HUBUNGAN ALJABAR TRILINIER UMUM OPERATOR KREASI … · Fisika jika kami memilki kesalahan dalam...

SKRIPSI

HUBUNGAN ALJABAR TRILINIER UMUM OPERATOR

KREASI DAN ANIHILASI DENGAN TIPE SIMETRI

KEADAAN KUANTUM MULTIPARTIKEL IDENTIK TAK

TERBEDAKAN

Didik Pramono

01/147265/PA/08580

Departemen Pendidikan Nasional

Universitas Gadjah Mada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamYogyakarta

2006

SKRIPSI




TERBEDAKAN

Didik Pramono

01/147265/PA/08580

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh

derajat Sarjana S1 Program Studi Fisika pada Jurusan Fisika

Departemen Pendidikan Nasional

Universitas Gadjah Mada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamYogyakarta

2006

SKRIPSI

HUBUNGAN ALJABAR TRILINIER UMUM OPERATORKREASI DAN ANIHILASI DENGAN TIPE SIMETRI

KEADAAN KUANTUM MULTIPARTIKEL IDENTIK TAKTERBEDAKAN

Didik Pramono

01/147265/PA/08580

Dinyatakan lulus ujian skripsi oleh tim penguji

pada tanggal 12 Januari 2006

Tim Penguji

Dr.Mirza Satriawan Dr. Kuwat Triyana

Pembimbing I Penguji I

Juliasih M.Si

Pembimbing II Penguji II

Penguji III

Karya sederhana ini kupersembahkan

untuk seseorang yang memiliki senyum manis

di wajahnya

iii

Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan

siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal, (yaitu) orang-orang yang

mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadaan berbaring dan

mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya berkata) : Ya Tuhan

kami, tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia, Maha Suci Engkau, maka

peliharalah kami dari siksa neraka.

(Q.S. Ali Imran : 190 - 191)

Jika jiwa-jiwa itu besar maka tubuh kan lelah memenuhi keinginannya.

Ada saat-saat dimana hati itu menari-nari riang gembira dan jika para Raja

mengetahui perasaan ini maka niscaya mereka akan merebutnya dengan

pedang-pedangnya.

Orang yang sedang belajar seperti seorang yang sedang mendaki sebuah gunung

yang tinggi. Semakin keatas semakin luas pandangannya dan semakin indah

pemandangannya, semakin jelas hubungan antara titik awal pendakian dengan

hal-hal yang ada di sekelilingnya.

Jika wanita yang kita cintai tidak membalas perasaan kita, tak usah khawatir. Karena

masih ada bidadari-bidadari surga yang siap melayani kita dengan penuh rasa

cintanya, dan hal ini tentu jauh lebih baik daripada sekedar menangisi sesuatu yang

tlah pergi.

Bersabar dalam penantian demi mendapat sesuatu yang tepat lebih ringan

dibandingkan bersabar dari akibat buruk karena tergesa-gesa.

iv

PRAKATA

Puji syukur kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya dan limpahan rahmat-

Nya sehingga kami dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir ini. Satu tahapan ke-

hidupan telah terlewati, menyusul tahapan berikutnya yang tentunya akan lebih berat

dan lebih menantang dan kuliah di Fisika telah banyak memberikan bekal untuk terus

melaju di tahapan itu. Tidak ada kata mundur, itulah yang seharusnya dilakukan

agar menuai sebuah keberhasilan. Sungguh, inilah suatu hal yang sangat menggem-

birakan.

Kami mengucapkan banyak terimakasih kepada berbagai pihak yang telah

membantu kami dalam penulisan tugas akhir ini. Kami sengaja tidak menyebutkan

nama mereka satu persatu, karena yang demikian itu tidaklah dapat membalas jasa

atas kebaikan yang telah mereka lakukan untuk kami. Dan kami juga khawatir bila

nanti ada pihak yang tidak turut tercantumkan. Namun khusus kepada dosen ka-

mi Bapak Dr. Mirza Satriawan yang telah membimbing kami dengan kebaikan hati

dan kesabarannya, kami mengucapkanJazakumullahu Katsirandan terimakasih yang

sebesar-besarnya. Dan juga khusus kepada teman kami Mas Pribadi dan Lalu Adi

Sopian yang telah banyak membantu kami.

Demikian yang dapat kami sampaikan dalam kata pengantar ini, kami berharap

semoga apa yang telah kami lakukan dapat bermanfaat bagi perkembangan ilmu

pengetahuan khususnya ilmu Fisika dan bagi siapa saja yang membaca tulisan ini.

Tak lupa penulis minta maaf yang sebesar-besarnya kepada teman-teman di prodi

Fisika jika kami memilki kesalahan dalam tingkah laku selama bergaul dengan teman-

teman.

Yogyakarta, 4 Januari 2006

Didik Pramono

v

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Halaman Pengesahan ii

Halaman Persembahan iii

Halaman Motto iv

PRAKATA v

INTISARI viii

I PENDAHULUAN 1

1. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Ruang lingkup Kajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5. Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6. Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II TEORI KUANTISASI MEDAN 6

1. Kuantisasi Medan Boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Kuantisasi Medan Fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

III SIFAT SIMETRI KEADAAN 13

1. Permutasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Tabel Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Sifat Simetri Keadaan Kuantum Multipartikel . . . . . . . . . . . . . 18

vi

vii

IV ALJABAR TRILINEAR UMUM (ATU) 31

1. Persyaratan Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. Analisa Aljabar Trilinear Umum ( ATU ) . . . . . . . . . . . . . . . . 31

a. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Simetrik

Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

b. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Anti Simetrik

Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

c. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Parabo-

son Orde Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

d. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Simetri Parafermion

Orde Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

V KESIMPULAN dan SARAN 41

1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A Program Maple Untuk Mencari Nilai Norm dari Suatu Vektor Keadaan 44

INTISARI




TERBEDAKAN

Oleh :

Didik Pramono

01/147265/PA/08580

Telah dilakukan penyelidikan untuk mencari hubungan antara Aljabar Tri-linier Umum (ATU) operator kreasi dan anihilasi dan tipe-tipe simetri keadaan kuan-tum sistemn partikel identik tak terbedakan. Tipe-tipe simetri keadaan kuantumterkait dengan wakilan uniter tak tereduksi (WUTT) dari grup permutasiSn. Ni-lai norma dari seluruh vektor keadaan yang terkait dengan tipe simetri tertentu di-cari dengan ATU. Nilai norma untuk vektor keadaan yang tidak termasuk dalam tipesimetri yang dicari hubungannya dengan ATU dibuat lenyap. Dari persyaratan un-tuk membuat nilai norma lenyap diperoleh persamaan atau nilai koefisien ATU yangmendeskripsikan hubungan tersebut dengan tipe simetri yang dicari. Analisa padakeadaan tipe simetrik total dan anti simetrik total dicari dengan membuang keadaan-keadaan tipe simetri selain tipe-tipe tersebut dan hanya diperoleh persamaan. Untuktipe simetri paraboson dan parafermion orde 2 (dua) diperoleh aljabar Govorkov.

viii

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Masalah

Partikel-partikel yang telah terdeteksi kehadirannya di alam diketahui mematu-

hi dua jenis statistika kuantum, yaitu statistika Bose-Einstein (BE) dan statistika

Fermi-Dirac (FD). Partikel yang mematuhi statistika BE disebut partikelbosondan

partikel yang mematuhi statistika FD disebut partikelfermion. Selain dari statis-

tika BE dan FD masih ada teori-teori statistika kuantum lain sebagai usaha untuk

membuat generalisasi dari keduanya. Asas-asas yang ada dalam fisika kuantum tidak

mensyaratkan hanya ada dua jenis statistika kuantum saja. Diperoleh fakta dalam

eksperimen bahwa ada kondisi-kondisi tertentu dimana dapat muncul statistika kuan-

tum bentuk lain, seperti fenomena elektron pada sistem 2 dimensi yang ternyata

dapat dianalisa dengan statistikaanyon. Statistika kuantum berhubungan dengan

tipe simetri keadaan kuantum partikel-partikelnya. Tipe simetri keadaan kuantum

partikel-partikel boson bersifat simetrik total, sedang tipe simetri partikel-partikel

fermion bersifat anti simetrik total. Selain dari tipe simetrik total dan anti simetrik

total masih banyak kemungkinan tipe-tipe simetri lain yang terkait dengan sebuah

wakilan uniter tak tereduksigrup permutasiSn.

