MAKALAH

GEOMETRI HIPERBOLIK

(LOBACHEVSKY)

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Non Euclid

Dosen Pengampu: Dr. Scolastika Mariani, M. Si

Oleh:

Kelompok 6

1. Joko Susilo (0401513047)

2. Dian Rosita (0401513072)

KELAS KHUSUS B2

PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2014

GEOMETRI HIPERBOLIK

Geometri Hiperbolik merupakan salah satu bentuk dari geometri Non-Euclid, yang

muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran Euclid. Geometri Hiperbolik adalah

geometri yang menggunakan semua aksioma dan teorema geometri Netral dan mengganti

postulat kesejajaran Euclid dengan negasinya, yaitu postulat kesejajaran Hiperbolik.

Geometri Non Euclid memuat empat postulat Euclid, perbedaannya hanya pada

postulat kesejajaran. Akibat penggantian postulat ini terjadi perbedaan sifat antara geometri

Euclid dengan geometri Hiperbolik, salah satunya adalah jumlah ukuran sudut segitiga.

Jumlah ukuran sudut segitiga geometri Euclid sama dengan 180o, sedangkan jumlah ukuran

sudut geometri Hiperbolik adalah kurang dari 180o. Para matematikawan telah berusaha

untuk membuktikan postulat kelima euclid dengan asumsi negasi dan mencoba untuk

menurunkan suatu kontradiksi, namun mereka gagal. Akhirnya mereka berpendapat bahwa

terdapat lebih dari dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui sebuah titik tertentu

di luar garis tersebut dan ukuran sudut kesejajaran untuk titik yang tidak terletak pada garis

tersebut kurang dari 900. Akibatnya jumlah ukuran sudut segitga kurang dari 1800dan jumlah

ukuran sudut dalam segiempat kurang dari 3600, sehingga tidak ada persegi panjang dalam

geometri hiperbolik. Segiempat Al-Haytham-Lambert dan segiempat Khayyam-Saccheri

adalah teori pertama pada geometri hiperbolik. Dalam segiempat Lambert sudut keempat

dalam segiempat ini adalah lancip, sehingga ukuran sisi yang memuat sudut lancip lebih

panjang dari pada sisi yang tidak memuat sudut lancip, serta jika sudut-sudut yang

bersesuaian dari dua segitiga kongruen maka dalam geometri hiperbolik dua segitiga tersebut

adalah kongruen.

Dalam mempelajari geometri Hiperbolik, terlebih dahulu harus mempelajari

geometri Euclid dan geometri Netral, karena geometri Hiperbolik dapat menggunakan semua

teorema dan aksioma kedua geometri ini tetapi mengganti postulat kesejajaran Euclidedengan

postulat kesejajaran Hiperbolik.

A. Sejarah Geometri Hiperbolik

Pada abad ke-19, geometri hiperbolik secara luas dieksplorasi oleh Jonas Bolyai dan

Nicolai Inanovich Lobachevsky. Geometri hiperbolik, pertama kali dikembangkan oleh

keluarga Bolyai. Seorang matematikawan Austria “Farkas Wolfgang Bolyai” (1775-1856)

yang mula-mula menaruh minat utamanya pada dasar-dasar geometri dari postulat kelima

Euclid, postulat kesejajaran. Selesai kuliah di Gottingen tahun 1799, pulang ke Hongaria dan

mengajar matematika, fisika dan kimia pada Reformed College. Wolfgang mengajari pula

anaknya sendiri Janos Bolyai. Putus asa dengan Postulat kesejajaran yang diketahuinya

mempunyai kejanggalan namun tidak dapat dibuktikannya membuat dia menulis surat kepada

anaknya :

Jangan berkutat dengan postulat kesejajaran, karena akan mengurangi kenyamanan,

kesehatan, dan ketenangan dan seluruh kebahagiaan dalam hidup ini.

Sang anak Janos Bolyai, pada usia 21 tahun melanggar larangan ayahnya. Ia

melanjutkan kepenasaran sang ayah yang menemukan kejanggalan postulat tersebut. Janos

berhasil mengembangkan geometri yang beda dengan postulat kelima Euclid dan

mencetuskan geometri Non-Euclid dengan cara yang berbeda dengan Nicolai Lobachevsky,

yang kemudian dikenal dengan geometri hiperbolik.

Demikianlah balasan surat Janos Bolyai kepada ayahnya Wolfgang Bolyai:

I have discovered such wonderful things that I was amazed ...

Out of nothing I have created a strange new universe.

~ Janos Bolyai (1802-1860), from a letter to his father, 1823. (Hvidsten, M, 2005, h. 263)

Lobachevsky pertama kali mempublikasikan idenya pada tanggal 23 februari 1826

ke departemen Fisika dan Matematika dan penelitian ini telah dicetak dalam UMA pada

tahun 1829-1830. Sedangkan Bolyai menerbitkan idenya pada tahun1832.

Lobachevsky menulis paper yang berjudul "A Concide Outline of the Foundations of

Geometry" di publikasikan oleh Kazan Messenger tetapi di tolak pada saat disampaikan di

Akademi St Petersburg. Pada tahun 1937 Lobachevsky mempublikasikan artikelnya yang

berjudul "Geometrie Imaginaire" dan diterbitkan di Berlin pada tahun 1840.

Beberapa ahli matematika dan sejarahwan mengklaim bahwa Lobachevsky telah

mencuri tentang konsep geometri non-euclid dari Gauus, tetapi hal itu tidak benar. Gauus

sendiri menghargai hasil karya yang ditemukan oleh Lobachevsky, karena alasan itu maka

Lobachevsky dan Bolgyai dianggap sebagai pencipta geometri hiperbolik.

Setelah karya Gauus, Lobachevsky dan bolyai, muncul pertanyaan yang lain "

seperti apakah model dari geometri hiperbolik?". Pertanyaan ini terjawab Eugenio Beltrami

tahun 1868, Dia yang pertama kali menunjukkan bahwa bidang yang berbentuk pseudosphere

mempunyai kelengkungan yang sesuai untuk model sebagian ruang hiperbolik.

Awalnya Lobachevsky menamakan geometri temuannya dengan sebutan "Geometrie

Imaginaire" karena dia belum bisa memahami model untuk jenis geometrinya. Geometri

hiperbolik diperkenalkan oleh Felik Klein tahun 1871. Geometri hiperbolik sering juga

disebut geometri Lobachevsky, untuk memudahkan dan menandai karya lobachevsky

sehingga postulatnya dikenal dengan postulat kesejajaran lobachevsky.

Postulat Euclid

Postulat I : Melalui dua titik berbeda dapat dibuat dengan tepat satu garis.

Postulat II : Ruas garis dapat diperluas tanpa batas.

Postulat III : Untuk mendeskripsikan sebuah lingkaran dengan pusat dan jaraknya.

Postulat IV : Dua sudut yang kongruen dan berpelurus dinamakan sudut siku-siku.

Geometri hiperbolik dibangun atas empat postulat di atas ditambah dengan:

Postulat Kesejajaranan Hiperbolik: Dipunyai sebuah garis l dan sebuah titik P tidak pada l

, maka ada paling sedikit dua garis yang melalui P dan sejajar dengan l.

B. Model Geometri Hiperbolik

Terdapat empat model yang umum digunakan dalam geometri hiperbolik.

Diantaranya Model Poincare, Model Klein, Model Setengah Bidang Poincare, dan model

Lorentz.

1. Model Poincare

Model ini dikembangkan oleh matematikawan Perancis, yaitu Henry Poincare

(1854-1912). Model Poincare ini juga disebut model disk poincare atau model disk

konformal. Dalam model Poincare, untuk geometri hiperbolik dimensi 2, suatu titik

didefinisikan sebagai sebarang titik di dalam disk unit. Sebarang titik P=(x y ), dengan

x2+ y2<1. Kumpulan dari semua titik seperti itu disebut Poincare disk.

Definisi 1: Suatu garis hiperbolik (atau garis Poincare) adalah suatu busur lingkaran Euclid

atau ruas garis Euclid, di dalam Poincare disk yang mengenai batas/tepi

lingkaran pada sudut 90 °.

Pada gambar di bawah, ada 2 garis dalam model Poincare.

Model geometri hiperbolik memenuhi 4 postulat pertama Euclid, ditambah postulat

hiperbolik. Kita akan mulai dengan dua postulat Euclid yang pertama, bahwa segmen/ruas

garis unik selalu dibangun melalui dua titik dan segmen itu selalu dapat diperpanjang.

Dengan segmen kita akan mengartikan subsets/bagian dari garis Poincare seperti

digambarkan sampai sekarang.

Diberikan 2 titik P dan Q, misalkan mereka berada pada diameter hingga batas

lingkaran dalam Poincare disk. Kemudian, seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas, kita

dapat membuat ruas garis Euclid PQ sepanjang garis tengah itu. Karena diameter mengenai

batas lingkaran pada sudut 90 °, makaPQ berada pada suatu garis Poincare (hiperbolik) dan

yang demikian merupakan suatu segmen hiperbolik.

