Arifa KartikasariX-MIA1 SMAN 14 Jakarta

Geometri BidangDatar

CLICK ONCE!

TITIK *dilukiskan dengan noktah (∙A).

Titik adalah suatu satuan dasar dari geometri. Titik bukan merupakan suatu benda melainkan sebuah simbol yang menunjukkan suatu lokasi.Oleh karena itu, titik hanya memiliki posisi tetapi tidak memiliki ukuran seperti panjang, lebar, atau ketebalan.

Apa yang dimaksud dengan

titik?

TITIK

Garis adalah sederetan titik-titik yang jumlahnya tidak terhingga dan memanjang pada dua arah yang berlawanan tanpa ujung. Dengan demikian garis adalah dimensi satu, yang memiliki panjang tak terhingga dan tidak memiliki ketebalan. Suatu garis bisa lurus, melengkung, atau keduanya. Namun, yang dimaksud garis di sini adalah tidak melengkung dan tidak berbelok.

Apa yang dimaksud dengan Garis?

GARIS

a

●

●A

B

GARIS AB

Sudut dibentuk oleh dua sinar dengan titik pangkal yang sama. Titik

pangkal yang sama disebut titik sudut (vertex). Sudut kecil disebut sudut inferior

dan sudut besar disebut sudut refleks. Jumlah sudut inferior dan sudut refleks sama

dengan 360°, karena keduanya membentuk satu putaran. Jika pada gambar tidak

ada keterangan, maka yang dimaksud dengan sudut selalu sudut yang kecil (sudut

inferior).

Apa yang dimaksud dengan sudut?

SUDUT

Bidang datar adalah suatu permukaan datar yang diperpanjang tak terhingga ke segala arah.bidang memiliki panjang dan lebar atau disebut dengan luas, namun bidang tidak memiliki ketebalan.

Bidang ABCD B

CD

A

Apa yang dimaksud dengan bidang?

B

CD

A

Segitiga

Segitiga dapat diklasifikasikan ke dalam dua bagian, yaitu:1.Berdasarkan Panjang Sisinya

Segitiga Samakaki Segitiga Samasasi Segitiga Sembarang

cII

c

IIIIaII

II

B

a

b

B

b

ab

c

C

A B AA

CC

2. Berdasarkan besar sudutnya

Dalil Titik Tengah Segitiga

“Segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya adalah setengah kali panjang sisi ketiga tersebut”.

Bukti :Diketahui : <ACB = <DCE

CA : CD = CB : CE = 2 Jadi, ∆ACB∆DCE (dibaca sebangun) Karena ∆ACB∆DCE, maka ACB = DCE

Jadi, <CAB dan <CDE adalah pasangan sudut sehadap, dan menurut postulat haruslah DE sejajar AB.Karena ∆ACB∆DCE, maka berlaku juga perbandingan sisi berikut

AB : DE = AC : DC AB : DE = 2 : 1DE . 2 = AB . 1 DE = ⟷ 1/2 AB (terbukti)

A B

C

E D

Diberikan AB = 12 satuan, CD = DA, CE = EB, CEB adalah garis lurus. Hitunglah DE !

Penyelesaian :

Dik : D tengah-tengah AC (CD = DA)

E tengah-tengah BC (CE = EB)

AB = 12 satuan

Dit : DE ?

Jawab : berdasarkan dalil titik tengah segitiga maka DE//AB

DE =1/2 AB

= ½ (12) = 6 satuan Dalil Intercept Segitiga

Soal

Dalil Intercept

“ jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga ABC (misalnya garis sejajar sisi BC) memotong dua sisi lain dari segitiga ABC (yaitu sisi AB dan AC ) di titik D dan E, maka persamaan berikut benar AD : DB = AE : EC untuk dalil intercept”.

Bukti :

Diketahui ∆ABC memiliki DE//BC, dengan DE dipotong oleh AB di D dan AC di E

AED

B C

A

Perhatikan DE//BC yang dipotong oleh garis transversal AB. ∠ADE dan ∠ABC adalah pasangan sudut sehadap sehingga ∆ADE ∆ABC berarti AB/AD = AC/AE

AB/AD - AD/AD = AC/AE - AE/AE (kedua ruas dikurangi pecahan bernilai 1)

AB-AD/AD=AC-AE/AE↔BD/ADEC/AE atau AD/BD=AE/AC

AD : BD = AE : EC (terbukti) A

ED

B C

Dalil Intercept

Perhatikan gambar di samping ini!

