HOMOMORFISMA GRUP

Dalam mempelajari sistem, perlu juga mempelajari tentang suatu fungsi yang mengawetkan operasi aljabar.

Sebagai contoh, dalam aljabar linier dipelajari tentang alih ragam linier ( linier transformation ). Fungsi ini T : V W mengawetkan penjumlahan dan pergandaan skalar.

Definisi VII.1Diketahui pemetaan/fungsi f : A B. Fungsi f

dikatakan surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y B terdapat x A sehingga y = f(x).

Contoh VII.1 :Diketahui fungsi f : R R dengan f(x) =

x. Fungsi f merupakan fungsi yang surjektif. Sedangkan fungsi f : R R dengan f(x) = x2 bukan fungsi surjektif karena -2 R tetapi tidak ada x R sehingga f(x) = x2 = -2.

Definisi VII.1Diketahui pemetaan/fungsi f : A B. Fungsi f dikatakan injektif jika dan

hanya jika untuk setiap x, y A dengan f(x) = f(y) berlaku x = y.

Contoh VII.2 :Diketahui fungsi f : R R dengan f(x) = x3.

Fungsi f merupakan fungsi yang injektif karena untuk setiap x, y R dengan f(x) = f(y) maka x3 = y3 sehingga berlaku x = y.

Sedangkan fungsi f : R R dengan f(x) = x2 bukan fungsi injektif karena ada -2 , 2 R dan

-2 ≠ 2 tetapi f(-2) = (-2)2 = 4 = 22 = f(2).

Definisi VII.1Diketahui pemetaan/fungsi f : A B. Fungsi f

dikatakan bijektif jika f injektif dan f surjektif.

Contoh VII.3 :1. Fungsi f : R R dengan f(x) = x merupakan

fungsi bijektif. 2. Fungsi f : R R dengan f(x) = x2 merupakan

bukan fungsi bijektif karena f tidak injektif. 3. Fungsi f : R R dengan f(x) = 2 x + 3

merupakan fungsi bijektif. 4. Fungsi f : R R dengan f(x) = x3 merupakan

fungsi bijektif. 5. Fungsi f : R R+ dengan f(x) = ex merupakan

fungsi bijektif.

Definisi VII.1Misalkan < G, * > dan < H, .> grup.Pemetaan f : G H dinamakan homomorfisma

grup jika f mengawetkan operasi yaitu asalkan bahwa f(x * y) = f(x) . f(y) untuk semua x, y G.

Contoh VII.4Misalkan < G, . > suatu grup abelian dan n

bilangan bulat tertentu.Akan ditunjukkan bahwa aturan f(x) = xn

mendefinisikan suatu homomorfismaf : G G.

Karena f(xy) = (xy)n = xn yn = f(x) f(y) maka f mengawetkan operasi.

Khususnya, : Z10* Z10* dengan (x) = x2. Hal itu berarti (1) = 1, (3) = 9, (7) = 9, dan (9) = 1.

Contoh VII.5Determinan sebenarnya merupakan homomorfisma

dari M2x2* ke R* karena determinan mempunyai sifat det(AB) = det(A) . det(B) yang berarti fungsi determinan mengawetkan operasi. Dalam hal ini determinan juga merupakan fungsi yang surjektif.

Suatu homomorfisma grup yang bijektif (surjektif dan injektif) dinamakan isomorfisma grup, sedangkan isomorfisma dari grup G ke dirinya sendiri dinamakan automorfisma.

Dalam teori grup automorfisma dapat digunakan untuk menghubungkan grup bagian dari suatu grup G dengan grup bagian yang lain dalam upaya menganalisis struktur dari grup G. Salah satu bentuk automorfisma yang penting adalah sebagai berikut: untuk setiap b dalam G terdapat suatu automorfisma fb yang membawa x ke konjugatnya yaitu b-1xb. Peta dari sebarang grup bagian S dibawah automorfisma fb adalah b-1Sb = { b-1 s b | s dalam S }.

Dalam hal ini merupakan grup bagian dari G yang isomorfis dengan S. Berbagai grup bagian b-1Sb dinamakan konjugat dari S.

Manfaat utama dari homomorfisma f : G H yaitu dengan melihat sifat-sifat dari petanya (image) dapat disimpulkan sifat-sifat dari grup G.

 Definisi VII.3Peta Im(f) atau f(G) dari homomorfisma

grup f : G H didefinisikan sebagai

Im(f) = f(G) = { f(g) | g G }.Peta dari homomorfisma f sama dengan

H jika f surjektif atau f pada (onto) H.

Teorema VII.1 Jika f : G H homomorfisma grup maka Im(f) grup

bagian dari H.

Bukti

Akan dibuktikan bahwa f(G) tertutup. Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G). Karena f

homomorfisma maka f(ab) = f(a) f(b). Tetapi a, b dalam G sehingga ab dalam G (sebab G

grup). Jadi f(a) f(b) = f(ab) dalam G dengan ab dalam G

atau f(G)tertutup.

Akan dibuktikan bahwa e dalam f(G) Anggota e adalah identitas dalam H untuk

membedakan dengan e dalam G. Misalkan f(b) sebarang anggota dalam Im(f). Karena f(b) dalam Im(f) maka f(e) f(b) = f(eb) =

f(b) = e f(b). Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan

didapat f(e) = e.

Akan dibuktikan f(G) mengandung invers dari anggota f(G).

Misalkan f(x) dalam f(G).Anggota f(x-1) merupakan invers

dari f(x) karenaf(x) f(x-1) = f(xx-1) = f(e) = e.

Dengan cara yang sama, didapat f(x-1) f(x) = e dan f(x-1) invers

(yang tunggal) dari f(x) dengan f(x-

1) dalam f(G).

LatihanTentukan fungsi ini homomorfisma

atau bukan.◦f : Z R* dengan f(k) = 2 .◦f : R R dengan f(x) = x .◦f : Z Z dengan f(k. 1) = k. 1.

Jika pada soal nomor 1 di atas homomorfisma maka tentukan peta.

Jika G dan H sebarang grup dan f : G H dengan f(x) = e untuk semua x dalam G buktikan bahwa f homomorfisma.

Diketahui Z3* = { 1, 2 } dan f : Z3* Z3* dengan f(x) = x2.

Apakah f homomorfisma bijektif ?

TERIMA KASIH