Pembahasan sistem multipartikel secara efektif dikaji dalam teori medan kuan-

tum. Dalam rumusan teori medan kuantum, statistika kuantum BE dan FD terkait

dengan bentuk aljabar operatorkreasia† dananihilasia yang berbentuk :

[ai, a†j]− ≡ aia

†j − a†jai = δij (I.1)

[ai, a†j]+ ≡ aia

†j + a†jai = δij (I.2)

1

2

dimana relasi komutasi (−) untuk statistika BE dan relasi anti komutasi (+) untuk

statistika FD. Bentuk relasi komutasi tidak lain adalah generalisasi metode kuantisasi

Heisenberg pada sistem klasik osilator harmonik yang diperluas untuk teori medan

kuantum. Sedang relasi anti komutasi tidak memiliki padanan pada sistem klasik.

Bentuk relasi anti komutasi dipostulatkan oleh Jordan dan Wigner untuk mengatasi

kesulitan-kesulitan yang muncul ketika mengkuantisasi medan Dirac seperti muncul-

nya energi negatif dan probabilitas negatif (Ryder, 1996).

Untuk membangun statistika kuantum selain BE dan FD dapat dilakukan de-

ngan merumuskan kembali bentuk aljabar operator kreasi dan anihilasi (OKA). Usaha

tersebut telah dilakukan misalnya oleh Green (1953), Govorkov (1990), dan Green-

berg (1990). Green dan Govorkov mempostulatkan bentuk aljabar trilinier OKA (ter-

diri dari 3 operator : 2 operator kreasi dan 1 operator anihilasi), sedangkan Greenberg

mempostulatkan bentuk aljabar bilinier (terdiri dari 2 operator : 1 operator kreasi

dan 1 operator anihilasi) yang disebut aljabarQuon. Aljabar Quon adalah bentuk

generalisasi dari aljabar bilinier boson dan fermion dengan memberikan parameter

q. Mengikuti ide dari Greenberg, bentuk aljabar trilinier Green dan Govorkov juga

dapat diperluas seperti yang dilakukan oleh Satriawan (2005). Dalam skripsi ini akan

diteliti bentuk aljabar trilinier OKA yang dikembangkan oleh Satriawan yang disebut

Aljabar Trilinier Umum dan menghubungkannya dengan tipe-tipe simetri keadaan

kuantum yang terkait dengan wakilan uniter tak tereduksi grup permutasiSn.

2. Tinjauan Pustaka

Statistika kuantum BE yang dipatuhi oleh partikel-partikel boson menggu-

nakan aljabar OKA berbentuk relasi komutasi pada persamaan (I.1). Statistika kuan-

tum FD yang dipatuhi oleh partikel-partikel fermion menggunakan relasi anti ko-

mutasi persamaan (I.2). Bentuk-bentuk lain dari aljabar OKA muncul dengan cara

3

dipostulatkan. Alasannya adalah bahwa aljabar OKA FD sendiri juga dipostulatkan.

Green (1953) pertama kali memperkenalkan aljabar OKA yang dikenal dengan al-

jabar parastatistik. Green mengganti kombinasi bilinier aljabar OKA BE dan FD

dengan kombinasi trilinear dengan bentuk :

[[ai, a†j]±, a†k] =

2

pδika

†j (I.3)

dimanaa†j danaj secara berurutan adalah operator kreasi dan anihilasi partikel tung-

gal pada keadaanj dan bilanganp adalah bilangan bulat selain nol.

Govorkov (1990), dengan deformasi pada aljabar parastatistik Green, mem-

postulatkan aljabar trilinier OKA berbentuk :

[aia†j, a

†k] =

1

pδika

†j (I.4)

dengan bilanganp juga bilangan bulat selain nol. Greenberg (1990) mempostulatkan

aljabar bilinier OKA yang dikenal dengan aljabarQuonyang berbentuk :

aia†j − qa†jai = δij (I.5)

dengan bilanganq adalah parameter interpolasi yang kontinyu bernilai (−1 ≤ q ≤ 1),

dimana nilaiq = 1 tidak lain adalah aljabar BE sedangq = −1 tidak lain adalah

aljabar FD.

Selanjutnya Satriawan (2005) mengembangkan bentuk aljabar bilinier OKA

yang berbentuk :

aia†j + Ba†jai + Cδij = 0 (I.6)

4

dan aljabar trilinier OKA berbentuk :

aia†ja†k + Ba†jaia

†k + Ca†ja

†kai + Da†ka

†jai + Ea†kaia

†j + Fδika

†j + Gδija

†k = 0 (I.7)

Dari persamaan diatas, telah ditunjukkan bahwa dari aljabar bilinier OKA dapat dipero-

leh aljabar Quon, sedangkan dari aljabar trilinier OKA diperoleh aljabar OKA Green

dan Govorkov (aljabar Green merupakan kasus khususnya dan aljabar Govorkov

diperoleh dengan kaidah pemisahan gugus). Jadi aljabar bilinier persamaan (I.6)

adalah bentuk umum dari aljabar Quon, sedang aljabar trilinier OKA persamaan (I.7)

adalah bentuk umum dari aljabar Green dan Govorkov. Aljabar tilinier OKA per-

samaan (I.7) kemudian dikenal denganAljabar Trilinier Umumyang disingkat ATU.

3. Tujuan Penelitian

Tujuan dari skripsi ini adalah melakukan penelitian untuk mencari hubungan

ATU dengan tipe-tipe simetri vektor-vektor keadaan kuantum multipartikel identik

tak terbedakan yang terkait dengan wakilan uniter tak tereduksi grup permutasiSn,

khususnya hubungan nilai-nilai koefisien ATU yang sesuai untuk masing-masing tipe

simetri.

4. Ruang lingkup Kajian

Kajian dibatasi pada keadaan-keadaan kuantum multi partikel (multiparticle

quantum states) yang tidak lebih dari 4 partikel dan tipe simetri yang diselidiki hanya

4 tipe simetri yaitu tipe simetrik total, tipe anti simetrik total, tipe paraboson orde 2,

dan tipe parafermion orde 2.

5

5. Sistematika Penulisan

Skripsi ini terdiri dari 5 bab dengan uraian : Bab I berisi latar belakang

masalah, tinjauan pustaka, tujuan penelitian, ruang lingkup kajian, sistematika penuli-

san dan metode yang digunakan dalam penelitian. Bab II berisi uraian singkat tentang

kuantisasi medan. Bab III berisi tentang sifat simetri keadaan kuantum multipartikel.

Bab IV berisi tentang analisa ATU disertai dengan pembahasannya. Dan bab terakhir

berisi tentang kesimpulan dan saran bagi penelitian selanjutnya.

6. Metode Penelitian

Penelitian dilakukan dengan kajian matematik disertai dengan bantuan pro-

gram komputer dalam bahasa Maple versi 9.5.

BAB II

TEORI KUANTISASI MEDAN

Teori medan kuantum adalah aplikasi mekanika kuantum pada medan yang

meyediakan kerangka kerja bagi fisika partikel. Teori ini digunakan untuk meru-

muskan kembali teori kuantum yang konsisten untuk sistem kuantum multipartikel,

khususnya dalam menjelaskan interaksi-interaksi yang menyebabkan penciptaan dan

pemusnahan partikel. Operator yang berperan penting dalam teori medan kuantum

adalah operator kreasi dan anihilasi (OKA). Dari bentuk aljabar OKA dapat diketahui

sifat medannya dan juga sekaligus sifat simetri keadaan kuantum sistem multipartikel

yang dihasilkannya.

