersegi dalam geometris 4 (halaman 30, buku Gallian). Sedangkan pada bab 5kita mengambarkan grup yang sama yaitu 4 pada permutasi (halaman 97, bukuGallian).B.Definisi dan Contoh IsomorfismaDefinisiSebuah Isomorfisma (phi) dari grup G ke grup adalah pemetaan satu-ke-satu (atau fungsi) dari G ke (onto) G dengan mempertahankan operasi darigrup tersebut. = untuk setiap a, b dalam GJika ada isomorfisma dari G ke , kita dapat katakan bahwa G dan adalahisomorfik dan ditulis . Definisi ini dapat divisualisasikan seperti yang 1

2. ditunjukkan pada Gambar 6.1. Para pasang panah putus-putus mewakili operasikelompok. Hal ini tersirat dalam definisi isomorfisma bahwa kelompok isomorfikmemiliki orde yang sama. Hal ini juga tersirat dalam definisi isomorfisma bahwaoperasi di sisi kiri dari tanda sama adalah G, sedangkan operasi pada sisi kananadalah . Empat kasus yang melibatkan (.) dan (+) ditunjukkan pada Tabel 6.1. Operasi grup G Operasi grup Presentasi Operasi(.) (.) . = . (.) (+) . = + (+)(.) + = . (+)(+) + = + () Ada empat langkah yang terpisah yang terlibat dalam membuktikan bahwagrup G isomorfik ke suatu grup. Langkah 1 ". Pemetaan" Tentukan calon untuk isomorfisma tersebut, yaitu, mendefinisikan fungsi dari G ke . Langkah 2 "1-1." Buktikan bahwa adalah satu-ke-satu, yaitu mengasumsikan bahwa (a)= (b) dan membuktikan bahwa a = b. Langkah 3 ". Ke (onto)" Buktikan bahwa adalah ke (onto), yaitu untuk setiap elemen dalam , temukan elemen g dalam G sedemikian rupa sehingga (g) = . Langkah4"O.P"Buktikan bahwa adalah operasiuntuk mempertahankan. yaitu menunjukkan bahwa (ab) = (a)(b) untuk semua a dan b dalam G. 2 3. Contoh 1. Misalkan G adalah bilangan real terhadap penjumlahan dan adalah bilangan real positif pada perkalian. Jawab : a. adalah G ke b. Pembuktian untuk satu-ke-satu 22Misalkan 2 2 , 2 = , dan 2 = , maka : 2 = 2 22 2 = 2 = c. Pembuktian ke(onto)Kita harus menentukan untuk setiap y adalah bilangan real positif danx adalah bilangan real, maka := = 2 = 2 = d. Pembuktian O.P (Operasi mempertahankan) + = 2 + = 2 . 2 = ()Jadi, untuk setiap x dan y dalam G adalah O.PMaka G dan adalah isomorfisma. 2. Misalkan G = SL(2,R), grup dari matriks real 2 2 dengan derteminan 1. Misalkan M adalah matriks real 2 2 dengan derteminan 1. Kemudian kita bisa definisikan pemetaan dari G ke G itu sendiri dari =1 untuk semua A dalam G. Untuk memverifikasikan bahwa adalah isomorfisma ? a. adalah sebuah fungsi dari G ke G. Disini, kita tunjukan bahwa memang merupakan elemen dari G adalah A. Ini mengikuti darisifat determinan: 3 4. det 1 = (det )(det ) det 1 = 1.1. 