Sekarang misalkan P dan Q tidak berada pada diameter, ada suatu lingkaran

orthogonal unik melalui P dan Q yang mengenai batas/tepi lingkaran pada sudut 90 °. Kita

menemukan lingkaran ini dengan mengkonstruk/membangun titik invers P ' ke P berkenaan

dengan batas/tepi lingkaran. Lingkaran yang melalui P, P ' dan Q akan mengenai batas

lingkaran pada sudut 90 °. Kita simpulkan bahwa jika P dan Q tidak berada pada garis

tengah, maka kita dapat temukan suatu segmen hiperbolik melalui P dan Q.

Untuk menunjukkan postulat Euclid kedua, bahwa garis (hiperbolik) selalu dapat

diperluas, pertama kita catat bahwa titik-titik dari geometri kita tidak diijinkan pada batas/tepi

lingkaran, dengan definisi dari model Poincare. Ini mengijinkan kita untuk memperpanjang

sebarang segmen hiperbolik.

atau

Sebagai contoh, misalkan X adalah suatu titik persimpangan

(titik Euclidean) dari garis Poincare yang melalui dua titik

hiperbolik P dan Q dengan batas/tepi lingkaran. Maka, karena P

tidak berada pada batas/tepi, jarak sepanjang busur lingkaran dari

P ke X selalu positif, dan dengan begitu kita dapat menemukan

titik lain Y di antara dua titik ini dengan YQ memperpanjangPQ .Untuk mendefinisikan lingkaran untuk postulat yang ketiga, kita memerlukan

lambang jarak. Karena batas dari Poincare disk tidak dapat dicapai dalam geometri

hiperbolik, kita ingin mendefinisikan jarak seperti bahwa jarak ketidakterbatasan seperti

ketika kita mendekati batas dari Poincare disk.

Gambar di kiri, kita mempunyai dua titik P dan Q di Poincare

disk. Ada suatu garis hiperbolik unik (Busur lingkaran Euclidean

RPQS) yang padanya terdapat P dan Q yang mengenai batas/tepi

dari disk pada titik R dan S.

Definisi 2: Jarak hiperbolik dari P ke Q adalah:

d P (P ,Q )=| ln ((PS ) (QR )

(PR ) (QS) )|Di mana R dan S adalah titik, garis hiperbolik melalui P dan Q mengenai batas lingkaran. PS

adalah jarak Euclidean antara P dan S, demikian juga PR, QR dan QS.

Fungsi ini memenuhi syarat definisi kritis dari suatu jarak fungsi, yaitu tidak negatif

dan sama dengan nol hanya jika P=Q. Satu hal yang harus jelas melihat bentuk fungsi jarak

adalah ketika P atau Q mendekati titik batas R atau S, pecahan fungsi log di samping

bergerak dari atau 0, dan sehingga fungsi jarak dirinya sendiri menuju tak terbatas. Kita

sekarang dapat mendefinisikan lingkaran hiperbolik.

Definisi 3: Suatu lingkaran hiperbolik c radius r dengan pusat di titik O pada Poincare disk

adalah himpunan titik-titik dalam Poincare disk yang jarak hiperboliknya ke O

adalah r.

Di sini adalah beberapa lingkaran hiperbolik dengan pusat hiperbolik hubungannya.

Sekarang kita harus menjelaskan bahwa lingkaran itu selalu ada. Untuk membuat

lingkaran radius r pada O, perlu kita catat bahwa melalui sebarang garis yang melintasi O,

kita dapat temukan titik yaitu sejauh r unit (yang diukur pada fungsi jarak hiperbolik). Hal ini

dikarenakan tidak ada masalah bagaimana menutup O pada titik batas R atau S, kita selalu

dapat memukan titik-titik antara O dan titik batas itu yang jaraknya ke O akan tumbuh tak

terhingga.

Untuk postulat yang keempat, kita akan mendefinisikan sudut sama halnya mereka

mendefinisikan geometri Euclidean. Kita menggunakan bentuk tangen Euclidean ke garis

Poincare (yaitu, busur lingkaran Euclidean) dalam model Poincare untuk menentukan sudut.

Sudut yang ditentukan oleh dua buah garis hiperbolik akan menjadi sudut yang dibuat oleh

tangen Euclideannya. Karena sudut memenuhi maksud Euclideannya, maka postulat yang

keempat secara otomatis benar.

Untuk postulat yang keempat (postulat hiperbolik), mempertimbangkan satu garis l

dan suatu titik P yang tidak terletak di l seperti ditunjukkan pada gambar di atas.

Misalkan X dan Y adalah titik-titik potong l dengan batas lingkaran. Kemudian

dengan Teorema kita mengetahui bahwa dua busur lingkaran, satu melalui P dan X dan satu

melalui P dan Y , itu adalah orthogonal pada batas lingkaran. Juga, tidak satupun memotongl

pada suatu titik selain P pada batas lingkaran. Misalkan busur lingkaran melalui P dan X

memotong l pada titik Q di dalam lingkaran itu. Maka Q dan X akan berada pada l dan juga

pada busur lingkaran melalui P dan X . Dengan keunikan bagian dari Teorema, dua busur

lingkaran ini harus sama. Tetapi, ini mustahil karena P tidak berada padal. Jadi, dua busur

lingkaran yang melalui P akan menjadi dua garis hiperbolik yang tidak memotong l dalam

batas lingkaran dan menurut definisi adalah garis yang sejajar dengan l.

Kita lihat bahwa semua hal yang menyangkut empat postulat Euclidean yang

pertama dibangun dalam geometri ini dan postulat kesejajaran hiperbolik dibangun juga. Kita

simpulkan bahwa geometri yang asing/aneh ini dalam Poincare disk sama halnya secara

logika, konsisten seperti geometri Euclidean. Jika ada hasil yang kontradiksi dengan garis,

lingkaran, dan titik dalam geometri baru ini, mereka harus kontradiksi juga dengan konteks

Euclidean di mana geometri ini ditempelkan.

Kita catat di sini bahwa benar-benar tidak ada yang khusus/spesial tentang

penggunaan unit disk dalam model Poincare. Kita bisa menggunakan suatu lingkaran di

bidang datar dan mendefinisikan garis sebagai diameter atau busur lingkaran yang bertemu

batas lingkaran pada sudut 90 °.

2. Mini Project – Model Klein

Model klein disebut juga model Beltrami-Klein untuk memberikan apresiasi kepada

Eugenio Beltrami dan Felix Klein atas sumbangsihnya terhadap model ini. Model Klein juga

terkadang disebut model disc projektive.

Model Poincare menyediakan lambang Eulidean untuk sudut, tapi hanya penjelasan

garis dalam suatu cara yang asing/aneh. Ada suatu model geometri hiperbolik, yang dibangun

di dalam geometri Euclidean, yang menyediakan kedua definisi Euclidean untuk garis dan

lambang Euclidean untuk sudut. Namun, ini mustahil. Jika kita mempunyai model seperti itu,

dan ∆ ABC adalah sebarang segitiga, maka jumlah sudut dari segi tiga adalah 180 derajat,

yang mana ini adalah sebuah syarat yang equivalen dengan postulat kesejajaran dari geometri

Euclidean.

Suatu pertanyaan alami adalah apakah itu memungkinkan untuk menemukan suatu

model geometri hiperbolik, yang dibangun di dalam geometri Euclidean, yang menyediakan

lambang Euclidean untuk garis.

Di dalam proyek ini kita akan menyelidiki model pertama dikemukakan oleh Felix

Klein, di mana garis hiperbolik adalah segmen/ruas garis dari garis Euclidean. Model Klein

memulai tugas dengan himpunan titik yang sama yang kita gunakan untuk Poincare model,

himpunan titik-titik di dalam disk unit.

Bagaimanapun, garis akan didefinisikan dengan cara yang berbeda. Suatu garis

hiperbolik (atau garis Klein) di dalam model ini merupakan tali busur lingkaran batas

(dikurangi titik-titiknya pada lingkaran batas).

Ini adalah kumpulan garis Klein.

Definisi 1: Jarak hiperbolik dari P ke Q dalam model Klein adalah

d K (P , Q)= 1

2| ln((PS) (QR )

(PR) (QS ) )|Di mana R dan S adalah titik dalam pada garis hiperbolik (tali busur lingkaran)

melalui P dan Q yang mengenai lingkaran batas.

Catat kesamaan definisi ini dengan fungsi jarak pada model Poincare. Model Klein

dan model Poincare adalah isomorphic. Terdapat pemetaan satu per satu antara model

mengenai garis dan sudut dan juga mengenai fungsi jarak.

Sama halnya pada model Poincare, kita sekarang mendefinisikan suatu lingkaran

sebagai kumpulan/himpunan titik-titik yang diberikan jarak (hiperbolik) dari suatu titik pusat.