1. Kuantisasi Medan Boson

Medan skalar real relativistik memenuhi persamaan Klein-Gordon (~ = c =

1, 2 ≡ ∂2

∂t2−∇2)

(2 + m2)ϕ = 0 (II.1)

yang dapat diturunkan dari prinsip variasi yang dikenakan pada suatu aksi

S =

∫L(ϕ, ∂uϕ)d4 (II.2)

dimana∂u ≡ ∂ϕ/∂xu dan dengan bentuk Lagrangiannya

L =1

2(∂uϕ)(∂uϕ)− m2

2ϕ2 =

1

2[(∂0ϕ)2 − (

→∇ ϕ)2 −m2ϕ2] (II.3)

6

7

Dari sistem klasik menuju ke sistem kuantum, medan dijadikan operator Hermitian

yang ekspansi Fouriernya dituliskan :

ϕ(x) =

∫d3k

(2π)3 2ωk

[a(k)e−ikx + a†(k)eikx

](II.4)

denganω = (k2 + m2)1/2, k adalah vektor gelombang sedangm adalah parameter

yang berdimensi kebalikan dari panjang. Koefisiena(k) dana†(k) juga merupakan

operator. Kuantitasϕ(x) sekarang dianalogikan seperti vektor posisix dalam mekani-

ka partikel, oleh karena itu momentum konjugatΠ(x) dariϕ(x) dapat diperoleh dari

Π (x) =δL

δϕ̇ (x)= ϕ̇ (x) (II.5)

Variabelϕ (x) danΠ (x) memenuhi relasi komutasi Heisenberg, yaitu

[ϕ (x) , ϕ (x′)] = [Π (x) , Π (x′)] = 0

[ϕ (x) , Π (x′)] = iδ3 (x− x′)

(II.6)

Dengan menggunakan normalisasi kubus, solusi persamaan Klein-Gordon diberikan

oleh

fk(x) =1

[(2π)32ωk]1/2

e−ikx (II.7)

f ∗k (x) =1

[(2π)32ωk]1/2

eikx (II.8)

yang berhubungan dengan energi positif dan negatif dan membentuk himpunan keadaan

kuantum ortonormal yaitu

∫f ∗k (x)i

↔∂0 fk′(x)d3x = δ3(k − k′) (II.9)

8

dimana↔∂0 didefinisikan oleh

A(t)↔∂0 B(t) = A(t)

∂B(t)

∂t− ∂A(t)

∂tB(t) (II.10)

Ekspansi Fourier medan kemudian dapat dituliskan

ϕ(x) =

∫d3k

[(2π)3 2ωk]1/2[fk(x)a(k) + f ∗ka†(k)] (II.11)

bila dibalik dengan menggunakan persamaan (II.9) diperoleh

a(k) =

∫d3x

[(2π)32ωk

]1/2f ∗k (x)i

↔∂0 ϕ(x) (II.12)

a†(k′) =

∫d3x

[(2π)32ωk

]1/2ϕ(x′)i

↔∂0 fk′(x′) (II.13)

dari persamaan (II.5),(II.6),(II.12)dan (II.13) diperoleh relasi komutasi

[a(k), a†(k′)

]= (2π)32ωkδ

3(k − k′) (II.14)

[a(k), a(k′)] =[a†(k), a†(k′)

]= 0 (II.15)

Dari persamaan di atas, terlihat bahwa operatora(k) dana†(k) memainkan

peranan yang sangat penting untuk memberikan tafsiran partikel dari medan yang

terkuantisasi. Pertama, dibentuk sebuah operator

(2π)32ωkδ3(0)N(k) = a†(k)a(k) (II.16)

yang dapat ditunjukkan bahwaN(k) danN(k′) komut yaitu

[N(k), N(k′)] = 0 (II.17)

9

sehingga swakeadaan dari operator ini dapat dijadikan sebagai basis. Misal swanilai

dariN(k) adalahn(k):

N(k) |n(k)〉 = n(k) |n(k)〉 (II.18)

dari persamaan (II. 14), (II.15), dan (II.16) diperoleh

[N(k), a†(k)

]= a†(k)

[N(k), a(k)] = −a(k)

yang dapat dipakai untuk mendapatkan

N(k)a†(k) |n(k)〉 = a†(k)N(k) |n(k)〉+ a†(k) |n(k)〉

= [n(k) + 1] a†(k) |n(k)〉(II.19)

dan

N(k)a(k) |n(k)〉 = a(k)N(k) |n(k)〉 − a(k) |n(k)〉

= [n(k)− 1] a†(k) |n(k)〉(II.20)

Persamaan diatas menunjukkan jika keadaan|n(k)〉 memiliki swanilain(k), keadaan

a†(k) |n(k)〉 dana(k) |n(k)〉 adalah swakeadaan dariN(k) berkenaan dengan swani-

lai n(k) + 1 dann(k) − 1. OperatorN(k) disebut operator bilangan partikel yang

digunakan untuk menghitung jumlah partikel.

Persamaan (II.20) bila terus bekerja pada suatu keadaan akan menyebabkan

swanilai n(k) berkurang 1 dan untuk menghindarinya bernilai negatif maka harus

10

ada keadaan dasar yang memenuhi

a(k) |0〉 = 0 (II.21)

oleh karena itu

N(k) |0〉 = a†(k)a(k) |0〉 = 0 (II.22)

keadaan dasar adalah keadaan vakum dimana tidak terdapat partikel dengan momen-

tum k. Aplikasi daria†(k) menaikkan nilaiN(k) sebanyak 1 sehingga nilaiN(k)

adalah bilangan bulat. Operatora(k) dana†(k) disebut operatorkreasidananihilasi

partikel sebagai bentuk kuanta dari medan.

Kuanta medan diatas ternyata dapat ditunjukkan memenuhi statistika Bose-

Einstein. Dari persamaan (II.19), keadaana†(k) |n(k)〉 dan keadaan|n(k) + 1〉 adalah

sebanding, sehingga dapat dituliskan

a†(k) |n(k)〉 = c+(n(k)) |n(k) + 1〉

atau lebih tepatnya

a†(ki) |n(k1), n(k2), · · · , n(ki), · · · 〉

= c+(n(k)) |n(k1), n(k2), · · · , n(ki) + 1, · · · 〉 (II.23)

dimanac+(n(k)) adalah konstanta yang diperoleh dengan persyaratan bahwa seluruh

keadaan ternormalisasi :

|c+(n(k))|2 〈n(k) + 1|n(k) + 1〉 =⟨n(k)

∣∣a(k)a†(k)∣∣n(k)

⟩= [n(k) + 1] 〈n(k)|n(k)〉 (2π)32ωk

11

selanjutnya diperoleh nilai

|c+(n(k))|2 = [n(k) + 1](2π)32ωk

c+(n(k)) = ([n(k) + 1](2π)32ωk)1/2

Keadaan sistem multipartikel dapat diperoleh dari

|n(k1), n(k2), · · · , n(ki), · · · 〉

=∏

i

{1

(2π)32ωki[n(ki) + 1]1/2

[a†(ki)]n(ki)

}|0〉 (II.24)

Tidak ada batasan nilain(k), sembarang bilangan partikel dapat menempati keadaan

yang memiliki momentum yang sama. Sifat simetri keadaan partikel diperoleh dari

persamaan (II.15) yaitu

[a†(k), a†(k′)

]|0〉 = 0

(a†(k)a†(k′)− a†(k′)a†(k)) |0〉 = 0

|k′, k〉 − |k, k′〉 = 0

|k′, k〉 = |k, k′〉

(II.25)

Jadi, relasi komutasi yang diperoleh pada persamaan (II.14) dan (II.15) telah

menuntun kepada kuantisasi medan yang menghasilkan partikelboson.

2. Kuantisasi Medan Fermion

Partikel fermion mematuhi prinsip eksklusi Pauli yang melarang dua atau

lebih partikel memiliki keadaan yang sama dalam sebuah sistem kuantum. Dijumpai

banyak kesulitan ketika mengkuantisasikan medan fermion dengan prosedur kuanti-

sasi yang sama seperti medan boson, misalnya muncul energi negatif dan probabili-

12

tas negatif (Ryder, 1996). Kesulitan-kesulitan tersebut ternyata dapat diatasi dengan

mengganti relasi komutasi persamaan (II.13) dan (II.14) menjadi relasi anti komutasi

berbentuk

[b(k), b†(k′)]+ = (2π)3k0

mδ3(k − k′) (II.26)

[b(k), b(k′)]+ = [b†(k), b†(k′)]+ = 0 (II.27)

Dapat ditunjukkan dari persamaan (II.26) keadaan multipartikel yang dibangun memi-

liki sifat anti simetrik

[b†(k), b†(k)] |0〉 = 0

(b†(k)b†(k′) + b†(k′)b†(k)) |0〉 = 0

|k′, k〉+ |k, k′〉 = 0

|k′, k〉 = − |k, k′〉

(II.28)

jika k = k′ maka

|k, k〉 = − |k, k〉

|k, k〉+ |k, k〉 = 0

2 |k, k〉 = 0

|k, k〉 = 0

ini menunjukkan bahwa untuk sistem 2 partikel atau lebih fermion tidak boleh berada

pada keadaan yang memiliki momentum yang sama atau dengan kata lain sistem ini

patuh pada prinsip eksklusi Pauli.