11 = 1 Dengan demikian MAM-1 dalam G. b. adalah satu-ke-satu. Misalkan = . kemudian MAM-1= MBM-1 dan sisi kiri dan sisi kanannya adalah A=B c. adalah ke(onto), misalkan B milik G. Kita hanya menemukan sebuah matriks A dalam G sehingga = . Bagaimana kita melakukan ini? Jika seperti matriks A adalah untuk yang ada, ia harus memiliki properti MAM-1 = B. Tapi ini memberitahu kita untuk apa harusnya A itu? Karena kita dapat memecahkan masalah A untuk memperoleh A = M-1BM dan memverifikasikan bahwa = 1 = 1 1 = . d. adalah sebuah operasi mempertahankan. Misalkan A dan B milik G. Maka, = ()1 = 1 1 =1 1 = () Pemetaan bisa disebut konjugasi dari M dan isomorfismaC.Teorema CayleySetiap grup adalah isomorfik untuk permutasi grupBukti:Misalkan G kita ambil sembarang grup. Dan kita haru menentukan grup adalah permutasi grup yang merupakan isomorfik ke G.Jawab :Karena G adalah semua anggota yang membangun G, kita harusmenggunakannya untuk membangun . Misalkan dan adalah permutasipada himpunan elemen G. dan misalkan = | dan adalah grup dalamoperasi dari fungsi komposisi. disini kita simpulkan bahwa adalah indentitas1dan = 1Pembuktian isomorfisma a. isomorfisma antara G dan 4 5. b. Untuk satu-ke-satu = = = sehingga = c. Untuk ke(onto) = = () = () = d. Untuk O.P operasi mempertahankan = = = ()() Jadi, grup merupakan refersentasi prtmutasi dari grup G, grup dengangrup G isomorfisma. Teorema Cayley adalah penting untuk dua alasan kontras. Pertama adalahbahwa memungkinkan kita untuk mewakili kelompok abstrak dalam cara yangkonkret. Yang kedua adalah menunjukkan bahwa himpunan aksioma yang sedangkita bahas diadopsi untuk grup mendukung kebenaran prediksi sebuah gruppermutasi.Contoh Permutasi grup adalah Isomorfisma.Persentasikan U(12) = {1,5,7,11} dan permutasi U(12) adalah isomorfisma.Jawab :U(12)157111157115511177711 1 511 11 75 1Dari tabel tersebut kita bisa dapat permutasi permutasi grup-nya5 6. 1 5 7 111 57 111 =, 5 = 1 5 7 115 7 11 1 1 5 7 1115 7 117 =, 11 = 7 11 1 5 111 5 7 Sehingga bila kita kalikan secara komposisi pada permutasi grup tersebutmaka hasilnya (12)1 5 7 1111 5 7 1155 1 11777 111 51111 7 5 1 Dengan ini menyatakan bahwa U(12) dengan (12) bersifat isomorfisma.D. Sifat-Sifat Isomorfisma Dua teorema kami berikutnya memberikan daftar sifat - sifat isomorphismadan isomorfik kelompok. Teorema 6.2 Sifat sifat Isomorphisma berwakil pada Elemen elemen._ Misalkan itu adalah isomorfisma dari grup G ke grup G . Kemudian_ 1. memberikan identitas G ke identitas G . 2.Untuk setiap n bilangan bulat dan untuk setiap elemen kelompok di G, (an) = [ (a)] n. 3.Untuk setiap elemen a dan b dalam G, a dan b berubah jika dan hanya jika (a) dan (b) berubah. _a 4.G= jika dan hanya jika G = (a) . 5.| a | = | (a) | untuk semua a dalam G (isomorphisms mempertahankan orderorder). 6 7. 6.Untuk k bilangan bulat tetap dan b adalah elemen grup tetap dalam G, Persamaan xk = b memiliki jumlah penyelesaian yang sama di G _ seperti halnya persamaan x = (b) dalam G .k_ 7.Jika G terbatas, maka G dan G memiliki persis jumlah yang sama dari unsur setiap order. BUKTI Kita akan membatasi hanya membuktikan sifat 1, 2, dan 4, tapiamati sifat 5 mengikuti sifat 1, 2 dan sifat 6 mengikuti sifat 2, dan sifat 7mengikuti sifat 5. untuk kemudahan, mari kita menunjukkan identitas di G oleh e _dan identitas dalam G oleh