Postulat keempat Euclid berhadapan dengan sudut siku-siku. Mari kita melompati

dalil ini untuk sekarang dan mempertimbangkan postulat hiperbolik. Sebuah garis dan suatu

titik yang tidak terletak pada garis itu, ada banyak garis yang sejajar (bukan garis yang saling

memotong) untuk pemberian garis melalui titik itu. Gambarlah beberapa gambar pada secarik

kertas untuk meyakinkan dirimu terhadap fakta ini.

Sekarang, mari kita kembali ke pertanyaan tentang sudut dan khususnya, sudut siku-

siku. Apa yang kita perlukan adalah suatu lambang kedudukan tegak lurus dari garis yang

bertemu di suatu titik. Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana, di mana salah

satu dari garis, katakan garis l, adalah suatu diameter dari disk Klein. Andaikan kita

menggambarkan garis yang lain yaitu m agar tegak lurus (secara hiperbolik) terhadap l pada

suatu titik P, jika ia tegak lurus terhadap garis l dalam pandangan Euclidean itu.

Ditunjukkan beberapa garis Klein yang tegak lurus dengan

garis Klein l , yang merupakan diameter dari lingkaran batas.

l

Jelas bahwa kita tidak dapat memperluas definisi ini pada tali busur yang bukan

diameter secara langsung. Jika kita lakukan ini, maka sudut siku-siku akan mempunyai arti

yang sama dalam model Klein seperti yang dilakukan pada bidang Euclidean, yang berarti

kesejajaran harus memenuhi postulat kesejajaran Euclidean.

Yang terbaik dapat kita harapkan adalah suatu perluasan beberapa postulat tentang

tegak lurus tehadap suatu diameter. Jika kita mempertimbangkan bidang yang diperluas,

dengan titik pada pasangan yang tidak terbatas, kemudian semua garis tegak lurus dengan

diameter l pada gambar di atas di dapatkan titik yang tidak terbatas banyaknya. Titik yang

tidak terbatas itu adalah invers dari titik asal O, berkaitan dengan lingkaran unit. Juga, O

mempunyai suatu posisi unik pada garis l, yaitu titik potong Euclidean dari tali busur yang

digambarkan dengan l.

Jika kita mengerakkan l ke posisi baru, katakan garis l ', sehingga l ' tidak lebih

panjang dari diameter, maka muncul pandangan bahwa yang tegak lurus dengan l dapat

digerakkan menjadi garis baru yang tegak lurus dengan l ’, namun seperti biasanya bahwa

mereka masih memotong titik invers dari titik potong tali busur l ’. Titik invers ini dinamakan

kutub tali busur.

Definisi 2: Kutub dari tali busur AB dalam lingkaran c adalah titik invers dari titik potong

AB yang mengacu pada lingkaran.

Kita tahu bahwa kutub dari tali busur AB adalah juga berkaitan dengan tangen A dan

B kepada lingkaran.

Di sini kita lihat garis Klein dengan titik potong

Euclidean M dan tangen A dan B (yang mana adalah

tidak benar-benar titik dalam model Klein) bertemu pada

kutub P. Ingat bahwa ke tiga tali busur (m1, m 2, m 3) di

dalam lingkaran memenuhi syarat, yang manakala

diperpanjang, mereka melewati kutub itu.

Itu bisa dipertimbangkan untuk memperluas definisi kedudukan tegak lurus kita

untuk menyatakan bahwa tiga tali busur ini menjadi tegak lurus (dalam pengertian hiperbolik)

dengan garis ( AB ) di titik persimpangan.

Definisi 3: Satu garis m adalah tegak lurus dengan garis l (dalam model Klein) jika garis

Euclidean untuk m melewati kutub P dari l.

Diberikan garis Klein l (yang didefinisikan oleh tali busur AB )

dan titik P yang tidak terletak padal, ada 2 tali busur BC dan

AD , yang keduanya melalui P dan sejajar dengan l (hanya

berpotongan di dalam lingkaran). Dua garis sejajar ini

memenuhi syarat menarik untuk membagi himpunan semua

garis melalui P ke dalam dua subset/bagian: yang memotong

dengan l dan sejajar dengan l. Ini adalah kesejajaran spesial

( AD danBC ) yang akhirnya disebut batas/limit kesejajaran

untuk l pada P.

Dari P ditarik ke bawah tegak lurus dengan l pada Q

seperti gambar. Pikirkan sudut hiperbolik ∠QPT , di

mana T adalah suatu titik pada sinar hiperbolik dari P ke

B. Sudut ini disebut sudut kesejajaranan untuk l pada P.

AD danBC adalah limit kesejajaran dan sudut kesejajaran tidak mungkin lebih besar dari 90 °.

3. Model Setengah Bidang Poincare

Model setengah bidang poincare menggunakan setengah dari bidang euclid sebagai

bidang hiperboliknya dengan pembatasnya adalah garis euclid tertentu misalnya garis euclid l

. Sedangkan garis l sendiri tidak termasuk dalam bidang hiperboliknya. Dalam model ini,

titik-titik hiperboliknya direpresentasikan oleh titik-titik yang terletak pada setengah bidang

euclid yang digunakan sebagai bidang hiperboliknya sedangkan garis hiperboliknya berupa

setengah lingkaran ortogonal yang berpusat di l atau sinar garis tegak lurus l (lihat gambar

34).

Misalkan P dan Q adalah dua titik pada bidang hiperbolik ini. Jika sebuah garis unik

melalui kedua titik ini ada sebuah setengah lingkaran dan jika garis ini memotong garis l pada

titik A dan B dan jarak antara titik P dan Q dapat ditentukan dengan menggunakan rumus

d ( PQ )=|log ( AP ) (BQ )(BP ) ( AQ )|dimana, ( AP )dst, menunjukkan jarak Euclid dari titik P ke titik A.

Sedangkan untuk jarak titik P ' dan Q ' pada gambar 34 dimana P ' dan Q ' terletak

pada sinar garis dan mendekati garis batas l di sebuah titik euclid A ' maka jarak P ' dan Q '

bisa dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut :

d ( P' Q ' )=|log ( P ' A ' )(Q' A ' )|, dengan P ' A 'adalah jarak titik P 'dan A ' secara euclid.

Lingkaran pada model ini didefinisikan sama dengan lingkaran pada geometri

euclid yaitu himpunan semua titik-titik yang berjarak sama dari sebuah titik tertentu.

Asumsikan ada tiga titik P, Q, dan R dalam model bidang hiperbolik. Jika salah satu

konstruksi sinar Euclid PQ dan PR ' yang bersinggungan dengan garis PQ dan PR di titik P.

Ukuran sudut hiperbolik, QPR sama dengan ukuran Q ' PR' pada bidang Euclid. Hal ini

dikarenakan bahwa model setengah-bidang poincare adalah konformal yang berarti bahwa

sudut hiperbolik pada model ini tepat sama dengan sudut euclid dibawah kondisi yang

disebutkan sebelumnya.

4. Model Lorentz

Model Lorentz atau yang biasa disebut model hiperbolida. Model ini menggunakan

hiperboloida dimensi dua yang berasal dari ruang tiga dimensi sebagai bidang hiperboliknya.

Diantara keempat model bidang hiperbolik, model lorentz merupakan model yang memiliki

tingkat kekomplekan yang sangat tinggi.

Model ini memiliki aplikasi langsung ke relativitas khusus, ruang tiga dimensi

Minkowski adalah model ruang waktu, menekan satu dimensi ruang. Satu dapat mengambil

hiperboloid untuk mewakili peristiwa yang bergerak, memancar keluar pada bidang spasial

dari satu titik akan mencapai pada suatu waktu yang tepat. Jarak hiperbolik antara dua titik

pada hiperboloid akan dapat diidentifikasi dengan kecepatan relatif antara dua pengamat.

C. Akibat Dasar Geometri Hiperbolik

Beberapa dasar mengenai bentuk, segitiga, lingkaran dan semacamnya, semua itu

terkait dalam geometri hiperbolik. Kita akan menggunakan model Poincare (atau model

Klein) untuk menggambar/menarik diagram untuk membantu pemahaman geometri

hiperbolik. Geometri hiperbolik merupakan akibat dari geometri euclidean yang tidak

tergantung pada teorema kesejajaran (geometri netral). Sebagai contoh, kita dapat berasumsi

bahwa kesebangunan segitiga, seperti sisi sudut sisi, akan dicek di geometri hiperbolik.

Kita dapat mengasumsikan isometries, mencakup refleksi dan rotasi, yang tidak

tergantung pada teorema kesejajaran. Hasil ini akan dicek pada geometri hiperbolik, misalkan

kita mempunyai suatu fungsi jarak yang telah digambarkan. Kita juga mengasumsikan sifat-

sifat dasar keantaraan dan kesinambungan jarak dan sudut. Kita lihat lebih awal yang mana

asumsi ini harus ditambahkan ke sistem secara aksioma Euclid untuk memastikan

kelengkapan sistem itu, maka layak untuk mengasumsikan sifat ini dalam geometri hiperbolik

juga.

