Pertemuan ke 9

BAB IV INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika adalah : Metode Induksi matematika adalah : Metode pembuktian untuk pernyataan perihal pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat.bilangan bulat.

Induksi matematik merupakan teknik Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam pembuktian yang baku di dalam matematika.matematika.

Materi Induksi Matematik

1.1. Pernyataan perihal bilangan bulat.Pernyataan perihal bilangan bulat.

2.2. Prinsip induksi sederhanaPrinsip induksi sederhana

3.3. Prinsip induksi yang dirampatkanPrinsip induksi yang dirampatkan

4.4. Prinsip induksi kuatPrinsip induksi kuat

5.5. Prinsip induksi secara umum.Prinsip induksi secara umum.

1. Proposisi Perihal Bilangan Bulat.

Pernyataan perihal bilangan bulat Pernyataan perihal bilangan bulat mengkaitkan suatu masalah yang mengkaitkan suatu masalah yang dihubungkan dengan bilangan bulat.dihubungkan dengan bilangan bulat.

Untuk memberikan ilustrasi mengenai Untuk memberikan ilustrasi mengenai pernyataan yang dimaksud, diperlihatkan pernyataan yang dimaksud, diperlihatkan dengan memberikan contoh berikut :dengan memberikan contoh berikut :

Contoh 1 :

Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan : Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan : ””JumlahJumlah bilangan bilangan bulatbulat positif dari positif dari 1 sampai n1 sampai n adalah adalah n (n+1) / 2n (n+1) / 2.” .”

Buktikan bahwa p(n) benar!Buktikan bahwa p(n) benar!

Jika dicoba dengan beberapa nilai n, memang timbul Jika dicoba dengan beberapa nilai n, memang timbul dugaan bahwa p(n) benar, misalnya untuk dugaan bahwa p(n) benar, misalnya untuk n = 5n = 5,,

p(5) adalah : “Jumlah bilangan bulat positif dari p(5) adalah : “Jumlah bilangan bulat positif dari

1 sampai 51 sampai 5 adalah adalah 5 (5+1)/25 (5+1)/2. .

Terlihat bahwa :Terlihat bahwa :

1 + 2 + 3 + 4 + 51 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = = 15 = 5 (6) / 25 (6) / 2

Contoh 2 :

Jika ingin menemukan rumus Jika ingin menemukan rumus jumlahjumlah dari n buah bilangan dari n buah bilangan ganjilganjil positif yang pertama. Misalnya untuk n = 1, 2, 3, 4, 5, perhatikan positif yang pertama. Misalnya untuk n = 1, 2, 3, 4, 5, perhatikan jumlah n bilangan ganjil positif pertama ,jumlah n bilangan ganjil positif pertama ,

n = 1 n = 1 1 = 1 = 11

n = 2 n = 2 1 + 3 = 1 + 3 = 44

n = 3 n = 3 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 = 99

n = 4 n = 4 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1616

n = 5 n = 5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 2525

Dari Dari nilai-nilai penjumlahannilai-nilai penjumlahan, bahwa jumlah n buah bilangan ganjil , bahwa jumlah n buah bilangan ganjil yang pertama adalah yang pertama adalah nn22

Contoh-contoh proposisi perihal bilangan bulat yang lainnya :

1. Setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

2. Untuk semua n ≥ 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3.

3. Untk membayar biaya pos sebesar n sen dolar (n ≥ 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan 5 sen dolar.

4. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali. Jika ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n – 1)/2.

5. Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari sebuah himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2.

2. Prinsip Induksi Sederhana

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukan bahwa :perlu menunjukan bahwa :

1. p(1) benar, dan1. p(1) benar, dan

2. jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar 2. jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat positif untuk semua bilangan bulat positif

n n 1. 1.

Basis Induksi dan Langkah Induksi

Langkah Langkah 11 dinamakan dinamakan Basis InduksiBasis Induksi, sedangkan , sedangkan langkah langkah 22 dinamakan dinamakan Langkah InduksiLangkah Induksi..

Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar.menyatakan bahwa p(n) benar.

