HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI
description
Transcript of HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI
HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI•INTERPOLASI
Pendahuluan• Engineer bekerja dengan sejumlah data diskrit (biasanya
disajikan dalam bentuk tabel) yang diperoleh dari hasil pengamatan lapangan atau laboratorium.
• Contoh:
– Masalah yang muncul :• ingin mengetahui waktu patahan y jika diberi tegangan x sebesar 12
kg/mm2 pada baja – Solusi: mencari fungsi yang dengan mencocokkan titik-titik data
dalam tabel ( pencocokan kurva)
Tegangan yg diberikan,x,kg/mm2 5 10 15 20 25 30 35 40
Waktu patah, y, jam 40 30 25 40 18 20 22 15
Pendahuluan• Pencocokan kurva untuk
– mencari nilai fungsi– menghitung nilai turunan
• Contoh:– Diketahui fungsi – Hitung turunan fungsi di atas jika x = a f’(a) = ?– SULIT???
• Pendekatan dilakukan dengan menyederhanakan fungsi f(x) menjadi polinom pn(x) yang berderajat ≤ n
5
22/1
21)42()(
x
xxInxf
nnn
n
xaxaxaxaaxp
inihaldalamxpxf
...)(
:)()(
33
2210
Interpolasi
• Jika data memiliki ketelitian tinggi, kurva dibuat melalui setiap titik menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi
Interpolasi Linier• adalah interpolasi dua buah titik dengan
sebuah garis lurus– misal titik (x0, y0) dan (x1, y1)
• Polinom yg terbentuk persamaan garis lurus )(
)()()( 0
01
0101 xx
xxyyyxp
y
x
(x0,y0)
(x1,y1)
Contoh :
Taksirlah logaritma natural dari 2 (ln 2) dengan memakai interpolasi linear antara ln 1 = 0 dan ln 6 = 1.7919595, dimana nilai sejati ln 2 = 0.69314718.
Penyelesaian :
35835190.0)12(16
07917595.10)2(1
p
%3.48%100 0.69314718
35835190.0- 0.69314718 xerror
Interpolasi Linier
Interpolasi Kuadratik• Misal dipergunakan tiga titik data (x0,y0), (x!,y1), (x2,y2)• Polinom yg menginterpolasi polinom kuadrat
p2(x) = a0 + a1x + a2x2 …………(1)• Polinom p2(x) ditentukan dengan:
– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0
2 = y0 a0 + a1x1 + a2x1
2 = y1 a0 + a1x2 + a2x2
2 = y2 – hitung a0,a1,a2 dari sistem persamaan di atas dengan
metode eliminasi Gauss
Interpolasi Kuadratik• Polinom p2(x) ditentukan dengan:
– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0
2 = y0 a0 + a1x1 + a2x1
2 = y1 a0 + a1x2 + a2x2
2 = y2 – hitung a0,a1,a2 dari sistem persamaan di atas dengan
metode eliminasi Gauss– Substitusikan denga persamaan p2(x)
Interpolasi Kuadratik• Contoh:
Diberikan titik In(8,0)=2,0794, In(9,0)=2,1972, dan In(9,5)=2,2513. Tentukan nilai In(9,2)!
• PENYELESAIAN– SPL yang terbentuk:
a0 + 8,0a0 + 64,00a2 = 2,0794 a0 + 9,0a1 + 81,00a2 = 2,1972 a0 + 9,5a1 + 90,25a2 = 2,2513
– Eliminasi Gauss
0048,075,0001178,000,170,100794,200,640,81
5,11719,025,265,101178,000,170,100794,200,640,81
2513,225,905,911972,200,810,910794,200,640,81
2313
12
RRRRRR
Interpolasi Kuadratik• PENYELESAIAN
– Eliminasi Gauss
– Diperoleh:• 0,57a2 = -0,0048 a2 = -0,0064• 1,0a1 + 17,00a1 = 0,1178
1,0a1 + 17,00(-0,0064) = 0,1178 a1 = 0,2266• a0 + 8,0a1 + 64,00a2 = 2,0794
a0 + 8,0(0,2266) + 64,00(-0,0064) = 2,0794 a0 = 0,6762– Substitusi ke persamaan polinom
• p2(x) = 0,6762 + 0,2266x1 – 0,0064x2
– sehingga p2(9,2) = 0,6762 + 0,2266(9,2) – 0,0064(9,2)2
= 2,2192
0048,075,0001178,000,170,100794,200,640,81
Interpolasi Kubik• Misal dipergunakan empat titik data (x0,y0), (x!,y1), (x2,y2), dan
(x3,y3)• Polinom yg menginterpolasi polinom kuadrat
p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 …………(1)• Polinom p2(x) ditentukan dengan:
– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0
2 + a3x03 = y0
a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1
3 = y1 a0 + a1x2 + a2x2
2 + a3x23 = y2
a0 + a1x3 + a2x33 + a3x3
3 = y3 – hitung a0,a1,a2,a3 dari sistem persamaan di atas dengan
metode eliminasi Gauss
Interpolasi Kubik• Polinom p3(x) ditentukan dengan:
– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0
2 + a3x03 = y0
a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1
3 = y1 a0 + a1x2 + a2x2
2 + a3x23 = y2
a0 + a1x3 + a2x33 + a3x3
3 = y3 – hitung a0,a1,a2,a3 dari sistem persamaan di atas dengan
metode eliminasi Gauss– Substitusikan denga persamaan p3(x)
• Dengan cara yang sama, bisa dibuat polinom interpolasi berderajat n untuk n yang lebih tinggi pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn
• Polinom p2(x) ditentukan dengan:– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan
a0 + a1x0 + a2x02 + a3x0
3 + … +anx0n = y0
a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1
3 + … +anx1n = y1
a0 + a1x2 + a2x22 + a3x2
3 + … +anx2n = y2
a0 + a1x3 + a2x32 + a3x3
3 + … +anx3n = y3
…. …. … a0 + a1xn + a2xn
2 + a3xn3 + … +anxn
n = y3 – hitung a0,a1,a2,a3,…,an dari sistem persamaan di atas dengan
metode eliminasi Gauss– Substitusi denga persamaan pn(x)
Polinom Lagrange
• Interpolasi ini digunakan untuk mencari dependen variable y = f(x) pada intermediate value diantara x yang diberikan
Polinom Newton