Kesejajaran di Geometri Hiperbolik

Teorema : Teorema fundamental kesejajaran geometri hiperbolik

Diberikan suatu garis hiperbolik l dan suatu titik P bukan pada l, maka terdapat tepat dua

garis sejajar m, n melalui P itu dan mempunyai sifat berikut:

1. Tiap-tiap garis melalui P antara sudut yang dibuat oleh salah satu garis yang sejajar m, n

dan yang tegak lurus dari P untuk l harus berpotongan dengan l sedangkan yang lain

melalui P adalah sejajar dengan l .

2. m, n membuat sudut lancip yang sama dengan yang tegak lurus dari P ke l.

P

C

A

D

BQ

l

Bukti:

Tarik garis tegak lurus l melalui P, memotong l pada Q. Perhatikan semua sudut

dengan sisi PQ. Himpunan sudut ini akan dibagi menjadi sudut QPA di mana PA berpotongan

dengan l dan yang lain tidak. Dengan kesinambungan sudut, harus ada suatu sudut yang

memisahkan sudut itu di mana PA berpotongan l dari yang tidak. ∠QPC inilah yang

dimaksud di sini.

Diberikan PD yang merupakan refleksi PC ke seberang PQ. karena refleksi

memiliki kesamaan, kita mempunyai PD itu harus memotong garis yang sejajar itu. Refleksi

memiliki sudut yang sama, maka ∠QPD harus kongruen dengan ∠QPC . (Bukti teorema

dari sifat 1).

Kita sekarang menunjukkan kedua-duanya di mana sudutnya kurang dari 90 derajat.

Ini merupakan bukan sudut siku-siku. Umpamakan bahwa ∠QPC adalah sudut siku-siku.

Kemudian oleh bukti yang terdahulu, kita mengetahui bahwa ∠QPD harus sudut siku-siku.

titik C, P, D adalah collinear dan menyusun satu garis sejajar untuk lmelalui P oleh Teorema

Euclid 27, yang tidak tergantung pada teorema ke lima euclid. Dengan teorema kesejajaran

hiperbolik, harus ada garis lain m' melalui P paralel untuk l. Tetapi, m' harus berada di salah

satu sudut siku-siku ∠QPC atau ∠QPD, ini akan kontradiksi dengan yang dibuktikan

tentang ∠QPC dan ∠QPD memotong dan tidak memotong garis. ( Terbukti)

Gambar :

Definisi: Dua teorema khusus kesejajaran yang sebelumnya disebut keterbatasan

kesejajaran (juga disebut paralel asymtotic atau sensed paralel) lmelalui P. Ini

akan membuat garis melalui P yang terpisah itu memotong dan garis tidak

memotongl. Akan ada suatu arah ke kanan dan ke kiri yang sejajarl melalui P.

Garis lain yang melalui Pitu tidak memotong l disebut ultraparallels (atau

divergent parallels) untuk l. Sudut dibuat oleh suatu pembatasan sejajar dengan

yang tegak lurus dari P untuk ldisebut sudut kesamaan pada P.

Gambar 1.Dua garis berbeda yang sejajar mengakibatkan tak terhingga banyaknya garis sejajar lainnya

l

A

BC

m

n

P

Q

Sifat keterbatasan kesejajaran tidak punya teori yang mendukung di geometri

euclidean dan dengan begitu itu susah untuk mengembangkan ide. Pada Klein model kita

lihat bagaimana cara membangun keterbatasan kesejajaran ke garis klein ditentukan.

Mungkin saja sangat menolong untuk meninjau ulang konstruksi itu untuk mempunyai suatu

gambaran bagaimana pembatasan kesejajaran pada geometri hiperbolik.

Karena adanya postulat kesejajaran, semua garis yang melalui P di antara dua garis

yang sejajar tadi juga akan sejajar dengan l. kita pelajari lebih seksama. Diberikan titik Q

ujung yang tegak lurus dari P ke l, dan titik A dan B di dua garis sejajar berturut-turut m dan

n, sedemikian hingga A dan B berada pada sisi yang sama dari PQ. (Gambar 1) Garis lainnya

memuat sinar PC diantara PA dan PB juga harus sejajar dengan l.

Catatan: Di bidang Euclid, dipunyai sianar PA dan PB tidak kolinier, dan sebuah titik Q

berada dalam segitiga APB, garis lain yang melalui Q harus memotong salah satu PA, PB

atau keduanya. Ini bukan kasus di bidang hiperbolik. Dalam gambar 1 garis l melalui Q dan

tidak memotong n ataupun m.

D. Segitiga pada Geometri hiperbolik

Teorema 1: Jumlah sudut setiap segitiga kurang dari 1800.

Bukti:

i. Akibat 2 terorema 6 dalam geometri netral:

Jika ada sebuah segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari 1800 maka setiap segitiga

jumlah sudut-sudutnya kurang dari 1800

ii. Akan dibuktikan teorema: ada sebuah segitiga yang jumlah sudut-sudutnya kurang dari

1800.

Jika ada sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 180o, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 180o.

Gambar 2. Mencari segitiga dengan jumlah sudut kurang dari 1800.

900 –

mY

n

X

P

Q R l

Misalnya ditentukan garis ldan titik P di luar garisl. Diperoleh garis m yang melalui P

dan sejajar l. Misalkan PQ tegak lurus l di Q dan tegak lurus m di P.

Menurut postulat kesejajaran Hiperbolik, ada garis lain n yang melalui P sejajarl.

Salah satu sudut yang dibentuk n dengan PQ adalah lancip.

Ambil titik X pada n sehingga QPX lancip.

Ambil titik Y pada m sehingga XPY = maka QPX = 900 – .

Berdasarkan lemma pada geometri netral1, ambil titik R padal yang sepihak dengan X

terhadap PQ sehingga PRQ < .

Perhatikan ΔPQR:

PQR = 900

QRP <

RPQ < 900 – +

PQR + QRP + RPQ < 1800. (Terbukti)

Berdasarkan (i) dan (ii) maka jumlah sudut setiap segitiga kurang dari 1800.

Akibat 1 Teorema 1: Jumlah sudut-sudut setiap segiempat kurang dari 3600.

Bukti:

Perhatikan gambar di bawah ini.

1 Misalkan k suatu garis, P suatu titik yang tidak terletak pada k dan Q suatu titik pada k . Misalkan diberikan sisi PQ, maka terdapat sebuah titik R pada k di sebelah kanan sisi PQ sedemikian hingga RPQ sekecil yang diinginkan.

112 2A

B

C

DGambar 3. Membuktikan jumlah sudut segiempat kurang dari 3600.

Akan dibuktikan bahwa A + B + C + D < 3600.

o Hubungkan titik A dan C

o Menurut teorema 1 maka:

A1 + B + C1 < 1800

A2 + D + C2 < 1800

o Sehingga diperoleh:

A1 + B + C1 < 1800

A2 + D + C2 < 1800 +

A1 + A2 + B + D + C1 + C2 < 3600

Jadi, A + B + C + D < 3600.

Di Geometri Euclid, segitiga mungkin kongruen atau sebangun. (atau tidak keduanya), tapi di

Geometri Hiperbolik:

Teorema 2: Segitiga yang sebangun pasti kongruen.

Bukti:

o Misalkan teorema tersebut salah.

Berarti ada dua segitiga, sebut Δ ABC dan Δ A1B1C1, sehingga A = A1, B = B1,

dan C = C1 tetapi kedua tersebut tidak kongruen.

Berarti AB≠ A1 B1 , AC ≠ A1 C1 , dan BC ≠ B1 C1

Akibatnya dapat diambil AB>A1 B1 dan AC>A1 C1

o Selanjutnya tentukan titik B2 pada AB dan C2 pada AC, sehingga A1 B1=A B2, dan

A1 C1=A C2, sehingga ΔAB2C2 ΔA1B1C1.

Gambar 4. Kesebangunan segitiga mengakibatkan kekongruenan

A1

C1B1 B2 C2

A

B C

o Perhatikaan Δ A1B1C1 dan ΔAB2C2

B1 = AB2C2 = B

C1 = AC2B2 = C

Selanjutnya:

C2B2B = 1800 – AB2C2 = 1800 – B

B2C2C = 1800 – AC2B2 = 1800 – C

Perhatikan segiempat B2C2CB

C2B2B + B2C2C + B+ C= 1800 – B + 1800 – C +B + C

C2B2B + B2C2C + B + C = 3600.

Hal ini bertentangan dengan Akibat 1 Teorema 1, yakni jumlah sudut-sudut setiap

segiempat kurang dari 3600.

Analog untuk AB<A1 B1 dan AC<A1 C1

Jadi yang mungkin adalah AB=A B2 dan AC=A C2, atau A1 = A, B2 = B, C

2 = C.

Jadi Δ ABC ΔAB2C2 dan ΔAB2C2 ΔA1B1C1, maka ΔABC ΔA1B1C1.

Terbukti bahwa kedua segitiga kongruen.

Catatan bahwa ini memberi kita kasus lain untuk kekongruenan segitiga, Sd.Sd.Sd, dimana

ini tidak berlaku di Geometri Euclid.