e. Kemudian, pada e = ee, kita memiliki (e) = (ee)= (e) (e). _ _ Juga, karena (e) G , kita memiliki (e) = e (e). Begitu baik. Dengan _demikian dengan penghilangan. e = (e) ini pembuktian sifat 1. Untuk bilangan bulat positif, sifat 2 mengikuti definisi isomorpisme daninduksi matematika. Jika n negatif, maka n positif, dan kita memiliki dari sifat 1dan pengamatan tentang hal bilangan bulat positif bahwa e = (e) = (gng-n) = (gn) (g-n) = (gn)( (g))-n. Dengan demikian, perkalian kedua sisi sebelahkanan dengan ( (g))n, kita mendapatkan ( (g))n = (gn) sifat 1 membuat n = 0. a (a)Untuk membuktikan sifat 4, misalkan G =dan ditulis diakhir, _ _ G . Karena atas. Untuk setiap elemen b dalam G ada sebuah elemen ak dalam (a)G dengan demikian (ak) = b. Sehingga, b = ( (a))k dan begitu juga b . __ (a) (a)aIni terbukti bahwa G = . Sekarang misalkan G = . Jelas, G. Untuk setiap elemen b dalam G. Kita memiliki (b) (a) . Sehingga,7 8. untuk beberapa bilangan bulat k kita memiliki (b) = ( (a))k. Karena adalah asatu ke suatu b = ak. Ini membuktikan bahwa = 6. Ketika operasi grup adalah penjumlahan, sifat 2 teorema 6.2 adalah (na)= n (a); sifat 4 menyatakan bahwa suatu isomorpisma diantara 2 grup tidakisomorpik. Sering b diambil untuk diidentifikasi. Contoh, perhatikan C* dan R*.Karena persamaan x4 = 1 memiliki 4 penyelesaian dalam C* tetapi hanya 2 dalamR*. Tidak masalah bagaimana seseorang berusaha mendefinisikan isomorpismadari C* ke R*, sifat 6 tidak bisa dipertahankan.E. Teorema 6.3 Sifat-Sifat Isomorfisma dalam Grup_Misalkan adalah suatu isomorpisma dari grup G ke grup G . Kemudian _1. -1adalah isomorpisma di G ke G._2. G adalah abelian jika dan hanya jika G adalah abelian._3. G adalah siklik jika dan hanya jika G siklik.4. Jika K adalah subgrup dari G, maka (K) = { (k)| k K}adalah _subgrup dari G .Bukti sifat 1 dan 4 tersisa sebagai latihan (latihan 21 dan 22). Sifat 2 adalahakibat langsung sifat 3 dari teorema 6.2. Sifat 3 mengikuti sifat 4 dari teorema 6.2dan sifat 1 dari teorema 6.3.Teorema 6.2 dan 6.3 menunjukkan bahwa grup grup isomorpik memilikibanyak kesamaan sifat. Sesungguhnya, definisi justru dirumuskan sehingga grupisomorpisma memiliki semua sifat teori grup yang sama. Dengan ini kita mengertibahwa jika dua grup isomorpik, maka setiap sifat yang bisa dinyatakan dalambahasa teori grup berlaku untuk satu jika dan hanya jika memang benar untukyang lain. Inilah sebabnya para ahli aljabar mengatakan grup isomorpik dengan 8 9. sama dengan atau sama. Tak dapat disangkal menyebut grup yang setara, agaksama, mungkin lebih tepat, tapi kita patuh pada tradisi lama.F.Definisi AutomorfismaAutomorfisma adalah sebuah isomorfisma yang memetakan grup G kedirinya sendiri.Contoh:1. Apakah pemetaan berikut adalah automorfisma dari Grup yang diberikan? Jawab: Ambil x, y G dan misalkan = = = T ( 1-1) Ambil y G maka pilih = = = () = T onto Jadi, bahwa : adalah automorfisma2.