HIMPUNANHIMPUNAN

Hewan, manusia, A, 7,

mobil, pesawat, hutan, meja,

baju

Kerbau, kabing, lembu,

kelinci, tikus dan kijang

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20…98

Bukan Sebuah Himpunan, Sebab Bukan Sebuah Himpunan, Sebab

Obyek-obyek yang tergabung tidak mempunyai Obyek-obyek yang tergabung tidak mempunyai ciri/sifat yang samaciri/sifat yang sama

Sebuah Himpunan, Sebab Sebuah Himpunan, Sebab

Elemen-elemennya mempunyai sifat yang sama,Elemen-elemennya mempunyai sifat yang sama,

Yakni hewan berkaki empatYakni hewan berkaki empat

DEFINISI HIMPUNANDEFINISI HIMPUNAN

Kumpulan dari obyek-obyek sebarang Kumpulan dari obyek-obyek sebarang yang berdasarkan sifat/keadaan mereka yang berdasarkan sifat/keadaan mereka yang sama, ataupun berdasarkan suatu yang sama, ataupun berdasarkan suatu

aturan tertentu/yang ditentukan.aturan tertentu/yang ditentukan.

ContohContoh

• Himpunan mahasiswa MalangHimpunan mahasiswa Malang

• Himpunan hewan karnivoraHimpunan hewan karnivora

• Himpunan bilangan ganjil kurang dari 100Himpunan bilangan ganjil kurang dari 100

• Himpunan mahasiswa Teknik ElektroHimpunan mahasiswa Teknik Elektro

• dstdst

Note*Note*• Obyek/elemen dituliskan dengan menggunakan huruf Obyek/elemen dituliskan dengan menggunakan huruf

kecilkecil

• Suatu/nama himpunan dituliskan dengan huruf besarSuatu/nama himpunan dituliskan dengan huruf besar simbol untuk menyatakan sebagai anggota himpunansimbol untuk menyatakan sebagai anggota himpunan simbol untuk menyatakan bukan anggota himpunansimbol untuk menyatakan bukan anggota himpunan

A = {a, i, u, e, o}A = {a, i, u, e, o}

Nama himpunanNama himpunan

Anggota himpunan AAnggota himpunan A

ContohContoh

• A = {a, i, u, e, o}A = {a, i, u, e, o}

• B = {4,6,8}B = {4,6,8}

• C = {ayam, angsa, merpati}C = {ayam, angsa, merpati}

• a a A (dibaca a adalah elemen himpunan A (dibaca a adalah elemen himpunan A)A)

• 5 5 B (dibaca 5 bukan elemen himpunan B) B (dibaca 5 bukan elemen himpunan B)

Penulisan himpunanPenulisan himpunan

• Tabular-Form (bentuk pendaftaran) Tabular-Form (bentuk pendaftaran) ( ( menuliskan semua elemen dalam tanda kurung kurawalmenuliskan semua elemen dalam tanda kurung kurawal ) )

misal A = {1,2,3…..}; B = {Bali, Surabaya, misal A = {1,2,3…..}; B = {Bali, Surabaya, Malang}Malang}

• Set-Builder Form (bentuk perincian) Set-Builder Form (bentuk perincian) ( ( menuliskan sifat/ketentuan mengenai elemen himpunan menuliskan sifat/ketentuan mengenai elemen himpunan

tersebuttersebut ) )

misal A = {x|x adalah bilangan genap}misal A = {x|x adalah bilangan genap}

B = {x|x adalah binatang berkaki dua }B = {x|x adalah binatang berkaki dua }

Note**Note**

• Suatu himpunan disebut hingga bila banyak Suatu himpunan disebut hingga bila banyak anggotanya (yang berbeda) hinggaanggotanya (yang berbeda) hingga

• Suatu himpunan disebut tak hingga bila banyak Suatu himpunan disebut tak hingga bila banyak anggotanya (yang berbeda) tak hinggaanggotanya (yang berbeda) tak hingga

• Anggota himpunan yang sama dihitung sekaliAnggota himpunan yang sama dihitung sekali

• Himpunan yang tidak mempunyai anggota Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong dinyatakan dengan disebut himpunan kosong dinyatakan dengan

• Himpunan A dan B dikatakan sama, A = B bila Himpunan A dan B dikatakan sama, A = B bila mereka mempunyai anggota yang samamereka mempunyai anggota yang sama