E. Saccheri Quadrilateral

Definisi 1: Segiempat dengan sudut-sudut alas tegak lurus dan sisi tegak kongruen disebut

segiempat Saccheri. Sisi yang berlawanan dengan alas disebut puncak, dan sudut yang

dibentuk oleh sisi dan puncak disebut sudut puncak.

Dalam bidang Euclid, segiempat yang dimaksud adalah persegi panjang, tapi menurut

akibat 1 teorema 1 menyebabkan tidak ada persegi panjang di bidang hiperbolik.

Catatan bahwa sudut puncak dari segiempat Saccheri adalah kongruen dan lancip, dan ruas

garis menyatu dengan titik tengah alas dan puncak segiempat Saccheri tegak lurus ke

keduanya. Akibatnya adalah mudah untuk membuktikan dengan mempertimbangkan garis

bagi yang tegak lurus dengan alas. (MM ’ di Gambar 5) karena S.Sd.S, segitiga MM ’ D dan

MM ’C kongruen, dan juga karena S.Sd.S, segitiga AMD dan BMC kongruen. Ini memberi

kita informasi bahwa M adalah titik tengah dan tegak lurus AB dan juga bahwa sudut DAM

dan CBM kongruen.

Gambar 5 Segiempat Saccheri

Lebih dari satu kenyataan yang kita butuhkan untuk menyusun mengenai segiempat Saccheri.

Untuk mengerjakan ini kita menganut lebih banyak sifat-sifat umum segiempat.

Teorema 3: Dipunyai segiempat ABCD dengan sudut siku-siku di C dan D, sisi AD > BC

jika dan hanya jika ABC > BAD.

Bukti:

() dipunyai segiempat ABCD siku-siku di C dan D, AD > BC

Karena AD > BC maka akan dibuat sebuah titik E di AD sedemikian hingga DE = BC

Menurut akibat 1 teorema 1, DEB + D + C + EBC < 3600 DEB < 3600 – (EBC

+ C + D) DEB < 2700 – EBC

Akibat langsung dari teorema ini adalah ruas garis yang menghubungkan titik tengah dari

puncak dan alas segiempat Saccheri lebih pendek daripada sisinya. Kita juga tahu bahwa ruas

garis ini hanya garis yang tegak lurus dengan alas dan puncaknya. (jika ada yang lain, maka

kita punya sebuah persegi panjang). Kita akan menetapkan akibat ini bersama sebagai

berikut:

Teorema 4: ruas garis yang menghubungkan titik tengah puncak dan alas suatu segiempat

Saccheri lebih pendek daripada sisi-sisinya, dan ruas garis tersebut ruas garis tunggal yang

tegak lurus ke puncak dan alasnya.

Kita sekarang punya apa yang kita butuhkan untuk memeriksa dan menggolongkan

kesejajaran di bidang hiperbolik.

Dua jenis kesejajaran hiperbolik

Di geometri Euclid, garis yang sejajar sering dideskripsikan sebagai garis yang sama jaraknya

dari manapun seperti lintasan kereta. Sifat ini sama seperti postulat kesejajaran Euclid, jadi

kita berharap, deskripsi ini tidak benar dalam bidang hiperbolik.

Teorema 5: Jika garis l dan l ’ garis sejajar yang berlainan, maka himpunan titik-titik di l

sama jaraknya dari l ’ dan memuat paling banyak dua titik.

Catatan bahwa jarak P dari l dinyatakan dalam suatu panjang ruas garis PQ dimana Q adalah

titik ujung yang tegak lurus dari P ke l.

Bukti: dipunyai dua garis sejajar l dan l ’, andaikan A, B, dan C titik-titik yang berbeda

terletak di l dan jaraknya dari l ’ sama. Misalkan A ’, B’ dan C ’ titik-titik ujung yang tegak

lurus dari titik-titik yang bersesuaian ke l ’. (gambar 2.18) ABB’ A ’, ACC’ A ’ dan BCC ’ B ’

adalah segiempat-segiempat Saccheri, dan mempunyai sudut puncak yang kongruen, jadi

sudut ABB’ dan CBB’ sudut pelurus yang sama dan oleh karena itu siku-siku. Tetapi kita

tahu bahwa sudut-sudut tersebut lancip, jadi ini adalah suatu kontradiksi, dan himpunan titik-

titik di lyang jaraknya sama daril memuat lebih sedikit dari tiga titik.

Gambar 2.18 tiga titik di garis l sama jaraknya dari l ’ sejajar ke l

Kita tidak menjamin bahwa ada himpunan titik-titik lain di l yang sama jaraknya dari l

mempunyai lebih dari satu anggota. Jika ya, berarti ada sesuatu yang kita ketahui tentang l

dan l ’.

Teorema 6: jika l dan l ’ garis sejajar yang berbeda dimana terdapat dua titik A dan B di l

yang sama jaraknya dari l ’, maka l dan l ’ punya ruas garis tegak lurus yang terpendek dari l

dan l ’.

Bukti: Misalkan A dan B di l dan berjarak sama dari l ’, dan A ’ dan B’ ujung-ujung yang

tegak lurus dari A dan B ke l ’. (gambar 2.19) keberadaan ruas garis yang tegak lurus

ditunjukan oleh teorema 4. Untuk menunjukan ruas garis yang tegak lurus jaraknya paling

pendek antara ldanl ’, pilih titik C di l, dan misalkan C ’ titik ujung yang tegak lurus dari C ke

l ’. MM ’C ’C adalah segiempat Lambert, dan karena teorema 3, sisi CC ’ lebih panjang dari

MM ’.

Gambar 2.19 ruas garis yang saling tegak lurus adalah ruas garis yang terpendek diantara dua

garis yang sejajar.

Teorema 7: Jika garis l dan l ’ mempunyai ruas garis MM ’ yang tegak lurus ke l danl ’, dan

jika A dan B di l sedemikian hingga M adalah titik tengah ruas garis AB, maka A dan B

berjarak sama dari l ’.

Bukti: kita tahu bahwa jika l dan l ’ mempunyai ruas garis MM ’ yang tegak lurus, maka l

sejajar ke l ’ menurut teorema 6. kita juga tahu MM ’ adalah tunggal karena jika tidak, kita

akan mempunyai persegi panjang. Tinggal ditunjukan bahwa A dan B, seperti yang

dideskripsikan di atas (Gambar 2.20) berjarak sama dari l ’. karena S.Sd.S, segitiga AMM ’

dan BMM ’ kongruen, dan karena Sd.Sd.S, segitiga AA ’ M ’ dan BB’ M ’kongruen. Jadi ruas

garis AA ’ dan BB’ kongruen.

Gambar 2.20 titik- titik yang berjarak sama dari garis yang saling tegak lurus berjarak sama

pula dari l ’, kita dapat menambah satu akibat lagi di sini tentang garis yang saling tegak

lurus.

Teorema 8: Dipunyai garis l dan l ’ yang tegak lurus dengan MM ’, jika titik A dan B di l

sedemikian hingga MB > MA, maka A dekat ke l ’ daripada B.

Bukti: Dipunyai situasi seperti teorema. Jika A diantara M dan B, misalkan A ’ dan B’

ujung-ujung tegak lurus dari A dan B ke l ’, dan menurut segiempat Secchieri ABB’ A ’

(Gambar 2.21) kita tahu bahwa sudut MAA ’ dan ABB’ lancip, jadi A ’ AB tumpul, dan lebih

besar dari ABB’ . Menurut teorema 5 sisi BB’ > AA ’, dan B lebih jauh dari l ’ daripada A.

jika M di antara A dan B, maka ada titik tunggal C di ruas garis MB sedemikian hingga M

adalah titik tengah ruas garis AC.

Gambar 2.21 titik-titik terdekat dari garis yang tegak lurus dekat juga ke l ’

Jika dua garis berbeda saling tegak lurus di kedua arah. Kita mendefinisikan garis itu sebagai

berikut.

Definisi 2: Dua garis yang saling tegak lurus dikatakan sejajar berlainan (divergently-

parallel).

Ini juga biasa disebut sebagai garis ultra-sejajar atau super-sejajar. Intuisi gambar dari garis

ultra sejajar ditunjukan di gambar 2.22.

Gambar 2.22 garis sejajar berlainan

Kita tetap akan mengikuti teorema, yang sedikit berbeda dari teorema 2.1, karena kita akan

menggunakan ini untuk pembuktian selanjutnya.

Teorema 9: Jika dua garis dipotong oleh garis lintang sedemikian hingga sudut dalam

berseberangannya sama, maka garis ini sejajar berlainan.

Ini berbeda dari teorema 2.1 karena menjamin tidak hanya garis yang tidak memotong, tapi

juga menyimpang di kedua arah. Ada tipe kesejajaran berbeda di geometri hiperbolik, yaitu

menyimpang di satu arah dan bertemu pada yang lainnya. Kita akan melihat tipe yang ini

sekarang.

Di geometri Euclid, dimana dua garis ldan l ’ tegak lurus dengan PQ, dan kamu memutar l

dengan pusat P dengan sudut terkecil, garis tersebut tidak lagi sejajar. Di geometri

hiperbolik, ini tidak masalah, tapi sejauh apa kita memutar l dengan pusat P? Untuk

menjawab pertanyaan ini, pertama kita butuh membuat dasar kecil.

