ii Persamaan Diferensial

Daftar Isi iii

iv Persamaan Diferensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Oleh : S.B Waluya

Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2006

Hak Cipta © 2006 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.

Candi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta 55511 Telp. : 0274-882262; 0274-4462135 Fax. : 0274-4462136 E-mail : info@grahailmu.com

Waluya, S.B

PERSAMAAN DIFERENSIAL/S.B Waluya - Edisi Pertama – Yogyakarta; Penerbit Graha Ilmu, 2006 viii + 196 hlm, 1 Jil. : 23 cm. ISBN-13: 978-979-756-168-0 ISBN-10: 979-756-168-6 1. Matematika I. Judul

Daftar Isi v

Kata Pengantar Buku ini disusun berdasarkan pengalaman penulis mengajar pada materi Persamaan Diferensial. Sebagian besar isi buku ini merupa-kan materi wajib untuk mahasiswa jurusan Matematika dan Pen-didikan Matematika yang mengambil mata kuliah Persamaan Diferensial. Buku ini disusun dengan cara penyajian dari materi dasar sampai ke materi penerapan persamaan diferensial yang me-rupakan penyelesaian masalah-masalah dalam aplikasi matematika. Sehingga ini sangat baik digunakan sebagai jembatan bagi pembaca yang mempelajari Persamaan Diferensial dari materi yang seder-hana sampai pada taraf penelitian pemula.

Buku ini dapat diterbitkan atas bantuan berbagai pihak, baik dalam bentuk kritik, saran-saran, dan masukan dari para mahasiswa terutama di bab 1 sampai bab 4 yang merupakan materi wajib mahasiswa dan editor, untuk itu penulis mengucapkan banyak terimakasih.

Pada penerbitan pertama ini, penulis yakin masih terdapat banyak kekurangan, oleh karena itu penulis sangat mengaharap kritik dan saran dari pembaca guna penyempurnaan pada penerbit-an berikutnya. Semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca terutama mahasiswa yang belajar Persamaan Diferensial maupun bagi

vi Persamaan Diferensial

mahasiswa yang mengambil skripsi yang banyak berkaitan dengan Persamaan Diferensial.

September, 2006

S. B. Waluya

Daftar Isi vii

Daftar Isi KATA PENGANTAR v DAFTAR ISI vii BAB 1 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL 1 1.1 Klasikasi Persamaan Diferensial 1 1.2 Persamaan Diferensial Biasa dan Sebagian 2 1.3 SistemPersamaan Diferensial 3 1.4 Order Persamaan Diferensial 3 1.5 Solusi Persamaan Diferensial 5 1.6 Persamaan Linear dan Tak Linear 6 1.7 Lapangan Arah/ Direction Field 7

BAB 2 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 11 2.1 Persamaan Linear 12 2.2 Persamaan Terpisah 22 2.3 Persamaan Linear dan Tak Linear 27 2.4 Persamaan Diferensial Bernoulli 31 2.5 Persamaan Diferensial Eksak 33 2.6 Persamaan Diferensial Homogen 40 2.7 Penerapan Persamaan Diferensial Orde satu 42 2.8 Latihan Soal Pemodelan Sederhana 59

BAB 3 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER DUA 61 3.1 Persamaan Homogen dengan Koesien Konstan 62 3.2 Bergantung Linear dan Wronskian 67

viii Persamaan Diferensial

3.3 Persamaan Tak homogen: Koesien tak tentu 76 3.4 Operator D 83 3.5 Persamaan Tak Homogen: Vareasi Parameter 85 3.6 Aplikasi: Forced Osilator dan Resonansi 90 3.7 Pemodelan Matematika Sederhana 97 3.8 Latihan Pemodelan 101

BAB 4 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER TINGGI 105 4.1 Persamaan Linear Order ke n 105 4.2 Persamaan Linear dengan Koesien Konstan 110 4.3 Metoda Koesien Tak Tentu 115 4.4 Metoda Vareasi Parameter 120

BAB 5 SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL 125 5.1 Pengantar pada Sistem dan Matrik 125 5.2 Nilai Eigen, vektor Eigen, dan Kebebasan Linear 130 5.3 Sistem Persamaan Diferensial 136 5.4 Akar-akar komplek dan berulang 142 5.5 Matrik Fundamental dan Miscellany 147 5.6 Persamaan Tak Homogen 150

BAB 6 SISTEM PERSAMAAN TAK LINEAR 159 6.1 Pengantar pada sistem tak linear 160 6.2 Pendulum dan Teori Perturbasi 165 6.3 Model Pemakan dan dimakan 174 6.4 Limit cycle dan Solusi Periodik 181 6.5 Chaos dan Strange attractor: Persamaan Lorenz 188

DAFTAR PUSTAKA 195

-oo0oo-

Bab 1

Pengantar PersamaanDiferensial

Dalam bab ini kita akan membicarakan gambaran yang luas tentangPersamaan Diferensial. Persamaan Diferensial merupakan matakuliahyang cukup strategis karena berkaitan dengan bagian-bagian sentraldalam matematika seperti dalam Analisis, Aljabar, Geometri dan yanglainnya yang akan sangat berperan dalam pengenalan konsep maupunpemecahan masalah yang berkaitan dengan dunia nyata.

1.1 Klasifikasi Persamaan Diferensial

Banyak masalah yang sangat penting dalam mesin, ilmu fisika, ilmusosial dan yang lainya, ketika memformulakan dalam bentuk matema-tika mensyaratkan fungsi yang memenuhi persamaan yang memuatsatu atau lebih turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui.Persamaan-persamaan di atas disebut persamaan diferensial. Per-hatikan hukum Newton F = m.a. Jika y(t) menyatakan posisi partikel

1

2 Pengantar Persamaan Diferensial

bermasa m pada waktu t dan dengan gaya F , maka kita akan dapatkan

md2y

dt2= F

[t, y,

dy

dt

], (1.1.1)

dimana gaya F mungkin merupakan fungsi dari t,y, dan kecepatandy/dt. Untuk menentukan gerakan sebuah partikel dengan diberikangaya F yakni dengan mencari fungsi y yang memenuhi persamaan(1.1.1).

1.2 Persamaan Diferensial Biasa dan Se-

bagian

Klasifikasi ini didasarkan pada apakah fungsi yang diketahui tergan-tung pada satu atau beberapa vareabel bebas. Dalam kasus yang per-tama disebut persamaan diferensial biasa sedang dalam kasus yang ke-dua disebut persamaan diferensial sebagian. Persamaan (1.1.1) meru-pakan salah satu contoh persaman diferensial biasa. Contoh lainnyamisalnya dalam elektronika kita punyai relasi antara kapasitas C, ham-batan R, induktansi L, tegangan E dan muatan Q diberikan

Ld2Q(t)

dt2+ R

dQ(t)

dt+

1

CQ(t) = E(t). (1.2.2)

Contoh lain misalkan dalam peluruhan zat radio aktif akan diberikansebagai

dR(t)

dt= −kR(t), (1.2.3)

dimana R(t) adalah jumlah zat radioaktif pada waktu t, dan k adalahkonstanta peluruhan. Sedangkan contoh untuk persamaan diferensialsebagian misalnya persamaan Laplace yang diberikan sebagai

∂2u(x, y)

∂x2+

∂2u(x, y)

∂y2= 0, (1.2.4)