DE//BG. BH : HG = 9 : 5.

Tentukan panjang CE dan buktikan bahwa

AF : FB = 5 : 9.

Jawab :

Diketahui: BE = 27

CD = 10

DG = 18

BH : HG = 9 : 5

Ditanyakan: Tentukan panjang CE dan buktikan bahwa AF : FB = 5 : 9

D

C

27

18

10

H

G

E

BFA

Soal

Penyelesaian. CE/EB = GD/DG

CE = CD/DG x EB = 10/18 x 27= 15 DE/BG = CD/CG = 10/10+18 = 5/5+9

BH : HG = 9 : 5 ⟹ HG/BG = 5/5+9 berarti DE = HG.

DE//HG, akibatnya GD//EH.

AF : FB = CE : EB = 15 : 27= 5 : 9. (terbukti)

Dalil De Ceva

Dalil Ceva berkaitan dengan tiga garis yang memotong ketiga sisi segitiga dan ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik. Jika garis yang ditarik dari tiap titik sudut segitiga berpotongan pada satu titik dan memotong sisi-sisi yang berhadapan di titik dengan titik-titik, maka berlaku dalil de Ceva, yaitu:

AF/FB.BD/DC.CE/EA = 1

Bukti.

Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik, yaitu titik P. ∆APF dan ∆BPF memiliki tinggi yang sama sehingga:luas ∆APF/ luas ∆BPF = AF.tinggi / FB.tinggi

luas ∆APF/ luas ∆BPF = AF/FB...(1)

∆ACF dan ∆BCF juga memiliki tinggi yang sama sehingga dengan cara yang sama diperoleh:

luas ∆ACF/ luas ∆BCF = AF/BF...(2)

A

P

E D

C

BF

Karena persamaan (1) dan persamaan (2) sama, maka:

luas ∆ACF - luas ∆APF = luas ∆APF

AF/BF (luas ∆BCF) - AF/BF (luas ∆BPF) = luas ∆ACF - luas ∆APF

AF/FB (luas ∆BCF - luas ∆BPF) = luas ∆ACF - luas ∆APF

AF/FB = luas ∆ACF - luas ∆APF/ luas ∆BCF - luas ∆BPF

AF/FB = luas ∆ACF / luas ∆BCF ... (3)

Dengan cara yang sama diperoleh persamaan untuk kedua sisi lainnya :

BD/DC = luas ∆ABP/ luas ∆ACP ... (4)

CE/EA = luas ∆BCP/ luas ∆ABP ... (5)

Kalikan persamaan (3), persamaan (4), dan persamaan (5).AF/BF. BD/DC. CE/EA = luas ∆ACF / luas ∆BCF. luas ∆ABP/ luas ∆ACP. luas ∆BCP/ luas ∆ABP

AF/BF. BD/DC. CE/EA (Terbukti)

Sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis dimana dua sisi segitiga berpotongan dalam segitiga dan satu sisi berpotongan pada perpanjangan sisi itu.

Pemotongan segitiga dengan garis tersebut menghasilkan segmen-segmen garis yang perbandingannya dirumuskan pada dalil menelaus sebagai berikut :

Dalil Menelaus

A BD

C

FE

CF

AF

EB

CE

DA

DB 1

Tarik garis dari B sejajar dengan AC dan memotong garis DE di titik P

Pembuktian

A

FE

C

DB

P

Perhatikan I. dan

AF//BP

Persamaan (I)

= BP =

AFDB

P

F

DA

BPD

BD

BP

AD

AF

AD

BDAF.

II. dan

KesebangunanCF≈BPCE≈BEFE ≈EP

Persamaan II :

= BP =

F

C

P

E

B

BE

BP

CE

CF

CE

BECF.

CFEBPE

Eliminasi BP dari persamaan I & II

1atau

1CF

AF

ADBECF

CEBDAF

..

..

AD

CE

BE

BD

 

Soal

15BF = 14+2BF13BF = 14

BF =

E

F

D

B

C

A

DC

ADEB

CE

BF

BF

214

15

13

14

5

7

13

2

AF

BF 1 1

TERIMA KASIH!

AKJanuari’

15