BAB III

SIFAT SIMETRI KEADAAN

Sistem multipartikel identik tak terbedakan adalah sistem yang tediri dari

partikel-partikel yang memilki sifat-sifat kuantum intrinsik (massa, spin, muatan)

yang sama dan keadaan-keadaan kuantum yang saling tumpang tindih. Ruang Hilbert

yang mewakili sistem ini bersifat invarian terhadap aksi permutasi partikel. Tiap-

tiap partikel berasosiasi dengan satu ruang Hilbert partikel tunggal yaituH(1). Se-

cara umum ruang Hilbert sistemn partikelH(n) merupakan subruang dari produk

perkalian tensorn buahH(1) yaituH(n) ⊆ ⊗ni=1H(1).

Secara umum vektor dalam⊗ni=1H(1) dapat ditulis sebagai kombinasi linier

dari vektor monomial|i1, · · · in〉 = |i1〉 ⊗ · · · ⊗ |in〉, dimana|iα〉 adalah vektor

monomial partikel tunggal dengan bilangan kuantum partikel tunggal{iα}. Him-

punan{|iα〉} untukiα yang berbeda diasumsikan membentuk himpunan lengkap dari

vektor-vektor keadaan ortonormal dalamH(1), dan himpunan{|i1, · · · in〉} dengan

nilai yang berbeda untuki1, · · · in membentuk himpunan lengkap dari vektor-vektor

keadaan ortonormal dalam⊗ni=1H(1).

Ruang Hilbert untuk sistem multipartikel identik yang vektor keadaannya diben-

tuk oleh aksi operator kreasi dan anihilasi pada vektor keadaan vakum sering juga

disebut sebagai ruangFockF . Dalam rumusanF , vektor keadaan sistemn partikel

dituliskan dengan kombinasi linier dari vektor monomial yang didefinisikan sebagai

berikut

|i1, i2, i3, · · · , in〉 ≡ a†in · · · a†i2a†in |0〉 (III.1)

Vektor monomial kemudian diinterpretasikan sebagai vektor keadaann partikel de-

13

14

ngan bilangan kuantum tunggali1, · · · , in karena keberadaan operator bilanganNi

yang mematuhi aturan

[Ni, a†j] = δija

†j, Ni |0〉 = 0 aia

†j |0〉 = δij |0〉 (III.2)

Aksi dari operator permutasiU(p) pada basis ini diberikan oleh

U (p) |i1, · · · , in〉 ≡∣∣ip(1), · · · , ip(n)

⟩(III.3)

dimana aksi ini linier untuk seluruh⊗ni=1H(1).

Hamiltonian dari sistem multipartikel bersifat invarian terhadap aksi permu-

tasi partikel, oleh karenanya Hamiltonian tersebut komut dengan operator permutasi

yaitu

[H, U(p)] = 0 (III.4)

yang menunjukkan swafungsi energi dapat menjadi basis bagi ruang wakilan operator

permutasi.

Diberikan contoh kasus 2 (dua) partikel,

U(12) |1, 2〉 = λ |1, 2〉

|2, 1〉 = λ |1, 2〉(III.5)

Permutasi sekali lagi menghasilkan

U2(12) |1, 2〉 = λ2 |1, 2〉

|1, 2〉 = λ2 |1, 2〉(III.6)

Swanilai dari operator permutasiλ = ±1. Untuk swanilaiλ = 1 menyebabkan swa-

15

fungsi bersifat simetrik , yaitu|1, 2〉 = |2, 1〉, sedang swanilaiλ = 1 menyebabkan

swanilai bersifat anti simetrik yaitu|1, 2〉 = − |2, 1〉. Dua jenis tipe simetri terhadap

permutasi keadaan ini menggambarkan 2 jenis partikel yang berbeda, sifat simetrik

untuk partikel boson yang mematuhi statistika Bose-Einstein dan sifat anti simetrik

untuk partikel fermion yang mematuhi statistika Fermi-Dirac. Untuk sistem yang

lebih dari 2 partikel dapat muncul tipe-tipe simetri lain.

Untuk mengetahui lebih jauh tentang sifat simetri berkenaan dengan permutasi

keadaan kuantumn buah partikel identik digunakangrup permutasiSn. WakilanSn

dapat direduksi menjadi wakilan-wakilan uniter tak tereduksi (WUTT) yang terkait

dengan sub-subruang yang invarian dinotasikan denganHλ, dengan labelλ adalah

partisi darin. Partisi darin didefinisikan sebagai berikut :

• Sebuah partisi darin dituliskanλ ≡ λ1, λ2, · · · , λr yang berupa barisan dari

bilangan bulat positifλi, yang disusun secara menurun dengan aturanλi ≥

λi+1, i = 1, ..., r dimana jumlah totalnya∑r

i=1 λi = n

• Dua partisiλ, µ dikatakan sama jikaλi = µi untuk seluruhi.

• Sebuah partisiλ terkait dengan sebuahDiagram Youngyaitu sebuah gambar

grafis yang terdiri darin buah kotak yang tersusun dalamr baris, baris kei

terdiri dariλi kotak.

Vektor-vektor di dalamHλ dikatakan memiliki tipe simetriλ dan dapat berdiri

sendiri sebagai ruang Hilbert yang mendeskripsikan suatu sistem fisis tertentu. WUTT

dari Sn pada akhirnya dapat dicari dari diagram Young bersesuaian dengan partisiλ

dengan mengisikan indek bilangan-bilangan. Diagram Young yang berisi indek-indek

bilangan disebutTabel Young. Sebelum membahas tentang Tabel Young, terlebih dulu

disajikan tentang permutasi darin buah objek.

16

1. Permutasi

Permutasi dari sebuah himpunan yang terdiri darin buah objek didefinisikan

sebagai sebuah pemetaan bijektif pada himpunan itu sendiri. Sembarang permutasi

darin buah objek dituliskan

p =

1 2 3 · · · n

p1 p2 p3 · · · pn

dimana bilangan-bilangan pada baris pertama dipindahkan ke tempat yang bersesua-

ian pada baris kedua. Himpunan dari permutasin buah objek berjumlahn!.

Sembarang permutasi darin buah objek dituliskan

p =

1 2 3 · · · n

p1 p2 p3 · · · pn

inversi darip

p−1 =

p1 p2 p3 · · · pn

1 2 3 · · · n

Elemen identitase dituliskan

e =

1 2 3 4 · · · n

1 2 3 4 · · · n

Notasi penulisan lain yang lebih sederhana yaitu dengan menggunakan struk-

17

tur siklus. Untuk lebih jelas diberikan contoh suatu permutasi

p =

1 2 3 4 5 6

3 5 4 1 2 6

objek 1 dipermutasikan ke objek 3 dan objek 3 dipermutasikan ke objek 4 sedang

objek 4 ke objek 1, jadi ketiga objek ini membentuk 3-siklus dan dapat ditulis (134).

Objek yang lain yaitu 2 dan 5 membentuk 2-siklus dan dapat ditulis (25), Objek 6

tidak berubah oleh karenanya hanya membentuk 1-siklus dan ditulis (6). Jadi per-

mutasi di atas secara keseluruhan ditulis (134)(25)(6). Panjang struktur siklus dapat

digunakan untuk menentukan kelas dari seluruh elemen grup permutasi. Sebagai

contoh, elemen dariS3 terdiri dari 3 kelas yaitu; 1-siklus elemen identitase, 2-siklus

teridiri dari elemen (12), (23), dan (13), 3-siklus terdiri dari (123) dan (321).

2. Tabel Young

Setiap WUTT dariSn yang terkait dengan sub-subruang invarianHλ dapat

dicari dengan metodeTabel Young. Indek bilangan yang muncul dalam satu baris

menunjukkan simetrik dan indek kolom menunjukkan anti-simetrik.

Contoh : untuk kasusn = 3 ada 3 buah partisi yang berbeda yaitu (3), (2,1)

dan (1,1,1). Diagram Youngnya secara berturutan

Pengisian indek bilangan1, 2, ..., n pada kotak diagram Young tidak boleh

berulang. Ada dua macam Tabel Young yaitu Tabel YoungNormaldan Tabel Young

18

Standar. Tabel Young Normal diperoleh dengan pengisian bilangan secara beruru-

tan dari kotak kiri ke kotak sebelah kanan kemudian dilanjutkan ke baris berikut-

nya. Sedang Tabel Young Standar diperoleh dengan pengisian bilangan-bilangan

yang tidak secara berurutan asalkan bilangan tersebut semakin membesar dari ko-

tak paling kiri ke kotak sebelah kanan dan dari atas ke bawah. Contoh Tabel Young

Normal

1 2

3dan

1 2 3

4

Contoh Tabel Young Standar

1 3

2dan

1 3 4

2

Tabel Young Normal dituliskanΘλ, sedang Tabel Young Standarnya untuk

partisi yang sama dituliskanΘpλ ataupΘλ, denganp adalah permutasi dari bilangan

pada kotak diagram Young.