Teorema 10: Dipunyai sebuah garis l dan sebuah titik P tidak pada l, dengan Q ujung tegak

lurus dari P ke l, maka ada dua sinar tunggal PX dan PX ’ di sisi berlawanan PQ dan tidak

memotong l dan mempunyai sifat bahwa sinar lain PY memotong l jika dan hanya jika PY di

antara PX dan PX ’. Juga, sudut QPX dan QPX ’ sama besar.

Bukti: dipunyai garis l dan P tidak pada l, dengan Q ujung tegak lurus dari P ke l , misalkan

m garis tegak lurus dengan PQ di P. Garis m sejajar berlainan ke l. Misalkan S titik di m di

sebelah kiri P. menurut ruas garis SQ. (Gambar 2.23) misalkan himpunan titik-titik T di

ruas garis SQ sedemikian hingga sinar PT memotong l, dan ’ komplemen dari . Kita lihat

bahwa jika T di SQ anggota , maka semua ruas garis TQ juga di . Jelas S anggota ’, jadi

’ tidak kosong. Jadi harus ada titik tunggal X di ruas garis SQ sedemikian hingga semua

titik di ruas garis terbuka XQ termasuk ke dalam , dan semua titik di ruas garis terbuka XS

ke ’. PX adalah sinar dengan sifat yang akan kita bahas.

Gambar 2.23 sinar dari Psejajar dan memotong l

Mudah untuk menunjukan bahwa PX sendiri tidak memotong l di A, maka kita dapat

memilih titik B di l sedemikian hingga Adi antara B dan Q, sinar PB memotong l , tetapi

memotong ruas garis terbuka XS, yang mana kontradiksi dengan yang telah kita ketahui

tentang X . (Gambar 2.24) Jadi PX tidak dapat memotongl .

Gambar 2.24 sinar dari P memotong l

Kita dapat mencari X ’ tegak lurus PQ dengan cara yang sama, dan semua tinggal

menunjukan bahwa sudut QPX dan QPX ’ sama. Andaikan tidak, dan sudut QPX > QPX ’.

Pilih Y di sisi yang sama PQ juga X sedemikian hingga sudut QPY QPX ’. (Gambar 2.25)

PY memotongl di A. Ada titik tunggal A ’di l sedemikian hingga Q merupakan titik tengah

ruas garis AA ’. Karena S.Sd.S, segitiga PAQ PA ’Q, dan sudut A ' PQ APQ X ' PX ' ,

dan A ’ di PX ’, kontradiksi, jadi sudut QPX dan QPX ’ sama besar.

Gambar 2.25 Sejajar terbatas dari sudut yang sama besar dan saling tegak lurus.

Definisi 3: Dipunyai garis l dan titik P tidak pada l, sinar PX dan PX ’ mempunyai sifat

bahwa sinar PY memotong l jika dan hanya jika PY di antara PX dan PX ’ disebut sinar

terbatas sejajar dari P ke l, dan garis yang memuat sinar PX dan PX ’ disebut garis sejajar

terbatas, atau disingkat sejajar terbatas.

Garis ini kadang disebut asimtot sejajar. Kitta tetap sedikit berintuisi wajar akibat tentang

sejajar terbatas tanpa pembuktian, untuk singkatnya.

Pertama: sejajar terbatas adalah simetris, jika garis l sejajar terbatas dari P ke garis m, dan

titik Q di m, maka m sejajar terbatas dari Q ke l dengan arah yang sama.

Kedua: sejajar terbatas adalah transitif, jika titik P, Q dan R terletak di garis berturut-turut l,

m dan n, dan l sejajar terbatas dari P ke m, dan m sejajar paralel dari Q ke n pada arah yang

sama, maka lsejajar terbatas dari P ke n pada arah tersebut.

Ketiga: jika garis l sejajar tebatas dari Pke m, dan titik Q juga di l, maka l sejajar terbatas

dari Q ke m pada arah yang sama.

Dipunyai sifat masuk akal dikatakan garis yang sejajar terbatas ke satu lainnya pada satu arah

memotong di titik yang tak terhingga. Kita sebut titik ini titik ideal dan melambangkannya,

untuk sewaktu-waktu, dengan huruf Kapital Yunani.

Di teorema 10, sudut QPX tidak tetap, tapi berubah dengan jarak P dari l. sudut ini

membuktikan untuk penggunaan dalam investigasi mendatang kita dan memerlukan notasi

resmi.

Definisi 4: dipunyai garis l, titik P tidak pada l, dan Q ujung tegak lurus dari P ke l, ukuran

sudut dibangun oleh sinar sejajar terbatas dari P ke l dan ruas garis PQ disebut sudut sejajar

yang berhubungan dengan panjang d dari suatu ruas garis PQ, dan dinotasikan (d ). (Gambar

2.26)

Gambar 2.26 sudut sejajar berhubungan dengan panjangnya

Catatan (d ) adalah fungsi dari d , jadi untuk setiap titik dipunyai jarak d dari garis lain, sudut

sejajarnya sama. Juga: (d ) adalah lancip untuk setiap d , mendekati 900 karena dmendekati 0,

dan mendekati 00 karena d mendekati . Ada akibat tidak jelas, dan kita akan membuktikan

ini di bab selanjutnya karena kita mengambil rumus (d )

Intuisi (dan benar) bahwa karena sebuah titik di l berpindah mendekati l pada arah

sejajar, jaraknya dari m menjadi lebih kecil, dan karena berpindah pada arah yang lain,

jaraknya bertambah. Jadi sejajar terbatas mendekati lainnya dalam satu arah dan menyimpang

pada arah lain. Ini membedakan sejajar terbatas dengan kesejajaran berbeda. Kita dapat

menunjukan bahwa titi-titik tersebut saling mendekati setiap asimtot lain dan berbeda menuju

tak terhingga.

Andaikan bahwa kita punya garis ldan m sejajar terbatas ke yang lain dan tegak

lurus. Pilih titik A di l, dan misalkan Q ujung tegak lurus dari A ke m. (Gambar 2.27) Kita

dapat memilih titik R di ruas garis AQ sedemikian hingga panjang ruas garis QR kurang dari

AQ. Misalkan garis n sejajar terbatas dari R ke m ke kiri. Karena n tidak dapat memotong m,

dan dapat tidak sejajar terbatas ke m ke kanan, (atau n=m) n akan memotong l di titik S.

Misalkan T ujung tegak lurus dari S ke m, dan pilih Q ’di m sedemikian hingga T titik tengah

ruas garis QQ’. Karena S.Sd.S, segitiga STQdan STQ’ sama besar dan SQ SQ’. Tegak lurus

ke m di Q ’ dan memotong l di R ’. dengan pengurangan sudut dan kekongruenan segitiga,

kita datat Q ’ R ’QR.

Gambar 2.27 sejajar terbatas adalah keasymtotan dan penyebaran di arah berlawanan.

Pendapat yang sama, pilih R pada garis AQ sedemikian hingga A di antara Q dan R,

memberi kita Q ’ R ’ dengan panjang sebarang. Jadi, sejajar terbatas adalah asymtot dengan

arah sejajar dan menyebar tanpa batas pada yang lain. Juga karena R dipilih dengan panjang

sebarang dari m, maka ada sebuah titik P di garis lain sedemikian hingga jarak dari P ke

garis lain sama dengan d . Jadi:

Teorema 11: Sejajar terbatas mendekati satu sama lain dengan asymtot pada arah sejajar,

menyebar tanpa batas dengan lainnya, dan jarak dari satu ke yang lain dalam setiap nilai

positif.

Kita sekarang tahu satu lagi teorema berkenaan dengan jenis khusus segitiga.

Definisi 5: Sebuah segitiga yang mempunyai satu atau lebih titik sudut tak terhingga (sebuah

titik ideal) adalah segitiga asymtot. Tunggal, ganda, dan tripel segitiga asymtot berturut-turut

mempunyai satu, dua dan tiga titik sudut tak terhingga.

Sebuah contoh dari masing-masing tipe segitiga asymtot ditunjukan pada gambar 2.28.

sebuah segitiga dengan asymtot tunggal hanya mempunyai satu sisi terhingga dan dua sudut

tak nol. Sebuah segitiga dengan asymtot ganda mempunyai satu sudut tak nol dan tidak

mempunyai sisi terhingga, dan oleh karenanya ditetapkan seluruhnya oleh satu sudut tak nol.

Sebuah segitiga dengan asymtot tripel tidak mempunyai sisi terhingga dan tidak mempunyai

sudut tak nol, (ukuran dari sudut asymtot diambil menjadi nol). Sehingga semua segitiga

dengan asymptot tripel adalah kongruen. Catat bahwa jumlah sudut dari segitiga dengan

asymtot sebarang adalah kurang dari 180o.

Gambar 2.28 Segitiga dengan asymtot tunggal, ganda dan tripel.