Asumsi tersebut dinamakan Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksihipotesis induksi.. Bila kedua langkah tsb benar, maka sudah Bila kedua langkah tsb benar, maka sudah

dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.bilangan bulat positif n.

Basis induksiBasis induksi digunakan untuk digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut tersebut benar bilabenar bila n diganti dengan 1n diganti dengan 1, , yang merupakan yang merupakan bilangan bulat positif bilangan bulat positif terkecil.terkecil.

Langkah induksi harus memperlihatkan Langkah induksi harus memperlihatkan bahwa bahwa p(n) p(n) p(n+1) p(n+1) benar untuk benar untuk semua bilangan bulat positif.semua bilangan bulat positif.

Contoh 4.1 :

Tunjukkan bahwa untuk n 1, 1, 1+2+3+…+n = n(n+1)/21+2+3+…+n = n(n+1)/2melalui induksi matematikamelalui induksi matematika

(i) Basis induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1 kita peroleh1 = 1(1+1)/2 = 1(2)/21 = 1

(ii) Langkah induksi :kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,

1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2

1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2

1+2+3+…+n+(n+1) = (1+2+3+…+n) + (n+1) = [n(n+1)/2n(n+1)/2] + (n+1) = [(n(n2 2 +n)/2+n)/2] + (n+1)

[(n(n22 +n)/2 +n)/2] + [(2n+2)/2] (n2 + 3n + 2)/2 (n+1)(n+2)/2 (n+1) [(n+1)+1] /2

Karena langkah (i) dan (ii) telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n, terbukti bahwa untuk semua n 1, 1, 1+2+3+…+n = n(n+1)/21+2+3+…+n = n(n+1)/2

sama

Contoh 4.3 :

Tunjukkan bahwa untuk n 1, bahwa 1, bahwa nn33 + 2n + 2n adalah kelipatan adalah kelipatan 33melalui induksi matematikamelalui induksi matematika

(i) Basis induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1,13 + 2(1) = 3 adalah kelipatan 3

(ii) Langkah induksi :kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,

(n+1)3 + 2(n+1) adalah kelipatan 3

Hal ini dapat kita tunjukkan sbb:

(n+1)3 + 2(n+1) = (n3 + 3n2 + 3n + 1) + (2n + 2) = (n3 + 2n) + (3n2 + 3n + 3) = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1)

kelipatan kelipatan 33

3. Prinsip Induksi yang Dirampatkan.

Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan p(n) benar untuk semua bilangan bulat p(n) benar untuk semua bilangan bulat nn00 , prinsip induksi sederhana dapat , prinsip induksi sederhana dapat dirampatkan untuk menunjukkannya, dirampatkan untuk menunjukkannya, dengan cara sebagai berikut : dengan cara sebagai berikut :

1. p (n1. p (n00) benar, dan) benar, dan

2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar

untuk semua bilangan bulat n untuk semua bilangan bulat n n n00

Contoh 4.5 :Untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan induksi matematika bahwa 20+21+22+…+2n = 2n+1-1

Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, 20+21+22+…+2n = 2n+1-1

(i) Basis induksi : p(0) benar, karena untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh :

20 = 1 = 20+1 – 1= 21 – 1=2 – 1= 1

(ii) Langkah induksi : misalkan p(n) benar, yaitu proposisi

122222 1210 nn

Diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu

1222222 111210 nnn

Hal ini kita tunjukkan sbb :

12

12

122

122

212

2222222222

11

2

1

11

11

12101210

n

n

n

nn

nn

nnnn

sama

4. Prinsip Induksi Kuat

Versi induksi yang lebih kuat diperlukan untuk Versi induksi yang lebih kuat diperlukan untuk membuktikan pernyataan mengenai bilangan bulat. membuktikan pernyataan mengenai bilangan bulat.

Versi induksi yang lebih kuat adalah sebagai berikut :Versi induksi yang lebih kuat adalah sebagai berikut : 1. p (n1. p (n00) benar, dan) benar, dan

2. Untuk semua bilangan bulat n 2. Untuk semua bilangan bulat n n n00, ,

jika p(njika p(n00), p(n), p(n00+1),….p(n) benar maka p(n+1)+1),….p(n) benar maka p(n+1)

juga benar.juga benar.

