MAKALAH MATEMATIKA PEMINATAN“HIPERBOLA”

Disusun Oleh:

Kelompok 2, XI MIPA 6 :

1. Betty Wahyu C.T (05)

2. Frisca Putikasari (09)

3. Rani Movitanensi (16)

4. Sugiyarti (22)

5. Tri Yama Rohmawati (23)

6. Vivi Isti K (24)

7. Yosa Adik Setyono (26)

SMA NEGERI 2 SRAGENTAHUN PELAJARAN 2015 / 2016

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan

hidayahnya, sehingga penyusunan makalah dengan judul Hiperbola akhirnya

dapat terselesaikan dengan baik. Kami berharap dari isi makalah ini dapat di

jadikan suatu pedoman bagi pembaca dalam menulis tugas ataupun makalah,

sehingga pesan/materi dapat tersampaikan dengan baik. 

Penulis mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang membantu

dalam penyelesaian makalah ini. Makalah ini tidak terlepas dari kesalahan maka

dari penulis mengharap kritik dan saran yang bersifat membangun untuk

kesempurnaan makalah ini.

Penulis

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL...................................................................................... i

KATA PENGANTAR.................................................................................... ii

DAFTAR ISI.................................................................................................. iii

BAB I PENDAHULUAN......................................................................... 1

A. Latar Belakang......................................................................... 1

B. Rumusan Masalah.................................................................... 1

C. Tujuan ..................................................................................... 1

BAB II PEMBAHASAN............................................................................ 2

A. Pengertian Hiperbola............................................................... 2

B. Unsur-Unsur Hiperbola............................................................ 3

C. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)......................... 4

D. Persamaan hiperbola yang berpusat dititik P(x,y)................... 7

BAB III PENUTUP..................................................................................... 11

A. Kesimpulan.............................................................................. 11

B. Saran........................................................................................ 11

DAFTAR PUSTAKA

iii

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap

dua titik tertentu tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik

focus.Jarak kedua titik tertentu tersebut adalah 2a.

Hiperbola dan elips memiliki hubungan yang sangat erat, khususnya

pada bentuk persamaannya. Hiperbola dan elips, adalah hasil dari suatu

pengirisan dari kerucut. Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya

berbentuk lingkaran. Jika kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak

memotong alasnya), maka terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong

alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola.

Berdasarkan definisi hiperbola, kita dapat menggambarkan grafik

hiperbola. Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0)

sedangkan selisih jarak konstan tertentu adalah 2a.

B. Rumusan Masalah

1. Pengertian hiperbola.

2. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)

3. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(x,y)

C. Tujuan

1. Untuk mengetahui pengertian hiperbola

2. Untuk mengetahui persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)

3. Untuk mengetahui persamaan hiperbola yang berpusat di P(x,y)

1

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap

dua titik tertentu tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik

focus.Jarak kedua titik tertentu tersebut adalah 2a.

Hiperbola dan elips memiliki hubungan yang sangat erat, khususnya

pada bentuk persamaannya. Hiperbola dan elips, adalah hasil dari suatu

pengirisan dari kerucut. Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya

berbentuk lingkaran. Jika kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak

memotong alasnya), maka terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong

alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola.

Berdasarkan definisi hiperbola, kita dapat menggambarkan grafik

hiperbola. Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0)

sedangkan selisih jarak konstan tertentu adalah 2a.

2

F dan F’ disebut titik focus.

(-a,0) dan (a,0) disebut titik puncak.

B. Unsur-Unsur Hiperbola

- Titik O merupakan pusat hiperbola

- Titik Fokus yaitu : F dan F’

- titik puncak (-a,0) dan (a,0)

- persamaan asimtot :  

Sumbu-x (yang memuat dua titik dari hiperbola) disebut sumbu

tranversal (transverse axis) dan sumbu-y disebut sumbu sekawan

(conjugate axes). Titik potong hiperbola dengan sumbu trasversal

disebut titik ujung (dalam hal ini (±a, 0)) dan perpotongan kedua

sumbu simetri disebut pusat hiperbola. Jarak antara kedua titik ujung

adalah 2a dan disebut sumbu mayor dan besaran 2b disebut sumbu

minor.

3

C. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)

Perhatikan kembali gambar di atas dengan F(-c, 0) atau F1 (-c, 0) dan G(c,

0) atau F2(c, 0), serta titik P(x, y) atau T(x, y) pada hiperbola.