Teorema berikut memperlihatkan bahwa kriteria Sd.Sd.Sd digunakan untuk membuktikan

kekongruenan dari segitiga dengan asymtot tunggal.

Teorema 12: Jika diberikan dua segitiga asymtot sedemikan hingga sudut-sudut tak nolnya

berpasangan sama besar. Maka sisi terhingganya sama panjang.

Bukti: Andaikan kita diberi AB dan PQ, keduanya segitiga asymtot sedemikian hingga

pasangan sudut AB dan PQ, dan BA dan QP sama besar. (Gambar 2.29) Misalkan A ’dan P ’

kaki-kaki tegak lurus berturut-turut dari A dan P ke B dan Q. Andaikan ruas garis AB>PQ,

maka AA ’>PP ’. Kita menunjukan ini dengan memisalkan C pada ruas garis AB sedemikan

hingga BC sama dengan PQ, dan misalkan C ’ kaki tegak lurus dari C ke B. Karena Sd.Sd.S

maka CC ’ sama dengan PP’, dan kurang dari AA ’.

Gambar 2.29 Karena Sd.Sd.S, dua segitiga dengan asymtot tunggal kongruen.

Karena AA ’>PP ’, dan karena A asymtot dengan B, kita dapat mencari titik tunggal D di A

sedemikian hingga PP’ sama dengan DD ’, di mana D ’ adalah kaki tegak lurus dari D ke B.

(Gambar 2.29) Sudut D ’ D sama dengan P ’ P. Dengan memilih titik E pada sinar DB

sedemikian hingga D ’ E sama dengan P ’Q, kita dapatkan segitiga DD’ E PP ’Q, dan sudut

DED ’ PQP ’ ABDA ’. AB sejajar dengan DE, menurut teorema 2.1, dan ADEB adalah

segiempat dengan jumlah sudut 3600, ini kontradiksi dengan akibat 2.18, jadi AB=PQ.

Mengingat tentang postulat kesejajaran Legendre. Asumsi bahwa garis melalui sebuah titik di

dalam segitiga harus memotong paling sedikit satu sisi segitiga tersebut. Teorema berikut

menunjukkan bahwa ini bukan merupakan masalah.

Teorema 13: (Pagar Garis (The Line of Enclosure)): diberikan dua garis berpotongan, ada

sebuah garis ketiga yang sejajar terbatas ke masing-masing garis yang diberikan, dengan arah

berlawanan.

Bukti: Dipunyai garis l dan m berpotongan di titik O, menurut salah satu dari empat sudut

yang dibentuk oleh garis tersebut. Misalkan titik-titik pada akhir garis l dan m berturut-turut

dan . Pilih titik A dan B berturut-turut pada O dan O sedemikian hingga OA OB. Gambar

ruas garis AB, dan terbatas paralel dari A ke m (A), dan dari Bke l(B). Garis ini akan

berpotongan pada titik C. Kemudian, gambar garis bagi sudut n dan p dari sudut-sudut A dan

B. Ini memotong B dan A berturut-turut pada F dan G. Juga, misalkan titik D pada sinar AF

sedemikian hingga Fdiantara A dan D. (Gambar 2.30) Kita dapat melihat bahwa sudut OAC

dan OBCsama besar, dan begitu juga sudut AC BC , dan kita punya AF FACCBG BG. Kita

akan menunjukan bahwa n dan p ultra-sejajar, dan kita akan melihat bahwa saling tegak lurus

ini sejajar dengan kedua garis ldan m.

Pertama, andaikan bahwa sinar AF dan BG berpotongan di H . Jika demikian, maka sudut

BAH dan ABG sama besar, dengan pengurangan sudut, dan AH BH . Dengan pendapat

kekongruenan, H sama jaraknya dari A dan B, jadi jika kita menggambar sinar H , maka

sudut AH BH . Jadi sinar AF dan BG tidak berpotongan. Karena sudut AF+FA<180 °,

dengan pengurangan, GBF+BFD<180 °, jadi sinar FA dan GB tidak dapat berpotongan, dan

garis ndan p tidak berpotongan.

Gambar 2.30 Pagar garis dari dua garis I yang berpotongan

Sekarang asumsi bahwa n dan p sejajar terbatas. Karena sudut DFB+FBG<180 °, kita tahu

bahwa n dan p harus sejajar parallel dengan arah sinar AF dan berpotongan di titik . Dengan

mengaplikasikan teorema 14 ke segitiga dengan asymtot tunggal FA dan FB, kita dapat

melihat bahwa FA FB, dan sudut BAF ABF yang mana ini tidak mungkin. Jadi n dan p tidak

sejajar terbatas, dan hanya tinggal kasus bahwa n dan p ultra-sejajar dan saling tegak lurus.

Misalkan tegak lurus memotong n di N dan p di P. (Gambar 2.31) ABPN adalah segiempat

Saccheri, jadi AN BP. Andaikan NP tidak sejajar terbatas ke m, dan gambar N dan P.

Mempertimbangkan bahwa N dan P sama jaraknya berturut-turut dari A dan B (dengan

ketegak lurusan dan menggunakan sd.sd.s) sudut AN dan BP sama besar, tetapi ini

memberitahu kita bahwa segitiga NP mempunyai satu sudut luar sama dengan sudut dalam

berseberangan, ini kontradiksi dengan teorema 2.4. jadi sinar NP sejajar terbatas ke m dan

dengan alasan yang sama, juga ke l , dan garis NP sejajar tebatas ke kedua garis berpotongan

l dan m. Di sini, tentu saja, tiga garis lainnya untuk masing-masing sudut yang dibentuk oleh

l dan m.

Gambar 2.31 Pagar garis dari dua garis II yang berpotongan

Definisi 6: Dipunyai sudut ABC, garis yang melalui sudut dalam, dan sejajar terbatas ke

kedua sinar BA dan BC adalah pagar garis dari sudut ABC.

Teorema ini juga menunjukan bahwa sudut yang sejajar mungkin kecilnya seperti yang kita

inginkan, karena tidak masalah kita memilih sudut AOB sekecil apapun, di sini pagar garis l

sedemikian hingga sudut yang sejajar berhubungan dengan jarak dari O ke l adalah setengah

AOB.

Satu lagi topik kita pelajari sebelum kita pindah ke bab selanjutnya.

Lingkaran dalam segitiga dan Lingkaran Keliling Segitiga

Pada geometri Euclid, setiap segitiga melalui lingkaran, dan pusat lingkaran adalah

perpotongan garis bagi segitiga. Untuk membuktikan ini, kita tunjukan bahwa ketiga garis

baginya berpotongan di satu titik, dan titik perpotongan sama jaraknya dari ketiga sisi-

sisinya. Pembaca jangan ragu-ragu menggunakan pembuktian Euclid. Bukti ini juga dapat

digunakan di geometri hiperbolik.

Teorema 14: Di dalam segitiga sebarang dapat dilukis sebuah lingkaran yang menyinggung

di ketiga sisi-sisinya.

Setiap segitiga dalam geometri Euclid juga mempunyai lingkaran keliling, yang mana

pusatnya adalah titik perpotongan dari garis bagi yang tegak lurus dari ketiga sisi-sisinya.

Dalam perbedaan dengan garis bagi sudut, garis bagi yang tegak lurus dengan ketiga sisi-sisi

segitiga dalam geometri hiperbolik tidak selalu berpotongan.

Teorema 15: dipunyai segitiga sebarang, garis baginya tegak lurus dengan ketiga sisi yang

lain; memotong di titik yang sama, maka terbatas dan sejajar dengan yang lain, atau sejajar

berlainan dan saling tegak lurus.

Pembatas lingkaran hanya ada untuk kasus dimana ketiga garis baginya berpotongan.

Bukti: andaikan kita punya segitiga ABC dengan l dan m garis bagi yang tegak lurus dengan

ruas garis AB dan BC.

Kasus I: Andaikan l berpotongan dengan m di O. (Gambar 2.32) Kita harus menunjukan

bahwa garis bagi yang tegak lurus AC melalui O. Karena ketepatan kekongruenan segitiga

dengan S.Sd.S, kita dapat melihat bahwa AO, BO, dan CO semua sama panjang, jadi segitiga

AOC sama kaki, jadi tegak lurus dari O ke AC akan membagi dua AC, karena HL sama, dan

akibatnya adalah garis bagi tegak lurus dari AC tunggal, melalui O.

Gambar 2.32 pusat keliling segitiga

Kasus II: Andaikan l dan m sejajar berlainan dan saling tegak lurus dengan sisi p. (Gambar

2.33) Kita harus menunjukan bahwa garis bagi yang tegak lurus dari AC tegak lurus juga ke

p. tarik tegak lurus AA ’, BB’ dan CC ’ dari A, B, dan C ke p, dan misalkan l memotong AB

dan p berturut-turut di L dan L ’, dan m memotong BC dan p berturut-turut di M dan M ’.

