contoh soal

Contoh Soal:1. Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat Cartesius.a. P (4,2) c. R (0, 3) e. T (3, 3)b. Q (2, 0) d. S (1, 2)Jawab:

.2.Gambarkan garis lurus yang melalui titik P(3, 3) dan Q(3, 3).jawab :

3. Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.a. y = 2x b. 2x + 3y = 0 c. x = 2yJawab:a. Persamaan garis y = 2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 2.b. Persamaan garis 2x + 3y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mxsehingga

Jadi, diperoleh m =2/3.c. Persamaan garis x = 2y diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mxsehingga

Jadi, diperoleh m =1/2.4. Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.a. y = 4x + 6 d. 3y = 6 + 9xb. 2 + 4y = 3x + 5c. 2y = x + 12Jawab:a. Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = 4.b. Persamaan garis 2 + 4y = 3x +5 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga

c. Persamaan garis 2y = x + 12 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga

d. Persamaan garis 3y = 6 + 9x diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga

5. Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.a. x + 2y + 6 = 0 d. 4x + 5y = 9b. 2x 3y 8 = 0 c. x + y 10 = 0Jawab:a. Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga

b. Persamaan garis 2x 3y 8 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga

c. Persamaan garis x + y 10 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehinggax + y 10 = 0y = x + 10 Jadi, nilai m = 1.d. Persamaan garis 4x + 5y = 9 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga

6.7. Tentukan persamaan garis untuk garis yang melalui titik O (0, 0) dan memiliki:a. gradien 2,Jawab:a. y = mx maka y = (2)x ( y = 2x

8. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(3, 5) dan memiliki gradien 2.Jawab:Untuk titik P(3, 5) maka x1 = 3, y1 = 5.Dengan menggunakan rumus umum, diperoleh persamaan garis:fi y y1 = m (x x1)y 5 = 2 (x 3)y 5 = 2x + 6y = 2x + 6 + 5y = 2x + 11 atau 2x + y 11 = 09. Tentukan persamaan garis yang melalui:a. titik K(2, 4) dan sejajar dengan garis 3x + y 5 = 0,b. titik R(1, 3) dan sejajar dengan garis yang melalui titik A(4, 1) dan B(1, 2),c. titik L(5, 1) dan tegak lurus dengan garis x 2y + 3 = 0.Jawab:a. Langkah pertama, tentukan gradien garis 3x + y 5 = 0.3x + y 5 = 0y = 3x + 5diperoleh m = 3.Garis h melalui K(2, 4) maka x1 = 2, y1 = 4. Langkah kedua, tentukan persamaan garis h sebagai berikuty y1 = m (x x1)y (4) = 3(x (2))y + 4 = 3x 6y = 3x 6 4y = 3x 10Jadi, persamaan garis h adalah y = 3x 10 atau 3x + y + 10 = 0b. Langkah pertama, tentukan gradien garis yang melalui titik A(4, 1) dan B(1, 2).Untuk titik A(4, 1) maka x1 = 4, y1 = 1.Untuk titik B(1, 2) maka x2 = 1, y2 = 2.

Oleh karena garis h sejajar dengan garis yang melalui titik A dan Bmaka garis h yang melalui titik R (1, 3) memiliki gradien yang samadengan garis AB yaitu

Untuk titik R(1, 3) maka x1 = 1, y1 = 3 Langkah kedua, tentukan persamaan garis h dengan rumus

c. Langkah pertama, tentukan gradien garis x 2y + 3 = 0.

Oleh karena h tegak lurus dengan garis x 2y + 3 = 0 maka gradiengaris h yang melalui titik L(5, 1) adalah

Langkah kedua, tentukan persamaan garis mL = mh = gradien garis hmelalui titik L(5, 1) dengan h melalui gradien m = 2.Untuk titik L(5, 1) maka x1 = 5, y1 = 1.

10. Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik koordinat berikut.a. A (3, 3) dan B (2, 1)Jawab:a. Untuk titik A (3, 3) maka x1 = 3 dan y1 = 3.Untuk titik B (2, 1) maka x2 = 2 dan y2 =1.Persamaan yang diperoleh:

1 (y 3) = 2 (x 3)y + 3 = 2x + 62x y + 3 6 = 02x y 3 = 0Jadi, persamaan garisnya adalah 2x y 3 = 0.11. Dengan cara substitusi,a.)tentukan koordinat titik potong antara garis 3x + y = 5 dangaris 2x 3y = 7.Jawab:Ikuti langkah-langkah berikut. Ambil salah satu persamaan garis, misalnya 3x + y = 5. Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut, misalnya y.3x + y = 5 maka y = 5 3x. Substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain.2x 3y = 72x 3(5 3x) = 72x 15 + 9x = 72x + 9x = 7 + 1511x = 22x = 2 Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan garis.3x + y = 53 (2) + y = 56 + y = 5y = 5 6y = 1 Diperoleh x = 2 dan y = 1. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (2, 1)b.)Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun hargasebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan:a. harga sebuah permen,b. harga sebuah cokelat,c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat.Jawab:1. Untuk menjawab soal ini, ikuti langkah-langkah berikut. Gunakan pemisahan untuk nama benda.Misalkan: permen = xcokelat = y Terjemahkan ke dalam model matematika.2 permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 8001 permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100 Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 5y. Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain2x + 3y = 8002 (1.100 5y) + 3y = 8002.200 10y + 3y = 8002.200 7y = 8007y = 800 2.2007y = 1.400y = 200 Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.x + 5y = 1.100x + 5 (200) = 1.100x + 1.000 = 1.100x = 1.100 1.000x = 100Dengan demikian, diperoleh:a. harga sebuah permen = x = Rp100,00b. harga sebuah cokelat = y = Rp200,00c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y= 4 (Rp100,00) + (Rp200,00)= Rp600,00

CONTOH SOAL :

Hukum Hess

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,0) dan titik (0,-3)jawab :(2,0) dan (0,-3)bx+ ay = ab-3x+ 2y = 2(-3)-3x+ 2y = -6 3x -2y - 6 = 01. Gradien

- Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.

- Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)

- Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :

by = -ax c

y = -a/bx c/b

m(gradient) = -a/b

contoh soal : tentukan gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 0

4y = -2x-5

y = -2/4 x 5/4

maka m = -2/4 = -1/2

cara cepat = -a/b = -2/4

Macam-macam gradien :

a) Gradien bernilai positif

Bila m (+) contoh : 6x 2 y 9 = 0

m = (6/-2) = 3 (positif)

b) Gradien bernilai negative

Bila m (-) Contoh : 6x + 3y 9 = 0

m = (6/3) = -2 (negative)

c) Gradien garis melalui pangkal koordinat

Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/x

contoh : Gradient Garis yang melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :

m = y/x = -3/2

d) Gradien garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)

sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x1 y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = (y2-y1)/(x2-x1)

contoh : Gradien melalui titik (-4,5) dan (2,-3)

m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3

Hubungan 2 garis lurus :

Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :

1) m1 = m2 jika garis k sejajar garis l

contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8

a = 3 , b = 6

m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/2

2) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurus

garis l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8

a = 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 2

2. Persamaan Garis Lurus

a) Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :

y y1 = m (x x1)

Contoh 1 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.

jawab :

Titik A(-3,4), berarti x1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2

Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :

y y1 = m ( x x1 )

y 4 = -2 {x (-3)}

y 4 = -2 (x + 3 )

y 4 = -2 x 6

y = -2x 6 + 4

y = -2x 2

Contoh 2 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)

jawab :

Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)

P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5

Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3

Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah

m (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )

Titik B(6, 2), berarti x1 = 6 , y1 = 2

Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :

y y1 = m ( x x1 )

y 2 = -1 (x 6)

y 2 = -x + 6

y = -x + 6 + 2

y = -x + 8

b) Persamaan garis yang melalui dua titik

Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :

dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),

yaitu y y1 = m ( x x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :

y y1 = m ( x x1 )

y y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)] (x x1)

(y y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

Kesimpulan :

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8)

jawab : Garis l melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).

A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4

B(5,8) berarti x2 = 5 , y2 = 8

Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :

(y y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

(y-4) / (8-4) = (x-3) / (5-3)

(y-4) / 4 = (x-3) / 2

2(y 4) = 4(x 3)

2y 8 = 4x 12

2y 4x = 8 12

2y 4x = -4

y 2x = -2

>> Hubungan 2 garis lurus

1) Persamaan garis yang saling sejajar

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x 5

jawab : y = 2x 5 maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar)

maka :

y y1 = m (x-x1)

y 3 = 2 (x-2)

y = 2x-4+3

y = 2x -1

2) Persamaan garis yang tegak lurus

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x 5

jawab : y = 2x 5 maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2

maka persamaan garisnya :

y y1 = m (x-x1)

y 3 = -1/2 (x-2)

y = -1/2 x + 1 + 3

y = -1/2 x + 4

kali 2

2y = -x + 4

2y + x 4 = 0

3) Persamaan garis yang berhimpit

garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing merupakan kelipatan dari a, b, c..

>> Buktikan ! garis 2x+4y+3 = 0 berhimpit dg garis 6x+12y+9 = 0

4) Persamaan garis yang berpotongan

dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

>> Tentukan hubungan garis h1 = 6x 3y 5 dengan garis h2 = 3x + 4y + 6 !