F1T – F2T = 2a, atau

F1T – F2T = ± 2a

√(x+c )2+( y−0)2 - √(x−c)2+( y−0)2 = 2a

√(x+c )2+ y2 - √(x−c)2+ y2 = 2a

√(x+c )2+ y2 = 2a + √(x−c)2+ y2 . . . . 1

Persamaan satu sama – sama dikuadratkan lalu disederhanakan, diperoleh :

( x + c )2 + y2 = 4a2 + (x – c)2 + y2 + 4a √(x−c)2+ y2

2cx = 4a2 – 2cx + 4a √(x−c)2+ y2

4cx – 4a2 = 4a √(x−c)2+ y2

cx – a2 = a √(x−c)2+ y2

Dengan mengkuadratkan kembali, diperoleh :

x2c2 – 2a2xc + a4 = a2 (x2 – 2xc + c2 + y2)

x2c2 – 2a2xc + a4 = a2 x2 – 2a2xc + a2c2 + a2y2

x2c2 – 2a2xc + a4 – a2x2 + 2a2xc = a2c2 + a2y2

x2c2 – a2x2 – a2y2 = a2c2- a4

x2(c2 – a2) - a2y2 = a2(c2 – a2)

4

Misalkan : c2 – a2 = b2 , maka :

x2 b2- a2y2 = a2b2

jika kedua ruas dibagi dengan a2b2 maka diperoleh :

x2

a2 - y2

b2 = 1 Persamaan hiperbola .

Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu x adalah :

x2

a2 – y2

b2 = 1

Dengan unsur – unsur sebagai berikut :

Pusat O(0,0)

Fokus F1(-c, 0) dan F2(c, 0)

Puncak A(-a, 0) dan B(a, 0)

Sumbu simetri :

- Sumbu utama adalah sumbu X

- Sumbu sekawan adalah sumbu Y

Sumbu nyata AB = 2a

Sumbu imajiner MN = 2b

Asimtot, y = ± ba

x

Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu y adalah :

y2

a2 - x2

b2 = 1

Dengan unsur – unsur sebagai berikut :

Pusat O(0,0)

Fokus F1(0, -c) dan F2(0, c)

5

Puncak A(0, -a) dan B(0, a)

Sumbu simetri :

- Sumbu utama adalah sumbu Y

- Sumbu sekawan adalah sumbu X

Sumbu nyata AB = 2a

Sumbu imajiner MN = 2b

Asimtot, y = ± ab

x

Contoh soal :

1. Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui :

Fokus F1 (-13, 0) dan F2 (13, 0) dengan puncak (-5, 0) dan (5, 0)

Jawab :

Diketahui F1 (-13, 0) dan F2 (13, 0) => pusat (0, 0)

Fokus (±13, 0), maka c = 13

Puncak (±5, 0), maka a = 5

b 2= c2- a2 = 132+ 52= 169 – 25 = 144

sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya adalah

x2

a2 - y2

b2 = 1 x2

25 - y2

144 = 1

2. Tentukan koordinat titik puncak, fokus, dan persamaan asimtot

hiperbola dari persamaan berikut x2

16 - y2

4 = 1

Jawab :

x2

16 - y2

4 = 1 a2 = 16 maka a = 4 dan b2 = 4 maka b = 2

Pusat (0, 0)

6

Puncak (-a, 0) = (-4, 0) dan (a, 0) = (4, 0)

c2 = a2 + b2 = 16 + 4 = 20 maka c = √20 = 2√5

fokus (-c, 0) = (-2√5, 0) dan (c, 0) = (2√5 , 0)

persamaan asimtot : y = ± ba

x

maka y = ± 24

atau ±12

D. Persamaan hiperbola yang berpusat dititik P(x,y)

Persamaan Hiperbola yang berpusat P (m,n) diperoleh dengan cara

menggeser hiperbola yang pusatnya (0,0) yaitu pada arah horizontal dan

vertikal sehingga diperoleh hiperbola yang berpusat di titik p(m,n) sebagai

berikut :

(x−m)2

a2 – ( y−n)2

b2 = 1

7

Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu x

(x−m)2

a2 – ( y−n)2

b2 = 1

Dengan unsur – unsurnya sebagai berikut :

Pusat P (m,n)

Fokus F1(m – c , n) dan F2(m + c, n )

Puncak A(m – a , n) dan B(m + a, n)

Sumbu simetri :

- Sumbu utama adalah sumbu y = n

- Sumbu sekawan adalah sumbu x = m

Sumbu nyata AB = 2a

Sumbu imajiner MN = 2b

Persamaan Asimtot g1 dan g2 adalah : y – n = ±ba

(x – m)

Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu y

( y−n)2

a2 – (x−m)2

b2 = 1

Dengan unsur – unsurnya sebagai berikut :

Pusat P (m,n)

Fokus F1(m , n – c) dan F2(m,n + c )

Sumbu simetri :

- Sumbu utama adalah sumbu x = m

8

- Sumbu sekawan adalah sumbu y = n

Sumbu nyata AB = 2a

Sumbu imajiner MN = 2b

Persamaan Asimtot

g1 : y – n = ba

(x – m)

g2 : y – n = -ba

(x – m)

Eksentristas (e) = ca

, e > 1

Contoh soal

1. Fokus F1(-2 , -3) dan Fokus F2(8 , -3) dan titik puncak (7 , -3)

Jawab :

Diketahui Fokus F1(-2 , -3) dan Fokus F2(8 , -3) pusat −2+8

2 ,

−3+(−3)2

= (3 , -3)

Jarak pusat ke fokus (c) = 8 – 3 = 5

Puncak ( 7,-3)

