3.4 CONTOH PROBLEM PERATAAN KUADRAT TERKECIL SEDERHANAPada mata kuliah Hitung Perataan I ini bentuk umum dari masing-masing teknik perataan kuadrat terkecil belum diberikan. Tetapi contoh penggunaan perataan kuadrat terkecil untuk memecahkan permasalahan yang sederhana dapat dilihat berikut ini. Dalam contoh berikut, diasumsikan bahwa semua pengamatan tidak berkorelasi dan memiliki ketelitian (bobot) yang sama. Asumsi ini diperlukan supaya persamaan yang digunakan sederhana. Penting untuk dicatat bahwa pada pengukuran untuk surveying mungkin didapatkan hasil pengamatan dengan bobot yang berbeda-beda. Contoh 3.2 Sebuah jarak diukur sebanyak 4 kali (n=4) dengan hasil sebagai berikut :. Berapakah nilai estimasi kuadrat terkecil untuk jarak tersebut?Jawab :Misalkan nilai estimasi kuadrat terkecil dari jarak yang kana dicari adalah Jika dan (hanya satu elemen yaitu jarak yang diperlukan dalam model matematika) maka Dengan menganggap x sebagai parameter yang akan dicari (unknown parameter), maka jumlah persamaan syarat adalah . Persamaan syarat tersebut adalahorororor

Prinsip perataan kuadrat terkecil

Untuk membuat minimum, maka turunan pertama dari persamaan di atas terhadap x harus nol, sehingga didapat

AtauSehingga = 32.51mDapat dilihat dan telah diperkirakan sebelumnya bahwa nilai estimasi kuadrat terkecil pada contoh di atas merupakan nilai rata-rata dari keempat pengamatan. Hal ini pasti terjadi berapapun jumlah pengmatannya selama semua pengamatan tidak berkorelasi dan bobot pengamatan sama.Contoh 3.3Ketiga sudut dalam dari sebuah segitiga diukur dengan hasil : .Hitung masing-masing sudut hasil perataan menggunakan perataan kuadrat terkecil.Solusi : Diperlukan minimal dua ukuran sudut untuk mmebentuk sebuah segitiga (i.e., ) dan karena terdapat 3 pengamatan maka jumlah ukuran lebih . Syarat geometri dari sebuah segitiga adalah

atau

Atau ++++++++++

Dimana persamaan di atas dapat disederhanakan sebagai berikut

Kemudian

Kedua persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi

Mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan mengurangkan, didapatkan

Hensemengganti kembaliyang pertama dariperbaikanpersamaan. Didapatkan

Akhirnya

Kemudian didapatkan nilai v1=1, nilai v2=1 dan nilai v3=1Maka nilai sudut setelah perataan adalah

180Cek 1 + 2 + 3 = 41034 + 78058 + 59028 = 1800

Contoh 3.4Jarakdiukur, gambar.3.4 nilai yang diamati adalah 100.00m, 100.00m, 100.080m, 200.040m, and 200.00m. masing -masing.Semua pengukuran tidak berkorelasi dan memiliki presisi yang sama. Jika nilai-nilai yang diukur disesuaikan sesuai dengan prinsip kuadrat terkecil, berapakah jarak yang disesuaikan yang dihasilkan antaraand SolusiModel geometris relatif sederhana, adalah bahwa dari tiga jarak colliniear AB, BC, dan CD, yang akandapat kitadonasikan masing-masing.. Tentu saja hal itu akan memakan waktu minimal tiga pengukuran untuk menentukan unik model ini (i.e., karena kita memiliki lima pengukuran jarak (, ada dari dua pengamatan redudant, atau jika earry tiga parameter yang tidak diketahui, kita perlu menulis persamaan kondisi n yang berhubungan lima pengukuran

, , , estimasi parameter , , orororororUntuk mendapatkan solusi kuadrat terkecil kita harus meminimalkan jumlah kuadrat dari residual. Dengan demikian,

harus diminimalkan derivatif parsial sehubungan dengan masing-masing perkiraan parameter dievaluasi dan setara dengan nol; demikian

Membersihkan dan menata ulang, tiga persamaan menjadi

Ketiga persamaan dalam tiga hal yang tidak diketahui disebut persamaan normal. Persamaan tersebut menunjukkan hal itu setelah menerapkan kriteria kuadrat ( meminimalkan ). Dan kasus pengukuran inkonsisten yang ditentukan berlebihan berubah menjadi kasus yang unik (konsisten).Membagi (a) dengan 2 dan mengurangkan dari (b) untuk mendapatkan

Di mana kita kurangi satu-setengah (c) untuk mendapatkan

Mengganti nilai yang sama

Dan menggantikannya dengan nilai yang sama ke (c), kita mendapatkan

Dengan demikian, jarak yang disesuaikan antara A dan D adalah