ContohContoh

himpunan hinggahimpunan hingga

• A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• A = {x|x bilangan ganjil kurang dari 10}A = {x|x bilangan ganjil kurang dari 10}

himpunan tak hinggahimpunan tak hingga

• B = {1, 3, 5, …..}B = {1, 3, 5, …..}

• B = {x|x bilangan ganjil}B = {x|x bilangan ganjil}

Contoh SoalContoh Soal

• Jika K = {x/ 3x = 9} dan L=3, apakah K = L?, Jika K = {x/ 3x = 9} dan L=3, apakah K = L?, jelaskanjelaskan

• Jika L = { }, M = Jika L = { }, M = , dan N ={0} samakah ketiga , dan N ={0} samakah ketiga himpunan ini?, jelaskanhimpunan ini?, jelaskan

• N= {x|xN= {x|x2 2 – 5x + 10} dan M = {4,5,5} Apakah – 5x + 10} dan M = {4,5,5} Apakah N=M?N=M?

• O= {a|a < 8, a habis dibagi 3}, tentukan elemen O= {a|a < 8, a habis dibagi 3}, tentukan elemen dari O dari O

Subset (Subset () /himpunan bagian) /himpunan bagian

Definisi:Definisi:

Himpunan A dikatakan himpunan bagian Himpunan A dikatakan himpunan bagian (Subset) dari himpunan B, bila setiap (Subset) dari himpunan B, bila setiap

elemen dari A merupakan anggota dari elemen dari A merupakan anggota dari B, dituliskan A B, dituliskan A B sedangakan B sedangakan

Himpunan B adalah super/super-set dari Himpunan B adalah super/super-set dari A, dituliskan B A, dituliskan B A A

1, 3, 4, 7, 8

0, 2, 5, 6,9,10, 11, 12,

13, 14, 15

AA

BBB = {0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15}

A = {1, 3,4,7, 8}

ContohContoh

A A B B

B B A A

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,

13, 14, 15

1, 3, 4, 7, 8

AA

BB

Diagram VennDiagram Venn

A

B

BA

B A

Operasi antar HimpunanOperasi antar Himpunan

B A

Gabungan (union) dinotasikan

A B

Contoh :Contoh :

S = {a,b,c}S = {a,b,c}

T = {a,b,p,r}T = {a,b,p,r}

Maka S Maka S T = {a,b,c,p,r} T = {a,b,c,p,r}

AA B = B = {x|x {x|x A atau x A atau x B} B}

NOTE*NOTE*33

Berlaku :

(i) A B = B A

(ii) A (A B); B (A B)

(iii) Bila A B maka (A B) = B

(iv) A = A maka A U = U

Operasi antar HimpunanOperasi antar Himpunan

B AA B

Irisan (Intersection) dinotasikan

A A BB

Contoh :Contoh :

S = {a,b,c}S = {a,b,c}

T = {a,b,p,r}T = {a,b,p,r}

Maka S Maka S T = {a,b} T = {a,b}

A A B = {x|x B = {x|x A dan x A dan x B} B}

NOTE*NOTE*44

Berlaku :

(i) A B = B A

(ii) (A B) A; (A B) B

(iii) Bila A B maka (A B) = A

(iv) A = maka A U = A

SoalSoal

S adalah himpunan semesta dan S himpunan S adalah himpunan semesta dan S himpunan bilangan kurang dari 20. A = {x|x bilangan bilangan kurang dari 20. A = {x|x bilangan gajil kurang 10}, B = {y|y bilangan habis gajil kurang 10}, B = {y|y bilangan habis dibagi 5}. dibagi 5}.

Pertanyaannya:Pertanyaannya:

a. Elemen himpunan A, elemen himpunan B a. Elemen himpunan A, elemen himpunan B

b. A b. A B = {x|x B = {x|x A atau x A atau x B} B}

c. A c. A B = {x|x B = {x|x A dan x A dan x B} B}

d. A d. A B B

Operasi antar HimpunanOperasi antar Himpunan

B A

Silisih (Difference)

A BContoh :Contoh :

A = {a,b,c,d}A = {a,b,c,d}

B = {a,b,p,r}B = {a,b,p,r}

Maka A - B = {c,d}Maka A - B = {c,d}

A - B = {x|x A - B = {x|x A dan x A dan x B} B}

NOTE*NOTE*55

Berlaku :

(i) (A - B ) A

(ii) (A - B) B - A; bila A B

(iii) Bila A B maka A - B = dan (B - A ) B

Operasi antar HimpunanOperasi antar Himpunan

Komplemen dari A

Contoh :Contoh :