3. Sifat Simetri Keadaan Kuantum Multipartikel

Didefinisikan permutasi horisontal dan vertikal sebagai berikut : Diberikan

Tabel YoungΘpλ, permutasi horisontalhp

λ adalah permutasi bilangan yang muncul

dalam satu baris pada kotak diagram Young, sedang permutasi vertikalvpλ adalah per-

mutasi bilangan yang muncul dalam satu kolom pada kotak diagram Young . Didefini-

sikan operator Penyimetrispλ yang diperoleh dengan menjumlahkan seluruh permutasi

19

horisontal yakni

spλ =

∑h

hpλ (III.7)

Didefinisikan operator Anti Penyimetri yang diperoleh dengan menjumlahkan seluruh

permutasi vertikal dengan aturan

apλ =

∑v

(−1)vλvpλ (III.8)

Kemudian didefinisikan juga suatu operator penyimetri tak tereduksi atau disebut

Penyimetri Youngepλ yang didefinisikan

epλ =

∑h,v

(−1)vλhpλv

pλ (III.9)

Penyimetri Young di atas bila bekerja pada suatu vektor monomial akan membentuk

vektor-vektor keadaan kuantum dalamHλ yang memiliki tipe simetriλ sebagai ruang

wakilan WUTT dariSn.

Kemudian akan dicari semua vektor keadaan yang bersesuaian dengan partisi-

partisi sistemn partikel sampain = 4. Untuk sistem yang terdiri dari 2 (dua) buah

partikel, terdapat 2 partisi untukS2 yaitu (2) dan (1,1) yang bentuk Tabel Youngnya

secara berurutan

1 2 dan1

2

Nilai Penyimetri untuk partisi (2) adalahs1 = e+(12) dan Anti penyimetrinya adalah

20

a1 = e. Nilai Penyimetri Young untuk partisi (2) adalah

e1 = s1a1 = (e + (12))e = e + (12)

Bila vektor monomial partikel tunggal dituliskan|1〉 dan |2〉 dan vektor monomial

untuk sistem 2 (dua) partikel|1〉 ⊗ |2〉 = |1, 2〉, diperoleh aksi operator Penyimetri

Young pada vektor monomial 2 (dua) partikel yaitu

e1 |1, 2〉 = e + (12) |1, 2〉 = |1, 2〉+ |2, 1〉 (III.10)

Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan simetrik total untuk sistem 2 (dua)

partikel. Nilai Penyimetri untuk partisi (1,1) adalahs2 = e dan Anti penyimetrinya

adalaha2 = e− (12). Nilai Penyimetri Young untuk partisi (1,1) adalah

e2 = s2a2 = e(e− (12)) = e− (12)

Aksi operator Penyimetri Young pada vektor monomial 2 (dua) partikel akan meng-

hasilkan vektor keadaan :

e2 |1, 2〉 = e− (12) |1, 2〉 = |1, 2〉 − |2, 1〉 (III.11)

Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan anti simetrik total untuk sistem 2 (dua)

partikel.

Untuk sistem yang terdiri dari 3 (tiga) partikel, terdapat 3 buah partisi untuk

S3 yaitu (3), (2,1), dan (1,1,1). Bentuk Tabel Young untuk partisi (3) :

Θ1 = 1 2 3

21

seluruhp yang ada berupahλ sehingga nilai Penyimetrinya adalahs1 =∑

p p =

e + (12) + (13) + (23) + (123) + (321), sedang permutasi vertikalvλ hanya elemen

e sehingga nilai Anti penyimetrinyaa1 = e. Nilai Penyimetri Young

e1 = s1a1 =

(∑p

p

)e = e + (12) + (13) + (23) + (123) + (321)

Bila vektor monomial untuk 3 (tiga) partikel dituliskan|1, 2, 3〉, aksi Penyimetri Young-

nya diberikan oleh

e1 |1, 2, 3〉 =(e + (12) + (13) + (23) + (123) + (321)) |1, 2, 3〉

= |1, 2, 3〉+ |2, 1, 3〉+ |3, 2, 1〉+ |1, 3, 2〉+ |3, 1, 2〉

+ |2, 3, 1〉

(III.12)

Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan simetrik total untuk sistem 3 (tiga)

partikel.

Bentuk Tabel Young Normal partisi (2,1) adalah :

Θ2 =1 2

3

Nilai Penyimetris2 = e + (12) sedangkan nilai Anti penyimetrinyaa2 = e − (13)

sehingga diperoleh nilai Penyimetri Young :

e2 = s2a2 = (e + (12))(e− (13)) = e + (12)− (31)− (321)

Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial sistem 3 (tiga) partikel

22

akan menghasilkan vektor keadaan :

e2 |1, 2, 3〉 = (e + (12)− (31)− (321)) |1, 2, 3〉

= |1, 2, 3〉+ |2, 1, 3〉 − |3, 2, 1〉 − |2, 3, 1〉(III.13)

Bentuk Tabel Young Standar untuk partisi (2,1) :

Θ(23)2 =

1 3

2

Nilai Penyimetri Youngs2 = e + (13) sedangkan nilai Anti penyimetrinyaa2 =

e− (12), sehingga diperoleh nilai Penyimetri Young :

e(23)2 = s2a2 = (e + (13)) (e− (12)) = e + (13)− (12)− (123)


:

e(23)2 |1, 2, 3〉 = (e + (13)− (12)− (123)) |1, 2, 3〉

= |1, 2, 3〉+ |3, 2, 1〉 − |2, 1, 3〉 − |3, 1, 2〉(III.14)

Bentuk tabel Young untuk partisi (1,1,1) :

Θ3 =

1

2

3

23

Seluruh permutasi berupavλ sehingga diperoleh nilai Penyimetri Young :

e3 = s3a3 =e((e)− (12)− (13)− (23) + (123) + (321))

=e− (12)− (13)− (23) + (123) + (321)


e3 |1, 2, 3〉 = (e− (12)− (13)− (23) + (123) + (321)) |1, 2, 3〉

= |1, 2, 3〉 − |2, 1, 3〉 − |3, 2, 1〉 − |1, 3, 2〉+ |3, 1, 2〉+ |2, 3, 1〉(III.15)

Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan tipe anti simetrik total untuk sistem 3

(tiga) partikel.

GrupS4 memiliki elemen permutasi sebanyak4! = 24 dan terdiri dari 5 par-

tisi yaitu (4), (3,1), (2,2), (2,1,1), dan (1,1,1,1). Bentuk diagram Youngnya secara

berturutan adalah

Nilai-nilai Penyimetri Young untuk masing-masing partisi adalah sebagai berikut :

Bentuk tabel Young untuk partisi (4)

Θ1 = 1 2 3 4

Nilai Penyimetri Young untuk partisi (4) adalah jumlah dari seluruh permutasi yang

24

ada, yaitu

e1 =∑

p

p

Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial 4 (empat) partikel

menghasilkan vektor keadaan :

e1 |1, 2, 3, 4〉 =∑

p

p |1, 2, 3, 4〉 (III.16)

Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan tipe simetrik total untuk 4 (empat)

partikel.

Partisi (3,1) dapat dibuat 1 (satu) Tabel Young Normal dan 2 (dua) Tabel

Young Standar. Bentuk Tabel Young Normalnya :

Θ2 =1 2 3

4

Nilai Penyimetri Youngnya adalah

e2 =e + (12) + (13) + (23) + (123) + (321)− (14)− (142)

− (14)(23)− (143)− (1423)− (1432)



e2 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉+ |2, 1, 3, 4〉+ |3, 2, 1, 4〉+ |1, 3, 2, 4〉

+ |3, 1, 2, 4〉+ |2, 3, 1, 4〉 − |4, 2, 3, 1〉 − |2, 4, 3, 1〉

− |4, 3, 2, 1〉 − |3, 2, 4, 1〉 − |3, 4, 2, 1〉 − |2, 3, 4, 1〉

(III.17)

25

Bentuk 2 (dua) Tabel Young standarnya

Θ232 =

1 2 4

3dan Θ

(243)2 =

1 3 4

2

Nilai Penyimetri Young secara berturutan

e232 =e + (12) + (14) + (24) + (124) + (421)

− (13)− (132)− (13)(24)− (134)− (1324)− (1342)

dan

e(243)2 =e + (13) + (14) + (34) + (134) + (431)

− (12)− (123)− (124)− (12)(34)− (1234)− (1243)

Aksi operator Penyimetri Young pada vektor monomial 4 (empat) partikel secara

berturutan akan menghasilkan vektor keadaan :

e232 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉+ |2, 1, 3, 4〉+ |4, 2, 3, 1〉+ |1, 4, 3, 2〉

+ |4, 1, 3, 2〉+ |2, 4, 3, 1〉 − |3, 2, 1, 4〉 − |2, 3, 1, 4〉

− |3, 4, 1, 2〉 − |4, 2, 1, 3〉 − |4, 3, 1, 2〉 − |2, 4, 1, 3〉

(III.18)

dan

e(243)2 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉+ |3, 2, 1, 4〉+ |4, 2, 3, 1〉+ |1, 2, 4, 3〉

+ |4, 2, 1, 3〉+ |3, 2, 4, 1〉 − |2, 1, 3, 4〉 − |3, 1, 2, 4〉

− |4, 1, 3, 2〉 − |2, 1, 4, 3〉 − |4, 1, 2, 3〉 − |3, 1, 4, 2〉

(III.19)

Partisi (2,2) terdiri dari 1 Tabel Young Normal dan 1 Tabel Young Standar.