(G, ), : 2Jawab: Ambil x, y G dengan misalkan () = () = 2 = 2 2 2 = 0( ) ( + ) = 0 9 10. Akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah = (memenuhi) atau = ( tidak memenuhi karena x, y bilangan bulat positif)sehingga = ( 1-1 ) Ambil sebarang y G karena x, y > 0 berarti pilih x = y = 2 = ( y )2 = T onto Jadi, bahwa T: 2 adalah automorfismaG.Definisi Inner AutomorfismaKetika sebuah grup G tidak abelian, ada automorfisma untuk masing-masing elemen gG yang disebut inner automorfisma dari G. Inner automorfismadidefinisikan dengan: = 1 adalah sebuah bijeksi karena ini mempunyai pemetaan invers 1 : 1 = 1 1 = 1 adalah sebuah automorfisma karena = 1 = 1 1 = Contoh:1. Carilah inner Automorfisma dari 4 yang diinduksi oleh 90 !Jawab:Inner Automorfisma dari D4 yang diinduksi oleh 90 ditunjukkan di dalamtabel berikut ini.10 11. 9090 90 10 90 0 90 1 = 0 90 90 90 90 1 = 90180 90 180 90 1 = 180270 90 270 90 1 = 270 90 90 1 = 90 90 1 = 90 90 1 = 90 90 1 = H.Teorema Aut(G) dan Inn(G) adalah grup.Himpunan dari grup Automorfisma dan himpunan dari grup InnerAutomorfisma adalah grup dibawah operasi fungsi komposisiBukti:Jika = , , , , dan jika = , , , , . Daftarterakhir ini memiliki kemiripan, karena mungkin sama dengan meskipun . Jadi satu-satunya pekerjaan yang dilakukan dalam menentukan adalah memilih unsur-unsur yang menjelaskan Isomorfisma. Di lain sisi,penentuan cukup terlibat.Contoh:Untuk menentukan Inn4 , pertama-tama lihat dulu semua anggota InnerAutomorfismanya yaitu 0 , 90 , 180, 270, , , , .Karena 180 4 , maka 180 = 0 180 0 1 180 1 =0 0 1 = 0 (), maka 180 = 0 .11 12. 270 = 270 270 1 = 90 180 90 1 180 1 = 90 90 1 = 90 ().Karena = 180 dan = 180 , kita kita punya = dan = .I.Teorema Aut( .Untuk semua bilangan bulat positif n, Aut( ) adalah isomorfisma dengan . Jadi kita bisa mencari anggota Aut( ) dengan mencari nilai .Contoh:1. (5 ) adalah grup siklik berorder 4. Karena untuk semua bilangan bulat positif n, Aut( ) adalah isomorfis dengan , maka bisa dicari anggota (5 ) adalah anggota 5 . 5 = {1,2,3,4}, melihat dari anggota 5 di samping terlihat bahwa order dari 5 juga 4.2. (8 ) memiliki 4 elemen tapi tidak siklik. Karena untuk semua bilangan bulat positif n, Aut( ) adalah isomorfis dengan , maka bisa dicari anggota (8 ) adalah anggota 8 . 8 = {1,3,5,7}, melihat dari anggota himpunan di samping kita bisa melihat bahwa 8 memiliki 4 buah elemen. Sekarang kita tinggal menentukan apakah elemen tersebut siklik atau tidak. 8 = {1,3,5,7} = { | }1 = 11 , 12 = 13 = 31 , 32 = 15 = 51 , 52 = 17 = 71 , 72 = 112 13. Dari hasil di atas diketahui bahwa anggota 8 tidak memiliki generator, sehingga 8 bukan merupakan grup siklik. Hal ini sesuai dengan pernyataan di atas bahwa (8 ) memiliki 4 elemen tapi tidak siklik.Dari kedua contoh di atas bisa dilihat bahwa Aut( ) memiliki hubungandengan , yaitu isomorfisma. Untuk menentukan anggota Aut( ) bisa kitacari dengan menentukan anggota .Soal:1. Tunjukkan bahwa U(8) isomorfik dengan U(12), tapi tidak isomorfik dengan U(10). Jawab: a. Tunjukkan bahwa U(8) isomorfik dengan U(12). 