Sekarang, karena S.Sd.S, segitiga AL’ L dan BL’ L kongruen, jadi ruas garis AL’=BL’, dan

sudut AL’ L=BL’ L. Karena pengurangan sudut, kita punya sudut AL’ A ’=BL’ B ’, dan

karena Sd.Sd.S, segitiga AL’ A ’ BL’ B ’. Ini memberi kita AA ’=BB ’, dan dengan alasan

yang sama, BB’=CC ’. ACC ’ A ’ adalah segiempat Saccheri, dan ruas garis yang

menghubungkan pertengahan A ’C ’dan AC tegak lurus pada keduanya, dan oleh karenanya

garis bagi tegak lurus dari sisi AC tegak lurus ke p.

Gambar 2.33 pasangan garis bagi yang tegak lurus sejajar dengan sisi segitiga

Kasus III: kasus ini sepele, jika l dan m sejajar terbatas, garis bagi yang tegak lurus ke sisi

selain AC sejajar terbatas ke keduanya dan bertentangan dengan salah satu dari kedua kasus

pertama, dan kita telah membuktikan teorema. Kita akan melihat lebih jauh pada sifat-sifat

segitiga dan lingkaran pada geometri hiperbolik. Sebelum kita terlalu jauh, kita akan

memperkenalkan beberapa model dari geometri hiperbolik bahwa kita telah belajar dengan

abstrak sangat jauh. Model ini mengikuti kita untuk penggambaran sifat-sifat lebih banyak

dan lebih jelas tentang geometri non-Euclid.

F. Beberapa Perbandingan Geometri Hiperbolik dan Euclide

Untuk memfasilitasi perbandingan dari tiga perilaku yang menarik khususnya dari

titik dan garis dapat dilihat dari tabel berikut:

EUCLID HIPERBOLIK

Dua garis yang berbeda

saling berpotongan pada

paling banyak satu titik paling banyak satu titik

Diketahui garis l dan titik

P tidak pada garis l, maka

akan ada

tepat satu garis yang melaui

P sejajar denganl

setidaknya dua garis yang

melaui P sejajar dengan l

Suatu garis akan terpisah menjadi dua

bagian oleh suatu titik

akan terpisah menjadi dua

bagian oleh suatu titik

Garis sejajar dimana-mana berjarak sama dimana-mana tidak berjarak

sama

Untuk sembarang titik A

dan suatu garis r yang

tidak melalui A

terdapat tepat satu garis

melalui A dalam bidang Ar

, yang tidak memotong r

ada lebih dari satu garis

melalui A dalam bidang Ar,

yang tidak memotong r

Hipotesis Saccheri yang

valid adalah

hipotesis sudut siku-siku hipotesis sudut lancip

Jika suatu garis

berpotongan dengan satu

dari dua garis sejajar,

maka garis tersebut

haruslah akan memotong

garis sejajar yang lain.

kemungkinan atau tidak

mungkin akan memotong garis

sejajar yang lain.

Dua garis yang berbeda

akan tegak lurus dengan

garis yang sama maka

akan sejajar akan sejajar

Jumlah sudut suatu

segitiga

sama dengan 1800 kurang dari 1800

Luas segitiga akan bebas jumlah sudutnya sebanding dengan kekurangan

jumlah sudutnya

Dua segitiga yang

memiliki sudut yang

sehadap sama besar akan

sama besar kongruen

G. Aplikasi Geometri Hiperbolik

Geometri hiperbolik memiliki peranan penting dalam kehidupan nyata. Misalnya,

dalam bidang teknik dan arsitek, kesenian, ilmu komputer dan jaringan dan lain sebagainya.

Dalam bidang matematika sendiri, geometri hiperbolik ini biasanya digunakan dalam teori

grup khususnya teori ala Gromov tentang grup kombinatorial. Dari semua kegunaan dalam

bidang-bidang ini, geometri hiperbolik paling banyak digunakan dalam bidang topologi

komputer dan pemetaan. Penggunaan geometri dalam bidang ini semakin banyak

dikembangkan dari hari ke hari.

Dalam http://scannerperiksanilai.wordpress.com/pada jurnal "Baru Pathsfor Internet

Stress-Out" yang diterbitkan pada 10 Agustus 2011 ini menyebutkan bahwa San Diego

Supercomputer Center dan Koperasi Asosiasi untuk Analisis Data Internet (Caida) di

University of California, San Diego, dalam sebuah kolaborasi dengan para ilmuwan dari

Universitas de Barcelona di Spanyol dan University of Siprus, telah menciptakan geometris

pertama "atlas" dari Internet sebagai bagian dari proyek untuk mencegah runtuhnya jaringan

komunikasi dalam dekade-dekade berikutnya. Mereka menemukan laten hiperbolik, atau

negatif melengkung, ruang tersembunyi di bawah topologi Internet, memacu mereka untuk

merancang metode untuk menciptakan sebuah peta internet menggunakan geometri

hiperbolik. Internet dengan Pemetaan hiperbolik akan mengarah pada arsitektur Internet

routing yang lebih kuat karena menyederhanakan jalan-menemukan seluruh jaringan.

Arsitektur routing berdasarkan geometri hiperbolik akan menciptakan tingkat efisiensi terbaik

dalam hal kecepatan, akurasi, dan ketahanan terhadap kerusakan.

Selanjutnya penggunaan dari visualisasi geometri hiperbolik lainnya yaitu digunakan

untuk visualisasi "concept space" dalam program "adaptive e-learning". Concept space

dalam matematika itu sendiri adalah pemetaan graf acyclic.Secara tradisional rancangan

"conceptspace" ini meliputi map diagram, a downward-branching dan heirarchical tree

Structure.

Dalam menghasilkan suatu pemetaan yang jaringannya semakin bertambah jika

bidang/ruangnya (plane) semakin besar. Tepatnya pemetaan seperti ini merupakan visualisasi

dari model poincare disk.

Pemetaan jaringan internet yang lebih sederhana seperti yang biasanya kita temui di

warung-warung internet seperti pada gambar di bawah ini.

Pada bidang fisika, geometri hiperbolik ini diterapkan dalam melihat pergeseran

panjang gelombang elektromagnetik dan teori relativitas.

Penggunaan model-model geometri hiperbolik yang lainnya yaitu pada bidang

arsitek dan kesenian.

Gambar di samping merupakan sebuah

Rumah keratif untuk berakhir pekan ini ada di

Melbourne, Australia merupakan impian yang

menjadi keyataan seorang arsitek McBride

Charles Ryan. Terinpisrasi desain pada botol

Klein, dan bentuk konseptual matematika tanpa

interior yang terlihat dan sisi eksterior. Black

metal atap Rumah lipatan turun di beberapa

tempat untuk mengubah bentuk bagian rumah

dan bentuk dinding eksterior. Halaman pusat dan

ruang hidup yang fleksibel membuat penghuni rumah ini merasa menakjubkan seperti ada

dalam ruangan dan di luar rumah pada saat yang sama.

Hal yang sama juga yang dilakukan di Indonesia, Jefrey Ignatius Kindangen dkk di

Manado dengan model jaringan syaraf tiruan (berdasarkan model poincare) untuk

mengevaluasi ventilasi bangunan untuk daerah tropis.

Selanjutnya dalam bidang ekonomi, masih juga dengan menggunakan persepsi

jaringan syaraf buatan pada peta poincare yaitu dalam makalah yang ditulis oleh Situngkir

(2003), hal yang baru dalam makalah ini adalah upaya penggunaan peta Poincare dalam

persepsi model jaring saraf yang dibuat untuk tujuan prediksi. Peta Poincare yang

dimodifikasi digenerasi dari data deret waktu keuangan biasa untuk kemudian dipersepsi oleh

jaring saraf. Hasil persepsi ini (berupa peta Poincare juga) kemudian kita ubah lagi ke dalam

data deret waktu biasa sebagai hasil aproksimasi dan prediksi dari proses training jaring saraf.

Hasilnya menjanjikan kemampuan dan kecepatan prediksi yang lebih baik daripada secara

langsung mempersepsi data deret waktu biasa. Di akhir makalah digambarkan pula contoh

bagaimana memprediksi range fluktuasi harga saham dengen aproksimasi terhadap data

penawaran saham tertinggi (HIGH) dan selisih penawaran tertinggi dan terendah secara

bersamaan sebagai peta Poincare yang dimodifikasi.

Masih banyak lagi penggunaan hiperbolik dalam kehidupan sehari-hari.Visualisasi

model hiperbolik yang berupa teselasi sering digunakan sebagai motif-motif batik di

Indonesia. Bentuk lainnya seperti proses pengambilan gambar dengan menggunakan kamera

(shading) merupakan salah satu visualisasi geometri hiperbolik.

DAFTAR PUSTAKA

Hoard, Daphne and Ricardo Chapa. 2009. Non-Euclidean Geometry. Presentasi. Rice

University.

Manning, Henry. 1991. Non-Euclidean Geometry. Boston: Ginn & Company Publishers.

Ross, Skyler. 2000. Non-Euclidean Geometry. Tesis. University of Maine.

Suyitno, Amin. 2009. Buku Ajar Geometri Non Euclides. Semarang: Jurusan Matematika

FMIPA Unnes.