Versi induksi yang lebih kuat, mirip dengan Versi induksi yang lebih kuat, mirip dengan induksi sederhana, kecuali bahwa pada langkah 2 induksi sederhana, kecuali bahwa pada langkah 2 kita mengambil hipotesis induksi yang lebih kuat kita mengambil hipotesis induksi yang lebih kuat bahwa semua pernyataan p(1), p(2), …., p(n) bahwa semua pernyataan p(1), p(2), …., p(n) adalah benar daripada hipotesis yang menyatakan adalah benar daripada hipotesis yang menyatakan bahwa p(n) benar pada induksi sederhanabahwa p(n) benar pada induksi sederhana

Prinsip induksi kuat memungkinkan kita mencapai Prinsip induksi kuat memungkinkan kita mencapai kesimpulan yang sama meskipun pemberlakukan kesimpulan yang sama meskipun pemberlakukan andaian yang lebih banyak.andaian yang lebih banyak.

Contoh 4.12 : Teka-teki susun potongan gambar (jigsaw puzzle)

Penyelesaian :n potongan selalu diperlukan n-1 langkah untuk memecahkan teka-teki itu.

n+1 potongan diperlukan n langkah

bagilah n+1 potongan menjadi dua buah blok n+1 = n1 + n2

untuk menyatukan blok 1 (n1) diperlukan n1 – 1 langkah blok 2 (n2) n2 – 1 langkah

(n1-1) + (n2-1) + 1 langkah terakhir = (n1+n2) – 2 + 1 = (n + 1) – 1 = n

Langkah 1

Langkah 2 Langkah 3

n1

1 langkah terakhir

n2

5. Bentuk Induksi Secara Umum Bentuk induksi secara umum dibuat supaya Bentuk induksi secara umum dibuat supaya

dapat diterapkan tidak hanya untuk pembuktian dapat diterapkan tidak hanya untuk pembuktian yang menyangkut himpunan bilangan bulat yang menyangkut himpunan bilangan bulat positif, tetapi juga pembuktian yang positif, tetapi juga pembuktian yang menyangkut himpunan objek yang lebih umum.menyangkut himpunan objek yang lebih umum.

Syaratnya himpunan objek itu harus memiliki Syaratnya himpunan objek itu harus memiliki keterurutan dan mempunyai elemen terkecil.keterurutan dan mempunyai elemen terkecil.

Definisi :Relasi biner “ Relasi biner “ < < “ pada himpunan X dikatakan terurut“ pada himpunan X dikatakan terurut

dengan baik bila memiliki properti berikut :dengan baik bila memiliki properti berikut : Diberikan x, y, z Diberikan x, y, z X, jika x < y dan y < z, maka x < z. X, jika x < y dan y < z, maka x < z. Diberikan x, y Diberikan x, y X, salah satu dari kemungkinan ini X, salah satu dari kemungkinan ini

benar: x < y dan y < x, atau x = ybenar: x < y dan y < x, atau x = y Jika A adalah himpunan bagian tidak kosong dari X, Jika A adalah himpunan bagian tidak kosong dari X,

terdapat elemen x terdapat elemen x A sedemikian sehingga A sedemikian sehingga

x x y untuk semua y y untuk semua y A . A .

Dengan kata lain, setiap himpunan bagian tidak kosong Dengan kata lain, setiap himpunan bagian tidak kosong dari X mengandung elemen terkecil.dari X mengandung elemen terkecil.

Contoh 4.15 :Buktikan dengan induksi matematik bahwa n5 – n habis dibagi 5 untuk n bilangan bulat positif.

Andikan bahwa p(n) adalah proposisi bahwa n5 – n habis dibagi 5 untuk n bilangan bulat positif.(i) Basis induksi : p(1) benar, karena 15 – 1 = 0 habis dibagi 5.

(ii) Langkah induksi : (n+1)5 – (n+1) = n5+5n4+10n3+10n2+5n+1 – n-1

= n5-n+5n4+10n3+10n2+5n= (n5-n)+5(n4+2n3+5n2+n)