26

Bentuk Tabel Young Normal partisi untuk (2,2)

Θ3 =1 2

3 4

Nilai Penyimetri Young untuk partisi (2,2)

e3 =e + (12) + (34)− (13)− (24)− (124)− (132)− (143)

− (234)− (1432)− (1234) + (1324) + (1423)

+ (1432) + (12)(34) + (13)(24) + (14)(23)

Aksi operator Penyimetri Young pada vektor monomial 4 (empat) partikel akan meng-

hasilkan vektor keadaan :

e3 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉+ |2, 1, 3, 4〉+ |1, 2, 4, 3〉 − |3, 2, 1, 4〉

− |1, 4, 3, 2〉 − |4, 1, 3, 2〉 − |2, 3, 1, 4〉 − |3, 2, 4, 1〉

− |1, 4, 2, 3〉 − |2, 3, 4, 1〉 − |4, 1, 2, 3〉+ |4, 3, 1, 2〉

+ |3, 4, 2, 1〉+ |2, 3, 4, 1〉+ |2, 1, 4, 3〉+ |3, 4, 1, 2〉+ |4, 3, 2, 1〉

(III.20)

Bentuk Tabel Young Standar untuk partisi (2,2)

Θ(23)3 =

1 3

2 4

27

Nilai penyimetri Young untuk partisi (2,2)

e(23)3 =e− (12) + (13)− (24)− (34)− (123)− (134)− (142)

− (432) + (1234)− (1324)− (1423) + (1432) + (13)(24)

+ (14)(32) + (12)(34)



e(23)3 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 − |2, 1, 3, 4〉+ |3, 2, 1, 4〉 − |1, 4, 3, 2〉

− |1, 2, 4, 3〉 − |3, 1, 2, 4〉 − |4, 2, 1, 3〉 − |2, 4, 3, 1〉

− |1, 3, 4, 2〉+ |4, 1, 2, 3〉 − |4, 3, 1, 2〉 − |3, 4, 2, 1〉

+ |2, 3, 4, 1〉+ |3, 4, 1, 2〉+ |4, 3, 2, 1〉+ |2, 1, 4, 3〉

(III.21)

Partisi(2,1,1) terdiri dari 1 Tabel Young Normal dan 2 Tabel Young Standar.

Bentuk diagram Young Normal untuk partisi (2,1,1)

Θ4 =

1 2

3

4

Nilai Penyimetri Young partisi (2,1,1)

e4 =e− (13)− (14)− (34) + (134) + (431) + (12)− (132)

− (142)− (12)(34) + (1342)− (1432)


28


e4 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 − |3, 2, 1, 4〉 − |4, 2, 3, 1〉 − |1, 2, 4, 3〉

+ |4, 2, 1, 3〉+ |3, 2, 4, 1〉+ |2, 1, 3, 4〉 − |2, 3, 1, 4〉

− |2, 4, 3, 1〉 − |2, 1, 4, 3〉+ |2, 4, 1, 3〉 − |2, 3, 4, 1〉

(III.22)

Bentuk diagram Young Standar untuk partisi (2,1,1)

Θ(23)4 =

1 3

2

4

Nilai Penyimetri Young untuk partisi (2,1,1)

e(23)4 =e− (12)− (14)− (24) + (124) + (421)

+ (13)− (123)− (143)− (13)(24) + (1243) + (1432)



e(23)4 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 − |2, 1, 3, 4〉 − |4, 2, 3, 1〉 − |1, 4, 3, 2〉

+ |4, 1, 3, 2〉+ |2, 4, 3, 1〉+ |3, 2, 1, 4〉 − |3, 1, 2, 4〉

− |3, 2, 4, 1〉 − |3, 4, 1, 2〉+ |4, 1, 2, 3〉+ |2, 3, 4, 1〉

(III.23)

Bentuk diagram Young Standar yang lain untuk partisi (2,1,1)

Θ(234)4 =

1 4

2

3

29

Nilai Penyimetri Youngnya

e(234)4 =e− (12)− (13)− (23) + (123) + (321)

+ (14)− (124)− (134)− (14)(23) + (1234)− (1324)



e(234)4 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 − |2, 1, 3, 4〉 − |3, 2, 1, 4〉 − |1, 3, 2, 4〉

+ |3, 1, 2, 4〉+ |2, 3, 1, 4〉+ |4, 2, 3, 1〉 − |4, 1, 3, 2〉

− |4, 2, 1, 3〉 − |4, 3, 2, 1〉+ |4, 1, 2, 3〉 − |4, 3, 1, 2〉

(III.24)

Bentuk diagram Young untuk partisi (1,1,1,1) adalah

Θ5 =

1

2

3

4

Nilai penyimetri Youngnya sama dengan jumlah seluruh permutasi vertikal untuk 4

objek, yaitu

e5 =∑

p

(−1)pp = a

Oleh karena itu, aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial 4

(empat) partikel akan menghasilkan vektor keadaan :

e5 |1, 2, 3, 4〉 = a |1, 2, 3, 4〉 (III.25)

30

Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan simetrik total untuk sistem 4 (empat)

partikel.

BAB IV

ALJABAR TRILINEAR UMUM (ATU)

1. Persyaratan Umum

Untuk membangun aljabar OKA, maka vektor-vektor keadaan kuantum dalam

ruang FockF untuk sistem multipartikel identik tak terbedakan harus memenuhi be-

berapa persyaratan, yaitu :

1. Nilai produk skalar vektor-vektor padaF tidak bergantung pada bilangan kuan-

tum yang sedang diselidiki.

2. Ruang FockF yang dibentang oleh seluruh vektor monomial dari keadaann-

partikel harus invarian terhadap aksiSn.

3. Tidak ada nilai norma yang negatif untuk seluruh vektor keadaan kuantum.

Syarat pertama menghendaki bilangan kuantum untuk seluruh keadaan memiliki ke-

dudukan yang sama. Syarat kedua menyebabkan vektor monomial dapat menjadi

ruang wakilan bagi grupSn dan sebaliknya yaitu grupSn dapat membagi ruang Fock

menjadi sub-subruang tak tereduksi yang invarian. Syarat ketiga berhubungan dengan

sifat keuniteran (probabilitas).

2. Analisa Aljabar Trilinear Umum ( ATU )

ATU tersusun dari permutasi tiga operator yaitu 2 operator kreasi dan 1 oper-

ator anihilasi dan kemungkinan kontraksinya. ATU berbentuk:

aia†ja†k + Ba†jaia

†k + Ca†ja

†kai + Da†ka

†jai

+ Ea†kaia†j + Fδika

†j + Gδija

†k = 0 (IV.1)

31

32

Aplikasi persamaan (IV.1) pada vektor keadaan vakum

(aia†ja†k + Ba†jaia

†k + Ca†ja

†kai + Da†ka

†jai

+ Ea†kaia†j + Fδika

†j + Gδija

†k) |0〉 = 0

(IV.2)

diperoleh

aia†ja†k |0〉+ (B + F ) δika

†j |0〉+ (E + G) δija

†k |0〉 = 0 (IV.3)

dikalikan dari kiri dengan〈0| al diperoleh

〈0| alaia†ja†k |0〉+ (B + F ) δikδlj + (E + G) δijδlk = 0 (IV.4)

Diasumsikan bahwa seluruh vektor monomial memilki nilai norm 1. Dari persamaan

(IV.4), nilai norma vektor monomial untuk 2 partikel sama dengan 1 akan mengaki-

batkan

E + G = −1 (IV.5)

Dimisalkan analisa ATU pada〈2, 1| (12) |1, 2〉 menghasilkan nilai normaα, maka

diperoleh

B + F = −α (IV.6)

Untuk mencari hubungan antara ATU dengan vektor keadaan yang memiliki

tipe simetri keadaan kuantum yang dikehendaki dapat dilakukan cara sebagai berikut

:

1. Seluruh vektor keadaan yang terkait dengan bentuk partisi tertentu darin dicari

33

nilai normanya dengan ATU (Lamp. A).