8 = 1,3,5,7 , 32 = 52 = 72 = 1 8 12 = 1,5,7,11 , 52 = 72 = 112 = 1 12Pemetaan : 8 12 : 3 = 5, 5 = 7, 7 = 11. Adalah 1- 1, onto dan jika dilihat dari tabel Cayley dari U(8) ke U(12), bisa dilihat bahwa U(8) dan U(12) adalah isomorfisma.Tapi 10 = 1,3,7,9 = 3 , 32 = 9, 33 = 7, 34 = 1,jadi U(10) adalah grup siklik. b. Identifikasikan masing-masing dari U(8), U(12), dan U(10) sebagai grupsiklik atau produk grup siklik. 8 2 2 12 ; (10) 413 14. 2. Carilah Aut(6 )Jawab: Menurut teorema 6.5 Aut(6 ) isomorpik dengan (6) = {1,5}. Karenanyahanya ada dua automorfisma dari 6 yaitu 1 5 . Karena 6 adalah siklik,yang harus kita ketahui adalah dimana masing-masing automorfisme mengambil1, generator dari 6 . Dari teorema 4.2, property 4, jika adalah sebuahautomorfisma dari 6 , (1) pasti generator dari 6 juga. generator dari 6 adalahangka antara 1 dan 5 yang merupakan coprime dari 6 . Generator dari 6 adalahangka antara di 6 . Yang pertama 1 , yang memetakan 1ke 1 dan automorfismeyang kedua adalah 5 yang memetakan 1 ke 5.3. Jika = 0, 2, 4, 6, dan = 0, 3, 6, 9, . Tunjukkan bahwa G dan H adalah grup isomorfisma di bawah operasi penjumlahan. Apakah isomorfisma tersebut juga mempertahankan operasi perkalian?Jawab:Dari himpunan di atas bisa dibentuk menjadi: = 2 dan =3 3 dan : dengan = 2 1-1 = 3 3= 2 2= Onto 3Jika 3 . Lalu 2 = 2 2 = 3.Operasi mempertahankan 3 + = + 23 3 = + 2 2 = + 14 15. Perkalian 3 6 = 6 =9 23 39 27 2 3 =2 3 =3 =2 222279 24. Buktikan bahwa S4 tidak isomorphic dengan D12!Jawab: Grup dihedral, D12, memiliki unsur R30 dari order 12. Karena isomorfismamengawetkan order, R30 harus dipetakan ke elemen order 12 di S4. Karena orderpermutasi umumnya merupakan perkalian dari panjang disjoin cycle, maka tidakada element yang terdapat di dalamnya. Element dari order terbesar di S4 adalah 4putaran yang memiliki order 4. 25. Let = + 2 , , and = , , prove that G and H are isomorphic under addition. Does your isomorphic preserve multiplication as well as addition?Answer: 2 Definisikan dengan + 2 = Untuk menunjukkan bahwa adalah fungsi satu-satu, kita anggap 2 2 + 2 = + 2 , maka: = Karena kedua matrik di atas sama jika dan hanya jika semua anggota mereka sama, a harus sama dengan c dan b harus sama dengan d, berarti + 2 = + 2. Maka adalah fungsi satu-satu.2 adalah onto H karena untuk setiap , + 2 memetakan anggotanya ke dalam H di bawah . 15 16. Misal + 2, + 2 + 2( + ) + 2 + + 2 = + + ( + ) 2 = + + 2 2=+= + 2 + + 2 + 2 + + 2 = + 2 + + 2 + 2 2 + 2 2==+= + 2 + 2 + + 2 16 17. GlosariumIsomorfisma: Pemetaan satu-ke-satu (atau fungsi) dari G ke (onto) G dengan mempertahankan operasi dari grup tersebutOnto : KeAutomorfisma : Sebuah isomorfisma yang memetakan grup G ke dirinya sendiri.Inner Automorfisma :Automorfisma untuk masing-masing elemen gG yang pada grup non abelian 17 18. Daftar Pustaka Galian, J.A. 2010. Contemporery Abstract Algebra. United State of America:Brooks/Cole Cengage learning.18