U = {x|x bilangan asli kurang U = {x|x bilangan asli kurang dari 16}dari 16}

A = {10,11,12,14}A = {10,11,12,14}

Maka AMaka A’’ = = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,13,15}{1,2,3,4,5,6,7,8,9,13,15}

U

A

A’ = {x|xA’ = {x|xA,xA,xU} = U - AU} = U - A

NOTE*NOTE*66

Berlaku :Berlaku :

(i)(i) A A A’ = A’ =

(ii)(ii) A A A’ = U A’ = U

(iii)(iii) U’ = U’ = ; ; ’ = U’ = U

(iv)(iv) A’)’ = AA’)’ = A

(v)(v) A - B = A A - B = A B’ B’

(vi)(vi) Bila A Bila A B maka B’ B maka B’ A’ A’

ALJABAR HIMPUNANALJABAR HIMPUNAN

III III

S

A B

n(A) = a, n(B) = b, n(An(A) = a, n(B) = b, n(AB) = x. B) = x. Perhatikan bahwa APerhatikan bahwa AB adalah B adalah daerah I,II dan III. Maka daerah I,II dan III. Maka Banyaknya obyek di daerah Banyaknya obyek di daerah AABB

n(An(AB) B)

= (a - x) + x + (b - x)= (a - x) + x + (b - x)

= (a + b – 2x + x)= (a + b – 2x + x)

= (a + b - x)= (a + b - x)

= n(A) + n(B) - n(A = n(A) + n(B) - n(A B) B)

ContohContoh

• Kelas pada TK CERDAS BERIMAN terdiri dari 25 Kelas pada TK CERDAS BERIMAN terdiri dari 25 anak, 15 anak suka bernyanyi,18 anak suka anak, 15 anak suka bernyanyi,18 anak suka bermain, 8 anak suka bermain dan bernyanyi.bermain, 8 anak suka bermain dan bernyanyi.

a.a. Berapa anak yang suka bermain saja?Berapa anak yang suka bermain saja?b.b. Berapa anak yang suka bernyanyi saja?Berapa anak yang suka bernyanyi saja?c.c. Berapa anak yang suka bermain atau Berapa anak yang suka bermain atau

bernyanyi?bernyanyi?

PenyelesaianPenyelesaian

ALJABAR HIMPUNANALJABAR HIMPUNAN

n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c, n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c, n(An(AB) = x,B) = x, n(Bn(BC) =y,C) =y, n(Cn(CA) A) =z=z n(An(ABBC) =p. Perhatikan C) =p. Perhatikan bahwa Abahwa ABBC adalah daerah C adalah daerah I,II,III,IV, VI,II,III,IV, V,,VI,VII. Maka VI,VII. Maka Banyaknya obyek di daerah Banyaknya obyek di daerah AABBC adalah.C adalah.

Daerah I = [a-x-(z-p)]Daerah I = [a-x-(z-p)]

Daerah II = [b-y-(x-p)]Daerah II = [b-y-(x-p)]

Daerah III = [c-z-(y-p)]Daerah III = [c-z-(y-p)]

Daerah IV = [x-p] Daerah IV = [x-p]

Daerah V = [y-p]Daerah V = [y-p]

Daerah VI = [z-p]Daerah VI = [z-p]

Daerah VII = [p]Daerah VII = [p]

III

III

AB

C

VIIV

IV

VI

S

n(An(ABBC)=a+b+c-x-y-z+pC)=a+b+c-x-y-z+p

soalsoal

Dalam pesta olah raga kampus, diadakan survey terhadap 150 Dalam pesta olah raga kampus, diadakan survey terhadap 150 mahasiswa atas jenis olah raga yang dimainkannya. 57 bermain mahasiswa atas jenis olah raga yang dimainkannya. 57 bermain tenis, 69 bermain catur, 74 bermain volley, 30 bermain tenis dan tenis, 69 bermain catur, 74 bermain volley, 30 bermain tenis dan catur, 35 bermain catur dan volley, 25 bermain tenis dan volley, catur, 35 bermain catur dan volley, 25 bermain tenis dan volley, serta 20 mahasiswa bermain ketiganya.serta 20 mahasiswa bermain ketiganya.

a. Berapa mahasiswa yang hanya bermain volley?

b. Berapa mahasiswa yang tidak bermain volley?

c. Berapa mahasiswa bermain paling sedikit satu diantara ketiga olah raga itu?

d. Berapa mahasiswa yang hanya bermain catur?

e. Berapa mahasiswa tidak memainkan ketiga jenis olah raga diatas?

f. Berapa mahasiswa yang bermain catur tetapi tidak bermain volley