2. Nilai norma dibuat 0 untuk vektor-vektor keadaan selain tipe simetri yang dike-

hendaki ada.

3. Untuk mendapatkan nilai norma 0 dapat diambil suatu persamaan atau suatu

nilai koefisien ATU sebagai persyaratan. Persyaratan yang diperoleh digunakan

untuk mengevaluasi seluruh nilai norma dari kasus partikel itu dan untuk kasus

partikel di atasnya.

4. Persamaan atau nilai koefisien yang diambil merupakan hubungan yang dicari

antara ATU dengan vektor keadaan bertipe simetri yang dikehendaki.

a. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Simetrik Total Tipe

simetrik total dicirikan dengan bentuk partisi(n) (n= jumlah partikel) yang bentuk

diagram Youngnya hanya terdiri 1 baris saja. Sampai kasus 4 partikel, terdapat 3 buah

partisi simetrik total yaitu (2), (3), dan (4). Hubungan ATU dengan vektor keadaan

bertipe simetrik total ini diperoleh dengan membuat 0 nilai norma vektor keadaan

selain tipe simetrik total.

Analisa ATU untuk kasus 2 partikel pada vektor keadaan partisi (2) yang

diberikan oleh persamaan (III.10) dan pada vektor keadaan partisi (1,1) diberikan

oleh persamaan (III.11), secara berturutan menghasilkan nilai norma

nilai norma partisi (2) = −2E − 2G + 2B + 2F = 2 + 2α (IV.7)

nilai norma partisi (1,1) = 2B + 2F − 2E − 2G = 2− 2α (IV.8)

persamaan (IV.7) dibuat sama dengan 0 , diperoleh nilai

α = 1 (IV.9)

34

Jadi, untuk kasus 2 partikel diperlukan nilaiα = 1 agar diperoleh vektor keadaan

bertipe simetrik total saja.

Untuk kasus 3 partikel, analisa ATU pada vektor-vektor keadaan untuk partisi

(3), (2,1), dan (1,1,1) yang diberikan oleh persamaan (III.12), (III.13), (III.14) dan

(III.15), dengan memakai nilaiα = 1 secara berturutan menghasilkan nilai norma

nilai norma partisi (3) = 48 + 12F + 12G− 12C − 12D (IV.10)

nilai norma partisi (2,1) = −4F − 4G + 4C + 4D − 4 (IV.11)

nilai norma partisi (2,1) = 2F + 2G− 2C − 2D + 2 (IV.12)

nilai norma partisi (1,1,1) = 0 (IV.13)

agar diperoleh vektor keadaan yang bertipe simetrik total saja maka persamaan (IV.11)

dan (IV.12) dibuat sama dengan 0 , diperoleh nilai

F = G− C −D + 1 (IV.14)

Jadi, untuk kasus 3 partikel, diperlukan persamaan (IV.9) dan (IV.14) agar vektor

keadaan yang ada hanya bertipe simetrik total saja.

Untuk kasus 4 partikel, analisa ATU dan dengan memakai persamaan (IV.9)

dan (IV.14) telah menghasilkan vektor keadaan yang ada hanya vektor keadaan bertipe

simetrik total saja yaitu pada partisi (4), sehingga untuk kasus 4 partikel tidak dipero-

leh persyaratan lagi.

Jadi, vektor-vektor keadaan bertipe simetrik total dapat diperoleh dari ATU

35

dengan persamaan

B = C −G + D (IV.15)

F = G− C −D + 1 (IV.16)

b. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Anti Simetrik Total

Partisi dengan bentuk(1, 1, 1, · · · ) dikatakan memilki tipe anti simetrik total. Sam-

pai kasus 4 partikel, terdapat 3 buah partisi anti simetrik total yaitu (1,1), (1,1,1),

dan (1,1,1,1). Hubungan ATU dengan vektor keadaan bertipe anti simetrik total ini

dipero-leh dengan membuat 0 nilai norma seluruh vektor keadaan selain tipe anti

simetrik total.

Persamaan (IV.7) dibuat sama dengan 0 , diperoleh nilai

α = −1 (IV.17)

Jadi untuk kasus 2 partikel diperoleh persamaanα = −1.

Untuk kasus 3 partikel, analisa ATU pada vektor-vektor keadaan untuk partisi

(3), (2,1), dan (1,1,1) yang diberikan oleh persamaan (III.12), (III.13), (III.14) dan

(III.15), dengan memakai nilaiα = −1 secara berturutan menghasilkan nilai norma

nilai norma partisi (3) = 0 (IV.18)

nilai norma partisi (2,1) = 0 (IV.19)

nilai norma partisi (2,1) = 6F − 6G + 6C − 6D − 6 (IV.20)

nilai norma partisi (1,1,1) = 48− 12F + 12G− 12C + 12D (IV.21)

agar diperoleh vektor keadaan yang anti simetrik saja maka persamaan (IV.20) dibuat

36

0 , diperoleh

F = G− C + D + 1 (IV.22)

Jadi, untuk kasus 3 partikel, diperlukan persamaan (IV.17) dan (IV.22) agar vektor

keadaan yang ada hanya bertipe anti simetrik total saja.

Untuk kasus 4 partikel, analisa ATU dan dengan memakai persamaan (IV.17)

dan (IV.22) telah menghasilkan vektor keadaan yang ada hanya bertipe anti simetrik

total saja yaitu pada partisi (1,1,1,1), sehingga untuk kasus sampai 4 partikel tidak

diperoleh persyaratan lagi.

Jadi, vektor-vektor keadaan bertipe simetrik total dapat diperoleh dari ATU

dengan persamaan

B = C −G−D − 2 (IV.23)

F = G− C + D + 1 (IV.24)

c. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Paraboson Orde Dua

Vektor-vektor keadaan yang termasuk dalam tipe simetri parafermion orde 2 adalah

vektor keadaan yang bentuk diagram Youngnya tidak lebih dari 2 baris. Sampai kasus

4 partikel partisi-partisi diagram Young termasuk dalam elemen paraboson orde 2

adalah : (2), (1,1), (3), (2,1), (4), (3,1), dan (2,2). Secara berurutan bentuk diagram

Youngnya

Untuk mendapatkan vektor-vektor keadaan yang termasuk dalam tipe simetri para-

boson orde 2 saja, maka nilai norma dari vektor -vektor keadaan di atas dijaga agar

37

tidak bernilai 0 , sedangkan vektor -vektor keadaan selain dari bentuk di atas dibuat

sama dengan 0 .

Untuk kasus 2 partikel, tidak diperoleh persamaan karena semua nilai norma

tidak boleh 0 .

Untuk kasus 3 partikel, analisa ATU pada vektor keadaan partisi (1,1,1) yang

diberikan oleh persamaan (III.15) menghasilkan nilai norma

6(1 + B + F )(B2 + BF + GB + GF + 2B + 2F + 1 + D − C) (IV.25)

dibuat 0 untuk suku yang kedua agar nilai norma vektor keadaan pada kasus 2 partikel

tetap ada, diperoleh

F =(−B2 −GB −D − 2B − 1 + C)

(B + 2 + G)(IV.26)

Untuk kasus 4 partikel terdapat 3 vektor keadaan untuk partisi (2,1,1) akan

dibuat 0 yaitu vektor keadaan yang diberikaan oleh persamaan (III.21), (III.22), dan

(III.23). Nilai norma ketiga vektor keadaan ini setelah dimasukkan persamaan (IV.26)

ternyata dalam bentuk variabelB, C, D danG dan tidak mengandung konstanta. Oleh

karena itu, untuk membuat nilai norma 0 untuk ketiga vektor keadaan ini, diambil

nilai-nilai

B = C = G = D = 0 (IV.27)

dengan pilihan di atas berakibat koefisien lainnya bernilai

E = −1 (IV.28)

F = −1

2(IV.29)

38

Bila nilai norma seluruh vektor keadaan dievaluasi dengan mengambil nilai-nilai di

atas, maka telah didapatkan vektor-vektor keadaan yang ada hanya bertipe simetri

paraboson orde 2 saja. Aljabar ATU persamaan (IV.1) kemudian menjadi

aia†ja†k − a†kaia

†j −

1

2δika

†j = 0

[aia†j, a

†k]− =

1

2δika

†j

(IV.30)

yang tidak lain lain adalah aljabar Govorkov persamaan (I.4) dengan nilaip = 2.