Jarak pusat dengan puncak (a) = 7 – 3 = 4

b 2= c2- a2 =5 2- 42= 25 - 16 = 9

persamaan hiperbola :

(x−3)2

16 –

( y+3)2

9 = 1 atau 9 (x−3)2 - 16 ( y+3)2 = 144

9 x2 - 16 y2- 54x – 96y - 207 = 0

2. Tentukan titik pusat , titik fokus , titik puncak, panjang lactus rectum dan

persamaan asimtotnya pada hiperbola berikut (x−4)2

64 – ( y+1)2

225 = 1

Jawab :

Diketahui (x−4)2

64 –

( y+1)2

225 = 1 titik pusat (4, -1)

9

a2 = 64 a = 8

b2 = 225 b = 15

c2 = a2+b2 = 64 + 225 = 289 c = 17

Fokus (4 – 17, -1) = (-13, -1) dan (4 + 17, -1) = (21, -1)

Titik puncak (4 – 8, -1) = (-4, -1) dan (4 + 8, -1) = (12, -1)

Panjang lactus rectum = 2b2

a = 2.225

8 = 225

4

Asimtot : y + 1 = ± 158

(x – 4)

10

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua

titik tertentu tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik

focus.Jarak kedua titik tertentu tersebut adalah 2a.

2. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)

x2

a2 – y2

b2 = 1

3. Persamaan hiperbola yang berpusat dititik P(x,y)

(x−m)2

a2 – ( y−n)2

b2 = 1

B. Saran

Semoga dengan penyusunan makalah ini dapat membantu pembaca dalam

membuat tugas, dan menjadikan makalah ini sebagai referensi dalam belajar.

11

DAFTAR PUSTAKA

Matematika untuk SMK dan MAK kelas XII

http://www.slideshare.net/rasyidyelsi/makalah-hiperbola?from_action=save

http://www.slideshare.net/nidashafiyanti/soal-dan-pembahasan-hiperbola

12

SOAL dan PEMBAHASAN

1. Persamaan hiperbola dengan jarak dua fokus = 20, sumbu utama adalah

sumbu X dengan pusat O dan asimtot membentuk sudut 30 ° dengan sumbu X

positip adalah ….

a. x2

75− y2

25=3

b. x2

75− y2

25=4

c. x2

75− y2

25=1

d. x2

75− y2

25=4

e. x2

75− y2

25=1/2

Pembahasan :

2 c=20 c=10

tan30 °= 1

√3

tan30 °=ba

ba= 1

√3

c2=a2+b2

100=3 b2+b2

b2=25

13

b=5

a=b√3

a=5√3 ; sumbu utama adalah sumbu X

Persamaan hiperbola adalah :

x2

75− y2

25=1

2. Salah satu persamaan asimtot hiperbola 9 x2−16 y2−72 x+32 y=16 adalah ….

a. 4 y+3 x−16=0

b. 3 y+4 x−16=0

c. 3 y+4 x+16=0

d. 4 y+3 x16=0

e. 4 y−3 x−16=0

Pembahasan :

9( x2−8 x+16)−16( y2−2 y+1)=16+144 – 16

(x−4)2

16−

( y−1)2

9=1

a=4

b=3

Asimtot : y−1=±34(x−4)

y1=34

x−3+1

4 y−3 x+8=0

y2=−34

x+3+1

4 y+3 x−16=0

3. Salah satu persamaan garis singgung pada hiperbola (x−1)2

8−

( y−2)2

4=1

yang tegak lurus garis x− y+7=0 adalah ….

a. y=− x−5atau y=−x−1

14

b. y=− x+5 atau y=−x+1

c. y=x+5atau y=−x+1

d. y=− x+5 atau y=x+1

e. y=− x−5atau y=x+1

Pembahasan :

Gradien garis x− y+7=0adalah m1=1

Gradien garis singgung yang tegak lurus garis tersebut adalah m2=−1

Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

y−2=−1(x−1)±√8.(−1)2−4

y−2=−x+1± 2

y=− x+5 atau y=−x+1

4. Tentukan persamaan garis singgung di titik (−1, 1) pada hiperbola

4 x2−8 y2=32

a. y=−57

x+ 27

Dan y=x+2

b. y=−27

x+ 27

Dan y=x+2

c. y=−57

x+ 77

Dan y=x+2

d. y=−57

x+ 27

Dan y=x−2

e. y=57

x+ 27

Dan y=x+2

Pembahasan :

Hiperbola 4 x2−8 y2=32 x2

8− y2

4=1

Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−1, 1) adalah:

y−1=m(x+1) atau y=mx+m+1

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola x2

8− y2

4=1

Adalah

y=mx ±√8m2−4

15

mx+m+1=mx ±√8m2−4

m2+2m+1=8m2 – 4

7 m2−2 m−5=0

(7m+5 ) (m−1 )=0

m1=−57

, m2=1

Persamaan garis singgungnya :

y=−57

x+ 27

Dan y=x+2

16