Jadi, diperoleh hubungan antara ATU dengan vektor keadaan tipe paraboson orde 2

berupa aljabar Govorkov.

d. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Simetri Parafermion Orde

Dua Vektor-vektor keadaan yang termasuk dalam tipe simetri parafermion orde 2

adalah vektor keadaan yang bentuk diagram Youngnya tidak lebih dari 2 kolom. Un-

tuk kasus sampai 4 partikel, partisi-partisi yang termasuk dalam elemen parafermion

orde 2 adalah ; (2), (1,1), (2,1), (1,1,1), (2,2), (2,1,1) dan (1,1,1,1), secara berturutan

bentuk diagram Youngnya

Nilai norma vektor-vektor keadaan dengan partisi di atas dijaga agar tidak bernilai 0

, sedang nilai norma vektor keadaan yang lain yakni vektor keadaan dengan bentuk

partisi (3), (4), dan (3,1) dibuat 0 .

Untuk kasus 2 partikel, semua nilai norma tidak dibuat 0 .

Untuk kasus 3 partikel, analisa ATU pada vektor keadaan partisi (3) pada per-

39

samaan (III.12) menghasilkan nilai norma

6(−1 + B + F )(−B2 −BF + GB + GF + 2B + 2F − 1 + D1 + C) (IV.31)

Nilai di atas dibuat 0 untuk suku kedua agar nilai norma pada kasus 2 partikel tetap

ada, diperoleh

F = −(B2 −GB −D − 2B + 1− C

B − 2−G) (IV.32)

Untuk kasus 4 partikel terdapat 3 vektor keadaan untuk partisi (3,1) yaitu vek-

tor keadaan yang diberikaan oleh persamaan (III.17), (III.18), dan (III.19). Nilai nor-

ma ketiga vektor keadaan ini setelah dimasukkan persamaan (IV.32) ternyata berupa

variabelB, C, D danG dan tidak mengandung konstanta. Oleh karena itu, untuk

membuat 0 nilai norma ketiga vektor keadaan ini, diambil nilai-nilai

B = C = G = D = 0 (IV.33)

dengan pilihan di atas berakibat koefisien lainnya bernilai

E = −1 (IV.34)

F =1

2(IV.35)

Aljabar ATU persamaan (IV.1) menjadi

aia†ja†k − a†kaia

†j +

1

2δika

†j = 0[

aia†j, a

†k

]= −1

2δika

†j

(IV.36)

yang tidak lain lain adalah aljabar Govorkov persamaan (I.4) dengan nilaip = 2.

40

Jadi, diperoleh hubungan antara ATU dengan vektor keadaan tipe parafermion orde 2

berupa aljabar Govorkov.

3. Pembahasan

Analisa nilai norma dengan ATU untuk mendapatkan vektor-vektor keadaan

bertipe simetrik total dan antisimetrik total saja pada kasus sampai 4 partikel tidak di-

hasilkan nilai-nilai koefisien pada ATU, namun hanya berupa persamaan-persamaan.

Persamaan-persamaan ini menunjukkan adanya hubungan antara koefisien satu den-

gan koefisien lainnya.

Untuk keadaan simetri paraboson orde 2 , analisa nilai norma untuk kasus 4

partikel dengan persyaratan yang diperoleh dari kasus 3 partikel diperoleh nilai norma

vektor keadaan untuk partisi (2,1,1) berupa variabelB, C, D danG dan tidak terdapat

konstanta. Oleh karena itu, untuk membuat 0 nilai norma partisi (2,1,1) diambil nilai

B = C = D = G = 0, yang berakibat nilai koefisienE danF bernilai E = −1

danF = −1/2. Hasil tersebut tak lain adalah nilai koefisien-koefisien pada aljabar

Govorkov untuk paraboson dengan nilaip = 2.

Untuk keadaan simetri parafemion orde 2 , analisa nilai norma untuk kasus 4

partikel dengan persyaratan yang diperoleh dari kasus 3 partikel diperoleh nilai norma

vektor keadaan untuk partisi (3,1) berupa variabelB, C, D danG dan tidak terdapat

konstanta. Oleh karena itu, untuk membuat 0 nilai norma partisi (3,1) diambil nilai

B = C = D = G = 0, yang berakibat nilai koefisienE danF bernilai E = −1

danF = 1/2. Hasil tersebut tak lain adalah nilai koefisien-koefisien pada aljabar

Govorkov untuk parafermion dengan nilaip = −2.

Jadi untuk keadaan tipe simetri paraboson dan parafermion orde 2 , ATU tere-

duksi menjadi aljabar Govorkov (pers. I.4) dengan nilaip = ±2 (+ untuk paraboson

dan - untuk parafermion). Nilai norma untuk seluruh vektor keadaan bernilai positif.

BAB V

KESIMPULAN dan SARAN

1. Kesimpulan

1. Nilai-nilai koefisien ATU akan menentukan nilai norma vektor keadaan dengan

tipe simetri tertentu.

2. Nilai-nilai koefisien tertentu akan memberikan hanya vektor keadaan dengan

tipe simetri tertentu yang memiliki norma tidak 0. Agar diperoleh vektor keadaan

bertipe simetrik total saja, maka persyaratannya adalah

B = C −G + D

F = G− C −D + 1

sedangkan agar diperoleh vektor keadaan bertipe antisimetrik total saja, maka

persyaratannya adalah

B = C −G−D − 2

F = G− C + D + 1

Untuk vektor keadaan bertipe simetri paraboson orde 2, diperlukan persyaratan

B = C = G = D = 0

E = −1

F = −1

2

yang sesuai dengan koefisien-koefisien pada aljabar Govorkov untuk parabo-

41

42

son dengan nilaip = 2. Sedangkan untuk vektor keadaan bertipe simetri

parafermion orde 2 diperlukan persyaratan

B = C = G = D = 0

E = −1

F =1

2

yang sesuai dengan koefisien-koefisien pada aljabar Govorkov untuk parafermion

dengan nilaip = −2.

2. Saran

Perlu diteliti hubungan ATU dengan bentuk tipe-tipe simetri yang lain yang

belum ditinjau dalam skripsi ini, misalnya tipe simetri yang terkait dengan diagram

Young yang berbentuk :

· · ·

...

dimana tipe simetri di atas menghendaki muanculnya tipe simetrik dan anti simetrik

secara bersamaan.

DAFTAR PUSTAKA

Feynman, R. P., 1972,Statistical Mechanics, Addison-Wesley, United States of

America.

Green, H. S, 1953,Physical Review, Vol. 90, Hal. 270.

Greenberg, O., W., 1990,Physical Review Letter, Vol. 64, Hal. 705.

Greiner, W., Neise, L. dan Stocker, H., 1995,Thermodynamics and Statistical Me-

chanics, Springer-Verlag, New York.

Griffiths, D.J., 1994,Introduction to Quantum Mechanics, Printice Hall inc., New

Jersey.

Govorkov, A., B., 1990,Theoretical Mathematical Physics, Vol. 85, Hal. 1167.

Mandl, F., Shaw, G., 1984,Quantum Field Theory, John Wiley and Sons, Inc., Cich-

ester

Satriawan, M., 2002,Ph.D Thesis, University of Illinois, Chicago

Satriawan, M., 2005,Physics Journal of the Indonesian Physical Society, Vol. C7,

Hal. 0221.

Tung, Wu-Ki, 1985,Group Theory In Physics, World Scientific Publishing, Singapu-

ra.

Ryder, L.,H., 1996,Quantum Field Theory, edisi kedua, Cambridge University Press,

Cambridge

43

LAMPIRAN A

Program Maple Untuk Mencari Nilai Norma dari Suatu Vektor

Keadaan

44

HUBUNGAN ALJABAR TRILINIER UMUM OPERATOR KREASI … · Fisika jika kami memilki kesalahan dalam...

Documents

Transcript of HUBUNGAN ALJABAR TRILINIER UMUM OPERATOR KREASI … · Fisika jika kami memilki kesalahan dalam...